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高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学PPT课件：函数的求导法则
1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导，dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
传热学课件第二章导热基础理论
也称导温系数,
单位为m2/s。
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源：V = 0 t a2t
(2) 稳态导热： t 0 a2t V 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t 2t 2t 2t = 0，即 x2 y2 z2 0
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
第二章 导热基础理论
例内重基 题容点本 赏精难要 析粹点求
基本要求
1． 理解温度场、等温面（线）、温度梯 度、热流密度等概念。
2． 掌握傅立叶定律及其应用。 3. 掌握热导率和热扩散率的定义、意
义、影响因素和确定方法。 4． 能写出典型简单几何形状物体导热问
题的数学描述表达式。
重点与难点
重点： 1. 傅里叶定律与热导率。 2. 导热微分方程及单值性条件。 难点： 1. 傅里叶定律的矢量表达式。 2. 导热微分方程及单值性条件。
标量形式的付里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的导热系数相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q
t x
热力学第02章 第一定律
推动工质移动所作的功；或因工
质在开口系统中流动而传递的功。
pAx pV mpv
推动功作用在质量m上。m被推入系统内，所以推动功随质量 m一起进入系统。 推动功的意义：工质m流入系统所带入的功(外界对系统作功)；
工质m流出系统所带出的功(系统对外界作功)。
2.推动功(flow work; flow energy)： p，v ⊿x 如果工质在传递推动功的时候没有热力状态的变化，当然也不 会有能量形态的变化。此时工质所起的作用只是单纯的运输能 量，就像传送带一样，把这部分推动功传递到其他地方。 p
热力学第一定律：
进入系统的能量 —
离开系统的能量 = 系统内部能量的增量
第一定律定第一表达式 第一定律定第二表达式
Q dU W
Q dH Wt
上节课内容回顾
第一定律第一解析式 —— 热 功的基本表达式
Q U W q u w
1）对于可逆过程
δQ dU δW δq du δw
第二章 热力学第一定律
the first law of thermodynamics
§2-1 热力学第一定律的实质
实质：能量传递和形态转化以及总量的守恒。（在工程
热力学的研究范围内，主要考虑的是热能和机械能之间的 相互转化和守恒的规律） 热力学第一定律是实践经验的总结。第一类永动机迄今都 不存在，而且由第一定律所得出的一切推论都和实际经验 相符，可以充分说明它的正确性。 第一类永动机（不消耗能量而作功）是不可能造出来的。
出口2 假如工质从状态1到状态2做膨胀功是w。那么在不考虑工质宏 观动能和位能变化时，开口系和外界交换的功量是膨胀功与流 动功的差值： 注：如需要考虑工质的动能和位能变化，还应该计算动能差 和位能差
第二章--流体静力学PPT课件
.
第二章 流体静力学
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的 规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作 用，即切向应力都等于零，流体只存在压应力——压强。
Pd=22.6Kpa
将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布
dppgdz pgdz
RT
RT d
p dp z g
dz
pa p
zd RTd
p22 .6ex1p1( 00z0) 6334
式中z得单位为m，11000m≤z≤25000m。
35
.
2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空度 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
41
.
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
42
.
2.3.3压强的度量
立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三
点的压强。
【解】：
B点： pB p0
C
A点： pAghAB pB
从11-15km，温度几乎不变，恒为216.5K（-56.5℃）， 这一层为同温层。
32
.
2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
（1）对流层
dpgdz dp pg dz
p
第二章 流体静力学
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的 规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球 作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作 用，即切向应力都等于零，流体只存在压应力——压强。
Pd=22.6Kpa
将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布
dppgdz pgdz
RT
RT d
p dp z g
dz
pa p
zd RTd
p22 .6ex1p1( 00z0) 6334
式中z得单位为m，11000m≤z≤25000m。
35
.
2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空度 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
41
.
2.3.3压强的度量
相对压强
绝对压强
真空 绝对压强
绝对压强、相对压强和真空之间的关系
42
.
2.3.3压强的度量
立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三
点的压强。
【解】：
B点： pB p0
C
A点： pAghAB pB
从11-15km，温度几乎不变，恒为216.5K（-56.5℃）， 这一层为同温层。
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2.3.2气体压强分布
2.大气层压强的分布
（1）对流层
dpgdz dp pg dz
p
ppt热力学第一定律
dH d(U pV ) dU pdV Vdp
系统由始态到末态旳焓变
H U ( pV )4. Q来自 U ，Qp H 两关系式旳意义
特定条件下，不同途径旳热已经分别与过 程旳热力学能变、焓变相等，故不同途径旳恒 容热相等，不同途径旳恒压热相等，而不再与 途径有关。
把特殊过程旳过程量和状态量联络起来。
状态函数旳特征可描述为：异途同归，值变 相等；周而复始，数值还原。
状态函数在数学上具有全微分旳性质。
（2） 广度量和强度量 用宏观可测性质来描述系统旳热力学状态，
故这些性质又称为热力学变量。可分为两类：
广度性质（extensive properties）又称为容量性 质，它旳数值与系统旳物质旳量成正比，如体积、 质量、熵等。这种性质有加和性。
系统始态为a压力为pa；末态为z压力为pz，
pz＝1/5pa 。
可逆过程系统对环境做最大功（相反过 程环境对系统作最小功）。
3.理想气体恒温可逆过程
可逆过程,外压和内压相差无穷小
δWr
pdV ,Wr
V2 V1
pdV
理想气体恒温膨胀,则
Wr
nRT
V2 V1
dV V
nRTlnV2 V1
物理化学
第二章 热力学第一定律
The First Law of Thermodynamics
学习要求：
了解热力学基本概念、热力学能和焓旳定 义；掌握热力学第一定律旳文字表述及数 学表述。 了解热与功旳概念并掌握其正、负号旳要 求；掌握体积功计算，同步了解可逆过程 旳意义特点。 要点掌握利用热力学数据计算在单纯pVT 变化、相变化、化学变化过程中系统旳热 力学能变、焓变以及过程热和体积功。
( H p
热力学统计物理.完美版PPT
热力学统计物理第二章
§2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 一、热力学重要函数和方程 ⒈基本热力学函数
物态方程 P=P(T,V)；内能：U ；熵 S 。
2.自由能和其它热力学势
自由能：F=U－TS
内能：U 焓：H=U+pV
吉布斯函数：G=U－TS+pV＝F+pV
3.基本方程 由热力学第一定律和第二定律可得：
(x)y
(x,y)
v (x)y
u
(y)x v (y)x
(ux)y(yv)x (uy)x(vx)y
性质：（1）(ux)y＝((ux,,
y) y)
(2) (u,v) (v,u) (3) (u,v) (u,v) (x,s)
(x, y) (x, y)
(x, y) (x,s) (x, y)
(4) (u,v) [(x, y)]1 (x, y) (u,v)
P
T
SV VS
T V
PS
SP
G
T
P
F
H
VS U
dF=-SdT -PdV
S
P
VT
TV
dG=-SdT+VdP
S V
PT
TP
Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers
§2.2 麦克斯韦关系的简单应用
一、麦克斯韦关系的应用有： • ⑴用实验可测量的量（如状态方程，热容
量Cp 、 CV、膨胀系数 、压缩系数 T
等）来表示不能直接测量的量（如U、H 、F、G等）
通常CV也不容易测定
⑵用实验可以测量的量表示某些物理效应 及物理量的变化率（§2.3的内容）
§2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 一、热力学重要函数和方程 ⒈基本热力学函数
物态方程 P=P(T,V)；内能：U ；熵 S 。
2.自由能和其它热力学势
自由能：F=U－TS
内能：U 焓：H=U+pV
吉布斯函数：G=U－TS+pV＝F+pV
3.基本方程 由热力学第一定律和第二定律可得：
(x)y
(x,y)
v (x)y
u
(y)x v (y)x
(ux)y(yv)x (uy)x(vx)y
性质：（1）(ux)y＝((ux,,
y) y)
(2) (u,v) (v,u) (3) (u,v) (u,v) (x,s)
(x, y) (x, y)
(x, y) (x,s) (x, y)
(4) (u,v) [(x, y)]1 (x, y) (u,v)
P
T
SV VS
T V
PS
SP
G
T
P
F
H
VS U
dF=-SdT -PdV
S
P
VT
TV
dG=-SdT+VdP
S V
PT
TP
Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers
§2.2 麦克斯韦关系的简单应用
一、麦克斯韦关系的应用有： • ⑴用实验可测量的量（如状态方程，热容
量Cp 、 CV、膨胀系数 、压缩系数 T
等）来表示不能直接测量的量（如U、H 、F、G等）
通常CV也不容易测定
⑵用实验可以测量的量表示某些物理效应 及物理量的变化率（§2.3的内容）
第二章 比例积分微分控制及其调节过程 ppt课件
条件： u↑ μ↑Q(热气)↑y↑
e yr y
u Q y (不能达到平衡) u Q y (可以达到平衡)
y↑,u↓, 为反作用方式
2) 冷却过程 条件： u↑ μ↑Q(冷气)↑y↓
e yr y
u Q y (可以达到平衡) u Q y (不能达到平衡)
100% 0 阀开度 100% 0 阀开度
被调量
被调量
调节器的比例带δ习惯用它相当于被调量测量仪表的量程的百分数表示,如: 若测量仪表量程为100℃, 则δ＝50%就表示被调量需要改变50℃才能使调 节阀从全关到全开, 也就是:δ*量程
比例带也称比例度或比例范围,比例带δ越小,调节器的放大倍 数也就越大,即调节器对输入偏差放大的能力越强。
第二章 比例积分微分控制及其调节过程
PPT课件
1
重点：
掌握调节器的正反作用方式的确定 掌握PID调节的动作规律和特点
了解PID控制规律的选取原则;
了解积分饱和现象及防积分饱和措施
PPT课件
2
2.1 基本概念
PID控制:比例(proportion),积分(integration ),微分(differentiation )控 制的简称，是一种负反馈控制. PID控制器是控制系统中技术比较成熟, 而且应用最广泛的一种控制器. 它的结构简单, 参数容易调整, 不一定需要系统确切的数学模型, 因此在 工业的各个领域中都有应用.
u
1
PPT课件
e
16
1 100% Kc
其中δ称为比例带，其意义为: 如果输出u直接代表调节阀开度的变化量,那 么δ就代表使调节阀开度改变100%, 即从全关到全开时所需的被调量的变 化范围. 只有当被调量处于这个范围之内, 开度才与偏差成正比,超出这个 比例带之外,调节阀已经处于全关或全开的状态, 暂时失去控制作用.
e yr y
u Q y (不能达到平衡) u Q y (可以达到平衡)
y↑,u↓, 为反作用方式
2) 冷却过程 条件： u↑ μ↑Q(冷气)↑y↓
e yr y
u Q y (可以达到平衡) u Q y (不能达到平衡)
100% 0 阀开度 100% 0 阀开度
被调量
被调量
调节器的比例带δ习惯用它相当于被调量测量仪表的量程的百分数表示,如: 若测量仪表量程为100℃, 则δ＝50%就表示被调量需要改变50℃才能使调 节阀从全关到全开, 也就是:δ*量程
比例带也称比例度或比例范围,比例带δ越小,调节器的放大倍 数也就越大,即调节器对输入偏差放大的能力越强。
第二章 比例积分微分控制及其调节过程
PPT课件
1
重点：
掌握调节器的正反作用方式的确定 掌握PID调节的动作规律和特点
了解PID控制规律的选取原则;
了解积分饱和现象及防积分饱和措施
PPT课件
2
2.1 基本概念
PID控制:比例(proportion),积分(integration ),微分(differentiation )控 制的简称，是一种负反馈控制. PID控制器是控制系统中技术比较成熟, 而且应用最广泛的一种控制器. 它的结构简单, 参数容易调整, 不一定需要系统确切的数学模型, 因此在 工业的各个领域中都有应用.
u
1
PPT课件
e
16
1 100% Kc
其中δ称为比例带，其意义为: 如果输出u直接代表调节阀开度的变化量,那 么δ就代表使调节阀开度改变100%, 即从全关到全开时所需的被调量的变 化范围. 只有当被调量处于这个范围之内, 开度才与偏差成正比,超出这个 比例带之外,调节阀已经处于全关或全开的状态, 暂时失去控制作用.
第二章 非牛顿流体在管道中的流动
Bingham，Herschel-Bulkley：
Q r u u 2rdr
2 0 0 r0
R
第二节 非牛顿流体管流的流态判断
Flow regimes of non-Newtonian Pipe flow
一、Metzner-Reed雷诺数（广义雷诺数）
Metzenr-Reed/generalized Reynolds Number
n 1 n
对牛顿流体：
u u max r 1 R
2
3.Bingham塑性体
y R r p R 2 r 2 p 4 pl
duz y dr p
y
y y 1 pr p 1 2 u r dr r r c p p 2l p 2 pl 2
16 故，牛顿流体层流时，有 f Re 64 Re
16e 对非牛顿流体层流，定义 f Re MR
又
f
V 2 / 2
w
w 16 Re MR V 2 /8
8V （下一章证明之） 对非牛顿流体管流 w K D
'
n'
整理可得 Re MR
D n ' V 2-n '
1
Power law
或
n 4lK 3n 1 8V 8 3 n 1 Q P 4 lK n D3n1 D 4n D n n
n=1时
Q P ∝ 3 n 1 D Q P ∝ 4 D
n
n 1时，P对Q、D的依赖性减小。 物理解释：剪切稀释性
8V 32Q 4 3 3 D D w 4
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
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T (t) a 2T (t)
0
设这一常数为-，则
X (x) 常数 X (x)
X (x) X (x) 0 T (t) a2T (t) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X (x)T (t) a2 X (x)T (t) f (x,t) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
线性组合这些足够多的形式解
使之满足初始条件
从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。
为此，特解可表示为
u( x, t) A(t) sin x 的形式.
特点: u 中的变量 x , t
被形式上分离为
振幅-关于时间t
位相-关于坐标x
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§2.1 有界弦的自由振动
什么是分离变量法? 运用分离变量法所应该具备的条件?
如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意
初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2u
t
2
a2
2u x2
,
0 x L,t 0
泛定方程
(1)
u |x0 0 , u |xL 0 , t 0
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分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u(x,t) X (x)T (t) （4）
代入方程（1）： X (x)T (t) a 2 X (x)T (t)
（5）
X (x) T (t)
X (x) a 2T (t)
（6）
两边对x求导数： d dx
X (x) X (x)
d dx
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将边界条件（2）代入形式解（4）： X (0)T (t) 0, X (L)T (t) 0,
由于T (t) 0,否则 u(x,t) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X (L) 0
（7）
这样空间函数 X (x) 构成下列常微分方程的边值问题:
X (x) X (x) 0
边界条件 (2)
u
|t
0
(
x)
,
u (x) ,
t t 0
0 x L
初始条件
(3)
主导思想：
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在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
求出足够多的形式解
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
线性迭加这些足够多的形式解 使之满足初始条件
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物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的
定解问题。
偏微分方程 定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中:
微分 多元函数的
(转化为)
积分
微分 一元函数的
积分
分离变量法:
偏微分方程 (定解问题)
(转化为)
常微分方程的求解
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基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u(x, y, z,t) X (x)Y ( y)Z(z)T (t)
Lux, y, z,t 0
L x X x 0 L yY y 0
L z Zz 0 LtT t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和
时间的常微分方程,比如
u(x,t) X (x)T (t)
Lu x,t 0
Lx X (x) 0 LtT (t) 0
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第二章：分离变量法
参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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杜戈果
分离变量法提要:
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• 有界弦的自由振动 • 有限长杆上的热传导 • 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 • 非齐次方程的解法 • 非齐次边界条件的处理 • 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
启发：
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求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
X (0) X (L) 0
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则X (0)T (t) f，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
以下的任务：
X (x) X (x) 0
X (0) X (L) 0
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(12)
这是一个关于A, B的线性齐次方程组，它有 非零解的必要充分条件是系数行列式为零：
1
1
0
exp(kL) exp(kL)
即
exp(kL) exp(kL) 0
上式在k=0(即=0)条件下成立，但在现在的 <0
情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解
即 A B 0 X (x) 0
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0）
2. 0: 方程(9)的通解为
设k
X (x) Aexp(kx) B exp(kx)
(11)
为了满足边界条件(10), (11)必须给出
AB 0 Aexp( kL) B exp( kL) 0
AB 0 Aexp( kL) B exp( kL) 0
确定取何值时 ，方程 X ( x) X ( x) 0 有满足条件
——本征值
X (0) X (L) 0 的非零解；
求出这个非零解 X ( x)
本征值 问题
本征函数
下面求解边值问题：
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X (x) X (x) 0 (9)
X (0) X (L) 0 (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X (x) A Bx
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X (x) X (x) 0 (9)
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definite condition 定解条件
initial condition
boundary condition
definite solution problem
非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation
Method of separation of variables:分离变量法