第三章 平稳时间序列预测
平稳时间序列预测法
7 平稳时间序列预测法7.1 概述7.2 时间序列的自相关分析7.3 单位根检验和协整检验7.4 ARMA模型的建模回总目录7.1 概述时间序列取自某一个随机过程，则称：一、平稳时间序列过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录回本章目录宽平稳时间序列的定义：设时间序列，对于任意的t,k和m，满足：则称宽平稳。
回总目录回本章目录Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。
他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。
使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。
ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型；回总目录回本章目录ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive）；移动平均模型（MA：Moving-Average）；混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。
回总目录回本章目录如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：则称时间序列服从p阶自回归模型。
二、自回归模型回总目录回本章目录自回归模型的平稳条件：滞后算子多项式的根均在单位圆外，即的根大于1。
回总目录回本章目录如果时间序列满足则称时间序列服从q阶移动平均模型。
或者记为。
平稳条件：任何条件下都平稳。
三、移动平均模型MA(q)回总目录回本章目录四、ARMA(p,q)模型如果时间序列满足：则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。
或者记为：回总目录回本章目录q=0，模型即为AR(p)；p=0，模型即为MA(q)。
ARMA(p,q)模型特殊情况：回总目录回本章目录例题分析设，其中A与B为两个独立的零均值随机变量，方差为1；为一常数。
试证明：宽平稳。
回总目录回本章目录证明：均值为0，只与t-s有关，所以宽平稳。
平稳时间序列预测法PPT课件
二、自回归模型AR（p）
如果时间序列 yt 满足：
yt 1yt1 2 yt2 p ytp t
其中： t 是独立同分布的随机变量序列，并且对于
任意t， E
t
0,Var
t
2
0,
则称时间序列 yt
服从p阶自回归模型，记为AR（p）。 1,2, ,p 称为
自回归系数。
记 Bk 为k步滞后算子，即 Bk yt ytk ，则模型可表示为：
置信区间，则该时间序列具有随机性；
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
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2.时序的平稳性 若时间序列y满足： ①对任意时间t，其均值恒为常数； ②对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-
s有关，而与t和s的起始点无关。 则称这个序列为平稳时间序列。 判断： ①折线图：时间序列各观测值围绕其均值上下波 动，且该均值与时间t无关，振幅变化不大。
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（1）自相关函数的定义
滞后期为k的自协方差函数为：
rk cov ytk, yt
则自相关函数为：
其中：
k
cov ytk , yt
ytk yt
2 yt
E yt
Eyt 2
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回总目录 回本章目录
当序列平稳时，自相关函数可写为：
k
rk r0
（2）样本自相关函数
一般的，对移动平均模型： yt B t
若多项式 (B) 11B 1B2 1Bq 0 的根全部在单
位圆外，则称此模型为可逆的移动平均模型。
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MA（q）模型的逆转形式：
t yt 1j yt j j 1
第三章 线性平稳时间序列分析
第三章 线性平稳时间序列分析在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。
在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA （Autoregressive Moving Average ）序列。
用ARMA 模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。
本章将讨论ARMA 模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。
§3.1 线性过程通常假设随机序列是由平稳序列{}t X 与相互独立的冲击或振动{}t ε叠加生成，其中tε是服从某一固定分布的随机变量，实际中由于t ε的独立性及分布情况难以确定，常用白噪声序列来定义。
在正式讨论之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便，下面是延迟算子的概念。
定义 设B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻，即1-=t t X BX 。
进一步地，对于任意的n ，延迟算子B 满足：22t t n t t nB X X B X X --==一般地，延迟算子B 有如下性质： (1) 01B =；(2) 若c 为任意常数，则()()1t t t B c X c B X c X -⋅=⋅=⋅；(3) 对于任意的两个序列{}t X 和{}t Y ，有()()()11t t t t t t B X Y B X B Y X Y --±=±=±； (4)()()()01!1!!nnni i n B B i n i =--=-∑。
接下来我们讨论求解线性差分方程。
定义 定义如下形式方程为序列{:0,1,2,}t z t =±±的线性差分方程：()11t t p t p z z z h t αα--+++=，其中1p ≥，1,,p αα为实数，()h t 为t 的已知函数。
平稳时间序列预测法概述
平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。
这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。
平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。
平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。
由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。
平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。
直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。
它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。
直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。
然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。
数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。
它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。
常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。
指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。
ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。
SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。
平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。
它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。
需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。
对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。
此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
第三章平稳时间序列预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1,
E tl 1tl1 qtlq Xt , Xt1,
0
21
❖ MA(q)模型预测方差为
var
et l
1 12
112
2 l 1
2
q2 2
lq lq
22
例3
❖ 已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型 （单位：万人）：
时刻t和以前时刻的观察值 xt , xt1, xt2 ,
，
我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值xtl l 0
进行预测，记为xˆt l，称为时间序列Xt 的第 l
步预测值。
2
最小均方误差预测
❖ 考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，
一个很自然的思想就是预测值xˆt l与真值 xtl 的均
方误差达到最小，即设
et1(l 1)
xˆt1(l 1)
修正预测原理
❖ 在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为
xˆt (l) Gli ti Glt Gl1t1 i0
❖假设新获得一个观察值Xt+1 ，则
▪ Xt+l的修正预测值为
xˆt1(l 1) Gl1 t1 Glt Gl1 t1 Gl1t1 xˆt (l)
X t 100 t 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：
年份
统计人数
预测人数
2002
104
110
2003
108
100
2004
105
109
预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间
X t 100 解t : 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
第三章线性平稳时间序列模型资料
纯随机性
(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆” 的序列
方差齐性(平稳) DX t (0) 2 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，
用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、
有效的
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（三）纯随机性检验
1.检验原理 2.假设条件 3.检验统计量 4.判别原则 5.应用举例
原假设：延迟期数小于或等于 期m 的序列
值之间相互独立
H 0：1 2 m 0,m 1
H
：至少存在某个
1
k
0,m 1，k
m
m
备择假设：延迟期数小于或等于 期的序
列值之间有相关性
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3.检验统计量
Q统计量 （大样本）
m
Q n
ˆ
(2)自相关图检验（判断准则）
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序 列的自相关系数会很快地衰减向零。
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳 性；
若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间 外面，则该时间序列就不具有平稳性。
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只 有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而 发生变化时，该序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。 它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所 以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序 列的主要性质近似稳定。
返回例题
例1居民消费价格指数自相关图
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
平稳时间序列模型预测
当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
E X t l 1 t l X t , X t 1,
l ˆ x l 1 t xt
1 时，当前时刻为t的一步预测为 ˆ 1 E X X , X , E x X X X , X , x x 当 l p ，当前时刻为t的 l 步预测
条件无偏均方误差最小预测
，满足EX t , EX ，则 • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 设随机序列 X1 , X 2 ,
2 t
达到最小值，则 f X 1 , , X n E X n1 X 1 , , X n • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 2 E X n 1 f X 1 , , X n
Gl21 2
var X t l X t , X t 1 ,
E X t l E X t l X t , X t 1 ,
2
ˆt l E X t l x var et l
2
2 G0 G12 Gl21 2 ˆt l x • 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 X t l 当前样本 X t和历史样本 X t , X t 1 , 已知条件下得到的条 件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 l 有关， 而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。
第三章平稳时间序列分析-1
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
（较适合低阶AR模型，如1,2阶）
平稳域判别
平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合，即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t，即xt xt 1 t
特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳，必有
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
k xt xt k
2、延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘 以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子，有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质：
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用，某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程，而线性差分方程 的特征根的性质，对平稳性的判定也很重要。
时间序列分析--第三章平稳时间序列分析
2019/9/23
课件
25
Green函数递推公式
原理 xt( BG )x(tB )tt (B)G(B)t t
方法
待定系数法
递推公式
2019/9/23
G G0j 1k j1kGjk， j1,2, ,其中 k 0k ,k ,kpp
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
2019/9/23
课件
10
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
2019/9/23
课件
38
例3.5:— (4 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
自相关系数不规则衰减
2019/9/23
课件
39
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变量 的 xt1,xt2, ,xtk1 条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变 量的干扰之后， x 对 tk x影t 响的相关度量。用数 学语言描述就是
2019/9/23
课件
29
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1k11k0
平稳AR(1)模型的方差为
0
2
1 12
协方差函数的递推公式为
k
1k
2 112
,k1
2019/9/23
课件
第三章平稳时间序列分析-(2)
~
n
n
t
用迭代法，求得使其达最小的参数值。
最小二乘估计的特点
最小二乘估计充分应用了每一个观察值 所提供的信息，因而它的估计精度高； 不需总体分布，便于实现，所以条件最 小二乘估计方法使用率最高。
实际中，为便于计算，很多时候看作服从多元正态分 布
3、最小二乘估计
原理
使残差平方和达到最小的那组参数值即为最 小二乘估计值
n t 1 n
ˆ) 2 Q( t ( xt 1 xt 1 p xt p 1 t 1 q t q )2
c2 4 , c 2 ˆ2 1 12 2 2 , c ˆ1 1 c2 4 ,c 2 2
矩估计
c ˆ ˆ 2 , ˆ 1 1 ˆ 1 c
矩估计的特点：
优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合） 缺点 信息浪费严重 只依赖p+q个样本自相关系数信息，其他信 息都被忽略 估计精度较差 通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘 估计迭代计算的初始值
【例3.7】考察ARMA模型的自相关性
ARMA(1,1): xt 0.5xt 1 t 0.8t 直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。
样本自相关图
样本偏自相关图
显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾
这也是直观选择拟合模型的 常用方法之一
ARMA模型相关性特征：
模型 自相关系数 偏自相关系数
1, , p ,1, ,q , ,
2
第3章 平稳时间序列分析(1)
第3章 平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时） 教学方法与手段：课堂讲授与上机操作§3.1 方法性工具一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。
ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。
时间序列分析中一些常用的方法性工具可以使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。
一、差分运算 （一）p 阶差分相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。
记▽t x 为t x 的1阶差分：▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2t x 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分相距k 期的两个序列值之间的减法运算称为k 步差分运算。
记▽k t x 为t x 的k 步差分：▽k =k t t x x --例：简单的序列：t x ：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，10,,1t =1阶差分：▽3x x x 122=-= ▽6x x x 233==-=……▽6x x x 91010=-=，即1阶差分序列▽t x ：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，10,,2t =2阶差分：▽23x =▽3x -▽2x =3▽24x =▽4x -▽3x =22……▽210x =▽10x -▽9x =-40即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t =2步差分：▽29x x x 133=-=▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了一个时刻。
平稳时间序列预测法
试证明：
X t 宽平稳。
回总目录 回本章目录
证明：
E Xt E Acosct B sin ct 0 r s,t E Acos ct B sin ct Acos cs B sin cs E[A2 coscs cosct AB cosct sin cs AB sin ct cos cs B2 sin ct sin cs] coscs cos ct sin ct sin cs cos c(t s)
设平稳时间序列 yTt 是一个ARMA(p,q)
过程，则其最小二乘预测为：
yˆTt l E yT 1 yT ,..., y1
AR(p)模型预测
yˆTt l 1 yˆT l 1 ... p yˆT l p l 1,2,...
回总目录 回本章目录
ARMA(p,q)模型预测
p
q
yˆTt l j yˆT l j jˆT l j
7.3 单位根检验和协整检验
一、单位根检验
利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test）和 菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test），也可 以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非 常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的是， 后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差 不是白噪声，而且存在自相关的情况。
回总目录 回本章目录
解答：
Yule-Walker方程为：
0 1 1 1 1 2 2 2
即：
0.3 0 0.41 1 0.31 0.4 0 2
回总目录 回本章目录
且：
0 0.31 0.4 2 2 1
联合上面三个方程，解出：
0 100 / 63
1 50 / 63
平稳时间序列预测法
7.1 概述 7.2 随机时间序列的特征分析 7.3 模型的识别与建立 7.4 模型的预测 7.5 非平稳时间序列建模
回总目录
7.1 概 述
一、平稳时间序列 平稳性的基本思想是，决定过程特性的统计规律 不随时间的变化而变化。从一定意义上说，过程位于 统计的平衡点上。特别的，如果对一切时滞k和时 点 t1 , t 2 , L , t n ，都有 yt , yt ,L, yt 与yt − k , yt − k ,L, yt − k 的 联合分布相同，则称过程 {yt }为严平稳的。
相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初
步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。 利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性
和平稳性，以及时间序列的季节性。 和平稳性，
（1）自相关函数的定义 滞后期为k的自协方差函数为：
rk = cov( yt −k , yt )
则自相关函数为：
ρk =
其中：
cov ( yt −k , yt )
φ ( B ) yt = ε t回总目录 回本章目录自回归模型的平稳性条件：
以一阶自回归模型AR（1）为例： yt = φ1 yt −1 + ε t 对方程两边求方差，可得： γ 0 = φ12γ 0 + σ ε2
σ ε2 γ0 = 2 1 − φ1
φ12 < 1或 φ1 < 1 。这就是AR（1）过程 即得一个隐含条件
是否进行差分处理： 不差分 一阶差分 二阶差分 correlogram
计算自相关系数的最大滞后阶数：一 般取n/10或n/4取整。考察季节数据时， 取季节周期长度的整倍数。
判断时间序列是否平稳的方法： 如果序列的自相关系数很快地 （滞后阶数k大于2或3时）趋 于0，即落入随机区间，时序 是平稳的，反之是不平稳的。 注意：B-J方法中，只有平稳 的时间序列才能够直接建立 ARMA模型，否则必须先经过 适当的处理使序列满足平稳性 要求。 非平稳序列平稳处理的方式： 1.趋势：一阶差分消除线性趋 势；二阶差分消除二次曲线趋 势；指数曲线趋势可通过先对 数变换再一阶差分的方式消除 2.季节影响：季节差分 3.不平稳方差：若序列的方差 同序列的发展水平成比例，则 采用对数变换法或平方根变换。
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1 t l 1
p X t l p t l X t , X t 1 ,
ˆt l 1 1x
ˆt l p p x
13
例2
已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元 /月) 2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万 元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二 季度的月销售额的95%的置信区间。
2
ˆt l E X t l x var et l
2
2 G0 G12 Gl21 2 ˆt l 是X t l x 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 当前样本 X t 和历史样本X t , X t 1 , 已知条件下得到的条 件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 l 有关， 而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。
X t l t l 1 t l 1
lq
l 1 t 1 l t
当预测步长
， X t l 可以分解为
q t l q
l t
q t l q
ˆt l E X t l X t , X t 1 , x E t l 1 t l 1
X t 10 0.6 X t 1 0.3X t 2 t , t ~ N 0,36
16
求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为
ˆ3 1 E X 4 X 3 , X 2 , X 1 x E 10 0.6 X 3 0.3 X 2 4 X 3 , X 2 , X 1 10 0.6 x3 0.3x2 97.2 ˆ3 2 E X 5 X 3 , X 2 , X 1 x
解：置信区间的计算
var[et (1)] 2 25, var[et (2)] (1 12 ) 2 41 var[et (3)] (1 12 22 ) 2 50 var[et (4)] var[et (5)] (1 12 22 32 ) 2 51
E ( xk | xt , xt 1 , xt 2 ,) xk
(k t )
E ( k | xt , xt 1 , xt 2 , ) k (k t )
（2）未来扰动的条件期望为零，即
E ( t l | xt , xt 1 , xt 2 , ) 0
(l 0)
10
进一步地，在正态分布假定下，有
X t l Xt ,Xt 1, ~ N xtˆ l , G
2 0
G
2 1
G l 21 2
由此可以得到 或者
95%的置信区间为 X t预测值的 l
e l , xˆ l 1.96
t t
xˆ l 1.96 var
（3）未来取值的条件期望为未来取值的预测值，即
ˆ t l E ( xt l | xt , xt 1 , xt 2 ,) x
(l 0)
ARMA模型的预测方差和预测区间
如果ARMA模型满足平稳性和可逆性，则有 B Xt t G Bt B 所以，预测误差为
t
var
e t l
G
G
12 2 l1
xˆ l 1.96 G
t
2 0
G
2 1
G
12 2 l 1
, x ˆt l 1.96 G
2 0
2 1
11
对AR模型的预测
首先考虑AR(1)模型 当 l 1 时，即当前时刻为t的一步预测为
年份 2002 2003 2004 统计人数 预测人数 104 108 105 110 100 109
ˆ2001(1) 104 110 6 t 2 x2002 x ˆ2002 (1) 108 100 8 t 1 x2003 x ˆ2003 (1) 105 109 4 t x2004 x
2
最小均方误差预测
考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准， ˆt l 与真值 xt l 的均 一个很自然的思想就是预测值x 方误差达到最小，即设
ˆt l et l X t l x
ˆt l 与真值xt l 的均方误差 预测值x 2 2 ˆ E e l E X x l t l t t
X t 100 t 0.8t 1 0.6 t 2 0.2 t 3 , 25
2
最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：
年份 统计人数 预测人数
2002 2003
2004
104 108
105
110 100
109
预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间
: 0.8t 1 0.6t 2 0.2t 3 , 2 25 X t 100 解 t
本章结构
1. 方法性工具 2. ARMA模型 3. 平稳序列建模 4. 序列预测
平稳时间序列模型预测
设平稳时间序列 X t 是一个ARMA(p,q)过程，即 t p t 1 t 1 q t q ,
2 ~ WN 0, , s t, E X s t 0 t
本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知 时刻t和以前时刻的观察值 xt , xt 1 , xt 2 , ， 我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值xt l l 0 ˆt l ，称为时间序列 X t 的第 l 进行预测，记为x 步预测值。
17
预测方差的计算
计算Green函数: 根据递推公式
G0 1 G1 1G0 0.6 G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66
方差
2 2 var[e3 (1)] G0 36
var[e3 (2)] (G02 G12 ) 2 48.96
X t l X t l 1 t l
t
ˆt 1 E X t 1 X t , X t 1 , x
E X X , X 当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
t 1 t
t 1
,
x
t
ˆt l E X t l X t , X t 1 , x
q t l q X t , X t 1 ,
0
21
MA(q)模型预测方差为
1 12 var et l 2 1 1
2 l 1 2 q
2 2
lq lq
22
例3
已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型 （单位：万人）：
E X t l 1 t l X t , X t 1,
l ˆ x l 1 xt t
12
对于AR(p)模型
ˆt 1 E X t 1 X t , X t 1, x
X t l 1 X t l 1 p X t l p t l 当 l 1 时，当前时刻为t的一步预测为
ˆt l ，使上式达到最小。 我们的工作就是寻找x
3
序列预测
线性预测函数
xt Ci xt 1i
i 0
预测方差最小原则
Varx ˆt ( l ) et (l ) min Var et (l )
序列分解
xt l t l G1 t l 1 et (l )
G j t j
j 0
ˆt l G j t l j Gl j t j et l X t l x
2 2 2 ˆ E e l var e l E X x l G G t 0 1 t l t t 2
E et l 0
j 0
j 0
G0 t l G1 t l 1
Gl 1 t 1
Gl21 2
9
var X t l X t , X t 1 ,
E X t l E X t l X t , X t 1 ,
预测误差
Gl 1 t 1 Gl t Gl 1 t 1 ˆt (l ) x
预测值
ˆ (l ) E ( xt l xt , xt 1 , ) x Var ( xt l xt , xt 1 , ) Var[et (l )]
为了利用条件期望计算预测值，需要先了解有关时间序列 xt 和随机扰动 t 的条件期望 所具有的性质： （1）常量的条件期望是其本身 对 ARMA 序列而言，现在时刻与过去时刻的观测值及扰动的条件期望是其本身，即
MA模型的预测
对于MA(q)模型 X t t 1 t 1 q t q 我们有 X t l t l 1t l 1 qt l q 当预测步长 l q ， X t l可以分解为
ˆt l E X t l X t , X t 1 , x
E 10 0.6 X 4 0.3 X 3 5 X 3 , X 2 , X 1 ˆ3 1 0.3x3 10 0.6 x 97.432 ˆ3 3 E X 6 X 3 , X 2 , X 1 x
E 10 0.6 X 5 0.3 X 4 6 X 3 , X 2 , X 1 ˆ3 2 0.3x ˆ3 1 10 0.6 x 97.5952