实变函数第一章答案
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习题1.1
1．证明下列集合等式．
(1) ()()()C A B A C B A I I I \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\Y Y =； (3) ()()()C A B A C B A I Y \\\=． 证明 (1) )()C \B (c
C B A A I I I =
)()( c c C B A A B A I I Y I I = c C A B A )()( I I I =
)(\)(C A B A I I = .
(2) c
C B A A I Y Y )(C \B)(=
)()(c c C B C A I Y I =
=)\()\(C A C A Y .
(3) )(\C)\(B \c
C B A A I = c c C B A )(I I =
)(C B A c Y I = )()(C A B A c I Y I =
)()\(C A B A I Y =.
2．证明下列命题．
(1) ()A B B A =Y \的充分必要条件是：A B ⊂； (2) ()A B B A =\Y 的充分必要条件是：=B A I Ø； (3) ()()B B A B B A \\Y Y =的充分必要条件是：=B Ø．
证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c
c
====Y Y I Y Y I Y )()()()\(的充要条 是：.A B ⊂
(2) c
c
c
c
B A B B B A B B A B B A I I Y I I Y Y ===)()()(\)(
必要性. 设A B B A =\)(Y 成立，则A B A c
=I , 于是有c
B A ⊂, 可得.∅=B A I 反之若,∅≠B A I 取B A x I ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c
B A ⊂矛
盾.
充分性. 假设∅=B A I 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c
=I , 即
.\)(A B B A =Y
(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\(Y Y =, 即.\c
C A B A B A I Y == 若
,∅≠B 取,B x ∈ 则,c B x ∉ 于是,c B A x I ∉ 但,B A x Y ∈ 与c C A B A I Y =矛
盾.
充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \=Y 成立, 即B B A B B A \)()\(Y Y =. 3．证明定理1.1.6．
定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且
Y ∞
=∞
→=1
;lim n n n n A A
(2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且I
∞
=∞
→=
1
.
lim n n n n A A
证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意Y ∞
=∈
1
,n n A x 存在N 使得,N
A
x ∈ 从而
),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞
→∈ 则.lim 1
n n n n A A ∞
→∞
=⊂Y 又因为Y ∞
=∞
→∞
→⊂⊂1
,lim lim n n n n n n A A A
由此可见{}n A 收敛且Y ∞
=∞
→=
1
;lim n n n n A A
(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,
lim n n A x ∞
→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得
),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0
n n A A x k ⊂∈ 可见
.lim 1
I ∞=∞
→⊂n n n n A A 又因为,lim lim 1
n n n n n n A A A ∞
→∞
→∞=⊂⊂I 所以可知{}n A 收敛且I ∞
=∞
→=1
.lim n n n n A A
4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明：
(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+
≥=>∞
=n c f E c f E n 1][1Y ；
(2) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1I ；
(3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞
→，则对任意实数c 有
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
->=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡->=≥∞→∞=∞
=∞
=∞
=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111I I Y I ．
证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+
∈Z n 使得n
c x f 1
)(+
≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11Y ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+≥⊂>n n c f E c f E
另一方面, 若,11Y ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+
∈Z n 0使得,110Y ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+≥∈n n c f E x 于是
c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11Y ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+≥⊃>n n c f E c f E
(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+
∈Z n , 都有n
c x f 1
)(+
<, 于是I ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11I ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+<⊂≤n n c f E c f E
另一方面, 设I ∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+<∈
11n n c f E x , 则对于任意的+
∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[]I
∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+<⊃
≤11n n c f E c f E .
(3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞
→ 可得对于任意的
+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<
-, 即)1(1
1)()(≥-≥->k k
c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以I ∞
=∞→⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
->∈11lim k n n k c f E x ,
故[]I ∞
=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡
->⊂
≥1
1lim k n n k c f E c f E ； 另一方面, 设I
∞
=∞
→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈
101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡
->∈∞→k c f E x n n 1lim 0.
由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+
∈∀⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
->∈Z k k c f E x n , 即对任意+
∈Z k 有k
c x f n 1
)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即
对任意的+
∈Z
k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k
x f x f n 1
|)()(|00<-. 取