(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
(完整word版)多位数乘法口算巧算
乘法口算巧算技法两位数乘法1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？解:1×1=12+4=62×4=812×14=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
2.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？解：2+1=32×3=63×7=2123×27=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
4.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=8615.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=254375 注：和满十要进一。
6.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×467=？解：13个位是33×4+6=183×6+7=253×7=2113×467=6071注：和满十要进一。
7.多位数乘以多位数口诀：前一个因数逐一乘后一个因数的每一位，第二位乘10倍，第三位乘100倍……以此类推例：33*132=？33*1=3333*3=9933*2=6699*10=99033*100=330066+990+3300=435633*132=4356注：和满十要进一。
数学中关于两位数乘法的“首同末和十”和“末同首和十”速算法。
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法_概述说明以及解释
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述引言部分将总体介绍本篇文章的研究主题和方法。
本文将探讨最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，这两种方法旨在通过拟合数据来寻找变量间的关系，并用于预测和估计未来的趋势。
最小二乘法是一种常见且广泛应用的回归分析方法，而Theil-Sen趋势估计方法是一种鲁棒性更强的非参数统计方法。
1.2 文章结构引言部分还需要简要描述整篇文章的结构以供读者参考。
本文包含以下几个主要部分：引言、最小二乘法、Theil-Sen趋势估计方法、对比与对比分析、结论与展望。
每个部分将详细说明相关概念、原理及其在实际应用中的特点。
1.3 目的引言部分还需明确指出本文的目的。
本文旨在比较和对比最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，评估它们在不同场景下的优缺点，并为读者提供选择适当方法进行数据拟合和趋势预测的依据。
此外，我们也会展望未来这两种方法的改进和应用领域扩展的可能性。
以上为“1. 引言”部分的详细清晰撰写内容。
2. 最小二乘法:2.1 原理介绍:最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于寻找一个函数（通常是线性函数）来逼近已知数据点的集合。
其基本原理是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和，寻找到使得残差最小化的系数，并将其作为估计值。
利用最小二乘法可以得到拟合直线、曲线或者更复杂的函数来描述数据点之间的关系。
2.2 应用场景:最小二乘法广泛应用于各种领域和行业，包括经济学、社会科学、物理学等。
例如，在经济学中，最小二乘法可以用于研究变量之间的关系以及预测未来趋势。
在工程领域，它可以用于建立模型并进行参数估计。
2.3 优缺点分析:最小二乘法具有以下优点：- 算法简单易行：只需要对数据进行简单处理即可求解出最佳拟合曲线。
- 表示能力强：可以适应不同类型函数的拟合。
- 结果一致性较好：针对相同数据集，得到的结果通常是一致的。
然而，最小二乘法也存在一些缺点：- 对异常值敏感：在数据集中存在离群值时，会对拟合曲线产生较大影响。
最小二乘估计的特点
最小二乘估计的特点
1.理论上可行：最小二乘估计是一种基于数学原理的估计方法，其在理论上是可行的。
通过求解模型中的估计参数，可以得到最小化残差平方和的最优解。
2. 适用性广泛：最小二乘估计可以应用于各种类型的模型，包
括线性模型、非线性模型、多元模型等。
此外，该方法还可以用于处理有误差的测量数据，例如测量误差、观测误差等。
3. 稳健性强：最小二乘估计对于数据的异常值比较敏感，但是
可以通过使用一些统计方法来提高其稳健性，例如加权最小二乘估计、岭回归、lasso回归等。
4. 计算简单：最小二乘估计的计算比较简单，可以通过求解线
性方程组来得到估计参数的解。
此外，在计算过程中还可以使用矩阵运算来加速计算速度。
5. 非唯一性：最小二乘估计中，存在多组参数估计值可以使残
差平方和最小化。
此时需要根据实际情况来选择最合适的估计结果。
总之，最小二乘估计是一种非常重要的估计方法，在各种领域都有着广泛的应用。
它的特点包括理论可行、适用性广泛、稳健性强、计算简单和非唯一性等。
- 1 -。
最小二乘估计的特点
最小二乘估计的特点最小二乘估计是一种常用的数学工具，用于研究多元线性回归等问题。
它的特点包括可解性、稳定性、无偏性和最优性等方面，下面将就这些特点进行详细阐述。
可解性最小二乘估计是一种易于实现的算法，其可解性是其显著优势之一。
以线性最小二乘为例，其求解只需要对原始数据进行简单的矩阵运算即可得到解析解。
对于比较大规模的数据，使用数学软件也可以快速求解。
因此，最小二乘估计在数据科学领域得到了广泛应用。
稳定性最小二乘估计在一定条件下具有很好的稳定性。
其所谓稳定性是指当数据的测量误差较小或多样本的样本量较大时，能够得到较为稳定的估计结果。
这是因为最小二乘估计所依赖的假设条件比较强，尤其是在存在离群点（outlier）的情况下易出现不切实际的结果。
因此，在使用最小二乘估计时，应当对数据进行适当的处理，以提高结果的可靠性。
无偏性最小二乘估计在一定条件下是无偏的。
所谓无偏性是指，对于不同的样本数据，其所得到的估计结果在统计意义上是相等的。
这是因为该方法所得到的估计量在数学上是对真实参数的有效估计，不对误差产生任何影响。
最优性最小二乘估计在一定条件下是最优的。
所谓最优性是指，在满足一定条件的情况下，该方法所得到的估计结果在所有无偏估计方法中具有最小的方差，即具有最小的均方误差（MSE）。
在满足高斯-马尔科夫假设的情况下，线性最小二乘估计是最优的无偏估计。
这也是最小二乘估计被广泛应用的原因之一。
总体性质最小二乘估计还有一个重要的优点，即其可应用于总体参数的估计。
所谓总体参数是指，对于一个群体或大型数据集，除了我们观察到的样本之外，其中还存在其他数据。
最小二乘法能够基于我们从样本中获得的信息，推断出这些数据的一些特性，即总体参数。
这使得最小二乘法在大样本时的应用得以实现，从而可以对总体参数进行有效估计。
综上所述，最小二乘估计具有可解性、稳定性、无偏性和最优性等显著特点，在解决线性回归等问题时具有很好的应用前景。
然而，使用最小二乘估计也存在一些限制，比如数据的假设条件比较严格，存在离群点时易出现不切实际的结果等，因此，在使用最小二乘估计时应当对数据进行适当的处理，以提高结果的可靠性。
系统辨识之最小二乘
写成矩阵的形式为：
Y = Fq + e
3.6
é - y(n)
- y(n -1) … - y(1) u(n) … u(1) ù
F
=
ê ê ê
-
y(n "
-1)
- y(n) "
… - y(2)
u(n +1)
…
u(2)
ú ú
…"
" # "ú
êë- y(n + N ) - y(n + N -1) ! - y(N ) u(n + N ) ! u(N )úû
q = F -1y
如果噪声x ¹ 0，则 q = F-1y - F-1x
从上式可以看出噪声 x 对参数估计有影响，为了尽量减小噪声 x 对q 估值的影响，应取 N>(2n+1), 即方程数大于未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的办法来求q ，而要采用数理统计的办法， 以便减小噪声对q 估值的影响。在给定输出向量 y 和测量矩阵 F 的条件下求系统参数q 的估值，这 就是系统辨识问题。可用最小二乘法来就q 的估值。
在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要求解其函数解析式。
一种方法是采用插值逼近法，即所构造的近似函数 f (x) 在已知节点 xi 上必须满足 f(xi) = yi 要求逼 近函数 f (xi) 与被逼近函数 f (x) 在各已知点 xi 处的误差为零，即要求 f (x) 的曲线必须通过所有的
取泛函 J (q )为
N
å å J (q ) = (Y - Fq )2 = e2 (n + i) = eT • e = (Y - Fq )T (Y - Fq ) i =1
各种最小二乘算法总结
各种最小二乘算法总结1. 一般最小二乘法例 1 考虑如下仿真对象z k 2 1.5 z k 1 0.7 z k u k1 0.5u k v k 其中，v k 为服从N 01 分布的白噪声。
输入信号u k采用M 序列，幅度为1。
M 序列由9 级移位寄存器产生，xi xi 4⊕xi 9 。
选择如下的辨识模型z k 2 a1 z k 1 a2 z k b1u k 1 b2u k vk 观测数据长度取L 400 。
加权阵取∧I 。
1.1. 一次计算最小二乘算法a1 -1.4916 θ LS a 2 H T H 1 H T Z 0.7005 1.1 L L L L 1.0364 b10.4268 b2 Z 3 hT 3 Z 2 Z 1 u 2 u 1 T其中，Z L Z 4 ，H h 4 Z 3 Z 2 u3 u 2 ... L ... ... ... ... ... Z 402 hT 402 Z 401 Z 400 u 401 u 400Matlab程序见附录1。
1.2. 递推最小二乘算法递推最小二乘算法公式：θ k θ kK k P k 1hk h k P k 1hk 1.2 ∧k Pk I K k h k Pk 11 K k z k h k θ k 1 1 13 盛晓婷最小二乘算法总结报告a1 3 初始条件θ 0 a 2 3 P0 100I 。
3 4×4 b1 3 b2经过编程计算，各个参数的估计值为a1 -1.4976 a2程序见附录2。
待估参数0.6802θ LS 1.0284 1.3 b1 0.3341 b2Matlab过渡过程 3 2.5 2 1.5 b1 1 a2 0.5 0 b2 -0.5 -1 a1 -1.5 -2 0 50 100 150200 250 300 350 400 450 图 1 一般最小二乘参数过渡过程 4 盛晓婷最小二乘算法总结报告估计方差变化过程100908070605040302010 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 图2 一般最小二乘方差变化过程 5 盛晓婷最小二乘算法总结报告 2.遗忘因子最小二乘算法采用的辨识模型与例1相同。
(完整word版)计算方法总结(word文档良心出品)
第一章：基本概念1. 12...1 2...1.m m m m n m n x x x x x x x x +++++=±1 2...1 2....m m m m n x x x x x x x +++=±若1102nx x --≤⨯，称x 准确到n 位小数，m n x +及其以前的非零数字称为准确数字。
各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。
2. 1 2...()0.lt f x x x x x β==±⨯进制：β，字长：t ，阶码：l ，可表示的总数：12(1)(1)1t U L ββ-⨯-+⨯-+3.计算机数字表达式误差来源实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。
4. 数据误差影响的估计：121(,,...)nn i i x x x y y x x ϕ∂-≤∆∂∑121(,,...)nn ii i y y x x x x x y x y ϕδ-∂≤∂∑，小条件数。
解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。
避免小除数大乘数。
5.算法的稳定性若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。
第二章：解线性代数方程组的直接法1.高斯消去法步骤：消元过程与回代过程。
顺利进行的条件：系数矩阵A 不为零；A 是对称正定矩阵，A 是严格对角占优矩阵。
2.列主元高斯消去法失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。
解决：在消去过程的第K 步，交换主元。
还有行主元法，全主元法。
3.三角分解法杜立特尔分解即LU 分解。
用于解方程LY bAX b LUX b UX Y =⎧=→=→⎨=⎩；用于求1122...nn A LU L U U u u u ====。
克罗特分解：11()()A LU LDD U LD D U --===，下三角阵和单位上三角阵的乘积。
将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。
(完整word版)2003版系统辨识最小二乘法大作业
西北工业大学系统辩识大作业题目：最小二乘法系统辨识一、 问题重述：用递推最小二乘法、加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法辨识如下模型的参数离散化有z^4 - 3.935 z^3 + 5.806 z^2 - 3.807 z + 0.9362---------------------------------------------- =z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187噪声的成形滤波器离散化有4.004e-010 z^3 + 4.232e-009 z^2 + 4.066e-009 z + 3.551e-010-----------------------------------------------------------------------------=z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187采样时间0.01s要求：1.用Matlab 写出程序代码；2.画出实际模型和辨识得到模型的误差曲线；3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线；最小二乘法:在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态 ,静态 , 线性 ,非线性系统。
在使用最小二乘法进行参数估计时 ,为了实现实时控制 ,必须优化成参数递推算法 ,即最小二乘递推算法。
这种辨识方法主要用于在线辨识。
MATLAB 是一套高性能数字计算和可视化软件 ,它集成概念设计 ,算法开发 ,建模仿真 ,实时实现于一体 ,构成了一个使用方便、界面友好的用户环境 ,其强大的扩展功能为各领域的应用提供了基础。
对于一个简单的系统 ,可以通过分析其过程的运动规律 ,应用一些已知的定理和原理,建立数学模型 ,即所谓的“白箱建模 ”。
但对于比较复杂的生产过程 ,该建模方法有很大的局限性。
由于过程的输入输出信号一般总是可以测量的 ,而且过程的动态特性必然表现在这些输入输出数据中 ,那么就可以利用输入输出数据所提供的信息来建立过程的数学模型。
最小二乘法
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘法回归的做法是首先在自变量集中提取第一潜因子t1(t1是 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息，比如第一主分量)；同时，在因变量集中也提取第一潜因u1(u1为的线性组合)，并要求t1和u1相关程度达到最大。然后建立因变量Y与t1的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法终止。否则继续进行第二轮潜在因子的提取，直到能达到满意的精度为止。若最终对自变量集提取1个潜因子的回归式，然后再表示为Y与原自变量的回归方程式。
最后，将还原成为Y * 关于x * = Eoj的回归方程形式，即，
就得到了顾客满意度指数测评模型。
运用偏最小二乘法对顾客满意度指数进行估计和评析，能较好地估计出顾客满意度测评模型，从而帮助企业发现企业运行中的薄弱环节，对复杂多变的市场了如指掌，推动企业经营体制和机制的改革，帮助企业制定正确的发展战略和市场政策。
三、偏最小二乘法在顾客满意度指数中的运用
对于包含隐变量的结构方程模型，目前最经常使用的估计方法是PLS方法和LISP,EL方法。
最优化条件求解最小二乘方程
最优化条件求解最小二乘方程
最小二乘法是一种常用的优化方法，用于求解最优拟合问题。
它被广泛应用于各个领域，包括统计学、经济学、工程学等等。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合曲线或平面。
在使用最小二乘法求解问题时，首先需要确定一个数学模型，然后通过收集实际观测数据，将模型与观测数据进行比较。
接下来，使用最小二乘法的优化条件，对模型进行调整，使得模型与观测数据之间的误差最小化。
最小二乘法的优化条件可以通过求解导数为零的方程来得到。
这个方程通常是一个线性方程组，可以通过求解线性方程组来获得最小二乘法的最优解。
在求解线性方程组的过程中，可以使用各种数值方法，如高斯消元法、LU分解法等等。
最小二乘法的优势在于它是一种数学上严格的方法，可以得到精确的结果。
然而，最小二乘法也有一些限制，比如对于非线性模型，最小二乘法可能无法得到全局最优解，而只能得到局部最优解。
除了最小二乘法，还有一些其他的优化方法，如遗传算法、粒子群算法等等。
这些方法有着不同的优势和适用范围，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法。
在实际应用中，最小二乘法可以用于拟合曲线、回归分析、参数估
计等等。
通过最小二乘法，可以得到模型的参数估计值，并评估参数估计的精度。
这对于科学研究和工程设计都具有重要意义。
最小二乘法是一种常用的优化方法，它通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合曲线或平面。
通过求解导数为零的方程，可以得到最小二乘法的优化条件。
最小二乘法在各个领域都有广泛的应用，是一种重要的数学工具。
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计 算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和 为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值ˆ ，使得各次测量 的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1
eigen_最小二乘法_滤波__解释说明
eigen 最小二乘法滤波解释说明1. 引言1.1 概述在数据处理和信号处理领域，我们经常需要对数据进行优化和滤波处理以提高数据的质量和可靠性。
其中，eigen最小二乘法是一种常用的数据优化方法之一，而滤波则是一种常用的数据处理技术。
本文将重点介绍eigen最小二乘法和滤波的原理、方法及其在实际中的应用。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分进行阐述。
首先进入引言部分，概述本文涉及到的主要内容，并且给出文章结构。
接下来会详细介绍eigen算法的原理、特点以及使用示例；然后解释最小二乘法的原理介绍、求解方法以及实际应用场景；之后会对滤波方法进行概述，包括常见滤波器的介绍和滤波器性能评估指标；最后通过对eigen算法、最小二乘法和滤波方法进行总结与说明，讨论它们之间的关系、作用，并给出具体应用实例分析。
最后我们对未来发展进行了展望。
1.3 目的本文旨在全面掌握eigen最小二乘法和滤波方法相关的理论知识，并深入了解它们在实际应用中的作用和效果。
通过文章内容的阐述，读者能够理解eigen 最小二乘法的原理、特点和使用方法；掌握最小二乘法的基本原理、求解方法以及实际应用场景；了解滤波方法的概念、常见滤波器和性能评估指标。
同时，通过具体的应用实例分析，读者能够将所学知识运用到实际工程中，并对未来发展趋势有所预见。
2. eigen算法2.1 算法原理eigen算法是一种用于解决特征值和特征向量的数值计算方法。
它使用了矩阵的特殊性质，如对称性和正交性来加快计算速度并减少计算误差。
该算法通过迭代过程不断逼近最终结果，在每一次迭代中，利用特征向量的线性组合和特征值的更新来逼近原始矩阵。
这样，通过多次迭代，可以得到准确的特征值和对应的特征向量。
2.2 特点与优势eigen算法具有以下几个特点与优势：- 高效：由于采用了迭代方法，可以有效地加快计算速度并节省计算资源。
- 精确：eigen算法能够在较短时间内给出准确的特征值和特征向量的估计结果。
递推最小二乘辨识解读共36页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ谢谢！
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
递推最小二乘辨识解读
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合_概述说明以及解释
最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述说明以及解释引言部分的内容：1.1 概述本文旨在介绍最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合。
旋转四元数是一种用于表示三维空间中旋转变换的数学工具，而相对旋转四元数集合则是一组连续变化的旋转变换序列。
通过最小二乘法，我们可以将这个相对旋转四元数集合拟合成一组连续变化的曲线，进而利用这个曲线来描述和模拟实际应用场景中的旋转变换。
1.2 文章结构本文分为五个部分，如下所示：第一部分是引言部分，主要包括概述、文章结构和目的。
第二部分是最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述，详细介绍了最小二乘法和旋转四元数的基本概念以及相对旋转四元数集合的应用场景。
第三部分是最小二乘法拟合相对旋转四元数的原理解释，探讨了最小二乘法在曲线拟合中的应用，并说明了如何将旋转四元数集合拟合成一组连续变化的曲线，并解释了算法的步骤。
第四部分是实验结果与讨论，介绍了数据收集和处理方法，并对最小二乘法拟合相对旋转四元数的结果进行了分析和评价。
同时，对实验结果进行了讨论和解释，深入探讨了其应用的效果和局限性。
最后一部分是结论与展望，总结了本文的研究发现，提出了研究的局限性和改进方向，并展望了未来的工作方向。
1.3 目的本文的目的是介绍最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合及其应用。
通过详细解释最小二乘法在曲线拟合中的原理，并结合旋转四元数集合的特点，探索如何将其拟合成连续变化曲线。
通过实验结果与讨论，评估该方法在模拟旋转变换过程中的可行性和有效性。
最后，在结论与展望中总结研究结果，并提出未来研究工作的展望。
2. 最小二乘法拟合相对旋转四元数的集合概述2.1 什么是最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数学优化方法，通过最小化误差的平方和来拟合数据。
它在很多领域中被广泛应用，包括曲线拟合、回归分析等。
2.2 旋转四元数的基本概念：旋转四元数是一种表示三维空间中旋转的数学工具，由实部和虚部构成。
它们可以用来描述物体在三维空间中的姿态变化，并且能够保持旋转操作的代数特性。
常用算法分析——最小二乘法
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
系统辨识之最小二乘
设
n
x (k) = n(k) + å ain(k - i) i =1
（4）
则式（3）可以写成
y(k) = -a1y(k -1) -!- an y(k - n) + b0u(k) + b1u(k -1) +!+
bnu(k - n) + x (k)
(5)
在测量 u(k) 时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。因此假定
ê ê
y(n
+
2)
ú ú
=
ê ê
- y(n + 1)
ê!úê
"
! - y(2)
u(n + 2)
u(2)
ú ú
´
"
"
"ú
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y(n
+
N
)úû
êë- y(n + N -1) ! - y(N ) u(n + N ) u(N )úû
éa1 ù
ê ê
!
êêêbb0n
ê! ê
ú ú ú ú ú ú ú
+
é x (n + 1) ù
个方程，即
y(n +1) = -a1 y(n) - a2 y(n -1) -!- an y(1) + b0u(n +1) + b1u(n) + !+ bnu(1) + x (n +1) y(n + 2) = -a1 y(n +1) - a2 y(n) -!- an y(2) +
b0u(n + 2) + b1u(n +1) +!+ bnu(2) + x (n + 2)
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第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (2)一：RLS遗忘因子法 (2)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (2)遗忘因子法的特点： (3)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (5)三：RFM限定记忆法 (5)仿真思路和辨识结果 (5)RFM限定记忆法的特点： (7)四：RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点： (11)六：RGLS广义最小二乘法 (12)仿真思路和辨识结果 (12)RGLS广义最小二乘法的特点： (14)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (16)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (17)仿真思路和辨识结果 (17)Cor-ls相关最小二乘法（二步法）特点： (18)九：MLS多级最小二乘法 (19)仿真思路和辨识结果 (19)MLS多级最小二乘法的特点： (22)十：yule_walker辨识算法 (23)仿真思路和辨识结果 (23)yule_walker辨识算法的特点： (24)第二部分：matlab程序 (24)一：RLS遗忘因子算法程序 (24)二：RFF遗忘因子递推算法 (26)三：RFM限定记忆法 (28)四：RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (31)五：RELS增广最小二乘的递推算法 (33)六;RGLS 广义最小二乘的递推算法 (36)七：Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (39)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (42)九：MLS多级最小二乘法 (45)十yule_walker辨识算法 (49)第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中， v(k )为服从N(0,1)分布的白噪声。
输入信号u(k)采用M 序列，幅度为 1。
M 序列由 9 级移位寄存器产生，x(i)=x(i-4)⊕x(i-9)。
选择如下辨识模型：加权阵取Λ=I。
衰减因子β = 0.98，数据长度 L = 402。
辨识结果与理论值比较，基本相同。
辨识结果可信：Estimate =-1.46660.65030.97360.3035遗忘因子法的特点：对老数据加上遗忘因子，以降低老数据对辨识的影响，相对增加新数据对辨识的影响，不会出现“数据饱和”现象。
如模型噪声是有色噪声，则Ø是有偏估计量。
常用作其他辨识方式的起步，以获得其他方式的初始值。
二：RFF遗忘因子递推算法仿真思路和辨识结果辨识模型与遗忘因子法所用模型相同。
其中， 0 ≤µ≤1为遗忘因子，此处取0.98。
数据长度L=402，初始条件：参数a1 a2 b1 b2的估计值:ans =-1.49770.68631.19030.4769待估参数变化过程如图所示：遗忘因子递推算法的特点：从上面两个例子可以看出对于相同的仿真对象，一次算法和递推算法结果基本一致，但递推算法可以实现在线实时辨识，而且可以减少计算量和存储量。
三：RFM限定记忆法仿真思路和辨识结果辨识模型与遗忘因子法所用模型相同。
辨识结果与理论值比较，基本相同。
辨识结果可信：参数 a1 a2 b1 b2 的估计值为：Theta_a =-1.51280.70990.83930.4416待估参数的过渡过程如下：RFM限定记忆法的特点：辨识所使用的数据长度保持不变，每增加一个新数据就抛掉一个老数据，使参数估计值始终只依赖于有限个新数据所提供的新消息，克服了遗忘因子法不管多老的数据都在起作用的缺点，因此该算法更能有效的克服数据饱和现象。
四：RCLS偏差补偿最小二乘法仿真思路和辨识结果辨识模型与遗忘因子法所用模型相同。
辨识结果与理论值比较，基本相同。
辨识结果可信：参数a1 a2 b1 b2的估计值为：ans =-1.49160.70051.03650.4271RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点：算法思想：：在最小二乘参数估计值的基础上，引进补偿项σW2C-1D Ø0，则获得了参数的无偏估计。
针对模型噪声来说，RCLS算法的适应能力比RLS更好。
五：增广最小二乘法仿真思路和辨识结果考虑如下仿真对象：其中，为服从N(0,1)分布的白噪声。
输入信号采用 M 序列，幅度为 1。
M 序列由 9 级移位寄存器产生，x(i)=x(i-4)⊕x(i-9)。
选择如下的辨识模型：观测数据长度取L =402 。
加权阵取Λ=I。
辨识结果与理论值比较，基本相同，同时又能获得噪声模型的参数估计。
辨识结果可信：参数a1、a2、b1、b2、d1、d2估计结果：ans =-1.50000.70001.00010.5002-0.99990.2000RELS增广最小二乘递推算法的特点：增广最小二乘的递推算法对应的噪声模型为滑动平均噪声，扩充了参数向量和数据向量H（k）的维数，把噪声模型的辨识同时考虑进去。
最小二乘法只能获得过程模型的参数估计，而增广最小二乘法同时又能获得噪声模型的参数估计，若噪声模型为平均滑动模型，，则只能用RELS算法才能获得无偏估计。
当数据长度较大时，辨识精度低于极大似然法。
六：RGLS广义最小二乘法仿真思路和辨识结果模型结构选择：模型结构选用：其中，各个参数的真值为：广义最小二乘算法为：辨识结果与理论值比较，基本相同，同时又能获得噪声传递系数的参数估计。
辨识结果可信：参数a1 a2 b1 b2的估计结果：ans =-1.50580.69720.93160.4833噪声传递系数c1 c2的估计结果：ans =0.62030.2210RGLS广义最小二乘法的特点：该算法用于自回归输入模型，是一种迭代的算法。
其基本思想是基于对数据先进行一次滤波处理，后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识，进而获得无偏一致估计。
但是当过程的输出信噪比比较大或模型参数较多时，这种数据白色化处理的可靠性就会下降，辨识结果往往会是有偏估计。
数据要充分多，否则辨识精度下降。
模型阶次不宜过高。
初始值对辨识结果有较大影响。
七：RIV辅助变量法仿真思路和辨识结果辨识模型与遗忘因子法所用模型相同,只不过此处噪声为有色噪声，产生过程为：e(k)=v(k)+0.5v(k-1)+0.2v(k-2),v(k)为0均值的不相关随机噪声。
按照Tally法选取辅助变量x(k)=z(k-n d), n d为误差传递函数的阶数，此处为2.则有辅助变量法的递推公式可写成：辨识结果与理论值比较，基本相同。
辨识结果可信：参数a1 a2 b1 b2的估计结果：ans =-1.53140.74610.99990.4597RIV辅助变量法的特点：适当选择辅助变量，使之满足相应条件，参数估计值就可以是无偏一致。
估计辅助变量法的计算量与最小二乘法相当，但辨识效果却比最小二乘法好的多。
尤其当噪声是有色的，而噪声的模型结构又不好确定时，增广最小二乘法和广义最小二乘法一般都不好直接应用，因为他们需要选用特定的模型结构，而辅助变量法不需要确定噪声的模型结构，因此辅助变量法就显得更为灵活，但辅助变量法不能同时获得噪声模型的参数估计。
八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法）仿真思路和辨识结果辨识模型与遗忘因子法所用模型相同：，e(k)=v(k)+0.5v(k-1)+0.2v(k-2),v(k)为0均值的不相关随机噪声。
Cor-ls的递推公式可写成:其中：，M（k）为输入M序列。
初始条件：辨识结果与理论值比较，基本相同，辨识结果可信：参数a1 a2 b1 b2的估计结果：ans =-1.48960.68581.01680.4362Cor-ls相关最小二乘法（二步法）特点：把辨识分成两步进行：第一步：利用相关分析法获得对象的非参数模型（脉冲响应或相关函数）；第二步：利用最小二乘法、辅助变量法或增广最小二乘法等，进一步求的对象的参数模型。
如果模型噪声与输入无关，则Cor-ls相关最小二乘法（二步法）可以得到较好的辨识结果。
Cor-ls相关最小二乘法（二步法）实质上是先对数据进行一次相关分析，滤除了有色噪声的影响，再利用最小二乘法必然就会改善辨识结果。
能适应较宽广的噪声范围，计算量不大，初始值对辨识结果影响较小。
但要求输入信号与噪声不相关。
九：MLS多级最小二乘法仿真思路和辨识结果仿真对象如下:其中，u (k)是输入变量，此处为 M 序列；v (k ) 是零均值、方差为 1 的不相关随机噪声，通过控制λ的大小来控制信噪比。
辨识模型结构选用:其中，辨识过程如下：第一级，辅助模型参数辨识原模型可写为:利用最小二乘法可获得辅助模型的参数无偏一致估计值:数据长度 L=400，第二级，过程模型参数辨识:根据最小二乘算法可以获得过程模型的参数估计值为:第三级，噪声模型参数辨识:根据最小二乘算法可以获得过程模型的参数估计值为辨识结果与理论值比较，基本相同。
辨识结果可信：第一级辅助模型参数 e1 e2 e3 e3 e4 f1 f2 f3 f4 辨识结果：E =1.90621.44540.52790.0613-0.00260.7988-0.8694-1.3037-0.6318第二级过程模型参数 a1 a2 a3 b1 b2 辨识结果：E2 =0.93040.15960.01130.7998-1.6502第三级噪声模型参数 c1 c2 辨识结果：E3 =0.97500.3824MLS多级最小二乘法的特点：当信噪比较大时，采用广义最小二乘法可能会出现多个局部收敛点，解决这个问题的方法可用多级最小二乘法，一般来说多级最小二乘法包含三级辨识过程。
利用输入输出数据，通过多级最小二乘法，可分别求的辅助模型，过程模型和噪声模型的参数估计值。
在高噪声的情况下，多级最小二乘法明显优于广义最小二乘法，其收敛点唯一。
十：yule_walker辨识算法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：，z (k)是可观测变量；v (k )是均值为零，方差为 1 的不相关随机噪声；数据长度取 L=1024。
相关函数按下式计算：参数的估计算法按下式计算：辨识结果与理论值比较，基本相同，同时又能获得噪声模型的参数估计。
辨识结果可信：辨识结果为：Theta =0.85970.2955-0.0034d =1.0025yule_walker辨识算法的特点：yule_walker辨识算法可以方便的辨识形如的参数估计值。
第二部分：matlab程序一：RLS遗忘因子算法程序clearclc%==========================================%最小二乘法辨识对象% Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+v(k)%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %初始值n=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end;%产生高斯白噪声v=randn(1,400);z=[];z(1)=-1;z(2)=0;u=0.98;% 遗忘因子L=400;for i=3:402z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); zstar(i)=z(i)*u^(L-i+2);endH=zeros(400,4);for i=1:400H(i,1)=-z(i+1)*u^(L-i);H(i,2)=-z(i)*u^(L-i);H(i,3)=M(i+1)*u^(L-i);H(i,4)=M(i)*u^(L-i);endEstimate=inv(H'*H)*H'*(zstar(3:402))'二：RFF遗忘因子递推算法%最小二乘遗忘因子的递推算法仿真对象%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+v(k)%========================================clearclc%==========400 个产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声=========v=randn(1,400);%==============产生观测序列z=================z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:402z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2); end%==============递推求解=================P=10*eye(4); %估计方差Theta=zeros(4,401); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=[0.001;0.001;0.001;0.001];K=zeros(4,400); %增益矩阵K=[10;10;10;10];u=0.98; %遗忘因子for i=3:402h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2)];K=P*h*inv(h'*P*h+u);Theta(:,i-1)=Theta(:,i-2)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-2)); P=(eye(4)-K*h')*P/u;end%==========================输出结果及作图=============================disp('参数a1 a2 b1 b2的估计值:')Theta(:,401)i=1:401;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:)) title('待估参数过渡过程')三：RFM限定记忆法%限定记忆最小二乘的递推算法辨识对象%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+v(k)%========================================clearclc%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声=========v=randn(1,402);%==============产生观测序列z=================z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:402z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i);end%递推求解P_a=100*eye(4); %估计方差Theta_a=[3;3;3;3];L=20; %记忆长度for i=3:L-1 %利用最小二乘递推算法获得初步参数估计值和P 阵h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2)];K=P_a*h*inv(h'*P_a*h+1);Theta_a=Theta_a+K*(z(i)-h'*Theta_a);P_a=(eye(4)-K*h')*P_a;endfor k=0:380hL=[-z(k+L-1);-z(k+L-2);M(k+L-1);M(k+L-2)];%增加新数据的信息K_b=P_a*hL*inv(1+hL'*P_a*hL);Theta_b=Theta_a+K_b*(z(k+L)-hL'*Theta_a);P_b=(eye(4)-K_b*hL')*P_a;hk=[-z(k+L);-z(k+L-1);M(k+L);M(k+L-1);];%去掉老数据的信息K_a=P_b*hk*inv(1+hk'*P_b*hk);Theta_a=Theta_b-K_a*(z(k+L+1)-hk'*Theta_b);P_a=(eye(4)+K_a*hk')*P_b;Theta_Store(:,k+1)=Theta_a;end%========================输出结果及作图===========================disp('参数 a1 a2 b1 b2 的估计值为：')Theta_ai=1:381;figure(1)plot(i,Theta_Store(1,:),i,Theta_Store(2,:),i,Theta_Store(3, :),i,Theta_Store(4,:))title('待估参数过渡过程')四：RCLS偏差补偿最小二乘递推算法%偏差补偿最小二乘的递推算法辨识对象%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+v(k)%========================================clearclc%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的正态分布噪声========= v=random('Normal',0,1,1,400);%==============产生观测序列z=================z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:402z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+v(i-2);end%===================递推求解==================%赋初值P=100*eye(4); %估计方差Theta=zeros(4,401); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=[3;3;3;3];K=[10;10;10;10]; %增益J=0;ThetaC=zeros(4,401); %偏差补偿后的估计值ThetaC(:,1)=[2;3;1;3.5];D=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0];for i=3:402h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2)];J=J+(z(i-1)-h'*Theta(:,i-1))^2/(1+h'*P*h);K=P*h*inv(h'*P*h+1);Theta(:,i-1)=Theta(:,i-2)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-2));P=(eye(4)-K*h')*P;endes=J/((i-1)*(1+(ThetaC(:,i-2))'*D*Theta(:,i-1)));ThetaC(:,i-1)=Theta(:,i-1)+(i-1)*es*P*D*ThetaC(:,i-2);%==============输出参数估计结果及作图================disp('参数a1 a2 b1 b2的估计值为：')Theta(:,401)i=1:401;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:)) title('待估参数过渡过程')五：RELS增广最小二乘的递推算法%增广最小二乘的递推算法辨识对象%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)-v(k+1)+0.2*v(k) %========================================clearclc%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声=========v=randn(1,402);%==============产生观测序列z=================z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:402z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)-v(i-1)+0.2*v(i -2);end%递推求解P=100*eye(6); %估计方差Theta=zeros(6,401); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=[3;3;3;3;3;3];% K=zeros(4,400); %增益矩阵K=[10;10;10;10;10;10];for i=3:402h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2);v(i-1);v(i-2)];K=P*h*inv(h'*P*h+1);Theta(:,i-1)=Theta(:,i-2)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-2));P=(eye(6)-K*h')*P;end%========================================================== =============disp('参数a1、a2、b1、b2、d1、d2估计结果：')Theta(:,401)i=1:401;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:),i, Theta(5,:),i,Theta(6,:))title('待估参数过渡过程')六;RGLS 广义最小二乘的递推算法%广义最小二乘的递推算法仿真模型%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+e(k)%e(k+2)+2.1*e(k+1)-2.5*e(k)=v(k+2)%========================================clearclc%==========400 个产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声========= v=randn(1,400);e=[]; e(1)=v(1); e(2)=v(2);for i=3:400e(i)=0*e(i-1)+0*e(i-2)+v(i);end%==============产生观测序列z=================z=zeros(400,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:400z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+e(i); end%变换后的观测序列zf=[];zf(1)=-1;zf(2)=0;for i=3:400zf(i)=z(i)-0*z(i-1)-0*z(i-2);end%变换后的输入序列uf=[]; uf(1)=M(1); uf(2)=M(2);for i=3:400uf(i)=M(i)-0*M(i-1)-0*M(i-2);end%赋初值P=100*eye(4); %估计方差Theta=zeros(4,400); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,2)=[3;3;3;3];K=[10;10;10;10]; %增益PE=10*eye(2);ThetaE=zeros(2,400);ThetaE(:,2)=[0.5;0.3];KE=[10;10];%递推Thetafor i=3:400h=[-zf(i-1);-zf(i-2);uf(i-1);uf(i-2)];K=P*h*inv(h'*P*h+1);Theta(:,i)=Theta(:,i-1)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-1));P=(eye(4)-K*h')*P;endhe=[-e(i-1);-e(i-2)];%递推ThetaEKE=PE*he*inv(1+he'*PE*he);ThetaE(:,i)=ThetaE(:,i-1)+KE*(e(i)-he'*ThetaE(:,i-1)); PE=(eye(2)-KE*he')*PE;%=====================输出结果及作图=========================disp('参数a1 a2 b1 b2的估计结果：')Theta(:,400)disp('噪声传递系数c1 c2的估计结果：')ThetaE(:,400)i=1:400;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:)) title('待估参数过渡过程')七：Tally辅助变量最小二乘的递推算法%Tally辅助变量最小二乘的递推算法%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+e(k)，e(k)为有色噪声%e(k)=v(k)+0.5*v(k-1)+0.2*v(k-2),v(k)为零均值的不相关随机噪声%========================================clearclc%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声========= v=randn(1,400);e=[];e(1)=0.3;e(2)=0.5;for i=3:400e(i)=v(i)+0.5*v(i-1)+0.2*v(i-2);end%==============产生观测序列z=================z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:400z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+e(i); end%递推求解P=100*eye(4); %估计方差Theta=zeros(4,400); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=[3;3;3;3];Theta(:,2)=[3;3;3;3];Theta(:,3)=[3;3;3;3];Theta(:,4)=[3;3;3;3];% K=zeros(4,400); %增益矩阵K=[10;10;10;10];for i=5:400h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2)];hstar=[-z(i-2-1);-z(i-2-2);M(i-1);M(i-2)]; %辅助变量 %递推算法K=P*hstar*inv(h'*P*hstar+1);Theta(:,i)=Theta(:,i-1)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-1));P=(eye(4)-K*h')*P;end%==================结果输出及作图=================== disp('参数a1 a2 b1 b2的估计结果：')Theta(:,400)i=1:400;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:)) title('待估参数过渡过程')八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法）%两步法的递推算法%Z(k+2)=1.5*Z(k+1)-0.7*Z(k)+u(k+1)+0.5*u(k)+e(k)，e(k)为零均值的不相关随机噪声%e(k)=v(k)+0.5*v(k-1)+0.2*v(k-2)%========================================clearclc%==========产生M序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声========= v=randn(1,400);e=[];e(1)=0.3;e(2)=0.5;for i=3:400e(i)=v(i)+0.5*v(i-1)+0.2*v(i-2);end%==============产生观测序列z===========z=zeros(402,1);z(1)=-1;z(2)=0;for i=3:400z(i)=1.5*z(i-1)-0.7*z(i-2)+M(i-1)+0.5*M(i-2)+e(i);end%递推求解P=100*eye(4); %估计方差Theta=zeros(4,400); %参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=[3;3;3;3];Theta(:,2)=[3;3;3;3];Theta(:,3)=[3;3;3;3];Theta(:,4)=[3;3;3;3];K=zeros(4,400); %增益矩阵K=[10;10;10;10];for i=5:400h=[-z(i-1);-z(i-2);M(i-1);M(i-2)];hstar=[M(i-1);M(i-2);M(i-3);M(i-4)]; %辅助变量%递推K=P*hstar*inv(h'*P*hstar+1);Theta(:,i)=Theta(:,i-1)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-1));P=(eye(4)-K*h')*P;end%==================结果输出及作图===================disp('参数a1 a2 b1 b2的估计结果：')Theta(:,400)i=1:400;figure(1)plot(i,Theta(1,:),i,Theta(2,:),i,Theta(3,:),i,Theta(4,:)) title('待估参数过渡过程')九：MLS多级最小二乘法clearclc%==========================================%Z(k+3)=-0.9*Z(k+2)-0.15*Z(k+1)-0.02*z(k)+0.7*u(k+2)-1.5*u(k +1)+e(k)%e(k+2)+1.0*e(k+1)+0.41*e(k)=r*v(k+2)%==========产生M 序列作为输入===============x=[0 1 0 1 1 0 1 1 1]; %initial valuen=405; %n为脉冲数目M=[]; %存放M 序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9));M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%===========产生均值为0，方差为1 的高斯白噪声============= v=randn(1,405);e=[];e(1)=0.3;e(2)=0.7;r=0.9; %控制信噪比for i=3:405e(i)=-1.0*e(i-1)-0.41*e(i-2)+r*v(i);end%=================产生观测序列===================z=[];z(1)=-1;z(2)=0;z(3)=1.5;for i=4:405z(i)=-0.9*z(i-1)-0.15*z(i-2)-0.02*z(i-3)+0.7*M(i-1)-1.5*M(i -2)+e(i);end%================第一级辨识辅助模型参数辨识==================H=zeros(400,9);for i=1:400H(i,1)=-z(i+4);H(i,2)=-z(i+3);H(i,3)=-z(i+2);H(i,4)=-z(i+1);H(i,5)=-z(i);H(i,6)=M(i+4);H(i,7)=M(i+3);H(i,8)=M(i+2);H(i,9)=M(i+1);enddisp('第一级辅助模型参数 e1 e2 e3 e3 e4 f1 f2 f3 f4 辨识结果：')E=inv(H'*H)*H'*(z(6:405))'e1=E(1);e2=E(2);e3=E(3);e4=E(4);e5=E(5);f1=E(6);f2=E(7);f3=E(8);f4=E(9);%=================第二级辨识过程模型参数辨识====================z2=[f1;f2;f3;f4;0;0;0];H2=[ 0 0 0 1 0;-f1 0 0 e1 1;-f2 -f1 0 e2 e1;-f3 -f2 -f1 e3 e2;-f4 -f3 -f2 e4 e3;0 -f4 -f3 e5 e4;0 0 -f4 0 e5;];disp('第二级过程模型参数 a1 a2 a3 b1 b2 辨识结果：') E2=inv(H2'*H2)*H2'*z2a1=E2(1);a2=E2(2);a3=E2(3);b1=E2(4);b2=E2(5);%================第三级辨识噪声模型参数辨识=======================z3=[e1-a1;e2-a2;e3-a3;e4;e5;f2-b2;f3;f4];H3=[1 0;a1 1;a2 a1;a3 a2;0 a3;b1 0;b2 b1;0 b2;];disp('第三级噪声模型参数 c1 c2 辨识结果：')E3=inv(H3'*H3)*H3'*z3十yule_walker辨识算法%Yule-Walker 辨识算法%辨识模型：z(k)=-0.9*z(k-1)-0.36*z(k-2)-0.054*z(k-3)+v(k) %========================================================== ==%产生随机噪声v=random('Normal',0,1,1,1024); %均值为零，方差为 1%产生观测序列z=[];z(1)=0;z(2)=1;z(3)=1.5;for i=4:1024z(i)=-0.9*z(i-1)-0.36*z(i-2)-0.054*z(i-3)+v(i); end%计算 z(k)的自相关函数Rz0=0;Rz1=0;Rz2=0;Rz3=0;for i=1:1024Rz0=Rz0+z(i)^2;endRz0=Rz0/1024;for i=1:1023Rz1=Rz1+z(i+1)*z(i);endRz1=Rz1/1024;for i=1:1022。