2019-2020学年新人教A版必修一 二次函数与幂函数 课件(43张)

二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过 点 A(－3，0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac； ②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )
A．②④ C．②③
B．①④ D．①③
1．幂函数 (1)定义：形如____y_＝__x_α_(_α_∈__R_)______的函数称为幂函数，其中 底数 x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为 y＝x，y＝x2， y＝x3，y＝x21，y＝x－1.
(2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在 (0，＋∞)上单调递增； ③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单 调递减．
【解析】 (1)设幂函数的解析式为 y＝xα，
因为幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以 2＝4α，解得 α＝12，
所以 y＝ x，其定义域为[0，＋∞)，且是其图象在直线 y＝x 的上方．故选 C.
(2)因为幂函数 y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴没有交点， 且关于 y 轴对称，所以 m2－2m－3≤0 且 m2－2m－3(m∈Z)为 偶数．由 m2－2m－3≤0 得－1≤m≤3，又 m∈Z，所以 m＝ －1，0，1，2，3，当 m＝－1 时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0 为 偶数，符合题意；当 m＝0 时，m2－2m－3＝－3 为奇数，不符 合题意；当 m＝1 时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4 为偶数，符 合题意；当 m＝2 时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3 为奇数，不 符合题意；当 m＝3 时，m2－2m－3＝9－6－3＝0 为偶数，符 合题意．综上所述，m＝－1，1，3，故选 C. 【答案】 (1)C (2)C
a＝－4， 解得b＝4， 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋
c＝7. 7.
法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为 f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12.所以 m＝12.又根据题 意函数有最大值 8，所以 n＝8，所以 f(x)＝ax－122＋8.因为 f(2) ＝－1，所以 a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4，所以 f(x)＝ －4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
A.0，210 C.210，＋∞
B.－∞，－210 D.－210，0
解析：选 C.由题意知aΔ＞<00，，即a1＞ －02， 0a<0，得 a＞210.
(教材习题改编)幂函数 y＝f(x)经过点(2， 2)，则 f(9)＝ ________． 解析：设 f(x)＝xα，由题意得
2＝2α，所以 α＝12. 所以 f(x)＝x21，所以 f(9)＝921＝3.
幂函数的图象及性质(典例迁移) (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的 图象是( )
(2)已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴没有交点，
且关于 y 轴对称，则 m 的所有可能取值为( )
A．1
B．0，2
C．－1，1，3
D．0，1，2
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠__0_)____； ②顶点式：f(x)＝__a_(_x_－__m_)_2_＋__n_(a_≠__0_)___； ③零点式：f(x)＝_a_(_x_－__x_1)_(_x_－__x_2_)(_a_≠__0_)_．
直线 x＝1，所以－2ba＝1 ①.又 f(－1)＝a－b＋5＝11，所以 a
－b＝6 ②.联立①②，解得 a＝2，b＝－4，所以 a＋b＝－2，
故选 A.
2．已知二次函数 y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程 f(x) ＝0 的两个实根之差等于 7，则此二次函数的解析式是_______．
法三(利用零点式)： 由已知得 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，即4a（－2a4－a 1）－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
4a .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
若幂函数 f(x)＝xk 在(0，＋∞)上是减函数，则 k 可能是( )
A．1
B．2
C．12
D．－1
解析：选 D.由幂函数 f(x)＝xk 在(0，＋∞)上是减函数及 A，B，
C，D 选项知 D 符合．故选 D.
已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值 范围是( )
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
解析式 定义域 值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
单调性
在在_－_－_∞_2_b，a_，_－_＋_2_b∞a__上__单_上调单递调减；
[迁移探究 2] (变条件)本例(2)中 f(x)不变，m∈N*.若函数的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 m 的值为______． 解析：因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m2－2m－3<0，解得－1<m<3. 又 m∈N*，所以 m＝1 或 m＝2. 由于 f(x)的图象关于 y 轴对称． 所以 m2－2m－3 为偶数， 又当 m＝2 时，m2－2m－3 为奇数，所以 m＝2 舍去， 因此 m＝1. 答案：1
求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但 所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋5 的图象过点 P(－1，11)，且
其对称轴是直线 x＝1，则 a＋b 的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：选 A.因为二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋5 的图象的对称轴是
答案：3
( 教 材 习 题 改 编 ) 函 数 g(x) ＝ x2 － 2x(x∈[0 ， 3]) 的 值 域 是 ________． 解析：由 g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得 g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以 g(x)min＝g(1)＝－1，而 g(0)＝0，g(3)＝3. 所以 g(x)的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3]
解析：设 f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程 a(x＋32)2＋49＝0 的两 个 根 分 别 为 x1 ， x2 ， 则 |x1 － x2| ＝ （x1＋x2）2－4x1x2 ＝
（－3）2－9a＋a196＝ 1－4 a＝7，所以 a＝－4，所以 f(x)＝ －4x2－12x＋40. 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
[迁移探究 1] (变条件)若本例(2)中 ，将函数“f(x)＝x ” m2－2m－3 变为“f(x)＝(m2＋2m－2)x m2－3m”，其他条件不变，则 m 的值为 ____________． 解析：由于 f(x)为幂函数，所以 m2＋2m－2＝1， 解得 m＝1 或 m＝－3，经检验只有 m＝1 适合题意，所以 m＝ 1. 答案：1
【解析】 因为二次函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－ 4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1， 2a－b＝0，②错误；结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋ c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口 向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B.
在__－__∞__，__－__2b_a_ ___上 单调递增；
递增
在－2ba，＋∞上单调
递减
对称性
函数的图象关于 x＝－2ba对称
常用知识拓展 1．二次函数图象对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y＝f(x)定义域内的任意 x1，x2，都有 f(x1)＝ f(x2)，那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． (2)对于二次函数 y＝f(x)定义域内的所有 x，都有 f(a＋x)＝
f－
33＝f
3
3
<f
2
2
.
答案：＞
求二次函数的解析式(师生共研)
(一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝
－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式． 【解】 法一(利用一般式)：
4a＋2b＋c＝－1， 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
2．已知幂函数
f(x)满足
f(8)＝4，则
f
22________f－
33(填
“＞”、“＝”或“<”)．
解析：设 f(x)＝xα(α 为常数)，又 f(8)＝4，所以 4＝8α，所以 α
＝23.于是 f(x)＝x23，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)
上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．
所以
角度二 二次函数的最值问题 (分类讨论思想)已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间
[－1，2]上有最大值 4，求实数 a 的值．