定积分在物理学上的应用
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力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 次锤n击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f(x)kx ,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f(x)dx k
2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f(x)dx.
wh
小段与质点的距离为 r a2y2,
引力
mdy
Fka2 y2,
水平方向的分力元素
amdy
dFx k(a2y2)23 ,
Fx 2l2l k(aa2m yd2)y23
2kml
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,R]
取 任 一 小 区 间 [x,xd]x
小 矩 形 片 上 各 处 的 压 强 近
似 相 等px,
o
x
xdx
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
x
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2x R2x2dx
端 面 上 所 受 的 压 力
作的功 .
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即 p
k V
k xS
,
故作用在活塞上的
力为
FpS k
x 功元素为 dW Fdx k d x
x
S
oaxxdx b x
所求功为
W
bk ax
dx
klnxba
k
lnba
例 3 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
W F s.
如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 是 变 化 的 ， 就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 .
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
如 果 平 板 垂 直 放 置 在 水 中 ， 由 于 水 深 不 同
的 点 处 压 强p不 相 等 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力
就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 ．
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
解 建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
x
这一薄层水的重力为 9.832dx
功元素为 d w 8.2 8 x d,x
o
x xdx
5
x
5
w088.2xdx
88.2
x2 2
5 0
346(2千焦)．
例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
所求功为 w
abkr2qdr
kq
1b r a
kq a1
1b.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
kq
a r2dr
kq
1 r
a
kq a
.
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从
点 a 处移动到点 b 处 (如图),求移动过程中气体压力所
h
0 kxdx
kh 2 2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2
2
n
k 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
二、水压力
由物理学知 道，在水 深为 h处 的压强为
ph， 这 里 是 水 的 比 重 ． 如 果 有 一 面 积 为 A
的 平 板 水 平 地 放 置 在 水 深 为 h处 ， 那 么 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 为 PpA．
奇函数
o xy xdx R
x
4R g2 xR 2x2R 2 2arcR xsR 0in
gR3
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
2a
o 2a
面积微元 2(ax)d,x
P0R2xR2x2dx
RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
32
R2x2 30R
2
3
R3.
说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g(Rx),
侧压力元素 dP 2g(Rx) R 2 x2d x,
故端面所受侧压力为
P R 2 g(R x)R 2 x 2d x R
4Rg R R2x2dx 0 令xRsitn
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F Байду номын сангаас它所作的功．
解
取r为积分变量，
q
• o
a ••r•1 •r •d•r• b r
r[a,b],
取 任 一 小 区 间 [ r ,r d ] ,功r元素 dw kr2qdr,
a
d ( P x 2 a ) 2 ( a x ) 1 dx x
P0 a2(x2a)a (x)dx73 a 3 .
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1,m2相距为 r的两个质点间的引力的大小为Fkmr1m 2 2 ， 其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充)
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取 y为 积 分 变 量 y
l, 2
2l ,
取 任 一 小 区 间 [y,yd]y
2 ydy
yr
o a • M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
相等，问第 次锤n击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f(x)kx ,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f(x)dx k
2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f(x)dx.
wh
小段与质点的距离为 r a2y2,
引力
mdy
Fka2 y2,
水平方向的分力元素
amdy
dFx k(a2y2)23 ,
Fx 2l2l k(aa2m yd2)y23
2kml
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,R]
取 任 一 小 区 间 [x,xd]x
小 矩 形 片 上 各 处 的 压 强 近
似 相 等px,
o
x
xdx
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
x
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2x R2x2dx
端 面 上 所 受 的 压 力
作的功 .
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即 p
k V
k xS
,
故作用在活塞上的
力为
FpS k
x 功元素为 dW Fdx k d x
x
S
oaxxdx b x
所求功为
W
bk ax
dx
klnxba
k
lnba
例 3 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
W F s.
如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 是 变 化 的 ， 就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 .
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
如 果 平 板 垂 直 放 置 在 水 中 ， 由 于 水 深 不 同
的 点 处 压 强p不 相 等 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力
就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 ．
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
解 建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
x
这一薄层水的重力为 9.832dx
功元素为 d w 8.2 8 x d,x
o
x xdx
5
x
5
w088.2xdx
88.2
x2 2
5 0
346(2千焦)．
例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
所求功为 w
abkr2qdr
kq
1b r a
kq a1
1b.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
kq
a r2dr
kq
1 r
a
kq a
.
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从
点 a 处移动到点 b 处 (如图),求移动过程中气体压力所
h
0 kxdx
kh 2 2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2
2
n
k 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
二、水压力
由物理学知 道，在水 深为 h处 的压强为
ph， 这 里 是 水 的 比 重 ． 如 果 有 一 面 积 为 A
的 平 板 水 平 地 放 置 在 水 深 为 h处 ， 那 么 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 为 PpA．
奇函数
o xy xdx R
x
4R g2 xR 2x2R 2 2arcR xsR 0in
gR3
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
2a
o 2a
面积微元 2(ax)d,x
P0R2xR2x2dx
RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
32
R2x2 30R
2
3
R3.
说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g(Rx),
侧压力元素 dP 2g(Rx) R 2 x2d x,
故端面所受侧压力为
P R 2 g(R x)R 2 x 2d x R
4Rg R R2x2dx 0 令xRsitn
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F Байду номын сангаас它所作的功．
解
取r为积分变量，
q
• o
a ••r•1 •r •d•r• b r
r[a,b],
取 任 一 小 区 间 [ r ,r d ] ,功r元素 dw kr2qdr,
a
d ( P x 2 a ) 2 ( a x ) 1 dx x
P0 a2(x2a)a (x)dx73 a 3 .
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1,m2相距为 r的两个质点间的引力的大小为Fkmr1m 2 2 ， 其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充)
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取 y为 积 分 变 量 y
l, 2
2l ,
取 任 一 小 区 间 [y,yd]y
2 ydy
yr
o a • M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,