大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

习题六

6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖

直向下为正方AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

向，建立坐标

系

rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010

30602===

==⨯=-m k A k ω设振动方程为

()φ+=t x 07.7cos

0=t 时

1.0=x φcos 1.01.0=

0=φ 故振动方程为

()m 07.7cos 1.0t x =

(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则

()()x x k x k F +=∆=0

其中

m

2.020040

0===k mg

x

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

因而

有

()N 3005.02.0200=-⨯=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1

t ，则

()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t

第一次运动到上方5cm 处时刻为2

t ，则

()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt

故所需最短时间为：

s 074.012=-=∆t t t

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

6-2 一质点在x 轴上

作谐振动，选取该质点向

右运动通过点 A 时作为

计时起点(t ＝0)，经过2s

后质点第一次经过点B ，

再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。

[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知

42

1=T s

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

由于4

/2s 8/1,s 81ππνων====-T

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴

指向右方。

t =0时, φcos 5A x =-=

t =2s

时，

φφωsin )2cos(5A A x -=+== 由以上二式得 1tan =φ

因为在A 点质点的速度大于零，所以4

3πφ-= cm x A 25cos /==φ

所以，运动方程为：

)SI ()4/34/cos(10252ππ-⨯=-t x

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(2)速度为： )4

34sin(41025d d 2πππ-⨯-==-t t x v 当t =2s 时 m/s 1093.3)4

34sin(41025d d 22--⨯=-⨯-==πππt t x v

6-3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12cm 时的位移。

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

[解] (1) 设振动方程为()cm cos ϕω+=t A x

以cm 12=A 、cm 6=x 、1

s cm 24-⋅=v 代入，得： ()ϕω+=t cos 126

()ϕωω+-=t sin 1224

利用()()1cos sin 2

2=+++ϕωϕωt t 则 112241262

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω 解得 334

=ω

s 72.22

32===πωπT (2) 以1s cm 24-⋅=v 代入，得：

()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 解得： ()43

sin -=+ϕωt

所

以 ()413

cos ±=+ϕωt

故

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

()cm 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⨯=+=ϕωt x

6-4 一谐振动的振动曲线如图所

示，求振动方程。

[解] 设振动方程为： ()ϕω+=t A x cos

根据振动曲线可画出旋转矢量

图

-A/2-A φ

∆φx

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

由

图可得：

2πφ= 12

5223πππφω=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆∆=t 故振动方程为 cm 32125cos 10⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=ππt x

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

6-5 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率rad 10=ω，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移0x ＝

7.5 cm ，初始速度s cm 0.750=v ；(2)其初始位移0x ＝7.5 cm ，初速度cm 0.750-=v 。

[解] 设振动方程为 ()φ+=t A x 10cos

(1)

由题意得：

φcos 5.7A = φsin 1075A -=

解得：4πφ-= A =10.6cm