衡水中学高考数学专题复习_椭圆

高考数学专题复习

椭圆

【考纲要求】

一、考点回顾

1. 椭圆的定义

2. 椭圆的标准方程

3. 椭圆的参数方程

4 椭圆的简单几何性质

5 点与椭圆的位置关系

6 关于焦点三角形与焦点弦

b （即P 为短轴顶点）时，212PF PF b ⋅≤

或2F 的椭圆的弦22(,)B x y ，AB 122()a e x x ±+

7 椭圆的光学性质

8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法

>，以及在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2)y 代入椭圆方程，并将两式相减，可得

，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法

二 典例剖析

1 求椭圆的标准方程

【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连

-方程为____________

（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，

若0OP OQ ⋅=，且10

2

PQ =

，则椭圆方程为_____________________ 10

4

PQ =

【例2】设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线

分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且

8

5AP PQ = （1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

8

5AP PB =可得：32ac =。 即 2a ac -）由（1）得：(3,Q c

【例3】

已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F

与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF = （1）若k ≤

（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为100

33

，求椭圆的方程

22MB BF =，可求得：代入椭圆方程，并整理得：c e a =

且22b a =-

【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，

且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程

（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程

（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ 的最大面积

0OP OQ ⋅= 得所以l 的方程为：

S=

OPQ

2

k-

S=

OPQ

时，取“

【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1

（1）求椭圆C的标准方程

=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx m

AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定

点的坐标

因为以AB 为直径的圆过右顶点(D 0DA DB ⋅= ()(11

22,DA x y DB x =-=-()(1222x x --()12121220x x x x y y -++= 所以

()(22

2

43316434343m m mk

k

k

-+

++++22716402m mk k m ++=⇒=-

2 椭圆的性质

【例6】已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭

圆上存在一点P，使得

120

PF PF

⋅=

（1）求椭圆离心率e的取值范围

（2）当离心率e取最小值时，

12

PF F的面积为16，设,A B是椭圆上两动点，

若线段AB

的垂直平分线恒过定点(0,

Q。①求椭圆的方程；②求直

线AB的斜率k的取值范围。

①②【注1】在方法二中，也可由QA QB =得到②

【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：

（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；

（4）椭圆内部的点()00,x y 满足22

00221x y a b

+<；

【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆

交于,A B 两点，OA OB +与向量()3,1a =-共线。 （1）求椭圆的离心率e

（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+∈，求证：22λμ+为

定值

1(OA OB x +=OA OB +与向量(3,1a =-共线，所以 123()y y ++2122y x x c +=+-，所以123()()x x ++=1232

c x x +=，于是有：22a a +

【例8】已知A 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上一动点，弦,AB AC 分别过焦点12,F F ，

当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =. （1）椭圆的离心率

（2）设111AF F B λ=，222AF F C λ=，判断12λλ+是否为定值？