数系的扩充与复数的引入公开课课件

若方程至少有一个实数根，求实数m 的取值范围
若方程x (m 2i) x (2 mi) 0至少有一个
2
实数根，求实数 m的取值范围
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课堂小结
虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi(a R, b R)
实部 虚部 其中 称为虚数单位。 0 且b=____ 0 时，则z=0 当a=___ 0 时，则z为实数 当b=___ ≠0 时，则z为虚数 当b___ 0 且b___ ≠0 时，则z为纯虚数 当a=___
i
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判 断
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复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c b=d
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说一说
1.若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值； 3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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例 1:
完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或
纯虚数）
2 3i
实部 虚部
0
0
2
-3
1 4 i 2 3 1 2
6i
0wk.baidu.com
6
i
2
-1
0
4 3
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
被“推”出来的无理 数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都
可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不
能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,
是远远不行的.
如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？
于是分数就产生了.
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
被“欠”出来的负 数
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需 要，人类引进了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉 初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘 徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算 得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出 了正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲。
门吉
一、数的发展史
被“数”出来的自然数
远古的人类，为了统计捕获的野 兽和采集的野果， 用划痕、 石子、 结绳记个数，历经漫长的岁月，创 造了自然数1、2、3、4、5、…自然 数是现实世界最基本的数量，是全 部数学的发源地． 古代印度人最早使用了“0”.
被“分”出来的分 数
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数
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复数相等
知新
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
( a , b, c , d R )
a c b d
两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相
等或不相等。
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思考
a 0 若 a bi 0(a、b R) b 0
a bi
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定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
复 数 的 概 念
复数全体组成的集合叫复数集， 记作：C
z a bi (a R, b R)
实部
虚部
虚数 单位
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数 系 的 扩 充
虚数 无理数 分数 负整数
？ 复数
实数
有理数
整数
自然数
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讨论
x 2 y i (2x 5) (3x y)i
求 x与y.
，
y R,
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 5 x 2 y 3x y
得
x 3 y 2
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当堂检测
1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 （B） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的 值为______ 2。 3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值 4 。 为_______
10时，复 m 0 （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m m 1 1 0
数 z 是纯虚数．
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变式训练:当实数m为何值时，复数
是 （1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
m 1或m 1
m 1且m 1
m 2
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例 3:
已知 ( x y) 其中 x,
新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
2 i (1) 1 ；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
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动 动 手
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
2 i， 2i， (2 3)i， 2 3i， 2 3, 2 3
0
实数
分类 虚数 实数
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虚数 纯虚 数
例 2:
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即m
1 时，复数z 是虚数．
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假） 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. 故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的 必要不充分 条件. （真）
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思
考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
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引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
在有理数集中方程 x 2 0 有解吗?
数 系 的 扩 充
x3 2
2
无理数 分数 负整数
实数
有理数
整数
自然数
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可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数 集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运 算规则在新数集中得到了保留
减
实数
加
除 乘
解方程 x 1, x ？
2
我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满 足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。
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问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个
复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C
纯虚数集
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实数集R
想一想
如果两个复数相等，那么它们应满
足什么条件呢？