第2章平面机构的平衡

m +m =m
（2.2.8）
（2.2.7）
lB mA = m l A + lB lA mB = m l A + lB
（2.2.9）
三、广义质量代换法简介 前面的两质量代换适用于构件的 质心恰在两铰链连线上的情况。 当质心不在两铰链连线上时， 静代换条件为：
质量代换
质心与AB重合有两个方程
mA + mB = m mA x A + mB xB = mxS （2.2.10） mA y A + mB yB = myS
§2.4 平面连杆机构的完全平衡
一、平面连杆机构完全平衡的条件 为分析简便起见，我们考虑一种最简单的情况——共面平 面连杆机构，即假定它的各构件均在同一平面oxy内运动。 设第i个构件的质量为mi，对质心的转动惯量为Ji，质心 坐标为xi、yi，构件的位置角为φi。构件总数为n，则运动构 件数为n-1。每个构件产生一个惯性力，它有两个分量。若 要使摆动力和摆动力矩均为零，则应有：
第二章 平面机构的平衡
§2.1 概述
以动态静力分析为基础的 动力学综合问题
第二章 平面机构的平衡
一、机构的平衡
§2.1 概述
——惯性载荷对机器造成危害。危害有以 1. 为什么要平衡？ 下几方面：
1）周期性变化的惯性力传递给机座引起振动、产生 噪声； 2）加剧平衡力矩的波动，从而产生冲击载荷； 3）惯性载荷在构件中引起附加的动应力，影响构件 强度；在运动副中引起附加的动反力，加剧磨损并降 低机械效率
§2.4 平面连杆机构的完全平衡
一、平面连杆机构完全平衡的条件 摆动力完 全平衡 机构总质心：
1 n −1 机构运动时其总 xS = ∑ mi xi m i =1 质心保持静止不动 质量矩 (2.4.2) n −1 n −1 .. 1 yS = ∑ mi yi Fx = −∑ mi xi = 0 （2.4.1a) 机构的质量矩为常数 m i =1 i =1
2
8
16
1 1 1 = λ A0 + A2 cos 2θ − A4 cos 4θ + A6 cos 6θ + L 4 16 36
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
式中
A0 A2 A4 A6
.
1 3 3 5 5 = − λ− λ − λ − ........ λ 4 64 286 1 15 5 λ + ............ = λ + λ3 + 4 128 1 3 3 5 = λ + λ + .......... 4 16 9 5 = λ + .......... 128
mA + mK = m −mAl A + mK lK = 0
2 2 mAl A + mK lK = J s
（2.2.6） （2.2.8）
指定lA和lB为 已知，则
lB mA = m l A + lB lA mB = m l A + lB
（2.2.9） 求解完毕
两种方法比较 1. 两点动代换 代换前后系统动力学完全等效
.
FIE1 = mE1r 'θ 2 = FIB = mB r θ 2 FIC r mE1 = mB （2.3.8） r' . 2 FIE 2 x = −mE 2 r 'θ cos θ
mE = mE1 + mE 2
.
FIE 2 y = −mE 2 r 'θ 2 sin θ
.
.
（2.3.9）
适当减小ME2，既部分地平衡掉一阶惯性力，又 −mE 2 r 'θ 2 cos θ = −kmC r θ 2 cos θ 不使新产生的不平衡惯性力过大 r r mE 2 = k mC mE = mE1 + mE 2 = (mB + kmC ) r' r'
C点： 一阶惯 性力
FIC = − mC aC = mC r θ 2 (cos θ + λ cos 2θ ) = mC r θ 2 cos θ + mC r θ 2 λ cos 2θ
. .
.
（2.3.7）
二阶惯 性力
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
二、平衡配重的计算
.
FIB = −mB r θ 2
.
.
概述
一、机构的平衡 2. 平衡的实质 为了适应机械高速化和精密化的发展趋势，就必须减小惯 性力的不良影响，必须研究机械的平衡问题。
平衡的实质就是采用构件质量再分配等手段完 全地或部分地消除惯性载荷。 平衡是在运动设计完成之后的一种动力学设计
一、机构的平衡 二、平衡的种类和方法 1. 针对惯性力造成的三种危害
概述
1）周期性变化的惯性力传递给机座引起振动、产生 噪声； 2）加剧平衡力矩的波动，从而产生冲击载荷； 3）惯性载荷在构件中引起附加的动应力，影响构件 强度；在运动副中引起附加的动反力，加剧磨损并降 低机械效率
1）机构在机座上的平衡 2）机构输入转矩的平衡 3）运动副中动压力的平衡
一、机构的平衡 二、平衡的种类和方法 1. 针对惯性力造成的三种危害 2. 根据采用的措施不同，将平衡分为两类
∑
i= i =1 ..
mi ( xi2 +yi2 ) = J s + m( xs2 + ys2 ) ∑
i =1
n
③
−∑ mi xi = −m xs
i =1 n
n
..
−∑ mi yi = −m ys
i =1
..
..
④
代换时应满足如下三个条件 1）各代换质量的总和＝原构件 的质量 满足条件3）， 2）各代换质量的总质心应与原 代换前后惯性力矩不变！ 来的质心重合 3）各代换质量对坐 标原点的转动惯量 之和＝原构件对坐 标原点的转动惯量 取坐标原点与质心 重合，并将③式两 边同乘以 − α
方程组中只有mA、mB是待求量， 三个方程求解两个未知数，只有当 wk.baidu.comA、mB为复数时才有解。 mA、mB为复数 ——广义质量
质心
三、广义质量代换法简介
质量代换
§2.3 曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
一、曲柄滑块机构的惯性力分析 1. 质量静代换 对C点 1）mB2、mC2代替m2 求矩 根据质心 重合条件有
s = r cos θ + l cos ϕ （2.3.1）
滑块C 的位移
r sin ϕ = sin θ = λ sin θ l cos ϕ = 1 − sin 2 ϕ = 1 − λ 2 sin 2 θ
自变量
展开
cos ϕ
关于自变量的 函数.据此求 1 2 2 1 4 ϕ 6 出λ cos 4 θ ) − 1 (λ 64 sin 6 θ ) − L = 1 − (λ sin θ ) − ( sin
Fy = −∑ mi yi = 0 （2.4.1b)
i =1 n −1 i =1 .. .. n −1 ..
对上式求导两次得质心加速度。 总质心加速度＝0
..
M z = −∑ [mi ( xi yi − yi xi ) + J i ϕi = 0（2.4.1c)
摆动力矩 完全平衡 总质心静止 总质心作匀速 直线运动
一、平面连杆机构完全平衡的条件
平面连杆机构的完全平衡
摆动力完 假设：共面平面连杆 机构运动时其总 全平衡 质心保持静止不动
质量代换
∑m
n
n
i =1
i
①
s
满足条件1）、2）， ∑ m x = mx
i =1 代换后惯性力不变！ n i i
②
∑m y
n i= i =1 i i =1
i
= mys
③
mi ( xi2 +yi2 ) = J s + m( xs2 + ys2 ) ∑
−α ∑ mi ( x +y ) = − J sα
i =1 2 i 2 i
一、曲柄滑块机构的惯性力分析 2. 机构运动分析 ——分析A、B两点的加速度 1）滑块C的加速度分析
对一般内燃机， = 0.16 ~ 0.40 ，因而上式中 λ 5 3 含 λ 、λ ，……..的项均可忽略不计。又因曲柄等速回 .. 转， = 0 。这样，C点加速度近似为： θ
aC = −r θ (cos θ + λ cos 2θ )
mE = mE1 + mE 2
希望平衡mB产生 的惯性力
FIE 2 y = −mE 2 r 'θ 2 sin θ
.
（2.3.9）
希望平衡mC产 生的惯性力
新产生的不平 衡惯性力
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
二、平衡配重的计算
.
FIB = −mB r θ 2
.
.
（2.3.6） （2.3.7）
.
FIC = mC r θ 2 cos θ + mC r θ 2 λ cos 2θ
n
⑤
满足前两个条件，使惯性力保持不变的代换称为静代换
满足全部三个条件，使惯性力和惯性力矩均保持不变的代换 称为动代换
二、实质量代换 代换点的选择： 1. 两点动代换
质量代换
运动参数易确定的点上，如回转运动副 关于代换质量和 质量相等 位置的方程组
mA + mK = m
质心重合 −mAl A + mK lK = 0 （2.2.6） 转动惯量相等 2 2
2
.
（2.3.5）
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
一、曲柄滑块机构的惯性力分析 2. 机构运动分析 ——分析A、B两点的加速度 1）滑块C的加速度分析
aC = − r θ 2 (cos θ + λ cos 2θ )
2）B点的向心加速度 3. 惯性力
.
aB = r θ 2
.
.
FIB = − mB aB = − mB r θ 2 （2.3.6） B点：
概述
1）加配重的方法 2）合理布局机构或设置附加机构
一、机构的平衡 二、平衡的种类和方法 1. 针对惯性力造成的三种危害 2. 根据采用的措施不同，将平衡分为两类
概述
3. 从惯性载荷被平衡的程度看，平衡可分为三类 1）部分平衡 2）完全平衡
摆动力完全平衡 摆动力和摆动力矩的完全平衡 3）优化综合平衡
mB 2 mC 2
b = m2 l （a) a 对B点 = m2 求矩 l
对A点 求矩 （c) mA不予 考虑
2）mA1、mB1代替m1
c mB1 = m1 r
3）同一点处的 mB = mB1 + mB 2 质量进行合并 m = m + m C C2 3
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
一、曲柄滑块机构的惯性力分析 2. 机构运动分析 ——分析A、B两点的加速度 1）滑块C的加速度分析
§2.2
质量代换
质量代换——将构件的质量用若干集中质量来代换，
使这些代换质量与原有质量在动力学上等效
一、质量代换的条件 求解目标：求出代换质量及其位置 以n个集中质量m1、m2、……、mn来代替原构件的质量 和转动惯量Js。 目的：使代换后的系统与原来构件在动力学上等效。 需满足： 代换质量的惯性力合力＝原构件的惯性力 代换质量对构件质心的惯性力矩＝原构件对构件质心的惯性力矩
代换时应满足如下三个条件 1）各代换质量的总和＝原构件 的质量 2）各代换质量的总质心应与原 来的质心重合 3）各代换质量对坐 标原点的转动惯量 之和＝原构件对坐 标原点的转动惯量 将②求导两次并变 号
质量代换
m = ∑ mi
n
①
∑m x
i =1 n
n
i =1
i i
= mxs
② 满足条件1）、2）， mi yi = mys 代换后惯性力不变！
（2.3.6） 不能平衡掉 （2.3.7）
.
FIC = mC r θ 2 cos θ + mC r θ 2 λ cos 2θ
.
FIE1 = mE1r 'θ 2 = FIB = mB r θ 2 FIC r 可以平衡掉m mE1 = mB （2.3.8） B r' . 产生的惯性力 2 FIE 2 x = −mE 2 r 'θ cos θ
Js 指定lA为已知， lK = ml A
则
mAl A + mK lK = J s
mJ s mA = 2 ml A + J s
2 m 2l A mK = 2 ml A + J s
（2.2.7） 求解完毕
二、实质量代换 1. 两点动代换 2. 两点静代换
质量代换
——只进行摆动力的平衡，即不考虑转动惯量
1
对S求导两次即得C点的加速度
aC = r θ 2 (− cos θ − A2 cos 2θ + A4 cos 4θ − A6 cos 6θ + L) + A6 A2 A4 r θ (− sin θ − sin 2θ + sin 4θ − sin 6θ + L) 2 4 6
..
曲柄滑块机构的摆动力部分平衡
质量代换
2. 两点静代换 只进行摆动力的平衡，即 不考虑转动惯量
mA + mK = m −mAl A + mK lK = 0
Js lK = ml A mJ s mA = 2 ml A + J s
2 m 2l A mK = 2 ml A + J s
A B （2.2.6） 实质量代换法适用于 l = 0 −mAl A + mB B 2 2 mAl A + mK lK = J构件的质心恰在铰链连线上的情况 s