第二章常微分方程

2 tr 0
1,2
1 2
tr
tr2 4
第二章常微分方程——线性稳定性分析
1）tr2－4 >0， > 0：12 > 0，稳态点为结点
2）tr2－4 >0，< 0：
12 < 0，
稳态点为鞍点
第二章常微分方程——线性稳定性分析
3）tr2－4 < 0，tr 0 ：1，2 为复数，稳态点振荡焦点
an (n c)(n c 1)xnc (F0 F1x F2 x2 ) an (n c)xnc
n0
n0
(G0 G1x G2 x2 ) an xnc 0
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
首项xc的系数为0——指标方程
c2 (F0 1)c G0 0
第n项xn+c的系数为0 ——递推公式
n
(k 1) n!(n k 1)
第一解
y1
2k
(k
1)a0
n0
(1)n 1 2
n!(n
x 2nk k 1)
第二章常微分方程——二阶变系数方程
➢ 第二解分为以下三种情况
i ) k为分数
ii ) k = 0
yx AJ k x BJ k x
an
(n
an2 c)2
y(
x,
c)
n0
(x2
k2)y
0
称为k阶Bessel方程。 采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程
c(c 1) c k 2 0
c1 k, c2 k
第二章常微分方程——二阶变系数方程
递推公式
an
(n
c
an2 k)(n c
k)
a2n
22n
n!(n
(1)n a0 k)(n k 1)()(1
k)
1 4
)
y2 BY0(x)
第二章常微分方程——二阶变系数方程
iii ) k为整数
y2
c
(c
k) y(x, c) ck
y2
BYk
(x)
B2
ln
1 2
x
J
k
(x)
B
k1 (k
n0
n 1)!( 1 n! 2
x)2nk
B
(1)n ( 1 x)2nk 2
n0 n!(n k )!
1
1 2
1 n
1
rAs
)
dy dt
y
(rA
rAs )
[Qr (T )
Qr (Ts )]
第二章常微分方程——线性稳定性分析
将反应项与移热项线性展开
dx dt
1
rA cA
s
x
rA T
s
y
dy dt
rA cA
s
x
1
rA T
s
dQr dT
s
y
特征根方程
2 tr 0
dy1 dt
a11 y1
a12 y2
a1n yn
b1
dy 2 dt
a21 y1
a22 y2
a2n yn
b2
dy n dt
an1 y1
an2 y2
ann yn
bn
齐次方程 y Ay
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
设 代入方程得
y xet xet Axet
A I x 0
第二章常微分方程——基本概念
常微分方程
F(x,y, dy , d 2y , dny ) 0 dx dx 2 dx n
方程的解与阶 ——解析解，数值解
线性与非线性（与代数方程类比） ——叠加原理
齐次与非齐次（与代数方程类比）
常系数与变系数
第二章常微分方程——基本概念
求解历史
第一阶段 初等解法，1675-1775 初等方法求解，此后百年解法无进展 1841 Liouville 证明许多方程无初等解法
aij
fi y j
x t c1x1e1t c2x2e2t cnxnent
➢ 稳定性判别
若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有
一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不 定。
第二章常微分方程——线性稳定性分析
因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A 的特征根的正负号判别问题。 ➢ 如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。 特征根方程
1 2
1 n k
y AJ k (x) BYk (x)
第二章常微分方程——二阶变系数方程
3、Legendre方程与Legendre函数
(A.M. Legendre,1752-1833)
1 x2
d2y dx 2
2x
dy dx
ll
1 y
0
设 代入，得
y(x) anxn
n0
an2 (n 2)(n 1) an n(n 1) l(l 1)xn 0
(2n
c)2
a0 (1)n (2n c
x2nc 2)2 ()(2
c)2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
y2
y c c0
n0
a0
(1)n
(
1 2
(n!)2
x)2n
ln
x
1
1 2
1 3
1 n
a0 J0( x) ln
x
n1
(1)n ( 1 x)2n 2
(n!)2
(1
1 2
1 n
设
y Aex
得
2 a1 a2 0
第二章常微分方程——二阶常系数方程
➢ 相异实根 ➢ 共轭复根 ➢ 重根
y c1e1x c2e2x
y ex (c1 cos x c2 sin x)
y e1x (c1 c2 x)
2. 非其次方程特解：比较系数法
第二章常微分方程——二阶变系数方程
二、 二阶变系数方程的解法
第二章常微分方程——线性稳定性分析
四、线性稳定性分析方法
➢ 稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常 状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的 度量。
➢ 定常态（steady state)——稳态（与瞬态对应），系统不 随时间变化的某个状态。
➢ 稳定态（stable state)——稳定的定常态。 稳 定——差之毫厘，失之毫厘 不稳定——差之毫厘，失之千里
(n c)2 (F0 1)(n c) G0 an
F1(n 1 c) G1 an1
F2 (n 2 c) G2 an2
Fnc Gn a0 0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
由指标方程的第一根c = c1可以得到方程的第一个解 ➢ 当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。 ➢ 当c1、c2 为重根时，第二解为
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
递推公式
an2
n(n 1) l(l 1) (n 2)(n 1)
an
(n 0,1,2,)
根据幂级数收敛判别法知，在x =±1处级数发散，但物理
上函数又是有界的，因此只有参数l 取整数才能保证级数
在x =±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式
l 或l 1
22
Pl (x) n0
(1) n
(2l 2n)!
xl2n
2l n!(l n)!(l 2n)!
第二章常微分方程——二阶变系数方程
P0(x) 1 , P1(x) x
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
,
P3 (
x)
1 2
(5x2
3x)
P4 (x)
1 8
(35x4
30 x 2
3)
,
P5 ( x)
斜率条件的物理解释
谢谢
第二章常微分方程——复习要求
1. 常微分方程的解法
常系数方程 Bessel方程
2.稳定性分析方法
稳定性的概念 线性近似与失稳判据的获取
重根时y1
=y(x,c1)，
y2
y cwk.baidu.com
c
c1－c2 =整数时y1 =y(x,c1)， y2
满足方程；
c1
c
c c2
满y 足c方c2 程
第二章常微分方程——二阶变系数方程
2. Bessel方程及其级数解 (F.W. Bessel, 1784-1846)
x2
d2y dx 2
x
dy dx
化工问题的建模
与数学分析方法
—— Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering
第二章 常微分方程
1、二阶线性常系数方程的解法 2、二阶变系数方程的级数解法 3、一阶微分方程组的矩阵解法 4、稳定性问题分析
第二阶段 级数解法 幂级数解法，1850-1890 Laplace变换法，1900-1920
第三阶段 定性理论与数值解法 稳定性理论 1900-1950 数值解法 1950-
第二章常微分方程——二阶常系数方程
一、 二阶常系数方程的解法
d2y dx 2
a1
dy dx
a2 y
f
(x)
1. 齐次方程通解（欧拉，1743；达朗贝尔，1766）
y2
y c cc1
➢ 当c1－c2 为整数时，第二解为
y2
c
c
c2
y cc2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
推导：设
y(x,c)
anx n c
n0
只满足递推公式(n≥1 )而不一定满足指标方程，将其代入
方程后有
x 2 d 2y dx 2
xF
(x
)
dy dx
G(x)y （c c1)(c c2)a0x c
a5 a4 a3
,
a1 a0 0 0
4
a3 a5
a2 a4
a1 a3
a0 a2
a7 a6 a5 a4
a1
n
a3
a2n1,
a0 a2 a2n2,
0
0
an n 1
an
第二章常微分方程——线性稳定性分析
Routh指出，若采用如下的判定函数R i
R0 = △0 , R1 = △1 , R2 = △2 /△1 , … , Rn = △n /△n-1 = an
第二章常微分方程——线性稳定性分析
➢ 渐近稳定性条件
a)斜率条件——系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲 线的斜率
1
rA cA
s
1
dQr dT
s
rA T
s
b)动态条件
1
rA cA
s
1
dQr dT
s
rA T
s
第二章常微分方程——线性稳定性分析
1、级数解法（G.Frobenius,1849-1917)
x2
d2y dx 2
xF
(x)
dy dx
G(x)
y
0
广义幂级数
y an xnc
n0
代入方程，比较系数法确定参数c 和 an
第二章常微分方程——二阶变系数方程
设
F (x) F0 F1x F2 x2
代入，得
G( x) G0 G1x G2 x2
则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳 定的。
Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切 根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均 大于0。
第二章常微分方程——线性稳定性分析
2、稳态点的分类
dx1 dt
a11 x1
a12 x2
dx2 dt
a21 x1 a22 x2
detA I 0
从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
通解 或
Y t e1t x 1 , e2t x 2 , ，ent x n
y t c1 x 1e1t c2 x 2e2t cn x nent
y=Yc 常数 c 由初始条件确定
1、线性稳定性分析方法
目的——获取失稳判据； 方法——稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定 ➢ 非线性动力系统
dy f (y) dt
定常态 f(ys) = 0 设x(t)为小扰动，令
y(t) = ys +x(t)
第二章常微分方程——线性稳定性分析
代入原方程，泰勒展开，保留线性项
通解
dx Ax dt
a0 n a1 n1 a2 n2 an1 an 0 ➢ Routh方法：
如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有
大于等于零的根，系统不稳定。
第二章常微分方程——线性稳定性分析
➢ Routh－Hurwitz判定行列式
0 a0 ,
1 a1 ,
2
a1 a3
a0 a2
a1 a0 0 3 a3 a2 a1
4）tr ＝0，>0，1，2都是纯虚数
稳态点为中心点
第二章常微分方程——线性稳定性分析
3、化学反应器的热稳定性
V
dcA dt
F (cin
cA ) VrA
V cp
dT dt
F cp (Tin
T ) V (H )rA
Q(T )
取 x = cA－cAs , y = T－Ts
dx dt
x
(rA
第二章常微分方程——线性稳定性分析
流动的稳定性——雷诺实验、圆柱型水流 反应器的热稳定性——飞温与熄火 平行平板间的热对流稳定性——Benard现象 压杆、板壳的屈曲稳定性
➢ 稳定性分析方法 线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失
稳判据。 非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。
第二章常微分方程——线性稳定性分析
1 8
(63x5
70 x 3
15x)
➢ 性质
Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条
件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成
Fourier级数，分别称为Fourier－Bessel级数和Fourier－
Legendre级数。
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
三、 一阶常系数方程组的矩阵解法