§3.5 函数按正交多项式展开
正交函数族与正交多项式
正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π−ππ−(−π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π−πdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π−πdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
函数的最佳平方
记aij = (ϕ i , ϕ j ) = a ji = ∫ ρ ( x)ϕ i ( x)ϕ j ( x)dx
a
b
b j = ( f , ϕ j ) = ∫ ρ ( x) f ( x)ϕ j ( x)dx
a
b
则得到 a11 a 21 M an1 a12 a22 M an 2 L a1n c1 b1 c b L a2 n 2 2 M = M O M L ann cn bn
∂I = −2 b ρ ( x)( f ( x) − p( x))ϕ ( x)dx = 0, j = 1 : n. ⇔ j ∫a ∂c j ∴ ∑ ci ( ∫ ρ ( x)ϕ i ( x)ϕ j ( x)dx) = ∫ ρ ( x) f ( x)ϕ j ( x)dx
b b i =1 a a n
j = 1: n
∴ p(t ) = 1.7183 + 0.8301t + 0.06985(3t 2 − 1) + 0.0033(5t 3 − 3t ) ∴ p( x) = 1.7183 + 0.8301(2 x − 1) + 0.06985(3(2 x − 1) 2 − 1) + 0.0033(5(2 x − 1) 3 − 3(2 x − 1)).
x= 1 + 1 t 2 2
* 2 2
= ( f − p* , f − p* ) = min ( f − p, f − p )
p∈H n
则称p * ( x)为子空间H n中对于f ( x)的最佳平方逼近。
Q I = f − p, f − p) = ∫ ρ ( x)( f ( x) − p( x)) 2 dx = min （
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
函数按正交多项式展开
其他说明：
1 . 若 f ( x ) C [ a , b ], 则可通过 x F (t ) f ( ab 2
2 . 用正交多项式则不用解
t 化为
ba 2
t ) g (t ) , 1 t 1 .
题.
方程组，不出现病态问
例、 求 f ( x ) arcsin x 在 [-1,1] 上的切比雪夫级数
n
s* (x)
j0
2j1 2
( f , p j ) p j ( x ).
例 求 f ( x ) e 在 [-1,1] 上的三次最佳平方逼近
x
多项式 .
1 x
解
( f , p 0 ) 1 e d x 2 . 35 04 ,
1
1
x
( f , p1 ) 1 xe d x 0 . 7358 ,
( f , 0 ) ( f ,1 ) , ( f , n )
s (x) a k (x)
( f , k ) ||
k
均方误差
k0
||
2 2
k ( x ).
* 1/2
|| n ( x ) || 2 || f ( x ) s n ( x ) || 2 ( f ( x ) s n ( x ), f ( x ))
* a2
3
2
1
x
1
5
3
3
x
5 2
( f , p 2 ) 0 . 3578 ,
* a3
7 2
( f , p 3 ) 0 . 07046 .
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
正交多项式
正交多项式若首项系数的次多项式，满足就称多项式序列，在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数的正交函数族。
其中证明可用归纳法，略。
例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解：构造正交多项式于是故在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。
是n次多项式，对其n次求导后得首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为勒让德(Legendre)多项式具体表达式为性质1 正交性证明：反复用分部积分公式，略。
性质2 奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。
性质3 递推关系证明略。
性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。
证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为于是证毕。
性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。
第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。
它可表示为若令当在［－1，1］上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成具体表达式为是首项系数为的次多项式。
性质1 递推关系这只要由三角恒等式令即得。
性质2 最高项系数为1的对零的偏差最小。
即在区间［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为证：由于且点是的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式。
证毕。
例：求在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
性质3 切比雪夫多项式在区间［－1，1］上带权正交，且令则于是性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.性质5在区间［-1，1］上有个零点可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同。
多项式展开式公式
多项式展开式公式多项式展开式可以用于求解多种数学问题，包括代数问题、几何问题和物理问题。
在代数中，多项式展开式可以用于解决方程、求多项式的根等问题。
在几何中，多项式展开式可以用于计算多边形的面积和体积，以及解决平面上的几何问题。
在物理中，多项式展开式可以用于计算物体的运动、力学系统的能量等。
1.二项式展开式：对于形如(a+b)^n的二项式，展开式可以由二项式定理给出：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.平方差展开式：对于形如(a-b)^2的平方差，展开式可以由平方差公式给出：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.平方和展开式：对于形如(a+b)^2的平方和，展开式可以由平方和公式给出：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.立方差展开式：对于形如(a-b)^3的立方差，展开式可以由立方差公式给出：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^35.立方和展开式：对于形如(a+b)^3的立方和，展开式可以由立方和公式给出：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^36.二次多项式展开式：对于形如(ax+b)^2的二次多项式，展开式可以由二次多项式展开公式给出：(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^27.三次多项式展开式：对于形如(ax+b)^3的三次多项式，展开式可以由三次多项式展开公式给出：(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3这些公式是多项式展开的基础，可以根据需求进行扩展和组合。
在实际应用中，我们可以使用这些展开式公式来计算多项式表达式的值、求解方程、进行因式分解等。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
多项展开式公式
多项式展开式公式的应用及推导多项式展开式公式是高中数学的一个重要知识点，也是许多数学领域的基础。
本文详细介绍了多项式展开式公式的定义、应用和推导过程。
一、多项式展开式公式的定义多项式展开式公式是指将一个多项式拆分成一系列单项式的加减式。
其中，单项式是指只含一个变量的项，例如x、y、z等。
二、多项式展开式公式的应用1. 多项式展开式公式在因式分解方程中的应用在因式分解方程中，多项式展开式公式可用于将一个多项式分解成多个单项式的乘积形式，从而使得求解方程更加便捷。
例如：(x+y)^2=x^2+2xy+y^2(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^32. 多项式展开式公式在概率统计中的应用在概率统计中，多项式展开式公式可用于求解二项式分布、泊松分布等概率分布的期望和方差。
例如：二项式分布的期望是np，方差是np(1-p)，其中p为概率，n为实验次数。
三、多项式展开式公式的推导过程1. 二次多项式展开式公式的推导对于一个二次多项式(x+y)^2，我们可以将其展开为：(x+y)^2=x·x+x·y+y·x+y·y化简后得到：(x+y)^2=x^2+2xy+y^22. 三次多项式展开式公式的推导对于一个三次多项式(x+y)^3，我们可以将其展开为：(x+y)^3=x·x·x+x·x·y+x·y·x+x·y·y+y·x·x+y·x·y+y ·y·x+y·y·y化简后得到：(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3以上就是多项式展开式公式的应用和推导过程，希望对大家学习高中数学有所帮助。
多项式展开如何展开多项式并求解其值
多项式展开如何展开多项式并求解其值多项式展开是在代数学中常见的运算方法之一，通过将一个多项式进行展开，可以将其转化为一系列单项式的和的形式，从而能够对多项式进行进一步的求解或计算。
在展开多项式的过程中，一般会运用到二项式定理和高次幂的乘法法则。
下面将介绍多项式展开的基本方法，并结合具体的例子进行说明。
一、二项式的展开二项式指的是只含有两个项的多项式，一般形式为(a+b)^n。
展开二项式的方法是利用二项式定理，即(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), 其中n!表示n的阶乘。
例如，将二项式 (2x+3y)^3 进行展开，根据二项式定理，展开后的结果为(2x+3y)^3 = C(3,0) * (2x)^3 * (3y)^0 + C(3,1) * (2x)^2 * (3y)^1 +C(3,2) * (2x)^1 * (3y)^2 + C(3,3) * (2x)^0 * (3y)^3根据组合数的计算公式和展开的形式，可以进一步化简为(2x+3y)^3 = 1 * 8x^3 * 1 + 3 * 4x^2 * 3y + 3 * 2x * 9y^2 + 1 * 1 *27y^3= 8x^3 + 36x^2*y + 54xy^2 + 27y^3二、多项式的展开对于含有多个项的多项式，可以通过分别对每一对括号进行展开，并利用乘法法则进行计算。
例如，将多项式 (x+2)(y+3) 进行展开，可以按照如下步骤进行：1. 先展开括号(x+2)，得到 x*y + 2y2. 再展开括号(y+3)，得到 x*y + 3y3. 将第一步和第二步的结果相加，得到最终展开的多项式结果 2xy+ 5y在进行多项式展开的过程中，需要注意运用乘法法则进行计算，并进行项的合并和同类项的相加。
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
正交函数族与正交多项式
正交函数族与正交多项式正交多项式正交函数族与正交多项式1、什么是权函数？定义4：设[a,b]是有限或⽆限区间，在[a,b]上的⾮负函数ρ(x)满⾜条件：（1）∫x k ρ(x )dx ba 存在且为有限值（k=0,1，…）；（2）对[a,b]上的⾮负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0ba ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的⼀个权函数。
2、什么是内积？内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx baρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx ba ，常⽤ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念定义5若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满⾜(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0ba , (2.1)则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满⾜关系(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.ba (2.2)则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三⾓函数1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…解：在区间[?π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[?π，π]上的内积k=j ）：(1,1)=∫1×1dx =π?ππ?(?π)=2π(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x ππdkx =π同理(cos kx,cos kx,)=π任意两个不同函数在区间[?π，π]上的内积（k ≠j ）：(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx ππdkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π?πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0因此三⾓函数族为在区间[?π，π]上带权的正交函数族。
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
3.5函数按正交多项式展开
n
( f ( x ), k ( x ))
k ( x)
2 2
k ( x ).
3 3
第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)
2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
3
最大误差
* n ( x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
1
© 2009, Henan Polytechnic University §5 函数按正交多项式展开
5 5
第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
Hale Waihona Puke 均方误差 n ( x) e S ( x) 2
3 2 1 x 7 ( f ( x), P2 ( x)) ( x )e dx e 0.1431; 1 2 2 e 1 5 1 3 3 x 37 5e 0.02013. ( f ( x), P3 ( x)) ( x x)e dx 1 2 e 2 又 ( f ( x), Pk ( x)) * * ak ( x) a0 ( f ( x), P0 ( x)) / 2 1.1752, ( Pk ( x), Pk ( x)) * * a a1 3( f ( x), P ( x )) / 2 1 . 1036 , 2 5( f ( x), P 2 ( x)) / 2 0.3578, 1 * a3 7( f ( x), P3 ( x)) / 2 0.07046. * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 代入 1 nP n ( x),
正交多项式
首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1
0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)
1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1
2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故
1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
数值分析-正交多项式
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,,n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2, ).
（6） Tn (x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
xk
cos
k
n
,
(k 0,1,2,
, n)
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
1
x
2dx
0, / 2,
m n, m n.
U0( x) 1, U1( x) 2x, Un1( x) 2xUn( x) Un1( x).
(2.14)
2. 拉盖尔多项式
区间[0,)上带权( x) e x的正交多项式
Ln (
x)
e
x
dn dxn
(2n)! (2n n!)2
/
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
正交多项式
正交多项式正交多项式定义：正交多项式是一个属于多项式的特殊形式，它的系数只有正负的二项式的形式。
正交多项式的用途：1. 在科学计算中：解决三次方程中的较复杂问题，使计算精准而有效。
2. 在信号处理中：可以将原始信号转换为更好的可处理信号；也可以使用正交多项式可以减少信号噪声，提高传输效率和抗干扰能力。
3. 在图像处理中：可以获得更多清晰的图像信息，从而实现更好的图像压缩和损失填充。
4. 在机器学习中：利用它从大量数据中可以挖掘出有意义的特征，从而更好的进行数据分析和模型学习。
5. 在量子计算中：用正交多项式可以更有效的建立量子模型，以实现理论的验证和实验的模拟。
正交多项式的构成：正交多项式的结构由一系列二项式构成，其中又包含系数、变量和指数等三部分，可以使用不同指数来表示不同的结构特征。
1. 二项式：二项式由两个变量按照一定的指数组合而成，其中变量个数由正负系数决定，而系数则为正和负值。
2. 系数：系数是表示一个二项式中两个变量之间的关系强度的数字，它描述了二项式对应可能方案的概率及相关性，其具有显著的改变能力。
3. 变量：变量表示一个正交多项式中不同的变量，每个变量都具有一定的指数，它们描述着这个多项式的性质。
4. 指数：指数（Exponent）是表示一个二项式中变量之间关系的数字，它表示一个变量比另一个变量在正交多项式中的影响程度。
正交多项式的优点：1. 能够有效的分辨变量之间的相关性：正交多项式的二项式系数只有正负值，可以看到每个变量与其他变量之间的关系程度，及相应影响的强度。
2. 简短的记录：正交多项式的表达方式很简洁，只需要几个参数就可以完成一个正交多项式的表示，它比传统多项式表示更加简洁，可以减少记录长度和保留舍入误差。
3. 降低计算量：正交多项式的表示方式可以大大降低计算量，从而使计算更加有效方便，其中的遍历搜索也更加友好。
4. 高效的数据处理：正交多项式可以有效的处理信号和图像等数据，对信号进行更好的处理，以获得更优质的数据结果。
2. 正交多项式
§ 2 正交多项式一、 勒让德多项式[勒让德多项式的母函数] 由函数212)21(-+-t xt 按n t 展开：212)21(-+-t xt ∑∞==0)(n n n t x P )1,11(<≤≤-t x来定义勒让德多项式序列{}.0)(∞<≤n n x P函数212)21(-+-t xt 称为)(x P n 的生成函数或母函数.[勒让德多项式的表达式]{}k n n k n k n n n n n x k n k n k k n x x n x P 2202)!2()!(!2)!22()1()1(d d !21)(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑----=-= ),2,1,0( =n 1)(0=x P 1)(c o s 0=θP x x P =)(1 θθc o s )(c o s 1=P )13(21)(22-=x x P )12c o s 3(41)(c o s 2+=θθP )35(21)(33x x x P -= )3c o s 5c o s 3(81)(c o s 3θθθ+=P )33035(81)(244+-=x x x P )4c o s 352cos 209(641)(cos 4θθθ++=P )157063(81)(355x x x x P +-= )5c o s 633cos 35cos 30(1281)(cos 5θθθθ++=P ······················ ··································)21;1;1,()(xn n F x P n -+-= （末菲表达式） )1;21;21,2(!!)!12()(2x n n n F x n n x P n n ----=∑=++-+--+-=nk k n k k k n x x k k n k n x P 012])1()1()1[(2)!()!()!()1()(θθθ)2c o s ()!(!)21()21()2sin ;1;1,()(cos 02k n k n k n n F P n k kn k n --=+-=∑=- [勒让德微分方程]0)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n [勒让德多项式的正交性]⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=11,122,0d )()(nm n n m x x P x P n m[不等式与特殊值] 1)(≤x P n)11(≤≤-x<<<<<)()()()(210x P x P x P x P n )1(>x 0)()()(10>+++x P x P x P n )1(->x n n P )1()1(±=±!)!2(!)!12()1()0(2n n P n n --= 0)0(12=+n P[递推公式与导数公式])(1)(1)12()(11x P n nx xP n n x P n n n -++-++=（递推关系） )()1()(x P x P n n n -=- )()1()()1()()()()1(112x P n x xP n x nxP x nP x P x n n n n n +-+-+=-='- )()()(1x nP x P x P x n n n ='-'- )()1()()(1x P n x P x x P n n n +='-'+二、 第一类契贝谢夫多项式[第一类契贝谢夫多项式的母函数] 由母函数2211t xt xt+--按n t 展开：2211t xt xt +--∑∞==0)(n n n t x T )1,11(<<<-t x 来定义第一类契贝谢夫多项式序列{}∞<≤n n x T 0)(. [第一类契贝谢夫多项式的表达式]⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=-2122)1(d d !)!12(1)1()(n n nn n x x n x x T∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-----=202)2()!2(!)!1()1(2n k k n k x k n k k n n )21;21;,()a r c c o s c o s (xn n F x n--== θθn T n c o s )(c o s = 1)(0=x T 1)(c o s 0=θT x x T =)(1 θθc o s )(c o s 1=T 12)(22-=x x T θθ2c o s )(c o s 2=T x x x T 34)(33-= θθ3c o s )(c o s 3=T 188)(244+-=x x x T θθ4c o s )(c o s 4=T x x x x T 52016)(355+-= θθ5c o s )(c o s 5=T ··················· ················· [第一类契贝谢夫微分方程]0)()()()1(22=+'-''-x T n x T x x T x n n n [第一类契贝谢夫多项式的正交性]⎪⎩⎪⎨⎧==>=≠=-⎰-0,0,2,0d 1)()(112n m n m n m x x x T x T nm ππ[不等式与特殊值]1)(≤x T n )11(≤≤-x0)0(,)1()0(,)1()1(122=-=±=±+n n n n n T T T[递推公式与导数公式])()(2)(11x T x xT x T n n n -+-= （递推公式） )]()([)()1(12x xT x T n x T x n n n -='--)()()()(2x T x T x T x T m n m n n m -++= )(m n ≥三、 第二类契贝谢夫多项式[第二类契贝谢夫多项式的母函数] 由母函数12)21(-+-t xt 按n t 展开： 12)21(-+-t xt ∑∞==0)(n n n t x U )1,11(<<<-t x来定义第二类契贝谢夫多项式序列{}∞<≤n n x U 0)(.[第二类契贝谢夫多项式的表达式]])1[(d d !)!12(1)1()1()(2122+-+-+-=n nn n n x xn x n x U∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----=202)2()!2(!)!()1(n k k n kx k n k k n)221;23;1,()1(xn n F n -+-+=θθθs i n ])1s i n [()(c o s +=n U n1)(0=x U x x U 2)(1= 14)(22-=x x U x x x U 48)(33-=11216)(244+-=x x x U x x x x U 63232)(355+-= ……………………… [第二类契贝谢夫微分方程]0)()2()(3)()1(2=++'-''-x U n n x U x x U x n n n [第二类契贝谢夫多项式的正交性]⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-112,2,0d )()(1n m n m x x U x U x n m π[不等式与特殊值]1)(+≤n x U n )11(≤≤-x )1()1()1(+±=±n U n n 0)0(,)1()0(122=-=+n n n U U [递推公式与有关公式])()(2)(11x U x xU x U n n n -+-= （递推公式）)()()1()()1(12x n x U x U n x U x n n n -+='--)()()(1x xU x U x T n n n --=)()()()1(112x T x xT x U x n n n +--=- )()(1x nU x T n n -='四、 拉盖尔多项式1. 一般拉盖尔多项式[一般拉盖尔多项式的母函数] 由母函数111])1[(--+-t xtet α按n t 展开：∑∞=---=-0)(11)()1(n n n t xt t x L et αα )1,1(<->t α来定义一般拉盖尔多项式序列{}∞<≤n n x L 0)()(α.[一般拉盖尔多项式的表达式]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x n n n x ne x x x n e x L αααd d !)()( ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nk kk k x k n n 0!)1(α);1;()1(!)1(11x n F n n +-+Γ++Γ=ααα⎰∞-+-=0212)(d )2(!)(t e xt J tn x e x L t n x nααα ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> ,2,1,0,1n α⎰∞---=02121d )2c o s (!)(t xt t e n e x L n t x n π⎰∞-=021d )2s i n (!)(t xt te x n e x L n t xn π 式中11F 为库默尔函数，)(x J α是α阶贝塞耳函数。
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1
第三章 函数逼近与计算
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x ), k ( x ))
( 0 , )a ( 0 , a], (span 0 , n{ )a ( ), f )( x), , ( x)}, 0x 1) 1 n 0 , f( )0 C [,a b ( x 设 0 1 n (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) 若 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是正交函数族， ( (0x x )) 0, i j 而 ( j ( x), j ( x)) 0 则 )), a0 j(( n ,i n , 1 )a1 ( n , n )an ( n, f ) (
故法方程组的系数矩阵 Gn G(0 ( x), 1 ( x), , n ( x))
为非奇异对角阵， 且方程组的解为
* ak ( f ( x ), k ( x )) /( k ( x ), k ( x ))
最佳平方逼近函数
S ( x)
* k 0 n
(k 0,1, , n).
3 2 1 x 7 ( f ( x), P2 ( x)) ( x )e dx e 0.1431; 1 2 2 e 1 5 1 3 3 x 37 5e 0.02013. ( f ( x), P3 ( x)) ( x x)e dx 1 2 e 2 又 ( f ( x), Pk ( x)) * * ak ( x) a0 ( f ( x), P0 ( x)) / 2 1.1752, ( Pk ( x), Pk ( x)) * * a a1 3( f ( x), P ( x )) / 2 1 . 1036 , 2 5( f ( x), P 2 ( x)) / 2 0.3578, 1 * a3 7( f ( x), P3 ( x)) / 2 0.07046. * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 代入 1 nP n ( x),
n
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第三章 函数逼近与计算 例1 求 f ( x) e x在 [1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式. ~ (k 0,1,2,3). ( f ( x ), P 先计算 k ( x)) 解 1 1 x ( f ( x), P ( x )) e dx e 2.3504; 0 1 e 1 x 1 ( f ( x), P ( x )) x e dx 2 e 0.7358; 1 1
x * 3 2
2 *2 ak 0.0084. 1e dx k 0 2k 1
1 2x
3
最大误差
* n (ห้องสมุดไป่ตู้x) e x S3 ( x) 0.0112.
如果 f ( x) C[a, b],求 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式， ba ba (1 t 1), 做变换 x t 2 2 ba ba 于是 F (t ) f ( t ), 2 2 * 在 [1, 1] 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 S n (t ), 1 * 从而得到区间 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 S n ( (2 x a b)). ba
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2 2
( f ( x), k ( x)) ( x ) k 0 k 2
n
2
.
1 2
用Legendre多项式求最佳平方逼近多项式 考虑函数 f ( x) C[1, 1],勒让德多项式 {P0 ( x), P1 ( x), , Pn ( x)} 由(3.8)，(3.9)可得 * * * * Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P ( x ) a 1 nP n ( x), 其中
* ak ( x)
( f ( x), Pk ( x)) 2k 1 1 f ( x) Pk ( x)dx. 1 ( Pk ( x), Pk ( x)) 2
平方误差
k ( x ) 2 f ( x )dx
2 1 2 1
2 *2 ak . k 0 2k 1
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第三章 函数逼近与计算 得三次最佳平方逼近多项式
* S3 ( x) 0.9963 0.9979 x 0.5367 x 2 0.1761x 3 .
均方误差 n ( x) e S ( x) 2
( f ( x), k ( x))
k ( x)
2 2
k ( x).
2 2
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第三章 函数逼近与计算
* 均方误差 n ( x) 2 f ( x) Sn ( x) 2
f ( x)