3.1不等关系与不等式

ba
ba
=( a - b)+( b - a)
b
a
= a-b+b-a
ba
= (a - b) • ( 1 - 1 ) ba
a > 0,b > 0, ∴ a + b > 0, ab > 0,
( a - b )2 ≥0
∴( a + b)( a - b)2 ≥0 ab
即 a + b ≥ a+ b ba
= (a - b) • a - b ab
=[x2 - 3x+(3)2 ] - (3)2 +3 22
= (x - 3)2 + 3 ≥3 >0
∴x2 +3> 3x
2 44
(2)已知x > 3,比较x3 +3与3x2 + x的大小.
解： (x3 +3) - (3x2 + x) = x3 +3 - 3x2 - x
= x 2 (x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(x 2 -1)
b
∴aabb > abba
综上可知，当 a > 0, b > 0时，a abb > abba
思考： 若a > b(ab ≠0),是否有 1 < 1 ?
ab
①若a > b > 0,
两边同时除以 ab, 得 1 < 1
②若b < a < 0,
ab
两边同时除以 ab, 得 1 < 1 ab
③若a > 0,b < 0,则 1 > 1 ab
(2)确定差的符号往往有两 种方法(类型)：
①将差式化成几个非负 数或非正数的和的形式 . ②将差式化成几个因式 乘积的形式 . (3)作差比较大小的步骤：
作差
变形
定号
下结论
已知a > 0,b > 0, 试比较 a + b 与 a + b的大小. ba
解： 法一：
a + b -( a + b) = a + b - a - b
(乘法法则 )
5.若a > b, c > d,则a+c >b+d (同向相加 )
6.若a > b > 0, c > d > 0,则 ac>bd (同向正数相乘 )
7.若a > b > 0,则 an > bn (n ∈N * , n ≥2) (正数乘方法则 ) 8.若a > b > 0,则 n a > n b (n ∈N * , n ≥2) (正数开方法则 )
精讲精练
例1.分别判断下列各命题是 否成立，并简述理由 .
(1)a > b, c > d,则a - c > b - d 不成立 令a = 5,b = 4, c = 3, d = 2 有a - c < b - d
(2)a > b, c < d, cd ≠0,则 a > b cd
不成立 当a > b > 0, c < 0, d > 0时,此时显然 a < b
已知a > b > 0, c < d < 0, e < 0,求证：e > e a-c b-d
综上, a>b ⇒
1<1 ab
（a, b同号）
1 > 1 （a,b异号） ab
这一条件非 常重要！！
若a,b同号，且 a > b,其倒数的不等 号方向与原不等式的方 向相反；
例4. 已知a > b > 0, c < d < 0,求证：b < a a-c b-d
证明： c<d <0 ∴-c >-d >0 a>b>0 ∴a - c>b - d >0 ∴0< 1 < 1 a-c b-d a>b>0 ∴b < a a-c b-d
“⇔”表示“等价于” 意思：可以互相推出 . 要比较两个实数的大小 ，可以考查这两个实数 的差.
不等式性质：
1.若a > b,则b < a 若b < a,则a > b
(对称性)
2.若a > b,b > c,则 a>c (传递性)
3.若a > b,则 a+c >b+c (加法法则)
4.若a > b, c > 0,则 ac >bc 若a > b, c < 0,则 ac <bc
第三章不等式
3.1不等关系与不等式
学习目标：
复习引入：
关于实数a,b大小的比较，有以下事 实： 如果a - b是正数，那么 a > b；如果a - b是零，那么 a = b； 如果a - b是负数，那么 a < b.反过来也对 . 这可以表示为：
a-b>0⇔ a>b a-b=0⇔ a=b a-b<0⇔ a<b
(5)a > b > 0, c > d > 0, 则 a > b dc
成立
c>d >0
又a >b > 0
∴0 < 1 < 1 cd
∴a >b>0 dc
即1 >1>0 dc
∴ a> b dc
1.下列命题中正确的个数 是【 A 】 ①若a > b,b ≠0,则 a >1；②若a > b，且a + c > b + d,则c > d b ③若a > b, 且ac > bd,则c > d
∴ (a +1)(a -1) > 0 a
∴a> 1 a
已知a > 0，b > 0,比较a abb与abba的大小.
解： a > 0，b > 0, ∴a abb > 0，abba > 0,
∴ aabb abba
aa bb =•
ba ab
= (a)a •(b)b ba
= ( a )a • ( a )-b bb
= a2 + b2 + 2 ab - a - b - 2 ab ba
= a2 + b2 - (a +b)
ba
a3 +b3
=
- (a +b)
ab
= (a +b)(a 2 - ab+b2 ) - (a +b) ab
∴ a +b > 0, (a - b)2 ≥0, ab > 0 ∴(a +b) • (a - b)2 ≥0
解： 1
aa
= a2 - 1 aa
= a2 -1 a
= (a +1)(a -1) a
当0 < a <1时，
a -1< 0, a +1> 0
∴(a +1)(a -1) < 0 a
∴a < 1 a
当a =1时， a -1= 0, a +1> 0
∴ (a +1)(a -1) = 0 a
∴a= 1 a
当a >1时， a -1> 0, a +1> 0
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知a,b, c满足c < b < a, 且ac < 0, 那么下列选项中一定成 立的是【 A 】
A.ab> ac
B.c(b - a) < 0
C.cb2 < ab2
D.ac(a - c) > 0
例2. (1)比较x2 +3与3x的大小，其中 x ∈R.
解： (x2 +3) - 3x = x2 - 3x +3
= ( a )a-b
当a > b时，ba >1, a - b > 0
∴( a )a-b
b >1
b
∴aabb > abba
当a = b时，a =1, a - b = 0
∴ ( a )a-b
b =1
b
∴aabb = abba
当a < b时，0 < a <1, a - b < 0
∴( a )a-b >1 b
又x > 3
= (x - 3)(x +1)(x -1)
∴x - 3> 0, x+1> 0, x -1> 0
∴(x - 3)(x +1)(x -1) > 0
∴ x3 +3>3x2 + x
(1)作差法比较 a与b的大小，归结为判断它 们的差a - b的符号 (注意是指差的符号，至 于差的值究竟是多少， 在这里无关紧要 )
cd (3)a > b, 则2-x • a > 2-x • b
成立
2-x >0 由不等式的性质知 2-x • a > 2-x • b
(4) a > b > 0, 则a n > bn (n ∈N * , n ≥1) 不成立 由a >b > 0,则a n >bn
a n 与an可能相等，也可能互为相反数. 比如：a = -2,b =1, n = 3 此时，a n < bn
ab ∴( a + b )2 ≥( a + b )2
ba ∴ a + b ≥ a+ b
ba
法二
= (a +b) • ( a 2 - ab+b2 -1)
ab
来自百度文库
a2 - 2ab+b2 = (a +b) •
ab
= (a +b) • (a - b)2 ab
例3. 已知a > 0，试比较a与 1 的大小. a
= ( a + b)( a - b)• a - b ab
= ( a + b)( a - b)2 ab
已知a > 0,b > 0, 试比较 a + b 与 a + b的大小.
解： ( a + b )2 - (
a+
b b)2
a
ba
a > 0,b > 0,
= a2 + b2 + 2 ab - (a +b + 2 ab) ba