第26章反比例函数全章

2 y= x
1 2 3 4 图象会和坐标 轴相交吗？
x
下面是k取1、2、3、4的反比例函数图像
◆图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内
y y
6 5 4 3 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6
2 y x
1 y x
2 3 4
·1
6 5 4 3 2 1 O x
①写出 y 与 x 之间的函数解析式；
②求当 x＝7 时函数的值；
(2)已知函数 y＝y1－y2，y1 与 x 成正比例，y2 与(x－2)成反
比例，且当 x＝3 时，y＝5；当 x＝1 时，y＝－1，求出 y
与 x的函数解析式．
【跟踪训练】
2 1 ．已知反比例函数 y ＝ 的图象经过点 x 2 A(m,1)，则 m 的值为________
k 12
【待定系数法求反比例函数的表达式】
变式:y是x-1的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)写出y与x的函数关系式. (2)求当y=4时x的值.
例3.
1
2 -4
(1).写出这个反比例函数的表达式;
k 解:∵ y是x的反比例函数, y . x
得k
(2).根据函数表达式完成上表.
… …
y 6 5 4 3 2 1 O
1、列表: 2、描点 3、连线: : ◆请你另外取一个正整数 k的值， 作出其反比例函数图象
◆通过对k取不同的正值，作出了 反比例函数的图象，你发现了反比 例函数的图象是什么?分别在哪个 象限内？
-4 -3 -2 -1-10 -2 -3 -4 -5 -6
· · · ·· ·· · ·
6 。 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___
3.关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗?若是， 比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。
4 xy+4=0可以改写成 y x
所以y是x的反比例函数
比例系数k等于－4
4.当m＝ 1 时，关于x的函数 2 y=(m+1)xm -2是反比例函数？
2、在整个自变量的取值范围内
6 y x
如图xB< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1
6 5 4 3 2
6 y x
C
·
6 5 4 3
y
· A
0 1
2
1
1
-1
xA
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4 5
k 1 2.反比例函数 y＝ 和 一次函数 y＝ x－4 x 2 都经过点 A(－2，m)，求反比例函数的解 析式．
【课堂练习】
1.y是x成反比例,当x=3时,y=4. (1)写出y与x的函数关系式. (2)求当y=1.5时x的值. 2.已知函y=m+n,其中m与x成正比例,n与x成 反比例,且当x=1时,y=4;x=2时y=5. (1)求y与x的函数关系式. (2)当x=4时,求y的值.
1463 t v
1000 y x
1.68 10 S n
4
形如 叫做反比例函数，其中x是自变量，y 是x的函数。
k y （k为常数,k≠0）的函数 x
思 考
反比例函数中自变量x 的取值范围是什么?
你能举出几个反比例函数的表达式吗？
思考:xy=4中,y是x的反比例函数吗？
k y x
-1 y=kx
26.1.1 反比例函数
情境问题一
京沪铁路全程1463km，某列车的平均 速度v km/h随运行时间t h的变化而变 化(试用t表示v）.
1463 _____ V= t
情境问题二
某小区要种植一个面积为1000 m 的矩形草坪，它的长ym随宽xm的 变化而变化（试用x表示y）.
2
y=
1000 ____ x
情境问题三
北京市总面积为1.68x104平方千米 ， 人均占地面积S平方千米/人随全市人口 n人的变化而变化（试用n表示s）.
S=
1.68x10 _______
n
4
比一比
上述三个解析式分别为：
1463 t v
1000 y x
1.68 10 S n
4
1.你能说出它们的共同特征吗？
2.你能用一个一般形式表示出来吗？
n-1
是反比例函数，
lml-4
是反比例函数，
3 则m=_____;
3.若函数y= m-1 ____
xlml
是反比例函数，
-1 则m=_______.
记住这三种 等价形式：（k ≠0）
k y x
-1 y=kx
xy=k
y与x成反比例
例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？ 如果是，比例系数k是多少？
26.1.2
反比例函数的 图 象 和 性 质(1)
1、什么是反比例函数？ k 一般地，形如 y 的函数（k是常数，k≠0） 叫做反比例函数． x 2、反比例函数的定义中还需要注意什么？ ◆自变量x的次数为 -1 ◆自变量x的取值范围 x≠0 m2-5 ◆若函数y=（m-2)x 是反比例函数，则m= -2 ， 3、请回忆：正比例函数的图象和性质
分析:

｛
即
m2-2=-1
m+1≠0 m=±1 m≠-1
｛
例2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. (1)写出y与x的函数关系式:
k 1解：设y 因为当 x=2 时y=6，所以有 x
(2)求当x=4时y的值.
k 6 2
12 ∵y与x的函数关系式为 y x 12 ⑵ 把 x=4 代入 y 得 x 12 y 3 4
解析式 图象名称
K>0
y=kx (k≠0) 直 线 (过原点）
图象位于：一、三象限 y随x的增大而增大 增减性：
性 质
图象位于：二、四象限 K<0 增减性： y随x的增大而减小
2 ◆反比例函数 y 的图象 x
x y … …
-4 -0.5 -2 -1 -1 -2 -0.5 -4 0.5 4 1 2 1 2 4 0.5
k － k≠0)：①y＝x；②y＝kx 1；③xy＝k.
【跟踪训练】
1．下列函数中，是反比例函数的是(
A．x(y－1)＝1 1 C．y＝x2 1 B．y＝ x＋1 3 D．y＝x
D )
2．已知函数 y＝kxk－2 是反比例函数，求 k 的值．
解：由题意得，k－2＝－1 且 k≠0，解得 k＝1.
判断一个等式为反比例函 数,要两个条件: (1)自变量的指数为-1; (2)自变量系数不为0.
·1
2
3
4
y
k k 、y 的 图 象 关 于 坐 标 轴 对 称 x x
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k y = — x y
y=-x
0
12
y=x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内
y
6 6 观 察y 和y 的 图 象 x x
3.已知函数 y = 是正比例函数 ,则 m =___ ; 8 xm -7
m -7 已知函数 y = 3x 是反比例函数 ,则 m =___ . 6 2-|m| 已知函数 y = (m-3)x 是反比例函数 ,则 m = ___ 。 -3
知识点 2
求反比例函数解析式(重点)
2.(1)已知变量 y 与 x 成反比例，并且当 x＝3 时，y＝7，
y x 1 x2 222 33 y 1 x y 33 y 1 x yx xx 3 y 1 y x y 1 2 y y x
yx 是 的一次函数 y 是 x是 的一次函数 y 是 x 的一次函数 y 是 的一次函数 y xx 的一次函数
y是x的反比例函数，比例系数k=4。 可以改写成 所以y是x的 1 反比例函数，比例系数k= 2 不具备 的形式，所以y不是x的 反比例函数。 1 可以改写成 y x ，所以y是x的反 比例函数，比例系数k=1。
k y 不具备 x 比例函数。
k y x
1 1 y ( ) ( ) 2 x
xy=k
y与x成反比例
判断：
下列各式是否是反比例函数，如果是, 说出k的值. 3 __
1.y = 4x
(否) 4. y= y
x
2.y = 6x+1(否) 5. __ =3 (否)
-1 ( 是 ) 3.xy = 123 6. y= 5x (是)
x
(是)
填空：
1.若函数y=(m+2)x ≠-2 则m_____,n_____; =0 2.若函数y=(m+3)x
2 2 . y . x
1 已知y 1与 成反比例, 且当x 1时y 4, 求y与x x2 的函数表达式，并判断 是哪类函数？
k k 11 kk x 2 解：由题意知 y y x 2 1 x 2 x 2 3 k 4 1 k 1 3 k 4 1 k 1 由 x=1 时， y=4 3k 4 1 k 3k1 4 1 11 3 k 4 k k1
-4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 4 -4 y -5 x -6
3 y x
·1
2
3
4
x
[注意]：图象不会与x轴、y轴相交