《工程力学》课后习题与答案全集

工程力学习题答案
第一章静力学基础知识
思考题：1. X ；2. V ;3. V ;4. V ;5. K 6. K 7. V ;8. V
习题一
1•根据三力汇交定理，画出下面各图中
A 点的约束反力方向。

解：（a ）杆AB 在 A B 、C 三处受力作用。

u
由于力p
和
uu
v R B 的作用线交于点Q 如图（a ）所示，根据三力平衡汇交定理, 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 0两点的连线。

u
P 3
uv
B 处受绳索作用的拉力
uu
v R B （b ）同上。

由于力
交于0点，根据三力平衡汇交定理
, 可判断A 点的约束反力方向如 下图（b ）所示。

的作用线 2.不计杆重，画出下列各图中 AB 杆的受力图。

u
P 解：（a ）取杆AB 和E 两处还受光滑接触面约束。

约束力
UJV
N E uuv
uu
N A 和 N E
，在A
的方向分别沿其接触表面的公法线， 外，在 并指向杆。

其中力
uuv
N A 与杆垂直,
通过半圆槽的圆心 Q
力 AB 杆受力图见下图（a ）。

和C 对它作用的约束力 N
B
o
------- r -------- —
y —
uu
v N C
铰销
此两力的作用线必须通过
（b ）由于不计杆重，曲杆 BC 只在两端受 故曲杆BC 是二力构件或二力体，
和 B 、C 两点的连线，且
B O两点的连线。

见图（d）.
第二章
力系的简化与平衡
思考题：1. V ;2.
＞；3. X ；4. K 5. V ;6.
$7.
＞；8. x ；9. V .
1.平面力系由三个力和两个力偶组成， 它们的大小和作用位置如图示，
长度单位
为cm 求此力系向O 点简化的结果，并确定其合力位置。

uv
R R 解：设该力系主矢为 R ，其在两坐标轴上的投影分别为
Rx
、
y。

由合力投影定
理有:。

4.梁AB 的支承和荷载如图, 小为多少？
解：梁受力如图所示：
2. 位置:
d M o /R 2500
0.232 火箭沿与水平面成
F ,
100 0.6
100 80 2000 0.5 580
m 23.2cm,位于O 点的右侧。

25°
角的方向作匀速直线运动，如图所示。

火箭的推力
kN 与运动方向成
行方向的交角
解：火箭在空中飞行时， 若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。

这 时画出其受力和坐标轴
5
角。

如火箭重P 20°kN ,求空气动力
F 2 和它与飞
x 、y 如下图所示，可列出平衡方程。

CB
AB ，梁的自重不计。

则其支座B 的反力
R B
与飞行方向的交角为 由图示关系可得空气动力 90° 95°
----- uv
M A(F) 0 得:
J2J2 o
4 2 1 10 40 ——1 40 「4 R B sin 30 4 0
2 2
R B 50、2 1 69.7
解得; kN
5•起重机构架如图示，尺寸单位为cm,滑轮直径为d 20cm,钢丝绳的倾斜部
分平行于BE杆，吊起的荷载Q 10kN，其它重量不计。

求固定铰链支座A B的反力。

解：先研究杆AD如图（a）
⑻
（b）tan 3
4
CD 10 sin sin 3
由几何关系可知：
----- uv
M A(F) 0 Y D g800 Qsin (800 CD) 0 由
Y 0 Y A Qsin
5.875 …Y D0
解得：
再研究整体，受力如图（b）,由
Y A0.125 kN
X A X B 0
Y B Q 0
X B g600 Q 800 300 10 0
Y B 10.125 X A18.5 X B 18.5
kN
解得：
6.平面桁架的支座和荷载如图所示，求杆1，2和3的内力。

解：用截面法，取CDF部P分，受力如图（b）,
--------- uv
M D (F) 0
F
0 F 2
-F
解得：卜3 0 ,
3
(压)
再研究接点C,受力如图(c )
至少应为多少才夹得住而不至滑落
X 0 F 1cos10° F 1' cos10° N 1cos80° N ；cos80° 0
I
I
根据结构的对称性及F F '知:
F I F I , Nl Nl
②
I
I
钢管处于临界状态时：F1 fN1,F1
fN1
③
10.杆子的一端 A 用球铰链固定在地面上，杆子受到 30kN 的水平力的作用，用两
根钢索拉住，使杆保持在铅直位置，求钢索的拉力
F T 1
、F T 2和A 点的约束力。

解：研究竖直杆子，受力如图示。

uv
由 M X (FJ 0 30 4 9F T2 cos sin 0 ① --------- uv ' M Y (FJ 0 6F T1 F T2 cos cos 0 ②
2
—aF aF 2 0
3
2 uv M F (F) 0
F I
解得：
(压)
8.图示夹钳夹住钢管 ,已知钳口张角为
20° F
5
F1。

问钢管与夹钳间的静摩擦因数
联立可解得
cos80o cos10o
0.176
既钢管与夹钳的静摩擦因数至少应为
0.176才夹得住而不至滑落。

解：取钢管为研究对象，受力如图.列出平衡方程
（5）.图（e ）中动点是滑块上的销钉
M 动系固结于L 形杆OAB
Y A F T2 cos sin 30
0 ④
F
T 2
sin
Z A
⑤
sin 0.6 COS 0.8 ⑥
将⑥代入①得：F T 2 45.8
kN
将 F T 2 45.8 kN 代入②可得：
F T 1 26.7
kN
⑤可得:
既 F NA 8.90i 16.67j
40.00k
14.已知木材与钢的静滑动摩擦因数为
fs 0.6
，动滑轮摩擦因数为fd 0.4，求
自卸货车车厢提升多大角度时，才能使重的木箱开始发生滑动？
解：取木材为研究对象，受力如图所示
Y 0
N pcos 0
（ 2）
式中 F S
F s N （ 3）
联立（1 ）、（2 ）、（3）可得：
tan f s
0.6
arcta n0.6 31O
第三章
点的合成运动
判断题：
1.V;
2. ＞；
3. V
习题三
相对运动和牵连运动为何种运动？画出在图示的牵 连速度。

定系
固结于地面;
（1）.图（a ）中动点是车1,动系固结于车2；
（2） .图（b ）中动点是小环 M 动系固结于杆 OA
（3） .图（c ）中动点是L 形状的端点A ,动系固结于矩形滑块 M
（4）.图（d ）中动点是脚蹬 M 动系固系于自行车车架;
F T2 COS COS
X
A
F
T1
③
由三角关系知:
5
COS ----------- 0.486
V106
sin 0.874
X A 8.90kN , Y A 16.67kN ,
Z A 4°.°° kN
(kN )
F S psin
(1)
1.指出下述情况中绝对运动、 将
分别代入③、④、
e
(d)
解：（1）绝对运动：向左做直线运动；相对运动：斜相上方的直线运动； 牵连运动： 向下直线
运动。

牵连速度 V e 如图（a ）。

（2） 绝对运动；圆周运动；相对运动：沿 0A 的直线运动；牵连运动：绕 0的定轴 转动。

牵
连速度Ve 如图（b ）。

（3） 绝对运动：以 0为圆心，0A 为半径的圆周运动；相对速度：沿
BC 的直线运
动；牵连运动：竖直方向的直线运动；牵连运动
Ve
如图（c ）（4）绝对运动：曲线运动
（旋轮线）；相对速度：绕0的圆周运动；牵连运动：水平向右的直线运动。

牵连速度Ve 如图（d ）。

（5）绝对运动：竖直方向的直线运动；相对运动：沿 AB 的直线运动；牵连运动：
解：（1）先求°lB 的角速度。

取滑块 A 为动点，动系与摇杆 °lB
相固连。

定系与 机架相固连。

因
而有：
绝对运动：滑块 A 相对与机架的圆周运动； 相对运动：滑块 A 沿槽作直线运动；
牵连运动：随摇杆 °1 B 相对于机架作定轴转动。

uuv uiv uu/ 根据速度合成定理，动点 A 的绝对速度V aA V eA V rA
式中各参数为：
(C) 绕0的圆周运动。

牵连速度
如图（e ）。

(e)
4.牛头刨床急回机构如图示，轮0以角速度
水平支承面往复运动。

已知
0A=r =15cm,
刨床速度。

rad/s 转动，滑块E 使刨床枕沿
00 L
' 3r 。

试求0A 水平时
0,B
角速度和
77?
V eA V aA COS °i Ag 0 COS
故摇杆OlB 的角速度：
I 1 Wq B V
eA /01A
W ° COS ?
5
4 1.25曲 / S
取滑块E 为动点，动系与摇杆 °1B 相连接，定系与机架相固连。

因而有: 绝对运动：滑块 E 沿滑
道作水平直线运动； 相对运动：滑块 E 沿斜滑槽作直线运动；
牵连运动：随摇杆 °1 B
相对于机架作定轴转动。

uuv urn urn 根据速度合成定理：V aE V eE V rE
m/s,方向水平相左。

6. L 形直OAB 以角速度丨绕°轴转
动，°A 1
，°A 垂直于AB 通过滑套C 推动 杆
CD 沿铅直导槽运动。

在图示位置时，/
AOC ，试求杆CD 的速度。

解：取DC 杆上的C 为动点，OAB 为动系，定系固结在支座上。

uv LU IU
由V a V e V r ，作出速度平行四边形，如图示：
解：取CD 杆上的点C 为动点，AB 杆为动系。

对动点作速度分析和加速度分析，女口
LN UU UU
图（a ）、（b ）所示。

图中：V a V e V r
I --------------------- 1
■
则 V e V a °i Agw 200（mm/s ） V a Mos 100
亦⑸
故 V CD Va =100 （ mm/s ）
2
2
UU IN UU
又有.a e a A °i A
400（mm/s ）因 a a a e
方向 水平
杆QB 偏左上
E O 1
由图示速度平行四边形可得： 4 0.15 1.25
、/
V e E °1Cg W
o 1B
73
V aE —
:
=
sin
sin 2
0.866 7.
V e °Cg V a V e gtan
即:
V
CD V
a
°A
------- g cos l cos l sin ------ t an 2 cos ------ c os l sin 2
CO
S
°1A °1B 100
mm,
图示平行连杆机构中，
I brad/s 绕°1
轴转动，通过连杆 AB 上的套筒
°1
2 AB'匸。

曲
带动杆CD 沿垂直于°1。

2 以匀角速度
的导轨
运动。

试示当
60o 时杆CD 的速度和加速度。

2
即.a cD a a 346.4(mm/s)
故.
a
a
a
e
Sin
、3 400
2
2
346.4(mm/s )
第四章刚体的平面运动 思考题
1.X ；
2. V ;
3. V ;
4. V ;
5. X
习题四
1. 图示自行车的车速 v j 83m/s ，此瞬时后轮角速度 w 3rad/s,车轮接触点 A 打滑，试求点 A 的
速度。

解：如图示，车轮在 A 点打滑，v ° v
h^m/s,
3=rad/s,车轮作平面运动，
以O 为基点。

uv uv uuv V A V O V AO
故A 点速度为：
V A V O R
1.83 0.6604 3
0.15m/s （方向向左）
2.
图示平面机构中，滑块 B 沿水平轨道向右滑动，速
度
V B
「5cm/s,求图示曲
柄OA 和连杆AB 的角速度。

解：速度分析如图示， AB 作平面运动。

由速度投影定理得:
v A sin v B cos
2
1.5 10 25
故: v A v B cot 606.25 10 3m/s
uv uv uuv
由V A V B V AB
作出速度平行四边形如图:
V A OAg 0
AB
PA 2gAB
1 —— ■
3
v 6.25 10
OA
OA 1 6.25 10 3 rad/s
V B PBg AB
OAg 0
r
i| I
B
AB
1.625
i02 252 2.5 10
3.瓦特行星传动机构如图所示。

齿轮n 与连杆 AB 固结。

已知: 75cm, AB 长 l =150cm 。

试求
轮I 的角速度。

只
八0
90°、
30 3cm,OA rad/s 时，曲柄°
B 及齿
r i
r 2 解:
OABO ,
是四杆机构。

速度分析如图。

点
P 是AB 杆和轮n 的速度瞬心，故:
100c m
V
AB V B /SZ
1.625cm/s
rad/s
AB
3
：
r 12cm 。

试求当杆 OA 的角速度
8rad /
s 2时，齿轮I 上 B 和C 两点的加速度。

n n n ------------------------------------ 2 a B a A a
BA
2r 96(cm/s )
故；B 点的加速度 a B J (a B )2 (a B )2
96(c m/s 2)
uv uv n
(2)以A 为基点，对C 点作加速度分析如图(c ),有
a C a
C
2 2
大小？？ 2r , 2r , 2r , 4r 方向皆如图所示
将上式分别向AB 和AB 垂线方向投影，得：
a C 6r 2 a C 4r
故 C 点加速度：a C 、(a C )2 (a C )2
48
°(cm/s 2)
V B
O ,B
O 1B
3.75
杆
两轮齿合点M 的速度和轮I 的角速度分别为:
的角速度为:
rad/s
V m PM g AB
1 Vm
6
r 1
rad/s
向AB 垂线方向投影得:
a B
6.在图所示星齿轮结构中，齿轮半径均为
2
rad/s 、角加速度 解：(1) B 为轮I 的速度瞬心，
.设轮工角速度为「1
V A 2r
2r r 1
轮工角加速度
大小：？？ 方向皆如图所示:
d 1
2
d
1
dt dt 2
2
V B
2r 2r 2
2r
r
b ),有
向AB 方向投影得: uv uiv uuv uuv
n
n
a A a A a CA 9C A
V B 0
取A 为基点，对B 点作加速度分析如图(
uuv uuv
广-
n
a
BA a
BA
8. 图 示 小 型 精 压 机 的 传 动 机 构 ，
OA O i B r BD AD l
0.4口。

在图示瞬时，OA 丄AD , °心和
EF 在铅直位置。

已知曲柄 OA 勺转速l n =120r/min,求此时压头 F 的速度。

解::速度分析如如图，粮二宅D 及 AD 均作平面运动，点 P 是杆ED 的速度瞬心，故:
V F V E V D
2. F n 不做功是因为在 F n 方向上位移为零且速度为零
F n
;瞬心上的力不做功是因为瞬心的
速度永远为零，位移产生。

3•—般平面运动的刚体上式不成立。

齿轮是因为两个原因：
a.均值一重力对质心。

瞬心的
力矩为零；b.做纯滚动。

4. 相同
5. 地面给运动员的反作用力，使质心产生加速度；反作用力的水平分力使运动员动能增加； 产生加速度的
力不一定做功。

第五章动力学普遍定理的综合应用
说明：动量定理、动力矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。

这些普遍定理都可以当作 是对质点系中各质点的运动微分方程进行一次积分的结果。

因此在求解动力学问题时，
不必
每次都从动力学基本方程出发，而只须直接应用普遍定理即可求解。

5.1 解：圆柱体的受力与运动分析 5.2 如图所示
由平面运动微分方程得
由速度投影定理，有
V D C0S V
________ I
—
解得：
V F
V A
COS
rg2
60
n J l 2
r
2
1.
295
m/s
1.判断题
第五章 思考题
(1 )X uv
(2)x
(3) V (4) uv
V (5)V
[uv
ma C = mgs in 60° - F - F r F N - mg cos60° = 0 】mr 2
a = (F r - F )
r 2 且有 F 二 fF z , a c = rga 联立以上方程解得：a c = 0.335g 5.2解；分别研究重物 A 与鼓轮，受力与加速度 分析如图，对重物 A 有： 口念二 mg- F 1 = F 2- F s
对轮子有： 2 m 2r a = F 2r + F s R 其中
a A
a = --- ----- R+ r a ° = R ?a F i = F 2 mg(R+ r)
a A = 2
m i g(R+ r) + 解得 5.3解：该系统初动能为零，设曲柄转过 2
2
1 1 w
W + -g - 2 盹-22 g
1
m 2
(
R 1 W v °i
2
= M
+ r ) j 角时的角速度为w ,则有 2 2 r W A +
2 g
R+ r ------ w r
j
3Mj g 2 w = 一
R+ r 丫
9w+ 2 p 解得 对时间求一阶导数且j = w 解得 小 _
6Mg a = 2 (
2p + 9w )
l 3Mw (2 p+ 9w )
l
F T = W rW 0i
g
习题五 已知均质杆AB 长为I ,质量为m 滑块A 的质量不计。

q= 30°, b
= 4.如图所示机构中，
试求当绳子0B 突然断了瞬时滑槽的约束力即杆 AB 的角加速度。

解： 取x 轴平行于斜面，故 AB 的运动微分方程为
t= 0 时; w= 0 el 0 ma l y o
ma i x = mgsin30 mg cos30o - N 1 2 o F —ml e = N cos30 g-
2 2
只
八。

60
第六章分析力学基础
1. 堆静止的质点不加惯性力，对运动的质点不一定加惯性力。

2. 相同
3. 第一节车厢挂钩受力最大，因 惯性力与质量成正比。

4. 是理想约束，音乐书反力不做功。

5. 不正确。

实位移是真正实现的位移与约束条件、
时间及运动的初始条件有关，而虚位移仅
与约束条件有关。

6. 广义力不一定都具有力的量纲。

广义的力是由系统所有主动力的虚功总和除以广义虚位移 而得。

7. 质点在非惯性坐标系中的相对运动，拉格朗日方程
不适用。

第六章分析力学基础
本章介绍了静力学中研究平衡问题的方法来解决动力学问题的达朗伯原理， 介绍了从动力学
功与能的角度来解决静力学平衡问题的虚位移原理。

以及广泛用于动力学问题的拉格朗日方 程。

以维持平衡，不计摆杆重量，求摆杆与铅垂线所成的角0和B 。

动力学微分方程。

解：选平衡位置为系统的零势能位置, 以—为广义坐标，则该系统的动能势能和拉格朗日函数为
1
J 2
2
1
_mgl(1 cos )
系统的拉格朗日函数为
又因为 o
代入②得: 再代入③得:
ur uu uuu uuu
■ t . n
a l = a A + a r + a r ④ uur n c
a r = 0
=a t r gcos30o
mgcos30o
1+3cos^o = 0.266mg 6gcos 2 30o _ 18g e = ________ —
1+ 3cos 2 30o 13l
3.如图所示双锤摆，摆锤 M 、M 2各重P 和R,摆杆各长为 a 和b 。

设在 M 上加一水平力 F
T | cos
P
1
P 2
T ( sin
F
I n （图）
r
T 2 cos T 2 sin
tan
tan
F P 2
4..质量为m 长度为丨的均质杆在端点
1 1ml
2 2
2 3
C
112 2 1
L T v ------------- ml — mgl (1 cos )
2 3 2 代入拉格朗日方程有：
. . . d(1 1ml 2 2) 2(丄)丄
dt dt 可得动力学方程： 1mgl sin 1ml 2 1
mglsi n 0 3 2 6.质量为m 长度为丨
的均质杆 质圆盘的中心，如图所示。

圆盘可在水平面上纯滚动，若系统从图示位置（此时杆处于水平 位置）由静止开始运动，求运动初始时刻杆与轮的角加速度。

AB 在端点A 通过光滑铰链连接于半径为 r 、质量为M 的均 解：t 0时， 以杆AB 为研究对象画受力图列方程
ma cx ms^y 1 [2 —
ml k Y A
AB
④ X A
mgY A
MS A
F X A
N Y A
1 2
—ivir F r
2
Q a
CA
1 二
2 ⑦
X A X A ；Y A Y A
⑤
⑥
以轮为研究对象
AB 丫
A
将①和③代入②得 C
6g AB 5l 由于轮做纯滚动 a cA r 6g
5r 8.如图所示两等长杆 AB 与BC 在点
B 用铰链连接，又在杆的D E 两点连一弹簧。

弹簧的刚 度系数为k ,当距离A
C 等于a 时，弹簧内拉力为零，不计各构件自重与各处摩擦。

如在点C 作用一水平力F ，杆系处于平衡，求距离 解:（图） AC 之
值。

b F k F k ， kp(x a) 弹簧力如图：为 各力作用点横向坐标及其变分为 X D X E X C (l b) cos (l b)cos 2l cos X C x (l x (l
2l sin b)si n b)si
n
Fl
x a —2 解出 kb
第七章拉伸与压缩 习题七
1.图示阶梯杆，Pl = 2
kN 、P? = 3 kN , dl =
12
mm d 2 =
8
口① I = 500 mm 试求：（1）
绘轴力图；（2）最大正应力。

代入虚功方程
F x X D
F k
X D
F k'
X
E
F
xc 0
N 1 P
1 巳
5kN
I max
59.7 d 22
3
3 10
4 8^ =59.7 MPa
MPa
2.钢杆受力F =400 kN ，已知拉杆材料的许用应力
[s ]
= 100 MPa 横截面为矩形，如 b =2a ,
试确定a 、b 的尺寸。

解：根据强度条件，应有
P P _L___
A ag ）
将b 2a 代入上式，解得
------- I __________
400 10 3 2_100 叽 44.72mm
由 b 2a ，得 b 89.44 mm
所以，截面尺寸为b 89・44mm a 44・72mm
2
6.图示结构中，梁AB 的变形及重量可忽略不计。

杆①、②的横截面积均为4°°mm
,材料
的弹性模量均为200GN/m 2。

已知：L =2m, h=1.5m, 平，载荷P 的作用点C 与点A 的距离x 应为多少？
解：对AB 杆进行受力分析
M B 0 N 1gL Pg[L x) 0 M A 0 Px
解上二式得:
N 2gL 0
P(L x) N Px L N2 L
解:
（ 1）
N2W
2
A 2
N 2
3kN.m
"2 =1m,为使梁AB 在加载后仍保持水
得： 解得：
x 1.2
7.试校核图示联接销钉的剪切强度。

已知
P =100 kN,销钉直径d =30mm 材料的许用剪应力
[t]
= 60MPa 若强度不够，应改用多大直径的销钉?
解：(1)剪切面上的剪力。

校核销钉剪切强度
3
Q Pg! 100 10 4
A 2 d 2
2 302 10 6
70.7MPa
所以销钉强度不合格。

Q Pg4 A 2 d 2
mm
& 木榫接头如图所示， a =b =12cm, h =35cm, h =4.5cm 。

p =40kN 。

试求
接头的剪应力和挤压 应力。

欲使加载后AB 保持水平，应有
Vl i VI 2
EA Vl 2
"EAT
P(L x)gl 1
P(2 x)gT5
Pgxg!
L
d
! 4 100 103
所以
\2 g
\2 60 106
32.57
解：作用在接头上的剪力
，剪切面积为bh
接头的剪切应力为
作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为
3
40 10 门 P a 12 35 10 4
H i
3
40 10
j
bc
4 12 4.
5 10 4
Pa
=
:7.41 9.由五根钢杆组成的杆系如图所示。

各杆横截面积均为 线
AC 方向作用一对20 kN 的力，试求A 、
解：A 铰链受力如图所示，
由平衡条件
MPa
2
500 mm ，E =200 GPa 。

设沿对角
C 两点的距离改变。

X 0弘 Pcos45 0 Y 0 Psin45 N 2
N 1 ——P 2 N 2 一 P
2
由于结构对称，故有
亚P
2
B 铰链受力如图，由平衡条件
X 0 N 5cos45 N 1 0
(2)根据强度条件
接头的挤压应力为
°.952MPa
be ，
P 和 解上式得 N 3 N 4
0.683 10 3a
10.厚度为10mm 的两块钢板，用四个直径为 12mm 的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力
P=20kN ，如图示，试求：（1 ）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3）绘出上板的 轴力图。

解：（1）铆钉的剪应力
P
由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为
4
3
20 10
122 10 6 44.23MPa
解：物块A 受力如图
X 0
P N 1 N 2gcos30 0 ① 由图可知系统变形
协调关系为
VL 2 VL |gcos30
血2也亦30 即 _ EA ____ E A ______
将L 2 2h , L 1
3h
代入上式
3
N 2 -N 1 得： 4 ②
将②式代入①式，解得N1 0.606
P
第八章轴的扭转
判断题:
1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。

（错）
2.扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆 件的材料和横截
面的形状大小无关。

（对）
3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。

（错）
解得N 5 P
杆系的总变形能为
P 2a （2 42 2EA
应用卡氏定理，A 、
4山 U 2EA 2EA
C 两点的距离改变为
PA (2
(2 J)g
3
20 10 a 20^10^50^10
所以
Q Pg4
A 4g d 2
(2 )钢板的挤压应力
)P
L
P J A j
4孔
3
20 10
4 10 12 10 6 41.67MPa
15kN
10kM ----------
©
（3）上板的轴力图
11.求图示结构中杆
1、2的轴力。

已知 EA P 、h ，且两杆的EA 相同。

4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上
的剪应力也相同。

（对）
5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。

（错）
6. 木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。

（错） 7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。

（错）
习题八
1直径D=50mnm 勺圆轴，受到扭矩 T =2.15kN.m 的作用。

试求在距离轴心 10mm 处的剪应力， 并求轴
横截面上的最大剪应力。

Tg Tg g32
2.15 103 10 10 3 32
解：
Ip
gD 4
504 10 12
35MPa T
2.15 103 16
截面上的最大剪应力为：
Wp
°.°5
87.6MPa
4 .实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速
n =1.67r/s ，传递功率
N =7.4kW ，材料的[t]= 40 MPa 试选择实心轴的直径 d1和内外径比值为 1/2的空心轴的外 径D 2 O
由实心轴强度条件：
T 16T
W gd 13
可得实心圆轴的直径为
2
16 705
40 106 44.8mm
空心圆轴的外径为：
取轴径为d 33mm
6.某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩
T =5.4N.m ，若材料的许用剪应力
[t ]=30
MPa
解: 轴所传递的扭矩为
9550 N 9550
n
7.4 1.67 60
705 N.m
max
16T
—
3
（1
）；
40 106 （1 0.54）
45.7mm
5.机床变速箱第H 轴如图所示，轴所传递的功率为
N=5.5 kW,转速 D 2
3
16 705 n=200r/min ,
[t ]= 40
材料为45钢， 解：轴所传递的扭矩为 N
5 5 T 9549 —
9549 — n 200 263 N.m
由圆轴扭转的强度条件
MPa 试按强度条件设计轴的直径。

T
16gr W
gd 3
可得轴的直径为
max
些匚 3
16 263 ■■ 40 106
32.2 mm
所以取直径d 16.7mm
5kN.m
15kN_rti
,o
G=80GN/m 「，[q ]= 0.5
/m ,试计算轴的直径。

解：由圆轴扭转的强度条件
T
16gT
W cd ； 可得
轴的直径为
max
d i
16T
_
3
16 5.4
V 30 106
9.7
mm
由圆轴刚度条件
T 180 32T 180 Q -------- g — ------------ T Q —
Gl p G d 24
可确定圆轴直径
d 2
4
180 Tg32
-
180 5.4 32
2
4J -----------------
Gg g
； 80 109
2
0.5
16.7 mm
7 .驾驶盘的直径
f = 520 mm 加在盘上的力
P=300N,盘下面竖轴的材料许用应力
[]=0
MPa （ 1）当竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴, 试设计轴
的内外直径；（3 ）比较实心轴和竖心轴的重量。

解：方向盘传递的力偶矩
m Pg 300 520 10 3
156 （1）由实心轴强度条件
T
16T
W
d 3
得轴的直径：
max
N.m
16T
3
： 16 156
V 60 106 23.6mm
N AB 20 10 5 5
kN.m
r
0.8，
8•直杆受扭转力偶作用如图所示，做扭矩图并写出
T
max
(2)空心轴的外径为：
解: (1)
1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。

（对）
2. 最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。

（错）
3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。

而与外力偶无关；其弯矩值等 于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。

（对）
4. 两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯 矩图也不一定相同。

（错）
5. 纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。

（错）
6. 平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。

（对）
7. 若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。

（错）
8.
若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。

（对）
9. 两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，
而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。

（错）
10. 不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。

（错）
习题九
1•设P 、q 、、|、a 均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式,
判断题:
kN.m
©
e
绘出Q M 图并出Q max
值和
M max
值。

(a ) 解
释: AB 段:
Q(x)
P (0 x L)
M (x)
Px (0 x L)
BC
段:
Q(x) P
(L x
2L)]
M (x)
2PL Px (L x 2L)
Q 1 Imax
P l M
max
PL
(b )解: AB 段 Q (x)
qx |
(0 x
1 2
M (x)
—qx 2
(0 x
I)
9
Q(x)
qx -qL
BC 段
8
L
3L 、
(一 x —)
2
2
M M 并用微分关系对图形进行校核
64 M M ©
3. (a ) (b)
(b )解：根据平衡条件球求支反力 —x 2 32L
) 5qL
~8~
max
6WKN J31
|Q| max
IQ
max
2.绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出
(a )解：根据平衡方程求支
1
. 2 max qL
8
M (x) 1 2 9 9 2
-qx 一 qLx —qL
2 8 16 |Q|max 二年
max = pa
R A 16
kN,
26
R
B
T
kN
做剪力图, 弯矩图
[I
20 Qmax
§
max
9 kN.m
R A =
2p
------ 1
3 R B = P
3
做剪力图、弯矩图
1
KaXEOT
30
y
和 1
0 -
© a
1
a
嗣
14
1. 4.已知图示各梁的载荷P、q, M和尺寸。

(1)作剪力图和弯矩图；(2)确定|Q max值
和J" |max值。

(a) (b)
1Q
(g)
o
(h) !2
qa^3
o
lkN
b
c
10
IM
Q max= qa 1 2
M max 二 一 qa
2 1 2 8qa
Q| max = qa |M max =
5.设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。

已知梁上设有作用集中力偶。

⑻ ---------------------------------------------------------------------------- X 3KT …丫 cj=lkNAn ------------ 41cN
2角Hd
20kM/m
4 SIN htt
IdkN
lOkH
A /
就
6 创80 10
—2 £[s ] 2h >h 2 3
b 2 6.矩形截面悬臂梁如图所示，已知 l =4m, h 3
截面尺寸。

解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上， 1 2 1 2 M max = -ql =（—仓巾0 4 ） = 80knm 2 2
m 80 ' 103 , —二-q ——? [s] w
1bh 2
6
梁的强度条件
,q =10kN/m, 10
MPa,试确定此梁横
2 b 二 一 h 二 277mm
3
所以 h = 416mm , & T 字形截面梁的截面尺寸如图所示， 若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩 M=30kNm,
试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力； （2）证明截面上拉应力和压应力之和，而其组成 的合力矩等于截面的弯矩。

解：（1）计算T 字形截面对形心轴的惯性矩 50 1503 2 150 503
2
50 150 50 ----------- 50 150 50 l z 12 5312.5 104 mm 4 最大拉应力发生在截面最下边缘
M gy 1 tmax
12
3 3
30 10 75 10 |
z
531 2.5 1 04 1 0 12 最大压应力发生在截面最上边缘
M gy 2
cmax
42.35MPa 3
3
30 1 03
1 25 1 0
|
z
5312.5 104 10 12 (2)证明：①中性轴上侧压力之和为 7°.59MPa
0.125
M gy
F C
c0.05gdy 1 Z
中性轴下侧拉力之和为
o.。

25
M gy “」 —
c0.05dy
F t
l z
Mg0.05
：125ydy M g3.90625 10 4 I Z I Z °-°
75Mgy
g0.15giy
0.025 I
z M 0.025
0.075
0.05ydy
0.15 ydy
0.025
1
Z
M 4
I g3.90625g10 F c F t
所以截面上拉力之和等于压力之和。

②截面上合力矩为
b= 2 h
3代入上式得 2
u
3 3创6 80? 10 \ 3 h 3 ( ---------------- 6
— )m 2 创10 106
2 2 2
0.125
MV 2 0.125 MV 2 0.075 MV 2
----- g0.05gdy ------------ 0.05dy ----- 0.15dy 0
I b bl 0 I 丿 0.025 I 丿
M g3.05g10 9g!062500 I
z
一 0.05g10 9g!°62500
M g
4
12
5312.5gl04
gl0 12
M
所以合力矩等于截面上的弯矩。

c
80MPa
max
y
max
z
由A 截面的强度要求确定许可荷载。

由抗拉强度要求得
M D 2 P L 2g 2
9. T 形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力 t
40MPa
，许用压
t I
z
P 1
0.8
Y 1
由抗压强度要求得
0.8 6 8
40 10 10180 10
9.64 10 2 N 52.8KN
—I ________________________________________
c I
z
1
80 1 06 1 01 80 1 0 8
P —
0.8
Y 2
0.8
15.36 10 2
由C 截面的强度要求确定许可载荷： 由抗拉强度得：
t I z 1 40 106 10180 10 8 P
丄
°.6
y
2
0.6
15.36 10 2
显然C 截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。

许用载荷为
P 44.1 KN
10.矩形截面的变截面梁 AB 如图示，梁的宽度为
DB 段许用应力为 2a 应取多少？
解：由题意可得 CDE 截面的弯矩值
N 66 KN
N 44.1KN
b ,高度为 2h （ CD 段）和 h （AC
，为使截面C 、E 、D 上的最大应力均等于
，加强部分的长度
a)
，试求梁的许可载荷
应力
根据弯曲正应力强度条件
M E
M C
max
M
W Z
M C M E
W Z 1
W Z 2
PL . P L
I (2 a) 2g
L
^bh 2 胁即
6
6
截面上最大应力值为
欲使截面CDE 上最大应力相等，则有
解得
2a
3L 4 200 109
7.54 10 8 3
4 10
64
El z
M
跨度中点C 的挠度。

1 __________________ L A 「77.4 .77.4
2 0.752 3.6mm
77.4m
1 2
f
A1
解：（a ）查表得
I 3 pl
f
A2
m(-)
I 3 pl 24EI
2EI
8EI
y c
13.用叠加法求图示各梁截面
A 的挠度和截面
B 的转角。

EI 为已知常数。

Q
B1
Q
A
pl 2 8EI
Q
B2
ml
EI
pl 2 EI
由叠加原理有
pl 3
9 pl 2
f
A2
6EI Q B
Q
B1 Q
B2
8EI
（b ）由图可
知
A2
A1
A1
所以, ，查表得
1
f A1 2
5ql 4
384 EI
黠）
由图可知
Q B
Q BI
Q B 2
Q B Q B 2
Q
B1
2ql 3 384 EI 组合变形 1
2
Q B 1
-^― (Z ) 384 EI
Q
B
而 第十章
1.已知单元体应力状态如图示
的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置; 主应力方向；（4）最大剪应力.
解：（1）
30
斜截面上的应力：
，所以
（应力单位为 ），试求：（1）指定斜截面上
（3）在单元体上画出平面位置和
30 50
2
=52.3
30 50
--------- cos(2 30 ) 2
30 50
sin(2 30 ) 20cos(2 30 ) 2 =18.7
(2 )主应力和主平面
30+50 30+50 2 2 max ( )2 202
2
62.36
30+50
min
30250)2 202
17.64
tg2
2 ( 20)
30 50
31.72
(3 )图1
62.36 217.64
max 30250)2 202
22.36 Mpa
（4）
2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40 kN,横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[I l]=120Mpa，试校核横梁的强度。

解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点，平衡条件M c(F) 0.
N AB sin30 3.5 P 1.75 0
N AB P 40 kN
F Y 0
Y C N AB si n30 P 0
P
2 2°kN
F X 0.
Y c
X c N AB cos3034.64k N
（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。

中点。

M max 20 1.75
35 kN.m
（3）应力分析
18号槽钢AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于b N4B
]
1.75m
W Z 2 152.2cm3
2
A 29.29 2cm
3
34.64 10 /(29.29 2 100) 35
(4)强度分析：
AC
121 120
120
8.3 10 3
0.83% 5%满足要求
3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径
d =30mm 材料为C 235钢,
试按第三强度理论求最大起重载荷
Q
解：（1）轴的外力
Q 向轴简化为Q-弯曲
M n 200
力偶 （2）内力一见图 危险截面位中点：
Q —扭轴
W7A
M n 200 QL 4
Q 600
4 150Q
轴发生弯曲与扭转组合变 （3）强度计算：
M m ax
xd3
(2002 1502 ) Q
0.1 303
3
Q 0.1 30
80 胡502 2002 860N
最大起重载为860N.
300
M 2n M 2 max
W Z
—,_1—
^o o
4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C 直径为 d
D
=5 kN,齿轮D 的直径为
试用第四强度理论求轴的直径。

解：（1）外力分析，
P 2 80Mpa
P 2
150Q
=30om m 其上作用
着
向力 =150m m 其上作用着水平切向力 向AB 轴简化，如图
m cd c L 300 m R ?
一
5
—
2 2 75°KN.mm
(2)内力分析:
在m 作用下轴发生扭转, 变形。

=10kN 。

若[]=100Mpa ，
300
P 2
作用下轴发生弯曲变形，所以
AB 轴为弯曲组合
在R
、
n
150
JkSi
1
____
〔87.5KN.m
m
5.已知应力状态如图所示(应力单位为：MP3。

(1)分别用图解法和解析法求(a)、(b)中指定斜截面上的应力；
(2)用图解法求(c)、
(d)、(e)、(f)上主应力的大小与方向，在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。

(1)( a)解析法解：
50 30 50 30 cos60
2 2
45 MPa
5°—%60
2 8.66
解析法求解:
50 50
45尸尹0S9°20Sin 90
5MPa
4550 si n90 20cos90
45 2
25 MPa (2) 图解法:
uuu OA uur OB 50 50
max OD150
MPa
主平面位置
(d)解：作应力图
uuu
1 OA 55
MPa
MP
a
6
4
込
bl
^0)
V J+.i
60°
MPa
4
I> 1(-30
MPa
/
Pa
8
D=200mm,已知A点在与水平线
6.图示一钢质圆杆，直径
2 0 27
2 0 27°
——uuu
3OB 35
1 OA 45MPa uuu
3 OB 45
LOT
"°—- J0
60方向上的正应变max
uuu1
CD45M Pa
2 027°
（e）解：作应力图
uuu
max
OD 45MPa
uun
(f) 1 OA 5
uuu
3
OB 85M
------ uuur max
CD1-45.
4.1 10 4
，试求载荷P。

已知
解：（1）绕A点取一单元体，应力
状态如图：
30°
(*］巧
2 2COS120
o
——cos( 60 )
2 2
（2）由广义虎克定律得:
60°
2
210GN /m
4E
4 210
2.72
4E
103 4.1 10
2.72
126.6
(3)载荷P：
----------- 126.6
P gA
M n 2.5
7.扭矩
D2
4
103
J^1(40^)/卫
DX50/20)
0.28
30°
200
126.6
2
作用在直径D=60mm的钢轴上，若i E 210GN /m,
39.78 10
0.28
3 3
2.5 10
10
60°
603
」
58.9
(2) 30° sin2 30°
，试求圆轴表面上任一点在与母线成 解：
（1）绕A 点取一单元体， 应力状态如图：
58.9sin 60° 51
sin 2 ( 60°)
6°
o
51
51 0.28 ( 51)
3
210 10
0.311 10 3
30°
(3)
1 E 30
3
°°方向上的正应变。

A
第章能量法
1试计算图示各杆的变形能，抗拉（压）刚度 EA 抗弯强度EI 均为已知，其尺 寸如图。

解：（a ）杆的变形能
N 2(x)dx
u
i
2 EA( x)
2
(P)2
l
p 「l 2EA
2EQ2A)
各段弯矩值为:
C
(b )梁的变形能
A
3P l 4E
丿
L'
_ £
CD
4
-x 1 (0 x 1
3 4 X 2
DB
X 3
(°
AC
2
dx
2
i 3 °
2
.
l (
3 X 3
2l
3
l 3 2l 3 l 3
2l £ - 3)
3[
CD dx 2
,4 (3px 2
2
3
M
DB dx ° 2
pl)2 dx 2
l 0 2
dx
1
123 2l 3
729
直杆受力作用如图所示。

如已知杆的抗拉（压）刚度
2
l
( o PX 3) 3 —3
dx 0 2
3
EA 抗弯刚度El 和抗扭
GI p
，试用卡氏定理计算杆的轴线伸长和扭转角。

刚度
解：（a）变形能
2. 2.
p l m l u ------
------- --
2EA 2GI 线
伸长
pl
EA
扭转角
（b）变形能扭转角u ml m
GI p
2. 2. m l m l u
——
GI P2EI u ml m
GI p
u Ml
m EI 转角
3.试求图示各梁
解：
（a）
M
BC
M0A点的挠度和B截面的转角（EI为已知常数）。

M AB px px pl
EI 1
EI
7 pl3 6EI(
0M A B CM0dx 7( px pl)g x)dx
l
px dx l (px plx)dx
1 B EI
1
2p 兀
2EI
7( px pl)(1)dx
2 2 2 (2 pl) l pl
(b) 解:
M D(F) 0
5l
p® qgg；M B R C C2I 0
9
R
C 7 p
uv
M C(F)
pl R D Q 0 C
亠
r
1 EI
1
M Ac X i M BD
2X
1 A
EI l
PX 1
1
2
一 q% x 1
I
P 0 _X2
4
1
2X 2
dx 2 2
1
Px 3
4
M B (；)dX 3
1 11pl 3 pl 3 p
1
2l 3 l 3
Pl
2I 2 I 2
EI
24
24 8 3
4
37 pl 3 24EI
R D
P
4
M AC
px i -qx i 2
2
(0 X i
l)
M
DB
R D x
2
Ex 4X2 (0
X 2 I) M BC
4x 3
M
B (l
X 3 2l)
B
E I 0M
0M DB 害
dx 2 I
2I
M BC a X 3.. 1 -0 0^X 2 X2
dX 2
I
21
(夕 M B )
X 3 M B dx 3
7p|2
E
4
2I
4 2I
24EI
B .
求
4C B ，
ql q 2 M —x x
2
2
(a )解： 1 -x 2
x
(x -)
2 2
2
(^x qx 2)(：)dx 2 2 2
M
AC
M CB
斗)
384 EI
0 M
AB
EI ql
x 2)(p)dx
ql 24 EI
M
AC
(b )解:
V2 8
7/2
怡x 2%訓x E
L r
M
M
AX
I
MA C -
2 M
BC
1 El
1
2
i 0
(
1 5M A i
2 El 48
7M 48
16
2
x , i / M A 、/ x l 、’
0M A g 2dX
2( l X )( 2 2)dX
M A
|2
()
16EI
M A B
1
rgx B
i
求 丄
B
IT
M A I (A
6EI
i
M A x
O (M A 亍 X )(1 T )dx
5•用卡氏定理求图示组合梁铰链
B 处左、右两截面的相对转角，并求 B 点的挠度
(1)列弯矩方程 BA
段：以B 为原点
(R B
2：
M C m 、
C |)
M C m
M 1 m
(———
一)
(El 、Mc 、l 为已知)。

解：在中间铰B 两侧加相等相反的力偶 m
BC
段:
1 I BA M 12dx
BC
M
2 dx
u
2EI 1
i M e
l
m 2
2EI 0
(m
)x dx
M 2 m (M C m )x
(2)变形能
l 2 O
2m
2(M C
m)
2
i 0
1 2EI
x 2dx
2m 2
i
2EI
2(M C m) 2
l 3
(3 )相对转角
1
4ml 4(% % 1
2EI
l
再在B处加力P,弯矩方程:
变形能
2 2 u ------- | ivi 1 dx | M 2dx
E| BA BC
2EI
0（M C P）2x2 dx 0（M C）2x2dx
M J'
（l P）g3 M c l3 l g3
2EI
B点的挠度:
3
2；I2（, p）a 1）gl3 u M c l2
6•杆件系统如以下各图所示，两杆的截面面积点的铅直位移。

解：由图可见：3EI
A长度1和材料E均相同。

计算A
N
AB N
AC P
l
AB l
AC
l
再在A处加一铅直相下的单位力在p0 1
时各杆轴力P
N AB N Ac
根据莫尔定理：7.图示各刚架,
N
AB N AB
1
AB
N
AC
N
A
EA EA
其材料相同，各杆的抗弯刚度
EA
如图所示，试求点A的位移和截
EI
面C的转角。

1
y
EI
1 l AC
gM
AC gM AC dx l
AB
M
CB g l M CB dx
EI
1 EI 0
Px i gx i dx i 0
(Pl Px i )gdx 2
Pl 3
3
3
11Pl
() 6EI
Pl 3
Pl 3 2
0 M CB
1
C
E
b.解： [「(Pl 二 1
R A P 3Pl 3
Px 2)gdx 2 ——(])
2EI
M AB Px 1
M BC Pl
PX 2
MA C 0
P
x
1
（1） A 点的水平位移，加
0 M
AB
x
i
1 EI 2Pl 3 EI (
M
BC l x 2
( Pxjg xjdx 1 0
( P
(2) B 截面的转角:
人
M AB
J
MC B 0
1 l B
17 0
(PxJ(f )d^
Pl 2 3EI
(3) C 转角:
M A B
M C B 1
1 l
x
B 占 0（
PX 1）（亍）
5Pl 2 6EI
8•图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。

在载荷 间
的相对位移。

解：（1）用莫尔定理求解：桁架各杆在 P 力作用「
卫
Px 2)gn x 2)dx 2
A
( Pl
PX 2)( 1)dX 2
F 的轴力为:
式求节点 B 与D
N5
(3) B D两点的位移:
N i N i0|i BD C 2P)g1g
21
EA i EA EA
4)Pl 2EA 2.71
Pl
EA。