常用拉普拉斯变换总结汇编

t 0

c ，其中，A 为常

数。

t 0

oO

e"dt

1指数函数

f(t) Ae d 常用拉普拉斯变换总结 t 0 ,其中，

A 和a 为常数。

t _0

L[Ae ：]=" Ae 」e ：e 4: s)t dt

2、阶跃函数 L[A] = 0 Ae A

dt

s

3、单位阶跃函数

to

L[u (t)]

st

4、斜坡函数

f (t)

L[At]二 At 0，其中，A 为常数。

'Ate^t dt .st e 二

At — _ s 二 Ae$

0 dt _ s

1 1 1

A

5) ~~o

0 A = 1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在 t=t 0时刻的单位斜坡函数写成

5、单位斜坡函数

律）」0 f ⑴“A r

(t-t °) t ：

t -0

图2.3正弦函数和余弦函数 根据欧拉公

式： sin ⑷ t - (e ° - e 国) 拉式变换为：

2 j L[Asin t]二 —：(e j t

t )e^t dt 2j 0

A 1 A 1 A --- ------ - --- ------- =,

2j s_ j • 2j s j s 2 2

同理余弦函数的拉式变换为： L[Acos 「t]=p

s

7、脉动函数

A

鮒）=耳 t o ，其中，A 和t 0为常数。

[0 tv0,t°£t

脉动函数可以看做是一个从

t = 0开始的高度为 A/t 0的阶跃函数，与另一个从t = t 0开始 的高度为A/t 0的负阶跃函数叠加而成。

A A f (t) u(t) u(t-t °) t 0 t 0

L[t] = ；te 』dt 1 1 6、正弦函数

f (t)=」 r e _st dt -s s 2 -s t ： 0，其中A 为常数。 t _0

Asi nt

「A l 「A

L[f(t)]=L^u(t) —L|〒u(t—t。)

_to

8脉冲函数

脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

r A

心、lim —0

g(t)=」心△

I 0 t c0Q

L[g⑴]呷三(1 一尹)

9、单位脉冲函数

当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数,

量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数：.(t -t0)可以看作是单位阶跃函数u( t-t0)在间断点t=t0上U仝—

图2.5单位脉冲函数

t珂0

t珂0

_to

—Ae^

t o S t o S

二△(1_e』to)

t o S

、0

6(t -t o)=丿

Q0

住(t-t0)dt=1

的导数，即

、(t -t o) = —U(t -t o)

dt

相反，如若对单位脉冲函数：.(t -t0)积分: t

t

(t -t o)dt 刃(t - t o)

t

o

积分的结果就是单位阶跃函数u ( t-t o)

利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲, 这些脉

冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。

10、加速度函数

图2.6单位加速度函数

11、单位加速度函数:

t o

t _o

At2t _0

t<0，其中，A为常数。

拉氏变化为:

L[At2] = ：At

=2A丄

3

s

1

当A=^时称之为单位加速度函数，用a( t)表示，发生在

2

t=t o时刻的加速度函数通常写成a(t -t o)，图像如下:

2 .St A 2 st

e dt蔦 2

1 2 |001 2 st

L | —t u ⑴=,、一t e _dt

]2 」〜2

-,oO

1 1

2 st st .

—t e _-L te _ d t

s0