利用基本不等式求目标函数的最值 公开课
2.2 利用基本不等式求最值(第二课时) 高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
+2+4
1
解：y= 2
= 4
+2+4 (+ )+2
1
即y的最大值为
6
1 1
≤ =
4+2 6
.
，
,当x=2时，等号成立.
方法总结：
代数式局部的和(或积)为定值时，可考
虑用基本不等式转化，但要检查前提条件：
一正二定三相等.
用基本不等式求最值
( )
二
例2.已知a>b>0,
求a2+
方法总结：
在求含两个变量代数式的最值时，代
入消元是可考虑的一个方向；如果条件是
代数式等于常数的结构，逆向代换往往是
高效的解决途径.
练一练
1
已知0<x<1,那么
+
4
的最小值为
1−
提示：
目标式中有隐含条件：x+(1-x)=1
1
所以
+
4
1
=(
1−
+
4
)(x+(1-x))=…
1−
.
用基本不等式求最值
16+10=18
Hale Waihona Puke ，即x=2y=12时，等号成立.
用基本不等式求最值
( )
五
条
件
最
值
之
逆
向
代
换
例4.已知 x>0, y>0
8
解法二：因为
+
8 2
， + =1,求x+y的最小值.
公开课教案3——耐克函数的最值
形如
()(0)a f x x a x
=+>的最值 一、教学目标： 掌握利用基本不等式求最值须满足的条件；利用单调性求函数的最值。
二、教学重点和难点：
①分类讨论能力，使学生掌握分类的依据，当含有字母时应对其对应区间特别是区间两
端点的位置关系进行讨论。
②数形结合能力，利用函数的单调性求最值。
三、教学过程：
1、复习提问： 复习()(0)a f x x a x
=+>的图像与性质： （1）图像：（通过几何画板演示得出）
（2）性质：
①定义域：()(),00,-∞+∞；
②值域： ()
,2,a ⎡-∞-+∞⎣； ③奇偶性：奇函数；
④单调性：当()f x 在(,-∞及)
+∞上是增函数；
当()f x 在)⎡⎣及(上是减函数； 2、新课讲解：
例1、设4()f x x x
=+，试求()f x 的最小值。
（1）(]0,1x ∈；（2）(]0,3x ∈；
思考1、（3）当(]()0,0x n n ∈>，
例2、设函数(),0a f x x a x =+
>，[]1,2x ∈；试求()f x 的最小值。
（1）14
a =；（2）5a =；（3）2a =；
思考2：设函数()a f x x x =+，0a >，[]1,2x ∈，试求()f x 的最小值。
课堂小结：
思考3：设函数(),0a f x x a x =+
>，[]1,2x ∈；试求()f x 的最大值。
（1）14
a =
；（2）5a =；（3）2a =；
3、作业：练习册37页。
人教A版高中数学必修一《2.2 基本不等式》优质课公开课课件、教案
2.2基本不等式教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】1.基本不等式等号成立条件；2.利用基本不等式求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a，b，可得①当且仅当a=b时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证（1）只要证a+b ≥（2）要证（2），只要证a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（- ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，A B是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1已知x>0，求x＋的最小值.分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0（=x0＋），使x>0，都有x＋≥y.观察x+，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.解：因为x>0，所以x＋=2当且仅当x=，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x＋≥2，而且给出了“当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋=y0成立吗？这时能说y.是x＋（x>0）的最小值吗？例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z≥240000+720×2，当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【设计意图】例题讲解，学以致用.3.随堂练习4.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。
中考数学一轮复习---利用基本不等式求最值教学课件
a 4.若0<a<2，则a·(2－a)有最大值________，此时a＝ ________.
延伸例迁1：移(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
E
②如何用a, b表示CD? CD=______
Rt△ACD∽Rt△DCB，
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
D A a OC b B
①如何用a, b表示OD? OD=______
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： a b≥ ab 2
你能用不等式的性质直接推导这个 不等式吗？
证明不等式：a b≥ ab 2
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a+b ≥ 2 ab
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是
（）
A．120 2
B．60 2 C．120 D．60
2、如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOD=4，
S△COB=9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ______
展示提升
构建知识网络：
1. 两个重要的不等式
基本不等式公开课课件完整版
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
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赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
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26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
2.2.2 利用基本不等式解决最值问题【课时教学设计】-高中数学人教A版必修第一册
2.2 基本不等式第2课时 利用基本不等式解决最值问题（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）（二）教学目标1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。
（三）教学重点及难点1. 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.2. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。
.（四）教学过程设计1.复习回顾，铺垫引入师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？生：已知x ，y 都是正数，则①如果积xy 等于定值P(积为定值)，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P. ②如果和x ＋y 等于定值S(和为定值)，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.例1：;24,21的最小值求）设（++->x x x（2）已知10<<x ，求()x x 31-的最大值及相应的x 值。
（1）师：大家观察结构，我们应该如何求这个和的最小值？生：可以式子先变形，2242-+++x x ，变成两个正数的和，再通过两个正数的积是定值来求解。
学生板演. （2）师：我们再来看这题，应该如何求它的最大值？生：式子乘以3再来变形，31)31(3⨯-x x ，变成两个正数的和是定值从而得到解决。
师追问：还有别的解法吗？生：这个式子其实是二次函数，可以利用配方法求解。
【设计意图】培养学生转化化归的数学思想，把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.2.合作学习，建模探究例2：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？师：第（1）题已知什么条件，我们求什么？生：已知矩形的面积，求周长的最小值（教师在黑板上画图）师：如果设矩形菜园相邻两条边的长分别为x m, y m （在图上标出），则周长为2(x+y) m,那如何求周长的最小值？生：用基本不等式求最值。
《3.2 基本不等式与最大(小)值》课件2-优质公开课-北师大必修5精品
忽视基本不等式的条件致误 求函数 y＝1－2x－3x的值域． 【错解】 函数可化为 y＝1－(2x＋x3)． ∵2x＋x3≥2 2x·3x＝2 6.当且仅当 2x＝x3， 即 x＝±26时取等号． ∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6. ∴函数的值域为(－∞，1－2 6]．
【错因分析】 利用基本不等式求最值时，忽视了各项 为正的条件．
法二 ∵a＋2b＝1，∴1＝a＋2b≥2 a·（2b）， 即 ab≤212，∴ab≤18， 当且仅当aa＝ ＋22bb＝1，即ba＝＝1214时，ab 取得最大值81.
利用基本不等式解决实际问题
(2013·临沂高二检测)桑基鱼塘是某地一种独具 地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼 塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中 间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基 围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米， 如图 3－3－3，设池塘所占总面积为 S 平方米．
2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、 “添项”、“凑系数”、“常值代换”等．
已知 x＜45，求函数 y＝4x－2＋4x1－5 的最大值． 【解】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3 ＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x即 x＝1 时等号成立， ∴当 x＝1 时，ymax＝1.
∴当车速 v＝40 千米/小时时，
车流量最大为 11.1 千辆/小时．
(2)由题意：v2＋39v2＋0v1 600＞10， 整理得 v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得 25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时 时，车流量超过 10 千辆/小时．
高中数学《基本不等式》公开课优秀教案
高中数学《基本不等式》公开课教案教学三维目标：1.知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值 2.过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度与价值观目标：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件一、新课讲解1．基本不等式：①0,0>>b a ，ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，取等号） 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a②重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，取“=”号） 2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S .利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
3．称2y x +为y x ,的算术平均数，称xy 为y x ,的几何平均数。
二、例题讲解：例1．已知0<x ，则xx 432++的最大值是________. 例2．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。
例3．求下列函数的最小值（1）)1(11072->+++=x x x x y （2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。
例4. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元)。
利用基本不等式求最值
思考
(3)若将例 1 中的条件变为 0＜x＜54时，求 y 的最大值． 【解析】 x∈(0，54)时，t∈(－5，0)． y＝t＋1t ＋3, y′＝1－t12. 令 y′＝0，得 t＝－1. t∈(－5，－1)时，y′＞0. t∈(－1，0)时，y′＜0. ∴t＝－1 时，ymax＝1.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正”， 二“定”，
三“相等”.
二.典例分析
题型一:拼凑法求最值
1 例 1:在下列条件下，求 y＝4x－2＋4x－5的最值． ① 当 x>54时，求最小值；
5 ② 当 x<4时，求最大值；
典例分析
【解析】①∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时上式“＝”成立． 即 x＝32时，ymin＝5.
思考
(2)若将例 1 中的条件变为 x≤45，求 y 的最大值． 【解析】 设 4x－5＝t，则 x＝t＋4 5. ∵x≤45，∴t≤－95. ∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3. 设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0. ∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数． ∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
此时a(1 b)取得最大值 9，a= 3，b= 1 . 842
典例分析
例3：(1) 已知a, b都是正数, 2a b 2, 求a(1 b) 的最值和此时a, b的值.
(2) 已知a, b都是正数, a2 2b2 2,
a (1 2b2 )的最值是
.
解析：(2)因为a,b都是正数, a2 2b2 2
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新思维和合作精神。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质。
2. 基本不等式在求最值问题中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 基本不等式的性质和推导。
2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和技巧。
四、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段的不等式知识，引导学生回顾不等式的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 基本不等式的定义和性质：讲解基本不等式的定义，引导学生理解基本不等式的意义，并通过图形、实例等方式展示基本不等式的性质。
3. 基本不等式在求最值问题中的应用：讲解如何运用基本不等式解决最值问题，引导学生掌握解题思路和方法。
4. 典型例题解析：分析典型例题，引导学生运用基本不等式求解最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高运用基本不等式求解最值问题的能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对基本不等式定义和性质的理解。
2. 练习题：评估学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在合作中的参与程度和创新思维。
教学课件和资料：1. 基本不等式的定义和性质PPT。
2. 基本不等式求最值问题案例PPT。
3. 典型例题解析PPT。
4. 课堂练习题PDF。
教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的创新思维。
2. 加强课堂练习，及时巩固所学知识。
3. 鼓励学生参与小组讨论，提高合作能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导。
六、教学策略1. 案例教学：通过具体案例的分析和讨论，使学生理解和掌握基本不等式的应用。
2. 问题驱动：设计一系列问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
高中数学《利用基本不等式求最值》公开课精品PPT课件
(2) 过一个点有__无__数__条__条直线.
y
.
.
y
.
o
x
ox
确定直线位置的要素除了点之外,还有
直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
5
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正
向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
y
注意:(1)直线向上方向
a
O
x
(2)x轴的正方向
1、日常生活中，还有没有 表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
斜坡
平面直角坐标 系中的直线
坡角
直线的倾斜角
坡度
直线的斜率
2.定义：直线倾斜角的正切叫做这 几何画板
C
条直线斜率。斜率通常用k表示，
即：
k tan
直线的倾
a
[0,
)
(
,
)
2
2
斜角和斜
升
3.直线的倾斜角与斜率的关系：
2 4
1; 2
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
3 3
1;
由
k AB
0
及
kCA
0
知，直线AB 与CA的倾斜角
பைடு நூலகம்
均为锐角,由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别
为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
公开课：基本不等式
因此当 x 4, y 12 时, (x y)min 16 .
(法 II)消元
由 1 9 1,得 x y .又 x 0 , y 0,从而 y 9 0 .
xy
y9
因此 x y y y (y 9) (y 9) 9 (y 9) 9 10 16,
y9
y9
y9
基本不等式（2）
复习引入
练习
1.当0 x 4时,函数y x(8 2x)的最大值是_____.
2.当x 1 时,函数y x 8 的最小值是_____.
2
2x 1
学习目标
了解基本不等式的变形形式及常见方 法，会使用基本不等式解决最值问题
讲授新知
例1.求下列函数的最值：
(1)若x 0, y x2 1的最小值； x
当且仅当 y 9 9 即 y 12 时等号成立,此时 x 4 .
y9
所以当 x 4, y 12 时, (x y)min 16 .
变式练习
(3) 已知 x 0 , y 0,且 1 9 2 ,求 4x y 的最小值.
xy
(4) 已知 x 0 , y 0,已知 x y 1, 求 1 9 的最小值.
xy
一种解法：
1 9 2 9 , ①即 6 1, xy 6
x y xy
xy
x y 2 xy 12，
x y的最小值是12.
解：(法 I)“1”的代换
x
y
(x
பைடு நூலகம்
y)(1 x
9) y
10
9x y
y x
,由基本不等式
原式 10 2 3 16,当且仅当 y 3x 即 x 4, y 12 时
xy
(5)已知0 x 1,则 1 9 的最小值为_____.
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和运用，能够运用基本不等式求解最值问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 通过对基本不等式的学习，激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的团队协作和表达能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。
2. 基本不等式的运用，求解最值问题。
3. 典型例题解析和练习。
三、教学重点与难点1. 重点：基本不等式的概念和性质，基本不等式的运用。
2. 难点：如何灵活运用基本不等式求解实际问题，解决最值问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解基本不等式的概念和性质，引导学生理解并掌握基本不等式的运用。
2. 采用案例分析法，分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
3. 采用练习法，布置课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
1. 导入：通过生活中的实例，引入基本不等式的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解基本不等式的性质和运用，引导学生掌握基本不等式的求解方法。
3. 例题解析：分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
4. 课堂练习：布置课堂练习，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的运用和解决实际问题的方法。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对基本不等式的理解和运用情况，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。
2. 课后作业：布置与本节课内容相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握程度。
3. 学生互评：组织学生进行小组讨论，互相评价解题过程和结果，提高学生的团队协作和沟通能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，不断优化教学方法，提高教学效果。
2. 学生应对自己的学习过程进行反思，找出自己在学习中的薄弱环节，调整学习方法，提高学习效率。
高中数学课件：第三篇3.4基本不等式第一课时利用基本不等式求最值
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解析：∵x>0，∴x2＋3xx＋1
2 p＝x＋13＋1x≤2＋13＝15 ∴a≥15. 答案：[15，＋∞)
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2 p 已知两正数x，y满足x＋y＝1，求z＝(x＋
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2 p[通一类] 2．已知x>0，y>0，且满足x3＋4y＝1，则xy的最大值为 ________．
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2 p 解：∵x3＋4y＝1，∴1＝x3＋4y≥2
1x2y＝
3 3
xy.
∴ xy≤ 3，当且仅当x3＝4y＝12即x＝32，y＝2时等号成立．
∴xy≤3.
答案：3
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2 p[研一题] [例3] 已知a>b>c，若a－1 b＋b－1 c≥a－n c，求n的最大值． 返回
返回
2 p[研一题] [例2] 已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求2x＋5y的最小值． 返回
[自主解答] ∵lg x＋lg y＝1，
2 p ∴xy＝10，∴2x＋5y≥2 1x0y＝2， 当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝5时，等号成立， 故2x＋5y的最小值为2.
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[悟一法]
2 p (1)利用基本不等式
(2)y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1
2 p ＝x－1＋x－11＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立， ∵x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.
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2 p 本例(1)中若将“x<54”改为“x>54”，求f(x)的最小值． 解：∵x>54，∴4x－5>0. ∴f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝(4x－5)＋4x－1 5＋3
x·1x＝2；
基本不等式(公开课)
“1” 的 妙 用
学生 演板
(2)已知x, y R , 且2 x y 1, 求证： 1 1 3 2 2, 并指出等号成立的条件。 x y
积为定值和有最小值
基本不等式
1 1．当 x>2 时不等式 x＋ ≥a 恒成立则实数 a 的取值范围是( B ) x－2 A．(－∞，2]ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习
学习小结：
2
和为定值积有最大值，积为定值和有最小值
基本不等式
2
x 5 1 E. f ( x ) x ( x 2) F . f ( x) 2 x2 x 1
和为定值积有 最大值，积为定值和有最小值
ab ab a b 2 ab 提炼成果 2 ab 2 极值定理可以理解为: ab ( ) (1)当两个正数 x与y的积xy是定值P且x y时,2
A.6 2 3, B7 2 3, C6 4 3, D.7 4 3.
基本不等式
ab a b 2 ab 1.本节课我们有哪些收获？ ab 2 ab 2 2. 基本不等式是什么？ a b ab ( 2 ) ab
3. 极值定理是什么？ 课后作业： 考点作业59 P117练习
x y (1)积xy为定值P时, 有 P , x y 2 P . 上式 2
ab ab 2
基本不等式
下列函数中，最小值为 4的是 C,E
4 A. f ( x) x x
x
合作探究
C. f ( x) 3 4 3
x
4 B. f ( x) sin x sin x D. f ( x) lg x 4log x 10
和为定值积有最大值
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念及性质。
2. 基本不等式在求最值中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学过程1. 导入：回顾基本不等式的概念及性质。
2. 新课讲解：介绍基本不等式在求最值中的应用。
3. 典型例题解析：分析并解决实际问题。
4. 课堂练习：让学生独立解决一些最值问题。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解基本不等式的性质和应用。
2. 运用案例分析法讲解典型例题。
3. 组织课堂练习，让学生参与互动。
4. 总结归纳法，帮助学生巩固知识。
五、教学评价1. 课堂练习的完成情况。
2. 学生对典型例题的理解和应用能力。
3. 学生对基本不等式求最值方法的掌握程度。
4. 学生对所学知识的总结和归纳能力。
教案设计注意事项：1. 注重基础知识的教学，让学生掌握基本不等式的性质。
2. 结合典型例题，引导学生运用基本不等式解决实际问题。
3. 注重培养学生的动手能力和思维能力，提高他们分析问题、解决问题的能力。
4. 鼓励学生提问、讨论，激发他们的学习兴趣。
5. 及时进行教学评价，了解学生掌握情况，调整教学方法。
六、教学资源1. PPT课件：包含基本不等式的性质、应用案例、典型例题等。
2. 练习题：涵盖不同难度的最值问题。
3. 教学视频：讲解基本不等式的证明和应用。
4. 教学素材：相关论文、书籍推荐。
七、教学环境1. 教室：多媒体设备、黑板、投影仪等。
2. 网络：确保教学资源的和分享。
3. 学生活动区：方便学生进行课堂练习和讨论。
八、教学策略1. 案例教学：通过分析典型例题，让学生了解基本不等式在实际问题中的应用。
2. 问题驱动：提出问题，引导学生思考和探讨，提高学生的参与度。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 学会运用基本不等式求解最值问题；3. 提高解题能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 基本不等式的概念和性质；2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和步骤。
教学难点：1. 基本不等式的灵活运用；2. 求解最值问题时的细节处理。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入基本不等式的概念，引导学生回顾已学过的不等式知识；2. 提问：什么是基本不等式？它有什么特点？二、知识讲解（15分钟）1. 讲解基本不等式的性质和定理；2. 举例说明基本不等式在求解最值问题中的应用；3. 引导学生理解运用基本不等式求解最值问题的方法和步骤。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个具体的求最值问题，引导学生运用基本不等式进行解答；2. 分析解题过程，讲解关键步骤和注意事项；四、练习与讨论（15分钟）1. 给出几道运用基本不等式求解最值问题的练习题；2. 引导学生独立解答，互相讨论和交流；3. 讲解答案，分析解题思路和方法。
2. 引导学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 布置作业，要求学生巩固所学知识，提高解题能力。
教学反思：本节课通过讲解基本不等式的概念、性质和应用，引导学生学会运用基本不等式求解最值问题。
在教学过程中，要注意引导学生理解基本不等式的灵活运用，以及解题过程中的细节处理。
通过练习和讨论，巩固所学知识，提高学生的解题能力和逻辑思维能力。
六、实践练习（15分钟）1. 提供一系列有关基本不等式求最值的问题，让学生独立解决；2. 鼓励学生分享解题思路和心得，讨论解决过程中遇到的问题；3. 教师对学生的解答进行点评，指出解题的关键点和常见错误。
七、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考基本不等式在实际问题中的应用，例如优化问题、经济问题等；2. 提供一些实际问题，让学生尝试运用基本不等式求解；3. 学生展示解题成果，教师进行点评和指导。