7-1-2压杆稳定及欧拉公式
压杆稳定性验算公式
压杆稳定性验算公式压杆稳定性是工程结构设计中需要考虑的一个重要问题。
在许多工程应用中，压杆一般用于承受压力作用的结构元素，如柱子、桁架等。
压杆的稳定性验算是为了判断压杆在承受压力时是否会发生屈曲或失稳的现象，需要通过计算并比较压力作用下的抗弯稳定能力和压杆的承载能力。
压杆在弯曲中的稳定性主要受压杆的几何形状、材料特性、边界条件以及压力作用方向等因素的影响。
一般来说，压杆的稳定性验算可以采用欧拉公式、约束系数法和有限元法等方法进行。
欧拉公式是一种经典的压杆稳定性验算方法，其基本原理是根据压杆的截面形状和尺寸来计算压杆的临界压力，然后和实际压力进行比较，从而评估压杆的稳定性。
欧拉公式的基本形式如下：Pcr = (π^2EI)/(kl)^2其中Pcr为压杆的临界压力（也称为临界载荷）E为材料的弹性模量I为压杆的截面惯性矩k为约束系数（取决于边界条件，一般为纵横比的函数）l为压杆的有效长度。
欧拉公式适用于压杆为理想长细杆的情况，即压杆的长度远大于其截面的最小尺寸，并且边界条件是固定或铰支的。
对于实际情况下的压杆验算，可以根据具体条件和要求进行修正或改进。
约束系数法是一种更为精确的压杆稳定性验算方法，它考虑了压杆的几何形状、材料特性以及边界条件等因素的影响。
其基本原理是根据压杆的几何形状以及约束条件，在一系列已知的稳定压力下进行试算，从而得到压力-破坏应力的关系曲线。
然后根据工程要求，找到落在这条曲线上的设计压力，从而评估压杆的稳定性。
约束系数法的计算过程较为复杂，需要进行较多的计算和试算，但可以得到更为准确的结果。
在实际工程中，一般可以借助计算机辅助设计软件进行约束系数法的计算。
有限元法是一种现代化的验算方法，通过将大型结构划分为小型有限元，然后进行数值计算，得到压杆的应力和变形情况，从而评估压杆的稳定性。
有限元法充分考虑了压杆的复杂几何形状、材料非线性以及边界条件的影响，具有较高的精度和适用性。
以上介绍的是压杆稳定性验算的一些基本方法和原理。
压杆稳定欧拉公式
人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
F
l
A a 5cm2
矩形截面
A b 5.076 cm2
No. 4.5 等边角钢
A c 5.18cm2
圆环形截面
解： 1）矩形截面
I min 1 3 3 3 50 10 10 10 0.42 108 m 4 12
12
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
9
三、欧拉公式的适用范围
cr
π2 E
2
≤ p
或者
≥
π2 E
p
p
其中，欧拉公式适用的柔度的界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）
10
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端铰支。已知杆长 l = 2m , 截 面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试计 算此压杆的临界力Fcr. 解： 显然 Iy < Iz ，故应按 Iy 计算临界力
l
2
2073 N
A a 5cm2
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。
欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。
本文将阐述欧拉公式成立的条件。
2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。
它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。
当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。
4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。
如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。
5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。
6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。
在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。
然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。
参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。
希望这篇文章对您有所帮助！。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
压杆的临界力
π 2 EI
Fcr l 2
(7-2)
式中：μ 为长度系数，μl 为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算 长度 l 折算成两端铰支压杆的长度。
现将几种不同杆端约束情况下的临界力公式、长度系数 μ 列表7-1，供计算 时查阅。
表7-1 各种约束下等截面细长压杆的临界力及长度系数
建筑力学
建筑力学
压杆的临界力
1. 1 两端铰支压杆的临界力 • 欧拉公式
设如图7-2a 所示两端铰支的细长压杆，在临界力 (F = Fcr ) 作用下，压杆在 xOy 平面内处于微弯平衡状态。
现用一截面将杆截开，画出受力图如图7-2b 所示，杆中任意 z 截面上的弯矩方程为
M x Fcr y
式中：y 为 x 截面的挠度。
将弯矩方程代人梁挠曲线近似微分方程可得
EI
d2 y dx2
M
Байду номын сангаас
x
Fcr
y
图7-2
求解上列二阶常系数非齐次微分方程，利用边界条件，可推求出该压杆的临
界力公式为(公式推导从略)
Fcr
π 2 EI l2
(7-1)
式(7-1)又称为欧拉公式。
1. 2 其他约束压杆的临界力
式(7-1)为两端铰支压杆的临界力公式， 而实际上压杆的临界力还与其杆端 的约束情况有关。当杆端的约束情况改变时，边界条件发生改变，临界力就表现 为不同的数值。可把各种约束情况下压杆临界力计算公式写成统一形式，即
压杆稳定-欧拉公式适用条件30min课件
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
i
A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
bs — 屈服极限来自•临界应力P(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
S (小柔度杆) cr s 强度问题
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： ➢ 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ➢ 线弹性，小变形
7-1-2压杆稳定及欧拉公式
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
2
屈服荷载 PS s A (240 106 ) (14.3104 ) N 343.2kN
EI 2 (210 109 ) (33 108 ) 临界压力 P N 171kN cr 2 2 (2 1) (l ) PS 2 可见：压杆的承载能力取决于稳定 Pcr 而不取决于强度。
若仅从强度观念考虑那就很危险了！！！
小结：压杆稳定概念及欧拉公式
作业：P160 7-1 、 7-2
预习：第三节 压杆稳定计算
64
2
0.7 7
2 200109
2645 kN
Plj
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
压杆的稳定性计算(欧拉公示的应用)
压杆的稳定条件为： 或 则此式为用安全系数表示的压杆的稳定条件，称为安全系数法。式中n为安全系数。
若上式的两边同时除以压杆的横截面面积A，则可得：
或
此即为用应力形式表示的压杆稳定条件。若将稳定许用应力 ]表示为压杆材料的强度许用应力[ ]乘上一个系数 ，得
式中 称为折减系数，由于 ]< ],所以 必是一个小于1的系数。
例6-2某钢柱长为l=7m，两端固定，其横截面由两个10号槽钢组成（图6-6（a））。已知槽钢的弹性模量为 ，规定的稳定安全系数 。试求当两槽钢靠紧（图6-6（b））和离开（图6-6（c））时钢柱的许可载荷。
解：（1）两槽钢靠紧的情形。从型钢表中查得：
由此可求得钢柱的柔度，其值为：
故该钢柱为大柔度杆，可用欧拉公式（6-2）计算临界力。
即：
由公式（6-8）计算钢柱的许可载荷P1，即：（2）两槽钢ຫໍສະໝຸດ 开情形。从型钢表中可查得：又
比较以上数值可知，应取
由此可求得钢柱的柔度为：
故可用欧拉公式（6-2）计算临界力，即：
由公式（6-8）计算钢柱的许可载荷P2，即：
将两种情况进行比较，可知P1比P2小得多。因此，为了提高压杆的稳定性，可将两槽钢离开一定距离，以增加它对y轴的惯性矩Iy。离开的距离，最好能使Iy与Iz尽可能相等，以便使压杆在两个方向有相等的抵抗失稳的能力。根据这样的原则来设计压杆的截面形状是合理的。
压杆稳定概念和欧拉公式
2. 刚体平衡稳定性的概念
稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡
判断方法—— 微小扰动法：
在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失 后考察物体是否自动恢复原平衡位置。
3. 压杆的平衡 （1）工程实例
压杆
（2）压杆的平衡状态
P P<Pcr
P P>Pcr
稳定的
不稳定的
临界状态 —— 压杆从稳定平衡到不 稳定平衡之间的过渡状态
C 0.25l
A
固-固
μ=0.5
P cr
2 EI
l 2
两端铰支 ＝1.0 两端固定 ＝0.5 一端自由，一端固定 ＝2.0 一端铰支，一端固定 ＝0.7
P
讨论
分析小孔对 图示压杆的强度 和稳定临界力的 影响
P 关于欧拉临界力公式 cr 式中I 如何确定 ？
2 EI l2
z
z
z
z
O
O
y
最小形心主惯性矩，且按未 削弱面积计算； （4）n —— 失稳曲线的正弦半波数目。
v Asin n x 失稳曲线
l
n=1 n=2
n=3
l
二、其他杆端约束
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件
方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于
两端铰支的一段（即两端曲率 为零或弯矩为零），该段临界 力即压杆的临界力。
C 0.25l
A
3. 两端固定
相当于长度为0.5l
两端铰支压杆的临界力。
P cr
2 EI
0.5l 2
三、欧拉公式的一般形式
P cr
2 EI
l 2
μ —— 长度系数 μl —— 相当长度
Pcr
压杆稳定欧拉公式
压杆稳定欧拉公式首先，我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式被记作：e^iπ+1=0e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个表达式将指数函数e^(ix)分解为一个实部cos(x)和一个虚部sin(x)之和。
这个等式揭示了欧拉公式与三角函数之间紧密的关系。
特别地，当x取π时，欧拉公式退化为欧拉恒等式（Euler's identity）：e^(iπ)+1=0这个等式表明，虚数单位i的指数函数e^(ix)在π这一特殊点上等于-1、这就是为什么欧拉公式通常被表达为e^(iπ) + 1 = 0。
欧拉公式在数学中的应用非常广泛，特别是在压杆稳定问题中。
压杆稳定问题是一个研究结构力学的经典难题，主要探讨物体在受外力作用下的平衡问题。
欧拉公式通过复数的指数函数形式，提供了一种简单而强大的数学工具，用于求解压杆的稳定性问题。
在压杆稳定问题中，我们可以用两个方程来描述物体的平衡条件。
第一个方程是力的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的平衡状态。
第二个方程是扭矩的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的旋转平衡状态。
通过这两个方程的求解，我们可以得到物体在受外力作用下的平衡状态。
欧拉公式在压杆稳定问题中的应用主要体现在力的平衡方程的求解中。
由于力是矢量，所以我们常常使用复数来表示力的方向和大小。
利用欧拉公式，我们可以将复数的指数函数形式应用到力的平衡方程中。
通过将力的分解为实部和虚部的和，我们可以方便地对力的方向和大小进行计算和求解。
另外，欧拉公式还可以在压杆稳定问题中应用于力的分析和优化。
通过对力的平衡方程进行求导和优化，我们可以得到物体受力最优的条件和方向。
这样，欧拉公式为我们提供了一种解决压杆稳定问题的数学工具和思路。
材料力学欧拉公式
材料力学欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，描述了材料在应变和应力作用下的力学行为。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期提出的。
欧拉公式在应用于材料力学中，可以帮助我们理解和预测材料在力学加载下的响应行为。
在材料力学中，欧拉公式描述了杆件的弯曲行为。
杆件是一种具有一维长度和截面的结构，常常用于支撑物体或传递力量。
当在杆件的两端施加外力时，杆件会发生弯曲变形。
欧拉公式可以用来计算杆件的弯曲刚度和最大弯曲应力。
欧拉公式的基本形式是：(1)σ=E*ε*I/y其中，σ是杆件中心的弯曲应力，E是材料的弹性模量，ε是杆件的应变，I是截面的惯性矩，y是杆件绕截面中心轴的最大距离。
欧拉公式的本质是通过将杆件上的弯矩平衡和变形方程结合起来，得出了杆件的弯曲应力与外力和几何特性之间的关系。
这个公式可以帮助我们分析杆件在弯曲过程中的最大弯曲应力和应变分布。
根据欧拉公式，当杆件的应变达到临界值时，杆件发生屈曲，即出现了弹性失稳。
这个临界值可以通过欧拉公式进行计算，得出屈曲载荷。
除了上述的基本欧拉公式，还有一些拓展的欧拉公式可以用来分析不同类型的杆件和加载情况。
例如，对于长杆件的弯曲行为，可以使用欧拉公式的长杆件版本，它考虑了杆件端部的约束效应。
此外，欧拉公式还可以应用于其他力学问题中，如柱子的稳定性分析和梁的弯曲问题。
这些应用都基于欧拉公式中应变和应力之间的关系，可以帮助我们更好地理解和解决材料力学中的问题。
总之，欧拉公式是材料力学中的一项重要工具，它描述了杆件在弯曲加载下的应变和应力之间的关系。
通过欧拉公式，我们可以计算杆件的弯曲刚度、最大弯曲应力和屈曲载荷等重要参数。
欧拉公式的应用不仅局限于杆件，还可以扩展到其他材料力学问题中。
它对于深入理解材料的力学行为和解决实际工程问题具有重要意义。
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
第7章(压杆的稳定性问题)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第7章）压杆的稳定性问题1、压杆稳定性的特点？答：1）杆件两端受轴向压缩载荷作用；2）杆子比较细长；3）产生弯曲变形。
2、细长压杆的平衡状态？答：在F的作用下，压杆存在两种平衡状态：直线平衡状态，弯曲平衡状态。
F cr称为临界载荷，即使杆件恰好由直杆变为曲杆的压缩载荷。
压杆稳定性问题的关键就是求临界载荷F cr。
3、细长压杆的临界载荷——欧拉公式？答：细长压杆的临界载荷公式（欧拉公式）：F cr=π2EI (μL)2式中：L为压杆的实际长度，μ为长度系数，μL为压杆的相当长度（有效长度），I为压杆横截面对中性轴的惯性矩，E为弹性模量。
注意：对于上图所示矩形截面压杆，有两种弯曲可能，在xz面弯曲，或yx面弯曲，具体在哪个面弯曲，取决于惯性矩I z=bℎ312和I y=ℎb312的大小。
若I y>I z，则在xz平面内弯曲；若I z>I y，则在xy平面内弯曲；即采用F cr=π2EI(μL)2计算细长压杆的临界载荷时，I取I y、I z里面的较小值。
4、不同约束的长度系数μ值？1）对于图a）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为自由端，μ=2 2）对于图b）：细长压杆的两端均为铰链约束，μ=13）对于图c）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为铰链约束，μ=0.7 4）对于图d）：细长压杆的两端均为固定端约束， μ=0.5约束的强弱程度顺序：固定端约束>铰链约束>自由端约束可知：约束程度越强，则μ值越小。
5、临界正应力总图？答：根据不同压杆临界正应力σcr与长细比λ之间的关系绘成图，即可得到压杆的临界正应力总图：结论：杆子长细比λ越大，临界正应力σcr（临界载荷F cr=σcr A）越小，则杆子越容易弯曲（实际经验也可知道，杆子越细越长，则越容易被压弯）。
6、压杆的稳定性计算？答：设压杆的临界载荷为F cr，压杆实际承受的工作载荷为F，定义安全系数：n=F crF（可知，对于固定的压杆，其临界载荷为一固定值，则实际承受的工作载荷越小，安全系数就越大，压杆也就越安全），出于工程安全的考虑，假设压杆所允许的工作安全系数为[n]st（大于1的数），则实际操作中就必须满足：n=F crF≥[n]st。
材料力学压杆稳定
引入记号
k2 P
EI
w'' k2w0
通解为 w A sk in x B ck ox s
其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。
边界条件为: x0时，w0; xl 时，w0
将 x 0, w0代入通解
B0
将 x l, w0代入通解
Asikn l 0 8
边界条件为: x0时，w0; xl 时，w0
λ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1 0.999 0.999 0.998 0.997 0.996 0.995
10 0.992 0.991 0.989 0.987 0.985 0.983 0.981 0.978 0.976
20
0.97 0.967 0.963
0.96 0.957 0.953
0.95 0.946 0.943
i
21
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei 2 A ( l)2 A
2E l 2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比) l
P 100
3 直线经验公式
对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用经验公式。
直线经验公式 crab
25
3 直线经验公式
对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。
工程上使用经验公式。
直线经验公式 crab
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程
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7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责任公司刚刚竣工的68米 高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民 工全部翻下坠落，造成21人死亡，9人受伤。
第一节 概述
上述细长压杆之所以失效，是由于稳定性不足 带来的，与杆件的强度刚度无关。这种失效我们称 为失稳，或称屈曲。
欧拉公式的使用
第七章 压杆稳定问题
第一节 压杆稳定概念 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 压杆的稳定性计算举例
第一节 压杆稳定概念
• 问题引入
已知 : c 40 MPa, A 3 0.5 1.5 cm
2
求： 使其破坏所需压力。
3cm
第一种情况：
10cm
P c A 40 106 1.5 104 6000 N
压杆稳定的概念
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后，不能恢复到线平衡构形，则 称原来的直线平衡构形是不稳定的。
弯 曲 平 衡 构 形
临界载荷:
用Fcr 表示
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
失稳(屈曲)
在扰动作用下，直线平衡构 形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形 的过程，称为屈曲或失稳。
2
h
h h (
l
b (
a)
b)
例4 ：长为1m的10号工字钢细长压杆，一端固定、
一端自由，设材料的屈服极限 s 240MPa 弹性模量 E=210GPa。试按强度观念和稳定观念，分别计算屈服 荷载和临界压力，并加以比较。
解：
查表知： 10号工字钢 A 14.3cm2 I min 33cm4
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵向平面（即最 小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力
欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
F F F F
各种支承压杆临界载荷的通用 公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
( l)2
2EI
——长度因数 l ——相当长度
z y b x h
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
F=
n22EI
l2
使压杆在微弯状态下保持平衡的 最小轴向压力即为压杆的临界载荷
n=1
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
第二节 细长压杆的临界应力 临界载荷:
欧拉公式
F cr =
说明:
2EI
l2 —欧拉公式
x y z
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比; 2、临界载荷Fcr与杆长成反比; 3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin; 已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
稳定性——指承载物体在外界干扰下保 持原有平衡状态的能力。
第一节 概述
刚体平衡的稳定性 稳定平衡
不稳定平衡
第一节 概述
杆件平衡的稳定性
● 受拉杆的平衡是稳定的，不讨
论其失稳问题。
●受压杆则要考虑稳定性问题。
●短粗的压杆——强度问题 ●细长的压杆——稳定性问题
10cm 3cm
第一节 概述
中心受压细长直杆的稳定性
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
若仅从强度观念考虑那就很危险了！！！
小结：压杆稳定概念及欧拉公式
作业：P160 7-1 、 7-2
预习：第三节 压杆稳定计算
压杆稳定的概念
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力
失稳（曲屈） 稳定的平衡 不稳定的平衡
Fcr
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力
第二种情况：
P 30 N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０分，位于南京大光路北 侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋 盖模板倒塌，部分施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人受伤 被送往医院抢救和治疗。
A
P1
B
P2
A
B
a
C D C D
a
a
a
解：图(a)中，AD杆受压 2 EI N FN AD 2 P 1 2 2a
AB为零杆
1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压 2 EI FN AB P2 N 2 a
A B P1 P2
AC为零杆
P2
A
64
2
0.7 7
2 200109
2645 kN
Plj
EI 2 L
2
0.164
64
2
0.5 9
3136kN
P ( a ) P (b ) P ( c ) cr cr cr
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1
和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
2 EI P cr ( l )2
注意判断在哪个平面内失稳
1、若杆端在各个方向的约束情况都 相同（如球形铰），则 I 应取最小的 形心主惯性矩； 2、若杆端在各个方向的约束情况不同 （如柱形铰），则 I 应取挠曲时横截 面对其中性轴的惯性矩。
y
例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆
如图示，如取 E =200GPa，d =160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
2
屈服荷载 PS s A (240 106 ) (14.3104 ) N 343.2kN
EI 2 (210 109 ) (33 108 ) 临界压力 P N 171kN cr 2 2 (2 1) (l ) PS 2 可见：压杆的承载能力取决于稳定 Pcr 而不取决于强度。
EI
2
a
2
B
a
C D C D
a
a
a
例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b
改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？
h
h
l
b h
(
a)
(
b)
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b Ib ( l) 12 h 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
7-1 压杆稳定 欧拉公式
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 压杆稳定概念及欧拉公式 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授
教学 目的
教学 重点 教学 难点
掌握压杆稳定概念
压杆稳定概念
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用