二次根式知识点归纳
《二次根式》知识点总结
《二次根式》知识点总结I.二次根式的定义和概念：、定义：一般地,形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式.当a＞0时,√a表示a的算数平方根,√0=02、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式.√ā（a≥0）是一个非负数.II.二次根式√ā的简单性质和几何意义）a≥0;√ā≥0[双重非负性]2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3)√表示平面间两点之间的距离,即勾股定理推论.III.二次根式的性质和最简二次根式）二次根式√ā的化简a2）积的平方根与商的平方根√ab=√a·√b（a≥0,b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0,b>0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母,因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法运算法则√a·√b=√ab（a≥0,b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0,b>0）二数二次根之积,等于二数之积的二次根.2共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做共轭因式,也称互为有理化根式.V.二次根式的加法和减法同类二次根式一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式.3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/=√a－√b/a－b如图II.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/=√a－√b/a－b。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。
以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。
•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。
•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。
2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。
下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。
•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。
•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。
•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。
3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。
以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。
•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。
•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。
•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。
4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。
以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。
•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。
5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。
以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。
初二下册数学知识点归纳
初二下册数学知识点归纳第十六章二次根式。
1. 二次根式的概念。
- 形如√(a)(a≥slant0)的式子叫做二次根式。
被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。
例如√(4)，√(x + 1)(x≥slant - 1)都是二次根式。
2. 二次根式的性质。
- (√(a))^2=a(a≥slant0)，例如(√(3))^2 = 3。
- √(a^2)=| a|=a(a≥slant0) - a(a<0)，如√((-2)^2)=| - 2|=2。
3. 二次根式的乘除。
- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)，例如√(2)·√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 二次根式的除法法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b>0)，如(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
4. 二次根式的加减。
- 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如√(12)=√(4×3)=2√(3)，3√(2)+2√(2)=(3 + 2)√(2)=5√(2)。
第十七章勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
例如在直角三角形中，a = 3，b = 4，则c=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如三边长为3、4、5的三角形，因为3^2+4^2=5^2，所以它是直角三角形。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数，如3、4、5；5、12、13等。
第十八章平行四边形。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式的知识点的总结
二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。
在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。
下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。
简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。
2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。
（3）非负实数a的平方根的平方等于a。
即$(\sqrt{a})^2=a$。
（4）非负实数的平方根存在且非负。
即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。
即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。
（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。
2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。
如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。
三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。
二次根式数学知识点(8篇)
二次根式数学知识点(8篇)二次根式数学知识点1知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1)(x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。
知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。
注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式(a)的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a(a若a是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a(a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结
一、二次根式的定义
二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ 的无理数或代数式，其中 $a$ 是一个
非完全平方数，即 $a$ 不能表示为某个正整数的平方。
二、简化二次根式
1. 将二次根式 $\sqrt{a}$ 化简为 $\sqrt{b}$ 的形式，其中
$b$ 是 $a$ 的正因子；
2. 对于 $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$，可通过有理化分母的方法化为
$\frac{\sqrt{c}\pm\sqrt{d}}{e}$ 的形式，其中 $c$、$d$、$e$ 均
为整数。
三、二次根式的运算
1. 二次根式加减法：将同类项合并，并对结果进行简化；
2. 二次根式乘法：利用分配律，将每一项分别与另一个二次根式相乘，并化简结果；
3. 二次根式除法：将除数、被除数都乘以分母的共轭复数，化为分母
为整数的形式后进行约分。
四、二次根式的应用
1. 应用勾股定理求直角三角形的一条边；
2. 当面积或体积为二次根式时，可通过二次根式的运算得到结果。
五、注意事项
1. 化简二次根式时，应将完全平方因子提出；
2. 二次根式运算时，不同二次根式之间不能进行加减法；
3. 对于 $\sqrt{a}$，$a$ 不能为负数。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
二次根式知识点
二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。
a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。
2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。
② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。
③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。
④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。
⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。
3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。
例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。
根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。
5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。
例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。
二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。
2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。
而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。
比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。
即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。
比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。
（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。
对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。
比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。
（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。
对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。
比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。
4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。
这就需要用到支配数的概念。
支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。
比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。
二次根式概念知识点总结
二次根式概念知识点总结一、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是一种形如√a的代数式，其中a为一个实数，且a≥0。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
被开方数a的平方根就是等于a的正实数。
2. 二次根式的特点- 被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
- 二次根式可以是整数、小数、分数或无理数。
- 二次根式可以化简为最简形式，即根号下的被开方数不含有平方因子。
3. 二次根式的分类根据被开方数的性质，二次根式可以分为完全平方数根式和非完全平方数根式两种情况。
完全平方数根式是指被开方数是一个完全平方数的二次根式，非完全平方数根式则是指被开方数是一个非完全平方数的二次根式。
二、二次根式的化简1. 化简方法对于二次根式的化简，主要有以下几种方法：- 求被开方数的因式分解，将根号下的一些平方因子化简出来。
- 利用完全平方公式，将二次根式化为一个完全平方根式。
- 使用等价变形的方法，将二次根式化为最简形式。
2. 化简步骤（1）对于完全平方数根式，只需将根号下的被开方数进行因式分解，并将平方因子提出来，即可将二次根式化为最简形式。
例如：√100=√(2²×5²)=2×5=10（2）对于非完全平方数根式，可以利用完全平方公式将二次根式化为最简形式。
例如：√50=√(25×2)=√25×√2=5√2（3）对于一般的二次根式，可以利用等价变形的方法进行化简。
例如：√72=√(36×2)=√36×√2=6√2三、二次根式的运算1. 二次根式的加减对于二次根式的加减运算，主要是要求二次根式的根号下的被开方数相同，然后分别将二次根式的系数进行加减运算。
例如：√18+2√18=3√182. 二次根式的乘除对于二次根式的乘除运算，可以利用分配律和乘法公式进行运算。
例如：(3√5)×(4√5)=123. 二次根式的混合运算对于二次根式的混合运算，可以根据运算法则依次进行加、减、乘、除等运算，最终得到最简形式的结果。
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（a\）叫做被开方数。
需要注意的是，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）都是二次根式。
而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数，不符合定义。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a<0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq0\））这一性质表明，先开方再平方，结果就是被开方数本身，但前提是被开方数必须是非负的。
比如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq0\））这意味着，两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。
例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4 ＼times 3} ＝＼sqrt{4} ＼times ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）4、＼（＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＝＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq0\），＼（b>0\））这表示，非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。
比如，＼（＼sqrt{＼frac{8}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼frac{2\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 2\）三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数，将能开得尽方的因数移到根号外。
二次根式运算的知识点总结
二次根式运算的知识点总结二次根式指的是具有平方根的数，可以表示为较小平方数和较大平方数的和、差、积、商，以及它们的混合运算。
在解二次根式的问题时，需要掌握以下几个关键知识点。
1.平方根的定义：对于任意一个非负实数m，如果一个非负实数x的平方等于m，即x^2=m，那么x就是m的平方根，记作x=√m。
其中，√称为平方根号，m称为被开方数。
2.平方数：平方数是一些整数乘以自身所得到的数。
根据平方根的定义，一个数的平方根为整数，当且仅当该数为平方数。
例如，4的平方根是2，16的平方根是43.二次根式的性质：a)二次根式的值可以是正数、负数或零。
b)二次根式的值是由被开方数的正负性所决定的。
c)二次根式的值是有两个解的，其中一个为正数，另一个为负数。
4.二次根式的化简：a)同底数相加或相减：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行加减运算，并将底数保持不变。
b)同底数相乘：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行乘法运算，并将底数保持不变，指数相加。
c)同底数相除：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行除法运算，并将底数保持不变，指数相减。
d)式子中含有带有二次根式的因式：利用分解因式的方法，将包含二次根式的因式提出来。
5.二次根式的乘法公式：a) (a√m)(b√m) = ab√(m^2)，即同底数相乘时，底数不变，指数相加。
b) (a√m)(b√n) = ab√(mn)，即不同底数相乘时，将底数相乘，再提取二次根号。
6.二次根式的除法公式：a)(a√m)/(b√m)=a/b，即同底数相除时，只保留系数。
b)(a√m)/(b√n)=(a√m)/(b√n)*(√n/√n)=a√(m/n)/b，即将分母中的二次根式有理化。
7.混合运算：在解二次根式的混合运算问题时，需要先进行化简，然后按照运算顺序逐步进行计算。
注意乘法与除法的结合顺序，以及加法与减法的结合顺序。
总之，对于二次根式的运算，需要掌握平方根的定义、平方数的概念、二次根式的性质、化简方法、乘法公式和除法公式等关键知识点，同时还需要通过大量的练习来熟练掌握运算技巧。
二次根式知识点汇总
二次根式知识点汇总1、定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式（即a的算术平方根）。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
注意：（1）二次根式必须满足的条件：①含有二次根号“”；②被开方数a 必须是非负数即a ≥0（二次根式有意义的条件）。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时a有意义；二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。
（2）数的平方根与二次根式的区别：a ±为a 的平方根，二次根式a 为a 的算术平方根。
如4的平方根为24±=±，4的算术平方根为24=。
（3）a （a ≥0）是一个非负数，即a ≥02、性质：→逆用可进行二次根式的乘法运算→逆用可进行二次根式的除法运算3、最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出。
4、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
合并同类二次根式的方法：（与合并同类项类似）合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。
如：33)412(34332-=-+=-+5、二次根式的乘除法（1）乘法： 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。
在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。
本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。
一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。
b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。
c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。
d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。
二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。
常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。
例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。
例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。
例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。
下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。
2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。
3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。
即√a ± √b = √a ±√b。
- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。
- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。
4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2。
- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。
5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。
- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。
- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。
7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。
- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。
以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。
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二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、a （a ≥0）是一个非负数．即a ≥02、2a ＝│a │即a ≥0,等于a;a<0,等于-a3、4、a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）5、a b=a b （a ≥0，b>0） 反过来，a b =a b（a ≥0，b>0） 6、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. 210.D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <,244x x -+ ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（ ）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D 2832=(a )2＝a （a ≥0）5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简52-时，甲的解法是：52-=3(52)(52)(52)+-+=52，乙的解法是：52-(52)(52)52+--52，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设32,23,52a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是: （ ）.(A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）.A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 2(1)- 1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±2 13.【05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ).A ．aa b++b a b+=1B ．1÷ba×ab=1 C 21-2 D ．21()a b +·22a b a b --=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
3.【05上海】计算：)2121＝4.【05嘉兴a ab b5.【05丽水】当a ≥0= ．6.【05南平= .7.【05漳州，2，，…， (第n 个数). 8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是 ． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab = ． 10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝 块，这个大正方体的棱长为 ．(不计损耗) 11.【05黄岗】立方等于– 64的数是 。
12.【05梅山】计算：)2＝ ． 13.【05湘潭】计算：+―= ．三、解答题1、【05连云港】计算 2(2+． 2、【05青岛】计算：2251220+⎪⎭⎫⎝⎛--．3.【05苏州)11212-÷+4.【05温州】计算：12＋12－3－(2＋3)2 ; 5.【05丰台】计算：1218--6.【05曲靖】计算：（12 ）1-+（3.14-π）0- 8+22 ；7.【05玉林】18)21(1221+---8.【05泉州】先化简下面的代数式，再求值：)1(2)2)(2(++-+x x x ，其中2=x9.【05梅山】已知：y ＜3，化简：(13y +)－110.【05黄石】计算：0232)17()2(27)21(|5|-----++--11.计算：210(2)(1--- 12.计算：(13-)0+(31)-1-2)5(--|-1|13.【05台州】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=222222241c b a b a s ……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---= ……②（其中2cb a p ++=）. ⑴ 若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②， 计算该三角形的面积s ； ⑵ 你能否由公式①推导出公式②？请试试.练习： 一、选择题1、下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式；⑶8x与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、02、如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、1a2 C 、3－a D 、－a 23、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ）A 、52x 和3xB 、12ab 和13ab C 、x 2y 和xy 2 D 、 a 和1a 24、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、8x B 、x 2－3 C 、x －y xD 、3a 2b 5、在27 、112 、112 中与3 是同类二次根式的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、36、计算：⑴)36)(16(3--⋅-； ⑵521312321⨯÷；⑶； （4）375-12532272-+（5）)21218(3+-⨯ （6）xx x x 1246932-+7. 你见过像324-，625-等这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以化简。
如()1313113233242-=-=+⨯-=-⑴、请用上述方法化简625+；⑵、请自已编一道有上述特点的复合二次根式并化简； ⑶、思考：你会化简154+吗？请试一试。
练习1。
1．下列各式属于最简二次根式的是（ ）A 、12+xB 、32y xC 、12D 、5.0 2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A 、122与 B 、183与 C 、182与 D 、93与 3、式子21+-x x 的取值范围是（ ）A 、x ≥1 ；B 、x>1且x ≠-2；C 、x ≠-2；D 、x ≥1 且 X ≠-2 4、10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、把-33a根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（ ） A 、-aB 、-a -C 、-a 3D 、a 36、若a<0，则|a 2 －a|的值是（ ） A 、0 B 、2a C 、2a 或－2a D 、－2a7、把(a －1)11－a根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A 、1－a B 、－1－a C 、a －1 D 、－a －1 8、若a+b4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a 、b 的值为（ ）A 、a=2、b=2B 、a=2、b=0C 、a=1、b=1D 、a=0、b=2 或a=1、b=19、下列说法错误的是（ ）A 、(－2)2的算术平方根是2B 、 3 － 2 的倒数是 3 + 2C 、当2<x<3时，x 2－4x+4 (x －3)2 = x －2x －3 D 、方程x+1 +2=0无解10、若 a + b 与 a － b 互为倒数，则（ ）A 、a=b －1B 、a=b+1C 、a+b=1D 、a+b=－111、若0<a<1，则a 2+1a 2 －2 ÷(1+1a )×11+a 可化简为（ ）A 、1－a 1+aB 、a －11+a C 、1－a 2 D 、a 2－1 二、填空题1、要使1－2xx+3 +(－x)0有意义，则x 的取值范围是 。
2、若a 2 =( a )2，则a 的取值范围是 。
3、若x 3+3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是 。
4、观察下列各式：1+13 =213 ,2+14 =314 ,3+15 =415 ,……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是 。
5、若a>06、若o<x<1= .7、化简：||－x 2 －1|－2|= 。
8、在实数范围内分解因式：x 4+x 2－6= . 四、化简求值 1、已知x= 2 +12 －1 ,y=3 －13 +1，求x 2－y 2的值。
2、已知x=2+ 3 ,y=2－ 3 ，求x +yx －y － x －y x ＋y 的值。
五、已知x ＋1x =4,求x －1x 的值。
练习2。
认真填一填(3*12=36)1、3的同类二次根式是 （写出一个即可）2、当x 时，根式1-x 有意义。
3、在实数范围内，因式分解a 2 – 3 =4、化简：=8 ，=971， 5、如果化简后的二次根式 —7535321-+x x 与 是同类二次根式，则x= 6、（1）2)12(-= ，（2）若a >b ，则 2)(a b - = 7、如果5-a +2-b = 0，那么以a ，b 为边长的等腰三角形的周长是 8、在ΔABC 中，a ，b ，c 为三角形的三边，则b a c c b a ---+-2)(2= 9、计算：（20072007)154()415-⋅+=10、小明和小芳在解答题目：“先化简下式，再求值：a+221a a +-，其中a=9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+（1-a ）= 1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17。