§3.5 函数按正交多项式展开
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3 2 1 x 7 ( f ( x), P2 ( x)) ( x )e dx e 0.1431; 1 2 2 e 1 5 1 3 3 x 37 5e 0.02013. ( f ( x), P3 ( x)) ( x x)e dx 1 2 e 2 又 ( f ( x), Pk ( x)) * * ak ( x) a0 ( f ( x), P0 ( x)) / 2 1.1752, ( Pk ( x), Pk ( x)) * * a a1 3( f ( x), P ( x )) / 2 1 . 1036 , 2 5( f ( x), P 2 ( x)) / 2 0.3578, 1 * a3 7( f ( x), P3 ( x)) / 2 0.07046. * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 代入 1 nP n ( x),
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第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
均方误差 n ( x) e S ( x) 2
( f ( x), k ( x))
k ( x)
2 2
k ( x).
2 2
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第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)
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wk.baidu.com
故法方程组的系数矩阵 Gn G(0 ( x), 1 ( x), , n ( x))
为非奇异对角阵， 且方程组的解为
* ak ( f ( x ), k ( x )) /( k ( x ), k ( x ))
最佳平方逼近函数
S ( x)
* k 0 n
(k 0,1, , n).
2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
n
2
.
1 2
用Legendre多项式求最佳平方逼近多项式 考虑函数 f ( x) C[1, 1],勒让德多项式 {P0 ( x), P1 ( x), , Pn ( x)} 由(3.8)，(3.9)可得 * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 1 nP n ( x), 其中
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
3
最大误差
* n ( x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
* ak ( x)
( f ( x), Pk ( x)) 2k 1 1 f ( x) Pk ( x)dx. 1 ( Pk ( x), Pk ( x)) 2
平方误差
k ( x ) 2 f ( x )dx
2 1 2 1
2 *2 ak . k 0 2k 1
3 3
n
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第三章 函数逼近与计算 例1 求 f ( x) e x在 [1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式. ~ (k 0,1,2,3). ( f ( x ), P 先计算 k ( x)) 解 1 1 x ( f ( x), P ( x )) e dx e 2.3504; 0 1 e 1 x 1 ( f ( x), P ( x )) x e dx 2 e 0.7358; 1 1
第五节 函数按正交多项式展开
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第三章 函数逼近与计算
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x ), k ( x ))
( 0 , )a ( 0 , a], (span 0 , n{ )a ( ), f )( x), , ( x)}, 0x 1) 1 n 0 , f( )0 C [,a b ( x 设 0 1 n (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) 若 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是正交函数族， ( (0x x )) 0, i j 而 ( j ( x), j ( x)) 0 则 )), a0 j(( n ,i n , 1 )a1 ( n , n )an ( n, f ) (
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第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
均方误差 n ( x) e S ( x) 2
( f ( x), k ( x))
k ( x)
2 2
k ( x).
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第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)
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故法方程组的系数矩阵 Gn G(0 ( x), 1 ( x), , n ( x))
为非奇异对角阵， 且方程组的解为
* ak ( f ( x ), k ( x )) /( k ( x ), k ( x ))
最佳平方逼近函数
S ( x)
* k 0 n
(k 0,1, , n).
2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
n
2
.
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用Legendre多项式求最佳平方逼近多项式 考虑函数 f ( x) C[1, 1],勒让德多项式 {P0 ( x), P1 ( x), , Pn ( x)} 由(3.8)，(3.9)可得 * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 1 nP n ( x), 其中
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
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最大误差
* n ( x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
* ak ( x)
( f ( x), Pk ( x)) 2k 1 1 f ( x) Pk ( x)dx. 1 ( Pk ( x), Pk ( x)) 2
平方误差
k ( x ) 2 f ( x )dx
2 1 2 1
2 *2 ak . k 0 2k 1
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n
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第三章 函数逼近与计算 例1 求 f ( x) e x在 [1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式. ~ (k 0,1,2,3). ( f ( x ), P 先计算 k ( x)) 解 1 1 x ( f ( x), P ( x )) e dx e 2.3504; 0 1 e 1 x 1 ( f ( x), P ( x )) x e dx 2 e 0.7358; 1 1
第五节 函数按正交多项式展开
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第三章 函数逼近与计算
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x ), k ( x ))
( 0 , )a ( 0 , a], (span 0 , n{ )a ( ), f )( x), , ( x)}, 0x 1) 1 n 0 , f( )0 C [,a b ( x 设 0 1 n (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) 若 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是正交函数族， ( (0x x )) 0, i j 而 ( j ( x), j ( x)) 0 则 )), a0 j(( n ,i n , 1 )a1 ( n , n )an ( n, f ) (