第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
2.6-曲线拟合的最小二乘法
第2页，共29页。
由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
第1页，共29页。
问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
第20页，共29页。
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
第3章4节最小二乘法(课堂PPT)
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
计算方法(3)-曲线拟合的最小二乘法
m
m
使 Wi [ * (xi ) i 1
yi ]2
min ( x)
Wi [ (xi )
i 1
yi ]2
其 中 (x) a0 0 (x) a11 (x) an n (x)是
中 任 一 函 数;Wi (i 1, , m)是 一 列 正 数, 称 为 权.
第三章 曲线拟合的最小二乘法
§1 引言 §2 最小二乘法 §3 最小二乘法的求法 §4 加权最小二乘法
*§5 利用正交函数作最小二乘拟合
1
§1 引言
一.曲线拟合问题
从一组实验数据(xi , yi )(i 1,2, , m)出发,
寻求函数y (x)的一个近似表达式
m
xin
i1
m
xi
i 1 m
xi2
i 1
m
x n1 i
i 1
m
xin
i 1 m
xn1 i
i 1
m
xi2n
a0 a1 an
m
WI xin
i 1
m
Wi xin1
i 1
m
Wi xi2n
a0 a1 an
m
Wi yi
i 1 m
Wi xi yi
i 1
m
Wi xin yi
是中 任 一 函 数
5
§3 最小二乘解的求法
一.法方程组
最小二乘解 * (x) a0* 0 (x) a1*1 (x) an* n (x)
曲线拟合——最小二乘法算法
曲线拟合——最小二乘法算法一、目的和要求1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。
二、实习内容1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。
2）用完成的程序解决实际问题。
三、算法1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1)2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ：S k =∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=10n j k j j x y ( k=0,1,2,… m )3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m)4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T四、实验步骤1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序求解下面的实际问题。
5）完成实验报告。
五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Q 100float CF(int,float);main(){int i,j,n1,n,p,k,q;float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0;/*以下是最小二乘的程序*/printf("input 数据组数n");scanf("%d",&n);printf("input 拟合次数n1");scanf("%d",&n1);for(i=0;i<n;i++){printf("x[%d]=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y[%d]=",i);scanf("%f",&y[i]);}for(i=0;i<=2*n1;i++)for(j=0;j<n;j++){s[i]=s[i]+CF(i,x[j]);if(i<=n1)t[i]=t[i]+y[j]*CF(i,x[j]);}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++){a[i][j]=s[i+j];if(j==n1+1)a[i][j]=t[i];}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f",i,j,a[i][j]); /*以下的是削去法的程序*/for(j=0;j<=n1-1;j++){p=j;for(i=j+1;i<=n1;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j]))p=i;}if(p!=j)for(i=j;i<=n1+1;i++){l=a[p][i];a[p][i]=a[j][i];a[j][i]=l;}for(k=j+1;k<=n1;k++){l=a[k][j]/a[j][j];for(q=j;q<=n1+1;q++)a[k][q]=a[k][q]-l*a[j][q];}}for(i=0;i<n1+1;i++){for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f\n",i,j,a[i][j]);printf("\n");}x[n1]=a[n1][n1+1]/a[n1][n1];for(i=n1-1;i>=0;i--){for(j=i+1;j<=n1;j++)sum=a[i][j]*x[j]+sum;x[i]=(a[i][n1+1]-sum)/a[i][i];sum=0;}for(i=0;i<=n1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}float CF(int i,float v){float a=1.0;while(i--)a*=v;return a;}2. 实例验证结果：1）输入初始参数：n=9，m=2X：1 3 4 5 6 7 8 9 10Y：10 5 4 2 1 1 2 3 42）结果输出：1.实际应用问题：作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。
计算方法 第三章 最小二乘法与曲线拟合
j1 i1
i1
称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。
例：利用最小二乘法求矛盾方程组：
2x+4y=11
3x 5y 3 x 2 y 6
4x 2 y 14
解：将原方程组改写为
4
1 2x 4 y 11 2 3x 5y 3 3 x 2 y 6
记
Q
n
i2
n
m
2
(aij x j bi ) （求Q的最小值）
i 1
i1 j1
Q
xk
n i 1
2
m
(aij x j
j 1
bi )aik
n
2
i 1
m
(aij x j
j 1
bi )aik
0
即
m
n
aij aik
x
j
n
aik bi
(k 1, 2,
, m)
——（2）
注：拟合时尽量使i 0
2. 常用方法：
m
m
（1）使偏差绝对值之和最小，即 | i | | (xi ) yi |最小。
i 1
i 1
(2)
使偏差最大绝对值最小，即max 1im
|
i
|
max
1im
|
( xi
)
yi
|
最小。
m
m
（3）使偏差平方和最小，即 i2 ［(xi ) yi］2最小。
解得：x 2.977，y 1.226
§3.2 曲线拟合
一、已知 x x1 x2 xn
y y1 y2
yn
n－1的多项式 Q(x) a0 a1x
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
最小二乘法与曲线拟合(共24张PPT)
j 1
n
aNj
xj
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT b )
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
〔*〕
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
或写为
其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n〔A的秩为n〕的矛盾方程组〔N>n〕，我 们寻求其最小二乘意义下的解。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表 达式y= (x)，要求近似表达式能够反映数据的根本趋势 而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函 数的近似表达式y= (x)称为拟合曲线。本章介绍用最小 二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
〔1〕判断方程组的秩是否满足rankA=n？
〔2〕写出正那么方程组；
〔3〕求解正那么方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
曲线拟合的最小二乘法
由 ln y ln a bx ，可以先做 y* a* bx
可以先做出 ln y 的一次线性拟合
例2 设一发射源强度公式为
观测数据如下
I
I
eat
0
ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56
2.9611
a b
2.31254 0.0870912
(1)、y ax2 b
解：函数空间的基
x2 ,1 ，然后列出法方程
x2, x2 D 1, x2 D
1, x2 D
1,1D
a b
f
, f
x2 D
,1D
370
34
34
5
a b
3.5a1 1.9891 2.03a1 0.1858
aa1012.7.839
ea0 =5.64 a=－2.89
则 I=5.64e－2.89t
3.2.3 最小二乘法一般形式
span{0,1,n} 0 ,1,n 为线性无关的基函数
(x) a00 (x) ann (x)
i 1
n
( y, j ) ik xi j xi j=0，1，2，…，m i 1
则法方程组可写成以下形式
0 1
,0 ,0
m ,0
0 ,1 1,1
m ,1
第三章曲线拟合的最小二乘法
2
2
∂s =0 ∂a k
偏导数： 即：
m ∂s =∑ ∂a k i =1 n
k = (0,1,", n ) 即一阶导数为 0 的点。
∑ [a ϕ
k =0 k
k
′ ( xi ) − y i ](∑ a k ϕ k ( xi ) − y i ) = 0
（3.3.2）
( x ), ϕ 1 ( x )" ϕ n ( x ) 线性无关时，可以证明它存在唯一解
* * a0 = a0 , a 1 = a 1* , " , a n = a n
即
ϕ * ( x ) 就是所求的最小二乘解。
(x i ,
0
定理 1：对于给定的一组实验数据 在 函
0
y i ) ， ( x i 互异；i=1,2,…,m),
y= y= ae
b t
③
(a>0,b<0)
④
为了在求取参数 a 和 b 时，避免求解一个非线性方程组，对上式两边取对数
ln y = ln a +
b t
6
此时若引入变量
y (2) = ln y, t (2) =
1 t
表 3-5
i
ti
yi
( 2)
1
1 ti
2 0.50000 1.85630
3 0.33333 2.07944
∑
解：过程如下： （1）先描绘坐标点. （2）确定拟合曲线形式：由（1）可知，六个点于一条直线附近.故可选用线性函数（直
4
线）
φ
来拟合这组实验数据.
可令
ϕ ( x ) = a + bx , a , b
最小二乘法拟合二次曲线公式
最小二乘法拟合二次曲线公式
最小二乘法是一种常用的统计分析和拟合算法的计算方法，用于最小化拟合曲
线与原始数据之间的差异。
它是指在一定的统计数据上，通过实验取得一组期望结果，对付詹迭乘法拟合二次曲线，能够更加准确地预测结果，从而达到更好的精度。
应用最小二乘法拟合二次曲线，只需进行简单的处理就可以计算出符合要求的
拟合曲线，且能够更加精准地拟合出原始数据，取得更加精确的预测结果。
最小二乘法拟合二次曲线的流程可大体分为以下几步：
（1）将给定的原始数据搭建成（x、y）形式，进行表格统计；
（2）由表格得出，进行拟合曲线系数计算，利用最小二乘法拟合出线性回归
方程；
（3）根据拟合曲线回归方程，计算出y值；
（4）将原始数据和y值画出拟合曲线，完成拟合结果。
最小二乘法通过不断迭代，找到最佳的线性拟合方程，从而取得更加精确的预
测结果。
因此，不管是应用到科学技术、经济管理和社会发展等各个领域，最小二乘法拟合二次曲线都具备极强的实用性和准确性。
曲线拟合的最小二乘法
a11(xm ) a22 (xm ) ann (xm ) bm
简写为
(xi ) bi , i 1, 2,..., m
一般计算步骤
(1)计算 A [ j (xi )]mn，其中 i 1, 2, , m, j 1, 2, , n (2)计算ATA, ATb ，形成法方程组ATAx = ATb
30
则法方程组为
3
3
49
x1
x2
33
9
求得法方程组的解为
x1 x2
2.979 1.2259
这也就是超定方程组的最小二乘解。
3.5.3 可线性化模型的最小二乘拟合
例 已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6) ，试用最小二乘法求
形如(x) ax b 的经验公式。
xi c3
x
2 i
c3
xi2 xi3
yi xi yi
c1
xi2 c2
xi3 c3
xi4
xi2 yi
3 一般情形
( x) c11( x) c2 2 ( x) cm m ( x),(m n) 1( x) 1 ,2( x) x , 3( x) x2 , ,m ( x) xm1
AT
y
1 x1
1 x2
... ...
1 xn
y2
yn
yi
xi yi
记号指 对i从1到n 取和
法方程组
c1n c2 xi yi
c1 xi c2
xi2
xi yi
2 二次拟合、抛物拟合
( x) c1 c2 x c3 x2
作超定方程组
c1
c2 x1
c3
求得法方程组的解为
第03章曲线拟合的最小二乘法
合的最小二乘 法
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本章内容
§3.1 引言
§3.2 什么是最小二乘法
§3.3 最小二乘解的求法 §3.4 加权最小二乘法
小结
作业与实验
2
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本章要求
1. 熟悉插值法和拟合法的区别； 2. 了解偏差的概念; 3. 掌握使用最小二乘法进行数据拟合。
P73 3.3.2
26
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§3.3 最小二乘解的求法
2. 多项式拟合： 对于给定的一组数据
多项式 (n m ) :
( x i , y i )( i 0,1, , m )，求作 n 次
n
* ( x )
a
* 0
a
* 1
x
...
a
* n
x
n
a
* j
x
k
j0
使得关系式
偏差最大绝对值最小
m
Ø使 |(xi ) yi |2 最小 /* Least-Squares method */ i1
偏差平方和最小
20
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§3.2 什么是最小二乘法
三. 最小二乘原则
P71
1. 最小二乘原则 使偏差平方和最小（上页中方法3）的原则称为最小二 乘原则；
。
P74 m次多项式拟合
28
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§3.3 最小二乘解的求法
（1）直线拟合（一次多项式拟合）
若 y(x)a0a1x ， a0, a1满足法方程组
n
n
na0
(
计算方法 曲线拟合的最小二乘法
Q f ( x ) = Pn ( x ) + ∴ f ' ( x) = Pn' ( x ) +
由于 ξ = ξ ( x) ，所以无法精确估计 f ' ( x) − Pn' ( x) ； 但有 (i) 两点公式
f ' ( x i ) − Pn' ( xi ) =
x0
f ( x ) = P1 ( x ) + R1 ( x) =
Hale Waihona Puke 在二阶导数 f ' ' ( x) 的三点近似计算公式中，在中间点 x1 处截断误差较小，即 1 h 2 ( 4) [ ( − ) − 2 ( ) + ( + )] − f x h f x f x h f (ξ ). 1 1 1 12 h2 二阶导数常用近似计算公式： 1 f ' ' ( x) ≈ 2 [ f ( x − h) − 2 f ( x) + f ( x + h)], 截断误差为 O( h 2 ) . h f ' ' ( x1 ) = 一般来说，三点比二点公式好。 （iii）利用三次样条插值函数 S ( x) 求数值导数（了解） f ( x) − S ( x) = O (h 4 ), f ' ' ( x) − S ' ' ( x) = O (h 2 ), 其中 h = max | xi − xi −1 | 。
15
得三点公式 1 f ' ( x0 ) ≈ P' 2 ( x0 ) = 2h [−3 f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) − f ( x2 )]; 1 f ' ( x1 ) ≈ P' 2 ( x1 ) = [ − f ( x0 ) + f ( x 2 )]; 2h f ' ( x ) ≈ P ' ( x ) = 1 [ f ( x ) − 4 f ( x ) + 3 f ( x )]. 2 2 2 0 1 2 2h 一阶导数常用近似计算公式： f ' ( x) ≈ f ( x + h ) − f ( x − h) , 截断误差为 O( h 2 ); 2h
曲线最小二乘法拟合
最小二乘法拟合曲线算法1、概述给定数据点P(x i ,y i )，其中i=1,2,…,n 。
求近似曲线y= φ(x)。
并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。
近似曲线在点pi 处的偏差δi = φ(x i )-y ，i=1,2,...,n 。
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，这种方法为最小二乘法，偏差平方和公式为：min σ2 = (φ(x i −y i ))2ni =1n i =12、推导过程1）设拟合多项式为：y = a 0+ a 1x +⋯+a k x k2）各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方如下:R 2= [y i −(a 0+ a 1x +⋯+a k x k )]2ni =13）多项式系数为学习对象，为了求得符合条件的系数值，对上面等式的a i 分别求导，得：−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k =0ni=1−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x =0ni=1……−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k =0ni=14）将等式移项化简，得：a 0+ a 1x +⋯+a k x k = y i ni =1n i =1a 0+ a 1x +⋯+a k x k x = y i x ni =1n i =1……a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k = y i x k ni =1n i =15）依上式得矩阵为：x i0 ni=1⋯x i kni=1⋮⋱⋮x i k ni=1⋯x i2kni=1a0⋮a k=y i x i0ni=1⋮y i x i kni=1上边等式左边为1+K阶对称矩阵，解此矩阵方程即可得到曲线系数a k6）对于AX=B，A为对称矩阵，对称矩阵可以分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵（下三角矩阵的转置）和一个对角线矩阵相乘。
即A=LDL T所以AX=LDL T X=B，令DL T X=Y -> LY=B，其中L为下三角矩阵，且已知，可求出Y。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
2013218 第3章 曲线拟合的最小二乘法
换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方 为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造一个 或下方不远处 , 所求的曲线称为拟合曲线 , 它既能反映 近似函数 , 不要求函数 完全通过所有的数 ( x) ( x) 数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能 据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋 反映被逼近函数的特性 势，如图 3.1所示。 ,使求得的逼近函数与已知函数 从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是 最小二乘法。
线。作拟合直线 y ( x ) a a x ,该直线不是通过所有的 0 1 数据点 x i, y i ,而是使偏差平方和
2 F ( a , a ) ( a a x y ) 0 1 0 1i i m
为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为
i 1
y ( x ) y a a x y i 1 , 2 , , m i i 0 1 i i 根据最小二乘原理，应取 a 0 和 a 1 使 F(a0 , a1) 有极小 值，故 a 0 和 a 1应满足下列条件：
m F ( a 0,a 1) 2 ( a 0 a 1x i y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0,a 1) 2 ( a x 0 a 1x i y i) i 0 a i 1 1
即得如下正规方程组
m m a0 m a1 xi yi i 1 i 1 m m m 2 a x 1 i a0 xi xi yi i 1 i 1 i 1
两种逼近概念:
插值: 在节点处函数值相同.
拟合:
在数据点处误差平方和最小
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 处函数值相同,即 P 而曲线 i 0 , 1 , , n ) ( x f( x i) i) ( 拟合函数 ( x) 不要求严格地通过所有数据点 ( xi , y i ) ,也 就是说拟合函数 ( x) 在xi处的偏差(亦称残差）
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拟合曲线为 p( x) aˆ0 aˆ1x aˆ2 x 2
5
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
y5212 4
算
方
解 首先作平面散点图如下：
法
y
课
5
件
4
3
2
1 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑
17
结束
解： f (xi ) a bxi3
a bxi3 yi
计 算 方
1 x13
y1
1 1
x23 xn3
a b
y2 yn
法
课 件
AT
A
5 36
439654
AT y 15086.32 AT AX AT y
解得： a 10.675, b 0.137
拟合曲线为： f (x) 10.675 0.137 x3
xim
xi xi2
xm1 i
xim xm1
i
xi2m
a0 a1 am
yi
xi yi
xin yi
法 课 由此求出拟合多项式的系数。
件 例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式
f (x) a bx3
xi 3 2 1 2 4 yi 14.3 8.3 4.7 8.3 22.7
n
xi
i1
n
xi2
i 1
14
即法方程。
计 算 方 法
n
n
xi
n
n
i1 n
xi xi2
a0 a1
yi
i 1
n
xi yi
课
i1
i 1
i1
件
定理 （1）AX=b的法方程 AT AX ATb 恒有解；
（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为 ATAx*=ATb.
证明(略)
15
一般形式为：
p( xi ) a0 a1xi am xim yi
计
矛盾方程组的矩阵形式为：
算
方 法 课 件
1 x1
1 x2
1 xn
x1m a0 y1
x2m x nm
a1 a m
y2 yn
简化为
Ax b
16
其法方程为：
计 算 方
n
xi
4.1836
36
25.1016
课
6
7
87.8
4.4751
49
31.3257
件
7
8ห้องสมุดไป่ตู้
117.6
4.7673
64
38.1384
∑
36
29.9787
204
147.1354
386 23064 bA 12497..91738574
10
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
由A=lna,即得a=eA=11.436 9
y1
1 1
xx n2
a0 a1
y2 yn
AX
b
13
AT AX AT b 为法方程。
计 算 方
1 x1
1 x2
法
课
件
1 1 x1 x2
1
1 xn
11
x1 x2 xn
n
n
xi
i 1
1 xn
y1 y2 yn
n
yi
i 1 n
xi yi
i 1
课
件
p( xi ) a0 a1xi yi
否则
p( xi ) a0 a1xi yi
此时统称 yi a0 a1xi 为矛盾方程
12
矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）
a0 a1 x1 y1
计 算 方 法
a0
a1 x2
y2
a0 a1 xn yn
课
件 其矩阵形式为：
1 x1
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
方
法
n
课
Q(a, b)
(a bxi yi )2
件
i 1
由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组
n
n
xi
i1
n
n
i1
n
i1
xi x2
i
a b
yi
i 1 n
xi yi
i 1
3
由此可出求系数 aˆ , bˆ
计
所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x
算
方 法 可化为线性拟合的非线性曲线有：
课 件 拟合曲线
y axb
y axk c
y aebx
y a b lg x y x ax b
变换关系 Y lg y, X lg x Y y, X xk Y ln y, X x Y y, X lg x Y 1 , X 1 yx
第3章 曲线拟合的最小二乘法
§3.1 拟合曲线
计
算
通过观察或测量，得到一组离散数据
方 法
( xi , yi ), i 1,2,..., n
课
插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能
件 产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接
近原函数。
拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映
8
又如: y x 1 a b
ax b y
x
计
令Y 1 , X 1 Y a bX
算
yx
方 法 例3:已知数据为
课 件
x1234567 8
y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
求一个形如 y=aebx的经验公式(a,b为常数).
解:两边取对数得： ln y ln a bx
拟合直线为 p( x) aˆ bˆx
计 2. 二次拟合函数 算
方 法
已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
课 用二次函数 p( x) a0 a1x a2 x 2
件 作为近似拟合曲线,均方误差为
n
Q(a0 , a1, a2 )
(a0 a1 xi a2 xi2 yi )2
线性函数 Y lg a bX Y aX c Y ln a bX Y a bX Y a bX
11
§3.3 解矛盾方程组
1. 矛盾方程组
已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
计
算 作拟合直线 p( x) a0 a1x
方 法
若直线 p( x) a0 a1x 通过点(xi,yi),则
用二次多项式 p2 (x) a0 a1x a2 x2 进行拟合。
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
最小二乘拟合多项式为：
计 算
y p2 (x) 13.454 3.657 x 0.272 x2
方 法 3 非线性曲线转化为线性拟合:
课 件
y a ebx ln y ln a bx
令Y ln y, A ln a Y A bx
又如: y a bx2 令X x2 y a bX
i 1
最小。
4
由求极值的方法得法方程：
n
计 n
算
xi
方
法
i 1
n
xi2
课 i1
n
xi
i 1
n
xi2
i 1
n
xi3
i 1
n xi2
n
yi
i1 n
xi3
a0 a1
i 1
n
xi yi
i 1 n
xi4
a2
i 1
i 1 n
xi2
yi
i1
件
由此可出求系数 aˆ0 , aˆ1, aˆ2
18
结束
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Σ 32 14 87 234 659 1880 16098
5 32 234
32 234 1880
234 a0 14 1880 a1 97 16098 a2 659
7
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=-3.657,a2=0.272。
课
i 1
件 为最小.
当 (x)选择为多项式时,称为多项式拟合.
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
2
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
Y ln y, A ln a Y A bx
9
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315