一次“探究式学习”课的实践与思考及教学设计

【教学设计】

一次“探究式学习”课的实践与思考

研究课题：美丽的正四面体

课题来源：课本习题衍生及学科知识渗透

教学目的：通过（教师）提出问题，（学生）猜想、探索、讨论，达到以下目的：

1.知识目标:通过学生的主动参与，培养学生空间想象力、探索能力和运用知识解决实

际问题的能力，训练学生的运算能力。

2.素质目标:通过学生的自主探究、合作交流与相互评价，培养学生的自主学习的能力

及探究意识与协作精神。

3.情感目标:让学生感受数学的广泛应用，体验科研的艰辛与成功的乐趣。

研究形式：以"自主探究教学"模式为操作框架，贯彻主体学习、研究性学习、建构主义等学习方法的精神实质；教师适时指导，多媒体辅助教学。

教学过程：

一、创设情景、提出问题

问题1：给出一个边长为a的正三角形，大家可以从中挖掘出哪些和它有关的信息？学生：学生独立思考几分钟后，分成四组，进行小组交流讨论，最后选代表回答。

教师：期间教师巡查指导，对学生归纳出的结论进行评议讲解。

学生研究结果统计：(答案略)

1、周长、中位线

2、高、角平分线、面积

3、三线合一

4、内切球

5、外接球

6、内心、外心、重心、垂心、中心

7、正三角形的直观图

8、两个正三角形可以拼成菱形

教师：讲解正三角形的数学美：哲学中的正三角形被译为---某现象缘起时，也就是一种元素属性的呈现；而120度表示彼此可以了解,相处愉快、互为亲缘。

问题2：在空间有一个四面体，它的四个面是全等的等边三角形，请大家画出一个这种几何体的直观图，看谁画得漂亮！

学生：互相交流自己的作品，小组内评选出最漂亮的；给这个四面体起名子。

教师：1.实物观看、多媒体演示正四面体；给出正四面体的定义。

2.讲解生活中的正四面体结构：正四面体是具有高度对称性的最简单的正多面体,不少化

学物质的结构中都可以见到这一美妙几何构型的踪迹,常见的有空心正四面体结构和体心正四面体结构；例如：原子晶体中的金刚石、晶体硅、水晶等，它们的熔沸点高、硬度大，通常情况下很难跟一般的化学试剂反应，表现出较强的稳定性；分子晶体中的甲烷、四氯化碳等，它们在通常情况下与大多数化学试剂如强酸、强碱、强氧化剂、强还原剂等都不起反应，也表现出较强的稳定性。这些物质的化学结构都是正四面体。

学生：课外查阅和正四面体有关的资料。

二、自主探究、尝试解决

问题2：从外观,我们已经可以感受到了正四面体的美丽，那么对于棱长为a的正四面体，请同学

们在小组交流，看看可以挖掘出哪些内在的数学美？

学生：学生分组讨论研究7分钟，由组长总结组内讨论结果，向教师汇报。

教师：教师指导巡查，总结学生讨论的结果。

学生讨论结果统计，教师归纳讲解总结，宣布正确结论。

1

、全面积（学生可自己解决）224S == 2、中截面（学生可自己解决）S =

中截面14416

⨯= 3、高、体积

3h a ==

231133V S h ===底面 4、相邻两个面所成二面角的大小（学生可自己解决）

5、相对的棱所成角的大小（有部分学生发掘并解决，需教师讲解）

6、外接球（小部分同学研究遇到困境，教师要做难点突破讲解）

7、内切球（大部分同学研究遇到困境，教师要做难点突破讲解）

三、交流评价、构建新知 1、提出需要解决的问题

问题3：正四面体相对的棱所成角的大小。

教师：如右图示，在正四面体S ABC -中， AB SC 与是一组相对的棱，,EG AB EF SC

则GEF ∠就是AB SC 与所成的角 学生：在GEF ∆中，2

a EF EG ==，思考如何求出FG 的长？ （学生组内讨论）

教师：巡查指导提示，宣布求解方法和正确结论。

FG ==学生：在GEF ∆中，思考如何求出GEF ∠的大小？（学生组内讨论） 教师：教师提问学生，分析学生思路。

学生：GEF ∆是等腰直角三角形，所以2GEF π

∠=（问题解决）

教师：教师简单总结此题所包含的知识、思想、方法以及关于正四面体的一些固有结论。

问题4：求棱长为a 的正四面体的外接球半径R 和内切球半径r.

教师：正四面体的外接球球心和内切球球心的位置大家可以找到吗？二者相同吗？

A

F

（教师用多媒体演示三维动画效果）

学生：小组内进行讨论，大胆猜想，向教师汇报结果。

教师：教师指导巡查，总结学生讨论的结果。

学生讨论结果统计，教师归纳讲解总结，宣布正确结论。

1、底面正三角形的中心与顶点的连线上。

2、在高的中点处。

3、四条高的交点就是外心和内心。

4、类似正三角形，就是高处距顶点23

h 的地方。 5、就是正四面体的中心。

以上是大家对正四面体的外接球球心和内切球球心的位置的感性认识，但是从大家的讨论

结果看，有一个共识：正四面体的外接球球心和内切球球心在正四面体的高上；而且二者的位置相同。

教师：如图示：棱长为a 正四面体ABCD 中，O 在高AH 上，既为外接球球心，又是内切球球心，

求它的外接球半径R 和内切球半径r.

教师：教师提示：在Rt△ABH 和Rt△OBH 中，OA R OH r ==、，请同学们自己建立方程组，求

解出R r 与的值。

学生：不进行小组讨论，自己独立解决问题。

教师：在黑板上进行板书，公布正确结论。

(

)2222224,123R r a R a r a r a R ⎧⎫⎧⎪++=⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+= ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩

解得：

教师：观察结论，同学们会发现什么？

学生：:3:1R r =，正四面体的外接球球心和内切球球心在正四面体的高上而且距顶点

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h 的地方。

教师：小结知识点：正四面体的外接球球心和内切球球心就是正四面体的中心。

2、适时诱导，转换思维方式，进一步探究

教师：从上述两个问题，我们可以进一步思考：