2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳

合集下载

备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题19 把你的知识综合起来

专题19 把你的知识综合起来考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。

基础知识回顾:1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 应用举例类型一、利用导数研究函数的单调性【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是（2）-20.（3）【例2】【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】已知函数()322234f x x mx nx m =--+在1x =处有极值10.（1）求实数,m n 的值；（2）设a R ∈，讨论函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性.【答案】(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意得到关于m 的方程组()()213430{1123410f m n f m n m =--==--+='，解方程组求得,m n 即可；（2）先判断函数()2241116f x x x x =+-+的单调性，然后根据a的取值情况分类讨论判断函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性。

2018高考复习数学第一轮第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

2018高考复习数学第一轮第21讲反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=；（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、例题精讲例1、求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1）如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ；（2）在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1）若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2）判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3）请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明．答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”．（1）判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是，()f x 的值域是．答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称．答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、课后作业一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ．答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是．答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是．答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为．答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证：（1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．现在请你完成（2）和（3）答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上；（3）提示：反证法．。

2018届高考数学一轮复习2.3

第二章
知识清单基础自测
第三节
函数的奇偶性与周期性
名师考点精讲
主干知识回顾
综合能力提升
-3-
1.函数的奇偶性
奇偶性奇函数定义图象特点一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做关于原点成中心对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶关于y轴成轴对称函数
第二章
知识清单基础自测
第三节
函数的奇偶性与周期性
名师考点精讲
主干知识回顾
综合能力提升
-5-
4.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)关于直线x=a,x=b(a<b)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期 T=2(b-a). (2)若函数f(x)关于点(a,0),(b,0)(a<b)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期 T=2(b-a). (3)若函数f(x)关于点(a,0)与直线x=b(a<b)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=4(b-a). 5.常用的数学方法与思想函数奇偶性的判断方法,数形结合思想、分类讨论思想.
第三节函数的奇偶的奇偶性与周期性
名师考点精讲
主干知识回顾
综合能力提升
-2-
考纲概述 (1)了解函数奇偶性的含义,并能运用奇偶性的含义判断一些简单函数的奇偶性; (2)掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题; (3)了解函数周期性的含义,能根据函数的周期性将给定自变量转化到已知区间内解决问题
1 ��+�� 2 −�� 1 ��

2018年高三最新河北省2018届高考数学一轮复习知识点攻破习题：三角函数的概念精品

第四章三角函数三角函数的概念y时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．角α的终边上有一点(a ，－a )(a >0)，则使f (a )＝－22的一个函数是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cot x 解析：由角的定义知sin α＝－a a 2＋(－a )2＝－22.答案：A2．若α是第三象限的角，则π－12α是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角解析：在坐标系中，将各象限2等分，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则由图可知，α2在Ⅲ内，π－α2在Ⅱ内，故π－α2在第一或第三象限，选B.答案：B3．若tan x >0，且sin x ＋cos x >0，则角x 的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由tan x >0知角x 在第一或第三象限，又sin x ＋cos x >0，故x 不可能在第三象限．答案：A4. (2018·杭州质检)如图1，已知单位圆O 与y 轴相交于A 、B 两点．角θ的顶点为原点，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线OC 上．过点A 作直线AC 垂直于y 轴且与角θ的终边交于点C ，则有向线段AC 的函数值是( )图1A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．cot θ解析：根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择D. 答案：D5．如果θ是第二象限角，且满足cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，那么θ2( )A ．是第一象限角B ．是第二象限角C ．是第三象限角D ．可能是第一象限角，也可能是第三象限角解析：∵θ是第二象限角，∴θ2是第一或第三象限角前半区域的角，∵cos θ2－sin θ2＝1－sin θ≥0，∴cos θ2≥sin θ2，∴θ2只能在第三象限．答案：C6．sin1，cos1，tan1的大小关系是( )A ．tan1>sin1>cos1B ．tan1>cos1>sin1C ．cos1>sin1>tan1D ．sin1>cos1>tan1 解析：因为1rad ≈57.30°，结合单位圆中的三角函数线知tan1>sin1>cos1，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．一个扇形的面积为 4 cm 2，周长为8 cm ，则扇形的圆心角及相应的弦长分别是__________．图2解析：如图2所示，设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧12|α|R 2＝4，2R ＋|α|R ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，R ＝2.取AB 的中点C ，连OC ，则OC ⊥AB ，且∠AOC ＝α2＝1.∴AB ＝2R sin α2＝4sin1.故所求的圆心角为2弧度，其弦长为4sin1. 答案：2,4sin1 cm8．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在内终边与θ4角的终边相同的角是________．解析：由已知θ＝2kπ＋8π5(k ∈Z )，∴θ4＝kπ2＋2π5(k ∈Z )，由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165，∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3， ∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 答案：25π，910π，75π，1910π9．在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．答案：⎝⎛⎫π4，5π410．已知角α的终边在直线y ＝－34x 上，则2sin α＋cos α的值是__________．解析：因为直线y ＝－34x 经过原点，且过第二、第四象限，当角α的终边在第二象限时，取终边上任意一点P (－4,3)，得|OP |＝5，由三角函数的定义得sin α＝35，cos α＝－45，故2sin α＋cos α＝25；当角α的终边在第四象限时，取终边上任意一点P (4，－3)，得|OP |＝5，由三角函数的定义得sin α＝－35，cos α＝45故2sin α＋cos α＝－25.答案：25或－25三、解答题(共50分)11．(15分)已知角α终边上有一点P (24k,7k )(k ≠0)，且180°<α<270°，求α的六个三角函数值．解：∵180°<α<270°，且x ＝24k ，y ＝7k ， ∴k <0，r ＝|OP |＝(24k )2＋(7k )2＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724，cot α＝x y ＝247，sec α＝r x ＝－2524，csc α＝r y ＝－257.12．(15分)如果sin α·cos α>0，且sin α·tan α>0.化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋cos α2·1＋sinα21－sinα2. 解：由sin α·tan α>0，得sin 2αcos α>0，cos α>0.又sin α·cos α>0，∴sin α>0，∴2kπ<α<2kπ＋π2(k ∈Z )，即kπ<α2<kπ＋π4(k ∈Z )．当k 为偶数时，α2位于第一象限；当k 为奇数时，α2位于第三象限；∴原式＝cos α2·⎝⎛⎭⎫1－sin α22cos 2α2＋cos α2·⎝⎛⎭⎫1＋sin α22cos2α2＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋cos α2·1＋sinα2⎪⎪⎪⎪cos α2＝2cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝⎩⎨⎧2 ⎝⎛⎭⎫α2在第一象限时，－2 ⎝⎛⎭⎫α2在第三象限时.13．(20分)已知角α的终边经过点P (sin 2π3，cos 2π3)，且0≤α<2π，求角α.解：解法1：tan α＝cos2π3sin 2π3＝cot 2π3＝tan(π2－2π3)＝tan(－π6)＝tan 5π6＝tan 11π6.∵点P 在第四象限，0≤α<2π，∴α＝11π6.解法2：点P (32，－12)在第四象限，tan α＝－1232＝－33，又0≤α<2π，∴α＝11π6.解法3：点P (cos(π2－2π3)，sin(π2－2π3))，即P (cos(－π6)，sin(－π6))，即P (cos 11π6，sin 11π6)．∵0≤α<2π，∴α＝11π6.。

2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析 3. 1三角函数

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※<1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；<2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。

b5E2RGbCAP注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。

※例题解读※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。

思路解读：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P<4t,-3t）(t≠0>，求出r，由定义得出结论。

p1EanqFDPw 解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P<4t,-3t）(t≠0>，则x=4t,y=-3t.,DXDiTa9E3dr===5|t|,当t>0时，r=5t,sinα==,，；当t<0时，r=-5t，sinα==，，。

综上可知，sinα= ，，；或sinα=,,.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※<1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；<2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；<3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。

RTCrpUDGiT※例题解读※〖例〗<1）如果点P<sinθ·cosθ,2cosθ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限；<2）若θ是第二象限角，则的符号是什么？思路解读：<1）由点P所在的象限，知道sinθ·cosθ，2cosθ的符号，从而可求sinθ与cosθ的符号；<2）由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范围，进而把cosθ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cosθ>,cos(sin2θ>的符号可定。

(word完整版)2018高考一轮复习导数专题

2018高考复习导数题型分类解析一.导数的概念1. 导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0),比值―y 叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+ x 之间的平均变化率，即丄=——x)一上必。

如果当xxxx 0时，一y有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做 f (x )在点x 0处x由导数的定义可知，求函数 y=f (x )在点x 0处的导数的步骤:① 求函数的增量 y =f (x 0+ x )— f (x 0兀② 求平均变化率」=一x)一;xx③取极限，得导数f ' (x 0)= lim - oXx例1：若函数y f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0 (a b)则lim―h)―f (x0 h)的值为( )hhA . f '(x 0)B . 2f '(x °)C . 2f '(x °)D . 0例 2:若 f '(x 。

) 3，则 limf (x °h) f (x °3h)()h 0hA. 3 B .6 C . 9 D .122. 导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率② 几何意义：切线斜率 k limf(x n ) f(x。

)f (x 0)x 0XX XXx n x 0③ 代数意义：函数增减速率例3:已知函数f x f — cosx sinx ，贝y f — 的值为44例 4:已知 f x x 2 3xf 2，贝y f 2_______3. 导数的物理意义：如果物体运动的规律是 s=s (t ),那么该物体在时刻 t 的瞬间速度v=s ( t )o 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v '( t )o例5： —个物体的运动方程为 s 1 t t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是 _____________的导数，记作f ' (x 0 )或y ' | X 冷，即f (x 0) = limPx 0f (X 。

2018届高考数学第一轮复习的重点总结

2018届高考数学第一轮复习的重点总结;第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节;主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数;重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列;数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何;在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计;这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一。

等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何;这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2018年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题;考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

谢谢阅读！。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章函数、导数及其应用 2.1 精品

数f(x)和它对应
映射
按照某一个确定的对应关系f,对于集合A中的_任__意__一个元素x,在集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从名称集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=

2018年高考数学一轮总复习专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理

专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．题型二函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三函数的值域问题命题点1 求函数的值域典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为．【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+；第二步对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167，故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________．【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为．【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数．解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数，函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去）或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________．【答案】()1,4题型四求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式．【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．题型三分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1）若1k =，求函数()f x 的定义域（2）若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1）若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2）若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。

2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第2章节函数的概念

继续学习
继续学习
数学
题型全突破 8
第二章·第七讲函数模型及其应用
继续学习
数学
题型全突破 9
第二章·第七讲函数模型及其应用
返回目录
数学
题型全突破 9
第二章·第七讲函数模型及其应用
返回目录
数学
题型全突破 11考法3ຫໍສະໝຸດ 分段函数模型第二章·第七讲
函数模型及其应用
考法指导 1.分段函数中每一段自变量变化所遵循的规律不同,在应用时,可以先
在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此,总会存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.
对数函数y= logax(a>1)
幂函数y= xn(n>0)
先慢后快,爆炸式先快后慢,增长平介于指数函数与对数函
增长
缓
数之间,相对平稳
随x值的增大,图随x值的增大,图象随n值的不同而不同
象与y轴接近平行与x轴接近平行
继续学习
数学
知识全通关 3
第二章·第七讲函数模型及其应用
2.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
返回目录
知识全通关
数学
知识全通关 1
第二章·第七讲考点一常见的函数模型
函数模型及其应用
继续学习
数学
知识全通关 2

2018年高三最新河北省2018届高考数学一轮复习知识点

函数的单调性时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2018·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选A.答案：A 2．(2018·辽宁高考)已知偶函数f (x )在区间是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞)解析：由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a <00<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0，解得1<a <3.故选B.答案：B5．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>0解析：答案：D 6．(2018·河南六市一模)奇函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，f (2)＝0，则不等式(x －1)f (x ＋1)>0的解集为 ( )A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－3，－1)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：奇函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间 (0，＋∞)上单调递减，由f (2)＝0得f (－2)＝0，则不等式(x －1)f (x ＋1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，－2<x ＋1<0或x ＋1>2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，0<x ＋1<2或x ＋1<－2，其解集为(－3，－1)，故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7．函数y ＝ln 1＋x1－x的单调递增区间是__________．解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需1＋x1－x>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1,1)上的递增区间，由于u ′(x )＝(1＋x1－x)′＝2(1－x )2>0.故函数u (x )＝1＋x 1－x在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．答案：(－1,1)8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是__________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)x 2－3x (x ≤0)图1作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：当x ∈(0，12)时，0<2x 2＋x <1，又f (x )>0，则0<a <1.由2x 2＋x >0，解得：x <－12或x >0，则f (x )的递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．(2018·湖南高考)已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵a >0且a ≠1，要使f (x )有意义，只需3－ax ≥0，即x ≤3a.∴x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，3a ； (2)若a ＝0，f (x )＝－3不合题意；若a <0，y ＝3－ax 是(0,1]上的增函数，且a －1<0， ∴f (x )是(0,1]上的减函数；若a >0，∵y ＝3－ax 是(0,1]上的减函数，故需a －1>0，∴a >1，另一方面，f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a ， ∴3a≥1，∴a ≤3，∴a ∈(1,3]．综上知a ∈(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答题(共50分)11．(15分)已知函数f (x )＝xx 2＋1(x ∈R )，求f (x )的单调区间，并加以证明．解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x 1<x 2，分析f (x 1)－f (x 2)的符号，由此找出单调增区间与单调减区间．∵f (x )＝xx 2＋1(x ∈R )是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f (x )的单调区间即可．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 22＋1).∵x 21＋1>0，x 22＋1>0，x 2－x 1>0，而x 1，x 2∈(0,1)时，x 1x 2－1<0； x 1，x 2∈上是减函数．又x ∈上恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在(－1,1)上是增函数．综上知，函数f (x )在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和即在(－∞，－1]和和．13．(20分)已知函数f (x )＝ln x －x －1x.(Ⅰ)判定函数f (x )的单调性；(Ⅱ)设a >1，证明：ln a a －1<1a.解：(Ⅰ)∵f ′(x )＝1x －x －(x －1)·12x x＝1x －2x －(x －1)2x x ＝1x －x ＋12x x ＝2x －x －12x x ＝－(x －1)22x x.又∵函数f (x )的定义域为x >0， ∴－(x －1)22x x≤0，而在(0，＋∞)上，只有当x ＝1时，f ′(x )＝0， ∴f (x )是定义域上的减函数．(Ⅱ)由(Ⅰ)f (x )是定义域上的减函数， ∴当a >1时，f (a )<f (1)，即ln a －a －1a <0，即ln a <a －1a，又∵a －1>0，∴ln a a －1<1a成立．。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章函数、导数及其应用 2.7 精品

x
所以选项A,C不正确.
当x∈(-1,0)时,g(x)=x- 是1 增函数,
x
因为y=lnx是增函数,
所以函数f(x)=ln(x- 1)是增函数.所以D不正确,B正确.
x
命题方向2:借助实际情景探究函数图象【典例3】(2015·全国卷Ⅱ)如图,长方形ABCD的边 AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x), 则f(x)的图象大致为 ( )
y=f(2x)的图象的对称轴是 ( )
Hale Waihona Puke A.x=1B.x=-1
C.x=- 1
2
D.x= 1
2
【解析】选D.因为函数y=f(2x+1)是偶函数,所以其图
象关于y轴对称,而函数y=f(2x)的图象是将函数y=f(2x
+1)的图象向右平移 1 个单位,所以对称轴也向右平移
2
1 个单位,所以函数y=f(2x)的图象的对称轴为x= 1 .
【特别提醒】 1.函数对称的重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x) =f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
对于B:T<2π,故a>1,所以函数y=ax是增函数,故错;
对于C:T=2π,故a=1,故错;
对于D:T>2π,故a<1,所以y=ax是减函数,正确.
4.(2016·聊城模拟)如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦AP的长为x,△APO的面积为y, 则下列选项中,能表示y与x的函数关系的大致图象是

2018高考数学知识点复习：函数

2018 年高考数学知识点复习：函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
指数函数 y=a^x
a^a*a^b=a^a+b（a0,a 、b 属于 Q ）
（a^a ）^b=a^ab （a0,a 、b 属于 Q）
（a b ）^a=a^a*b^a （a0,a 、b 属于 Q）
指数函数对称规律：
1、函数 y=a^x与 y=a^-x关于 y 轴对称
2、函数 y=a^x与 y=-a^x关于 x 轴对称
3、函数 y=a^x与 y=-a^-x关于坐标原点对称对数函数 y=loga^x
假如，且，那么：
○1?+;
○2-;
○3.
注意：换底公式
（，且；，且；）。

幂函数 y=x^a （a 属于 R）
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，此中为常数。

2、幂函数性质归纳。

（1）全部的幂函数在（0，+∞）都有定义而且图象都过点（1 ，1）；
（2）时，幂函数的图象经过原点，而且在区间上是增函数。

特
别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数。

在第一象限内，当
从右侧趋势原点时，图象在轴右方无穷地迫近轴正半轴，当趋于时，
图象在轴上方无穷地迫近轴正半轴。

精心整理，仅供学习参照。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章函数、导数及其应用 2.6 精品

称,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值为
.
【解题导引】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较. (2)先利用幂函数的单调性求出m的取值范围,再利用函数的对称性确定m的值.
【规范解答】(1)选B.因为y= x52在第一象限内为增
函数,所以
a
(
3
)
2 5
c因 (为2 )y52，=
5
5
所以
c
(
2
)
(2)图象与性质: 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域单调性
_[_4_a_c4_a_b_2_,___) 在x∈_[__2ba__, __)__
上单调递增在x∈_(___, __2b_a _] _
上单调递减
C.2
D.-2
4
4
【解析】选A.设幂函数f(x)=xα(α为常数),
由题意得 3 (解1 )得，α=
1，
33
2
所以f(x)= x12，所以log9f(3)=
1
log9 32
1. 4
【加固训练】 1.(2016·西安模拟)函数y= 3 x的2 图象大致是( )
【解析】选C.y= 3 x2 其x 23，定义域为x∈R,排除A,B, 又0<2 <1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.
所以3a=3,a=1. 所以所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 答案:f(x)=x2-4x+3

2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第二章节函数的概念

忽略对底数a的分类讨论而出错示例7 已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数的值域. 错因分析忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a>1时,如果x≥0,那么t≥1(t=ax);(2)当 0<x<1时,如果x≥0,那么0<t≤1(t=ax). 解析 y=a2x+2ax-1,令t=ax, 则y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,∵x≥0,∴t≥1,∴当a>1时,y≥2. 当0<a<1时,∵x≥0,∴0<t≤1. ∵g(0)=-1,g(1)=2, ∴当0<a<1时,-1<y≤2. 综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+∞); 当0<a<1时,函数的值域是(-1,2].
2.幂函数与指数函数的区别
式子
名称常数
xy
指数函数y=ax
a为底数,a>0且a≠1 指数幂值
幂函数y=xα
α为指数,α∈R
底数幂值
继续学习
数学
知识全通关 7
第二章·第四讲指数与指数函数
2.指数函数的图象和性质
底数图象
性质
a>1
0<a<1
函数的定义域为R,值域为(0,+∞) 函数图象过定点(0,1),即x=0时,y=1
继续学习
数学
题型全突破 5
第二章·第四讲指数与指数函数
考法示例2 已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称,则实数a的值是
.
思路分析
解析解法一由于函数图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以2|x+a|=2|-x+a|.根据指数函数的单调性可知,|x+a|=|-x+a|,只有当a=0时,等式恒成立.故填0.

2018年最新高考数学考点总结

18年高考数学考点总结一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳

备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题19 把你的知识综合起来

2018高考复习数学第一轮 第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

2018届高考数学一轮复习2.3

最新-2018届高考数学一轮复习 第4讲函数及其表示课件 理 新人教课标A版 精品

2018年高三最新 河北省2018届高考数学一轮复习知识点攻破习题：三角函数的概念 精品

2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3. 1三角函数

(word完整版)2018高考一轮复习导数专题

2018届高考数学第一轮复习的重点总结

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.1 精品

2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理

2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第2章节 函数的概念

2018年高三最新 河北省2018届高考数学一轮复习知识点

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.7 精品