《圆的一般方程》教学设计与反思教学提纲
《6.4.2 圆的一般方程》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模块下

《圆的一般方程》教学设计方案(第一课时)一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其含义。
2. 能够运用圆的一般方程解决简单的数学问题。
3. 培养数学建模的思想和方法。
二、教学重难点1. 教学重点:圆的一般方程的推导和应用。
2. 教学难点:将圆的几何性质转化为一般方程表示。
三、教学准备1. 准备教学用具:黑板、粉笔、圆规、三角板等。
2. 准备教学材料:教材、习题集等。
3. 设计教学流程:引入课题、讲解知识、组织练习等。
4. 制定考核方法:检查学生运用圆的一般方程解决数学问题的能力。
四、教学过程:(一)导入1. 回顾初中所学圆的方程,提问学生圆的标准方程,强调圆的一般方程的概念。
2. 介绍圆的参数方程,通过图形直观引入圆的普通方程,引出圆的方程的概念。
(二)新课1. 圆的一般方程的推导(1)通过观察圆的标准方程,分析圆的一般形式,引导学生得出圆的方程的一般式。
(2)介绍平方差公式,并利用此公式化简圆的方程的一般式。
(3)通过举例子,让学生自己验证化简后的结果。
2. 圆的方程的解读(1)重点讲解坐标法,说明点与圆的位置关系,以及圆与圆的位置关系。
(2)举例说明圆的方程在生活中的应用,以及圆的方程在实际中的应用。
(三)实践探究设计几个问题,让学生利用课余时间进行探究,如:(1)椭圆的标准方程是什么?与圆的方程有哪些联系和区别?(2)对于不同的圆,如何写出它们的方程?能否通过一个例子来解释圆的方程在实际中的应用?(四)课堂小结通过回顾本节课的教学内容,引导学生总结本节课的重点和难点,让学生对圆的方程有一个整体的认识。
同时,也鼓励学生提出自己的问题和困惑,教师给予解答和指导。
(五)作业布置给学生布置一些与圆的方程相关的作业,如:写几个不同形式的圆的方程,分析它们的特点和应用场景;结合实际例子,说明圆的方程在实际中的应用等。
教学设计方案(第二课时)一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其意义。
2. 能够运用圆的一般方程解决实际问题。
《圆的一般方程》教学设计与反思教学提纲

《圆的一般方程》教学设计与反思《圆的一般方程》教学设计与反思一、教学基本信息课题:本课选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学(基础模块)下册》,第八章直线和圆的方程第七节圆的方程的第二课时§8.7.2圆的一般方程。
二、指导思想与理论依据随着《普通高中数学课程标准》(实验)的实施,新课程标准中提出了许多先进的教育理念,这些理念对职业高中的数学课程改革和课堂教学具有极强的指导作用。
然而由于职业教育对象的复杂性,在具体的数学课堂教学中应考虑职业学校学生的心理特点和不同水平、不同学生的兴趣需要,体现“以人为本”教学理念,把“过程与方法”作为与“知识与技能”、“情感态度与价值观”同等重要的目标维度,倡导学生“主动参与、乐于探索、勤于思考”,培养学生“获取新知识”、“分析和解决问题”的能力。
三、教材分析:《圆的一般方程》是解析几何的内容,是在学习了直线方程后,继圆的标准方程之后学习的,圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中,圆是唯一一种必修的曲线,也是职业学校学生认识曲线和方程的途径,在解析几何中占有重要的地位。
四、学情分析:对于职业学校的学生来说,数学属于“难攻”的科目,基础差,学习兴趣不高,缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素,由易到难,层层递进,激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
五、教学目标:(一)知识与技能:1 •理解并掌握圆的一般方程的形式,会将圆的标准方程化为一般方程;2•明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系,会用这种关系求圆的圆心坐标和半径;3 •逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程.(二)过程与方法:1. 从不同的角度得出圆的方程表示形式,培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力;2. 随着探索研究的不断推进,逐步让学生发现圆的一般方程的特点,培养学生观察、归纳能力;3 •通过一题多解,培养学生发散思维;4•在合作交流中采用问题呈现的方式,引导学生积极探索,主动学习,培养合作精神.(三)情感态度与价值观:借助于多媒体课件,让学生感受数与式之间的内部的和谐美,提高学习数学的兴趣.六、教学重点:1. 圆的一般方程的形式;2. 在圆的一般方程中,求圆心坐标和半径.七、教学难点:用配方法求圆心坐标和半径.八、教学流程:知识回顾一探索研究-合作交流一知识应用一课堂小结一布置作业一课后反思九、教学过程:(2)(x-2)+y=9;(3)x2+(y-1)2=3; ____ (4)x 2+y2=5;问题二:下列二元二次方程是否表示圆?(1)2x2+y2-2x+3y-6=0; ____2 2(2)x +2xy+y -3x+5y-1=0;(3)x2+y2-2x+4y+5=0; _____ (4)3x2+3y2-6x+12y=0; _____ 问题三:(1)圆的方程一定是二元二次方程吗?(2)二元二次方程一定表示圆吗?问题四:已知圆的一般方程,如何求圆心坐标和半径?多媒体呈现问题,根据学生的回答情况分析讲评学生分组讨论,每组委派一名代表回答采用问题串呈现的方式,引导学生积极探索,主动学习,培养合作精神.四.知识应用:1.例题讲解:例4.求下列各圆的圆心坐标和半径:(1)x 2+y2-6y=0;(2)2x 2+2y2+8x-10y=0. 解:(1)解法一设圆心的坐标为(a, b),半径为r,由圆的一般方程得:D=0, E=-6, F=0而a D 0, b 旦 3,2 2r2=a2+b2-F=32所以,圆心坐标为(0, 3),半径为3(2)解法二(配方法)2 2 2 22x +2y +8x-10y= x +y +4x- 5y=0 (x2+4x)+(y2-5y)=0(x2+4x+2)+[y 2-5y+ 弓)2]- 22-(5)2=0 (x+2)2+(y-5)2=412 2 4 从而得出圆心坐标为(-2, 第(1)小题用常数D E、F与a、b、r之间的关系:r2=a2+b2-F 来解;第(2)小题用配方法来解.出示练习题,讲通过一题多解,培养学生发散思维.学生讨论,分别选用另一种方法来解答,选两名学生板演.学生解答,订巩固所学知识,在练习中添加圆周长和面积的计算,紧密联系实十、课后反思:1. 针对教材内容和学生学情,采用发现式教学法,由具体的圆的标准方程展开整理,让学生从感性上认识圆的一般方程的形式,再进行一般情况下的探索研究,随着研究的不断推进,引导学生逐步发现圆的一般方程的特点,教学气氛活跃,学生积极参与,培养了学生观察、归纳的能力,也激发了学习兴趣。
《圆的一般方程》教学设计和教案

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计教学目标:1.知识目标:掌握圆的一般方程的概念和求解方法;2.能力目标:能够正确理解和应用圆的一般方程解决相关问题;3.情感目标:培养学生对几何图形的兴趣,激发学生学习数学的积极性。
教学内容:1.圆的一般方程的定义和性质;2.使用圆的一般方程解决相关问题;教学步骤:Step 1 引入新知1.引导学生回顾圆的定义和性质,并回忆圆的直角坐标的一般方程;2.提出一个问题:“如何表示任意圆的方程?”引导学生思考。
Step 2 探究圆的一般方程1.结对讨论,指导学生以模仿法找出圆心在原点的圆的一般方程,并让学生将结论进行总结;2.通过实例引导学生进一步推广到圆心不在原点的情况,让学生发现圆的一般方程的一般表达形式。
Step 3 练习巩固1.给学生提供一些圆心在不同位置的圆的方程,让学生推算出对应的方程;2.带领学生分析和讨论解题过程,并纠正学生可能出现的错误。
Step 4 拓展应用1.引导学生思考如何利用圆的一般方程求圆的切线和法线;2.分组合作,让学生收集相关问题并解答;3.学生展示解题过程和结果,并带领全班讨论。
Step 5 总结归纳1.小组成员合作撰写一篇关于圆的一般方程的总结性文章;2.整理学生的思路,总结圆的一般方程的概念和方法,以及应用。
Step 6 练习检测1.布置一些练习题,让学生独立完成;2.教师检查学生的答题情况,并与学生一起讨论解题过程中的疑问。
Step 7 总结反思1.学生回顾所学内容,自评自己的学习效果,并写下自己的学习感想;2.教师对本节课进行总结和反思,并对学生的学习进行评价。
教案教案一:圆的一般方程的引入教学目标:明确圆的一般方程的定义和性质。
教学步骤:Step 1 引入新知1.引导学生回归几何的基本概念,复习圆的基本定义和性质;2.引出一个问题:“如何用方程表示圆?”Step 2 引入问题1. 使用ppt展示一个以原点为圆心的圆,采用不同的半径和圆心坐标方程;2.让学生思考圆的方程与圆的性质之间的关系。
对圆的一般方程的教学反思

对圆的一般方程的教学反思几何学是数学中的一个重要分支,它研究的是空间中的形状、大小和位置关系。
而对于圆的一般方程的教学,旨在让学生了解圆的基本特性以及如何使用数学的语言来描述圆。
然而,在教学实践中,我发现一些问题和困惑,以下是对圆的一般方程的教学反思。
一、教学目标设定不够明确在课堂上,我发现学生对于圆的一般方程往往存在一些混淆和误解。
这可能是因为我在设定教学目标时不够明确。
在今后的教学中,我打算明确地表达教学目标,例如“通过学习,学生应该能够理解圆的一般方程并能够使用它来解决相关问题”。
二、缺乏实际应用的示例在教学中,我往往只注重理论的讲解,而忽略了实际应用的示例。
这导致学生对于圆的一般方程的应用能力有所欠缺。
在今后的教学中,我计划引入一些实际生活中的例子,如汽车的轮胎、建筑物的圆形窗户等,以激发学生对于圆的一般方程的兴趣,并帮助他们将理论与实际问题相结合。
三、教学方法单一在我以往的教学中,主要采用了讲解和演示的形式,缺乏互动和多元化的教学方法。
这使得学生的参与度较低,难以全面理解和掌握圆的一般方程。
为了改变这种情况,我打算采用更多的小组讨论、问题解决和实践操作等活动,以提高学生的学习兴趣和主动性。
四、评价方式不够灵活在对学生的学习成果进行评价时,我通常只使用传统的笔试形式,这往往无法全面地反映学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。
因此,在今后的教学中,我计划采取更多的形式,如小组讨论、项目展示和实践操作,以便全面了解学生的学习情况。
总结:通过对圆的一般方程的教学反思,我意识到教学目标设定、实际应用示例、教学方法和评价方式等方面存在的问题。
在今后的教学中,我将更加明确地设定教学目标,并引入实际应用的示例,采用多样化的教学方法,灵活运用评价方式,以提高学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。
我相信通过这些改进,学生对于圆的一般方程的学习效果将会得到进一步提高。
圆的一般方程教学反思

圆的一般方程教学反思圆的一般方程教学反思1成功之处:“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。
通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化,还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
根据本节课的内容及学生的`实际水平,我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。
教学过程中,教师采用点拨的方法,启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受,进而完成知识的内化,使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”,学生也不会变成教师注入知识的“容器”,通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式,可以极大提高学生的学习兴趣,使教学目标更完美地体现。
不足之处:本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。
总之,在整个教学过程中,我抓住学生的“主体”作用作文章,不浪费任何一个促使学生“自省”的机会,以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。
培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。
具体教学中,教师创设问题情境,学生在这一情境中去讨论分析、探究发现,以符合学生思维的形式发展了学生的能力,达到了教学目标,优化了整个教学。
<圆的一般方程教学反思2数学家华罗庚曾经说过:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。
这是对数学与生活的精彩描述。
数学是生活的组成部分,数学问题来源于生活,而应用于生活。
生活中常用的各种知识像按比例分配水电费、计算储蓄利息、日常购物问题均发生在身边,我们买东西、做衣服、外出旅游,都离不开数学。
既然如此,那么,数学教师能否布置让学生写日记或周记之类的“数学生活”手记呢?让学生把用数学知识解决生活中实际问题的事例、感受或自己的独特想法记录下来,让他们体验到生活须臾离不开数学,从而增强他们对数学的应用意识,使其对数学产生亲切感和浓厚的兴趣,并且养成事事、时时、处处吸收运用数学知识的习惯,调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。
圆的一般方程教学设计

圆的一般方程教学设计一、教学目标:1.理解圆的基本定义及其性质;2.掌握圆的一般方程的基本形式和推导方法;3.运用一般方程求解圆的相关问题。
二、教学重点:1.理解圆的一般方程的基本形式;2.学会如何根据已知条件推导圆的一般方程;3.运用一般方程解决实际问题。
三、教学难点:1.掌握如何根据已知条件推导圆的一般方程;2.运用一般方程解决实际问题。
四、教学准备:1.教师准备:教案、教具、多媒体设备;2.学生准备:课本、笔记本、作业本。
五、教学过程:Step 1:导入新知(10分钟)教师通过引导学生回顾圆的概念和性质,巩固学生对圆的认识。
然后,教师提问:如何确定一个圆的位置?学生回答:需要知道圆的圆心和半径。
教师进一步引导学生思考:是否可以通过圆心和半径来表示一个圆的方程?为什么?Step 2:引入一般方程(10分钟)教师出示一个圆和一个坐标系图,解释和展示如何通过圆心和半径来确定一个圆的方程。
然后,教师给出圆的一般方程的基本形式:(x-a)²+(y-b)²=r²,解释方程中各项的含义:(a,b)为圆心的坐标,r为半径的长度。
Step 3:推导圆的一般方程(20分钟)教师提供一个具体的圆,如圆心为(2,3),半径为5、教师引导学生思考如何根据已知条件推导出圆的一般方程。
教师和学生一起完成推导过程,并解释每一步的推理过程和原理。
Step 4:练习与讨论(20分钟)教师提供一些习题,让学生分组讨论和解答。
每个小组完成后,教师选一组展示答案,并引导学生讨论解题思路和方法。
Step 5:应用实践(20分钟)教师设计一些实际问题,让学生运用一般方程解决。
例如:已知两个圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16和(x-6)²+(y+2)²=4,问两个圆的位置关系是什么?教师引导学生从方程中提取圆心和半径的信息,用几何图形表示圆的位置关系。
Step 6:拓展练习(10分钟)教师提供一些较难的练习题,让学生检验对一般方程的理解程度和应用能力。
圆的一般方程教学设计

圆的一般方程教学设计圆的一般方程教学设计教学目标•理解圆的一般方程的含义和表示方法•掌握圆心坐标和半径与圆的一般方程之间的关系•能够根据给定的圆心坐标和半径写出对应的圆的一般方程•能够利用圆的一般方程解决与圆相关的问题教学准备•教材:包含圆的一般方程的相关知识点的数学教科书•学具:白板、白板笔、投影仪或电脑•真实举例:通过相关图形和问题引发学生的兴趣和思考教学过程第一步:引入1.引导学生回顾和复习圆的基本概念和性质,例如圆心、半径、直径、弦等。
2.提出问题:如果给出圆的圆心和半径,你知道如何用方程来表示这个圆吗?第二步:讲解1.通过投影仪或电脑展示圆的一般方程及其含义。
–圆的一般方程为:(x-a)² + (y-b)² = r²,其中(a, b)表示圆心的坐标,r表示半径的长度。
–解释方程中各个部分的含义:(x-a)²表示点(x, y)到圆心的横向距离的平方,(y-b)²表示点(x, y)到圆心的纵向距离的平方,r表示半径的长度。
–强调方程左边和右边的关系:左边表示点(x, y)到圆心的距离的平方,右边表示半径的长度的平方。
2.通过数学公式的推导,解释方程的由来和合理性。
第三步:示例分析1.通过投影仪或电脑展示一些具体的例子,并提醒学生观察圆的特点和方程的关系。
2.引导学生一步步分析和推导圆的一般方程。
–例子1:圆心为(1, 2),半径为5的圆。
•圆心坐标:(a, b) = (1, 2)•圆的一般方程为:(x-1)² + (y-2)² = 5²•学生可进一步计算方程左边和右边的结果验证等式的正确性。
–例子2:圆心为(-3, 4),半径为7的圆。
•圆心坐标:(a, b) = (-3, 4)•圆的一般方程为:(x-(-3))² + (y-4)² = 7²•学生可进一步计算方程左边和右边的结果验证等式的正确性。
《圆的一般方程》教学设计和教案

《圆的一般方程》教学设计【教学目标】1.知识与技能(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径,掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方程.(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2.过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3.情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索.【教学重点】:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.【教学难点】:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题:求过三点A(0,0),B (1,1),C(4,让学生带着问题进设疑激趣导2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.行思考入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程:(x–a)2+(y –b)2 = r2,圆心(a,b),半径r.把圆的标准方程展开,并整理:x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a,E = –2b,F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?(1)当D2 + E2– 4F>0时,方程②表示以(,)22D E--为圆心,整个探索过程由学生完成,教师只做引导,得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点:(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定通过学生对圆的一般方程的探究,使学生亲身体会圆的一般方程的特点,及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆; (2)当D 2 + E 2 – 4F = 0时,方程只有实数解,22D Ex y =-=-,即只表示一个点(,)22D E--; (3)当D 2 + E 2 – 4F <0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F >0时,它表示的曲线才是圆,我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.了.(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 (2)4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析:(1)将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1,E =3,F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1>0学生自己分析探求解决途径:①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是,要注意对于(1)4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说,这里的D = –1,E = 3,94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆,圆心(12,32-),半径r =12.(2)将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1,E =3,F =114. D2 + E2– 4F = –1<0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4,E=12,F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程.解:设所求的圆的方程为:x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于D、E、F的三元一次方程组:即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:1.根据题设,选择标准方程或一般方程.2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;3.解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程.解此方程组,可得:D = –8,E =6,F = 0 ∴所求圆的方程为:x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=; 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4,–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程,(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25,从而求出圆的半径r = 5,圆心坐标为(4,–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标是(x ,y ),点A 的坐标是(x 0,y 0)由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 中重点,所以0043,22x y x y ++==,① 于是有x 0 = 2x – 4,y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4,即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②,得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4,教师和学生一起分析解题思路,再由教师板书.分析:如图点A 运动引起点M 运动,而点A 在已知圆上运动,点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系,就可以建立点M 的坐标满足的条件,求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形?若表示圆,求出圆心和半径.(1)x2 + y2 + x + 1 = 0;(2)x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0);(3)2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】(1)因为D= 1,E= 0,F= 1,所以D2 + E2– 4F<0 方程(1)不表示任何图形;(2)因为D= 2a,E= 0,F=a2,所以D2 + E2– 4F= 4a2– 4a2 = 0,所以方程(2)表示点(–a,0);(3)两边同时除以2,得x 2 + y 2+ ax – ay = 0,所以D = a ,E = – a ,F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F >0, 所以方程(3)表示圆,圆心为(,)22a a-,半径||r a =. 点评:也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4,–2)、Q (–1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时,为简化运算,则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一:设圆的方程为:x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0,由①,得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1,y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组,得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为:x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二:求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上,故设其坐标为(a ,a – 1), 又圆C的半径||r CP ==②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方,得a 2 – 5a + 5 = 0, 解得a 1 = 1,a 2 = 5.∴12r r 故所求的圆的方程为:(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时,为简化运算,要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标,否则计算要复杂得多.(2)涉及与圆的弦长有关问题,常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之,以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆,求 (1)t 的取值范围; (2)该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)>0 即7t 2 – 6t – 1<0,∴117t -<<(2)2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<《圆的一般方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础.二、教材分析1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.(解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;(2)加强这方面题型训练.)2.难点:圆的一般方程的特点.(解决办法:引导学生分析得出圆的一般方程的特点,并加以记忆.)3.疑点:圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F>0.(解决办法:通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板.四、教学过程(一)复习引入新课前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程”.(二)圆的一般方程的定义1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得:(1)(1)当D2+E2-4F>0时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程半径的圆;(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,因而它不表示任何图形.这时,教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法.2.圆的一般方程的定义当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题:问题:比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).(3)的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论.当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件:(1)x2和y2的系数相同,不等于零,即A=C≠0;(2)没有xy项,即B=0;(3)D2+E2-4AF>0.它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出.教师还要强调指出:(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件;(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件.(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F,因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它们的应用.例1求下列圆的半径和圆心坐标:(1)x2+y2-8x+6y=0,(2)x2+y2+2by=0.此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:(1)圆心为(4,-3),半径为5;(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为b.同时强调:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握.例2求过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、A、B在圆上,则有解得:D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0.例2小结:1.用待定系数法求圆的方程的步骤:(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式;(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程;(3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的方程.2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.再看下例:例3求圆心在直线l:x+y=0上,且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.(0,2).设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为:(x+3)2+(y-3)2=10.这时,教师指出:(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.(2)此题也可以用圆系方程来解:设所求圆的方程为:x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得:由圆心在直线l上得λ=-2.将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的位置关系中再介绍,此处为学生留下悬念.的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生:(1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任一点M(x,y),由求曲线方程的一般步骤可求得;(2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图形.(五)小结1.圆的一般方程的定义及特点;2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径;3.用待定系数法,导出圆的方程.五、布置作业1.求下列各圆的一般方程:(1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3);(2)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2).2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.4.A、B、C为已知直线上的三个定点,动点P不在此直线上,且使∠APB=∠BPC,求动点P的轨迹.作业答案:1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02.x2+y2-x+7y-32=03.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以4.以B为原点,直线ABC为x轴建立直角坐标系,令A(-a,0),C(c,0)(a>0,c>0),P(x,y),可得方程为:(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.当a=c时,则得x=0(y≠0),即y轴去掉原点;当a≠c时,则得(x-与x轴的两个交点.六.板书设计。
高中数学_圆的一般方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《圆的一般方程》第一课时教学设计二校区数学教研组一、教学内容分析本节内容是圆的一般方程属于解析几何学的基础知识,是在学习了直线方程的几种形式和圆的标准方程基础上学习的,本节对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用。
二、学生情况分析学生在此之前已经学习了直线的方程、两条直线的位置以及圆的标准方程,对利用代数方法研究几何问题有了初步的了解,学生对直线与圆两种几何图形的相似之处比较清楚,但对于类比思想的应用比较模糊,而且学生们的代数运算能力比较薄弱。
三、教学目标知识与技能目标:理解并掌握圆的一般方程的定义;能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆的圆心坐标和半径。
方法与过程目标:通过类比推理,提高学生的观察与比较能力,对方程的分析,提高学生的严密的逻辑思维和概括等能力。
情感态度与价值观:通过学生的主动参与,通过老师与学生的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发其求知欲,培养其探索精神。
四、教学重、难点分析:重点:由圆的一般方程求圆的标准方程。
难点:二元二次方程表示圆的条件。
五、教学方法与策略:教学中采用学生自主探索、合作交流、师生互动、问题引导式教学方法。
六、教具、教学媒体准备:多媒体教学。
七、教学过程1.复习引入问题1:直线的点斜式方程与一般式方程以及各自的特点。
设计意图:回顾直线的点斜式方程与一般式方程,为以后发现圆的标准方程与一般方程特点埋下伏笔。
师生活动:教师提出问题,学生回答。
问题2:生成直线的一般式方程的过程是怎样的?设计意图:引导学生联想直线的一般式方程产生的过程.为用相同的方法解决圆的一般方程打下基础。
师生活动:教师提出问题,学生回答,教师补充完善。
问题3:圆有没有一般式方程,我们该怎样研究?设计意图:激发学生的好奇心。
2.概念形成探究点一:.圆的一般方程1.探究圆的一般方程设计意图:引导学生类比直线的一般式方程的产生过程来探究圆的一般方程,增强学生的类比推理能力,通过学生们分组讨论,增强合作意识和表达见解的能力!师生活动:教师提出问题、学生们分组讨论,教师让学生表达自己的意见,教师加以补充完整。
圆的一般方程教案

圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标:学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程;能够根据已知条件,确定圆的一般方程。
2.过程与方法目标:通过引入问题,激发学生的探究兴趣,培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观目标:培养学生对数学的兴趣,培养学生的观察力和分析问题的能力,培养学生认真负责的学习态度。
二、教学重难点1.教学重点:圆的一般方程的基本概念,圆的一般方程的推导过程。
2.教学难点:通过引导学生分析,理解圆的一般方程的推导过程。
三、教学过程1.导入(5分钟)老师在黑板上画一个圆,问学生:你们对圆的一般方程有了解吗?有什么想法?2.引入问题(5分钟)老师出示一张图片,画有一个坐标系和一个圆,问学生:如何确定这个圆的方程?请你们思考一下。
3.讲解圆的一般方程的基本概念(10分钟)a.老师引导学生思考:圆的一般方程是什么意思?它包括哪些内容?b.学生回答:圆的一般方程是指坐标系中,所有满足其方程的点的集合。
它包括圆心、半径的信息。
c.老师给出圆的一般方程的定义:圆的一般方程是指平面直角坐标系中,满足方程的所有点的集合。
4.推导圆的一般方程(20分钟)a.老师先引导学生思考:圆的特点是什么?如何用代数表示?b.学生回答:圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。
可以用勾股定理表示。
c.老师给出推导圆的一般方程的步骤:-假设圆心坐标为(x0,y0),半径为r。
-任取圆上一点P(x,y),根据勾股定理,有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。
-展开可得到一般方程:x²+y²+Ax+By+C=0。
其中A=-2x0,B=-2y0,C=x0²+y0²-r²。
d.老师给出实例,通过具体计算,将圆的一般方程推导出来。
5.圆的一般方程的应用(15分钟)a.老师出示一道问题:圆心在原点,且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么?b.学生通过对问题分析,发现可以利用已知条件得到方程的三个参数:圆心坐标和半径。
对“圆的一般方程”的教学反思

对“圆的一般方程”的教学反思“圆的一般方程”一直是高中生学习的难点和重点,此部分知识具有一定的抽象性,使得高中生在学习中经常出现吃力的状况,甚至产生厌学心理,无法激发高中生的数学潜能。
基于此,本文就“圆的一般方程”的教学设计展开探讨,供广大教师参考。
标签:苏教版高中数学圆的一般方程教学设计教学案例引言圆的一般方程(x2+y2+Dx+Ey+F=0且D2+E2-4F〉0),高中生要想快速掌握,需要具备一定的基础知识。
教师在“圆的一般方程”授课阶段,需要结合高中生的学习特点,以高中生为主体,合理设置教学问题,严格做好教学设计,确保高中生能够主动探究,高效学习。
一、“圆的一般方程”教学要注重推导过程的详细讲解众所周知,圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r2,高中生对圆的标准方程都有非常细致的了解。
在此种情况下,教师就可以通过圆的标准方程推导圆的一般方程,将圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r2的左边展开,整理得到圆的一般方程。
然后教师还要利用配方法,将一般方程化为标准方程的形式,从而让学生在对比中了解半径、圆心坐标的求法。
圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程式的特点,便于区分曲线的形状。
在标准方程和一般方程的互化过程中,每位学生对圆的一般方程有了更加准确的了解,为后续的教学奠定了坚实的基础。
二、“圆的一般方程”教学要注重问题引导问题训练对培养高中生发散思维,数学思维能力等多要素有着非常重要的意义,在苏教版高中数学课本中,涉及“圆的一般方程”的数学习题非常多。
教师要引导高中生探索一些与圆有关的数学习题,帮助高中生锻炼数学思维能力,提升高中生的数学综合素养。
又因为x+y+3x+1=(x+1)+(y+2)x+1=1+y+2x+1,所以题目转化为求y+2x+1的最小值,令k=y+2x+1,则k表示半圆上的点和点P(-1,-2)连线的斜率,当这条直线与圆相切时斜率最小,设切点为Q,分别连接OQ、OP,设直线的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,所以|OQ|=|k-2|1+k2=1,解得k=34,所以原式的最小值为1+34=74。
圆的一般方程》教案

圆的一般方程》教案教案教学目标:1.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心和半径;2.熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程;3.培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力;4.为进一步研究数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础。
教学重难点:重点:能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程。
难点:圆的一般方程的特点。
教学过程:一、情景导入问题:我们已经讨论了圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²,现在将展开可得x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0.可以看出,任何一个圆的方程都可以写成x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式。
请思考一下:形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆?二、交流展示1.圆的方程有几种形式?2.怎样用待定系数法求出圆的一般方程?三、合作探究探究一:圆的一般方程的定义教师:请同学们写出圆的标准方程并把圆的标准方程展开整理:学生:(x-a)²+(y-b)²=r²,圆心(a,b),半径r展开得:x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0.教师:取D=-2a,E=-2b,F=a²+b²-r²,得到x²+y²+Dx+Ey+F=0.这个方程是圆的方程。
反过来给出一个形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?把x²+y²+Dx+Ey+F=0配方得到(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4.当D²+E²-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,半径为√(D²+E²-4F)/2的圆;当D²+E²-4F=0时,方程只有一个实数解x=-D/2,y=-E/2,表示一个点;当D²+E²-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计

圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计圆方程教学设计(精选4篇)由作者整理,希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇:圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能:在熟练记忆圆的标准方程的基础上,能通过配方法将方程配方,从而得出此方程表示圆的条件,记住此条件,并会求圆心和半径;熟练进行标准方程和一般方程之间的互化;通过比较得出求圆方程的两种方法(待定系数法和几何性质法)。
过程与方法:通过对方程表示圆的条件的探究,培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力,通过比较例题,感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观:通过对数学思想和方法的渗透,让学生感受解决问题的不同思考角度和过程,激励学生积极思考,勇于探索的精神。
二、重点难点:探究方程的两种方法(待定系数法和几何性质法)。
三、学法提示:探究式;比较归纳式四、学习过程:包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习(用10分钟时间阅读教材内容,勾勒自己的疑惑,查阅相关的资料辅助解决疑惑,记录自己一些独特的见解,完成学业质量模块测评的环节1,包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习)2、思考探究(引入):问题1:圆的标准方程是什么?你能正确展开吗?此时重点观察和发现后进生的练习过程,及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势,让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2:方程方程表示圆的条件;求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问:由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗?或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程?这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识,也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理,第一个表示一个圆,第二个不表示任何图形。
问题3:将问题2一般化,方程都表示圆吗?在什么条件下表示圆?3、小组展示先给学生5分钟自主探究(因为涉及到分情况讨论,可能有一半学生会出错),而后各个小组在小组长的展示下相互完善,达成共识。
圆的一般方程教学案例(2篇)

第1篇一、教学背景本案例针对高中数学课程中的圆的一般方程进行教学设计。
圆的一般方程是解析几何中的重要内容,对于学生空间想象能力和代数运算能力的培养具有重要意义。
本节课旨在通过引导学生探索圆的一般方程,理解圆的几何性质,并能够运用圆的一般方程解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能:- 理解圆的一般方程的形式及其几何意义。
- 掌握圆的一般方程的求解方法。
- 能够根据圆的一般方程描述圆的几何性质。
2. 过程与方法:- 通过观察、分析、归纳等方法,探索圆的一般方程。
- 通过实例分析和问题解决,培养学生的空间想象能力和代数运算能力。
3. 情感态度与价值观:- 体验数学与生活的联系,感受数学的简洁美。
- 培养学生的探究精神和团队合作意识。
三、教学重难点1. 重点:- 圆的一般方程的形式及其几何意义。
- 圆的一般方程的求解方法。
2. 难点:- 理解圆的一般方程中系数的几何意义。
- 圆的一般方程的应用。
四、教学过程(一)导入1. 展示生活中常见的圆形物体图片,如钟表、硬币、圆形跑道等,引导学生回顾圆的基本性质。
2. 提问:如何用数学语言描述一个圆?3. 引出圆的一般方程,并介绍其形式。
(二)新课讲授1. 圆的一般方程:- 引入坐标系,展示圆的标准方程和一般方程。
- 解释圆的一般方程中各系数的几何意义,如圆心坐标、半径等。
- 通过实例讲解如何根据圆的一般方程求解圆的几何性质。
2. 圆的一般方程的求解:- 展示圆的一般方程的求解步骤,包括化简、配方、求解等。
- 通过实例演示如何求解圆的一般方程。
3. 圆的一般方程的应用:- 展示圆的一般方程在实际问题中的应用,如求圆与直线的交点、求圆的面积等。
- 引导学生思考如何运用圆的一般方程解决实际问题。
(三)课堂练习1. 给出圆的一般方程,要求学生求解圆的几何性质。
2. 给出实际问题,要求学生运用圆的一般方程求解。
(四)课堂小结1. 回顾本节课所学的知识点,包括圆的一般方程的形式、求解方法、应用等。
《圆的一般方程》教案(公开课)

《圆的一般方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础.二、教材分析1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.(解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;(2)加强这方面题型训练.)2.难点:圆的一般方程的特点.(解决办法:引导学生分析得出圆的一般方程的特点,并加以记忆.)3.疑点:圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F>0.(解决办法:通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板.四、教学过程(一)复习引入新课前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程”.(二)圆的一般方程的定义1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得:(1)(1)当D2+E2-4F>0时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程半径的圆;(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,因而它不表示任何图形.这时,教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法.2.圆的一般方程的定义当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题:问题:比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).(3)的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论.当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件:(1)x2和y2的系数相同,不等于零,即A=C≠0;(2)没有xy项,即B=0;(3)D2+E2-4AF>0.它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出.教师还要强调指出:(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件;(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件.(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F,因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它们的应用.例1求下列圆的半径和圆心坐标:(1)x2+y2-8x+6y=0,(2)x2+y2+2by=0.此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:(1)圆心为(4,-3),半径为5;(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为b.同时强调:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握.例2求过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、A、B在圆上,则有解得:D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0.例2小结:1.用待定系数法求圆的方程的步骤:(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式;(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程;(3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的方程.2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.再看下例:例3求圆心在直线l:x+y=0上,且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.(0,2).设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为:(x+3)2+(y-3)2=10.这时,教师指出:(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.(2)此题也可以用圆系方程来解:设所求圆的方程为:x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得:由圆心在直线l上得λ=-2.将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的位置关系中再介绍,此处为学生留下悬念.的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生:(1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任一点M(x,y),由求曲线方程的一般步骤可求得;(2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图形.(五)小结1.圆的一般方程的定义及特点;2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径;3.用待定系数法,导出圆的方程.五、布置作业1.求下列各圆的一般方程:(1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3);(2)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2).2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.4.A、B、C为已知直线上的三个定点,动点P不在此直线上,且使∠APB=∠BPC,求动点P的轨迹.作业答案:1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02.x2+y2-x+7y-32=03.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以4.以B为原点,直线ABC为x轴建立直角坐标系,令A(-a,0),C(c,0)(a >0,c>0),P(x,y),可得方程为:(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.当a=c时,则得x=0(y≠0),即y轴去掉原点;当a≠c时,则得(x-与x轴的两个交点.六.板书设计。
2.3.2圆的一般方程教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修一

《圆的一般方程》教学设计教材处理与课程资源开发教材分析:本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》,是在学生学习了圆的标准方程之后,初步具备了数形结合思想及数学运算能力的基础上学习的,并为以后学习圆锥曲线问题奠定了知识与方法的基础,起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
课程资源开发:利用网络等资源,搜集与课程相关的考纲、课标、高考真题、模拟题等,进行整理、归纳。
注意教研与教学的结合,注重生生资源的开发,激发学生学习兴趣。
姓名学段及学科高三数学课题圆的一般方程学情分析本节内容是学生在学生学习了圆的标准方程之后进行研究的,但由于学生学习解析几何的时间还不长,学习程度较浅,且对坐标法的运算还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难。
另外,学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面还有待加强。
教学目标1、通过师生及小组合作探究,对圆的标准方程进行展开,从二元二次方程的结构入手,抽象出圆的一般方程结构形式,并对其进行讨论,培养我们数学抽象核心素养以及严密的逻辑思维和严谨的科学态度;2、通过探求点与圆的位置关系,渗透数形结合及几何问题代数化的解析几何思想,培养学生严谨的逻辑思维及全面看待事物的意识;3、通过对圆的方程求解训练,培养我们分析问题的能力,提升我们数学运算核心素养,树立优选方程结构形式、简化计算量的数学意识,进而引导我们对所学知识进行初步整合,以形成网络体系。
重点圆的一般方程的探求过程及其特点,圆的一般方程与标准方程的互化难点根据具体条件,选用圆的一般方程解决有关问题课型“发现—探究—归纳”型教学媒体利用PowerPoint课件以及交互式希沃白板辅助教学,讲课过程中会利用几何画板作动态图的演示。
教学 策 略教法选择:游戏激趣、情境创设、探索发现、几何画板、思维导图总结归纳。
学法引导:以学生发现探究,自主合作交流为主,教师点拨指导为辅。
《圆的一般方程》教学设计和教案

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计:圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。
2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。
3.能够运用圆的一般方程解决问题。
二、教学内容1.圆的定义和性质概述。
2.圆的一般方程的推导。
3.圆的一般方程的示例题和解题方法。
三、教学过程教学环节教学步骤教学方法时间安排引入1.引入圆的定义和性质。
教师讲解,提问10分钟2.提问:如何用方程表示一个圆?讲解1.提供一个圆的示例图,解释圆的一般教师讲解,举例20分钟方程的表示方法。
2.分析圆的一般方程的推导过程。
实例1.给出一些圆的一般方程的示例题,学生个人思考,讨论,教师点评30分钟解题让学生自己试着解答。
2.展示解题过程,并扩展其他解题方法。
练习1.分组小组合作,让学生互相出题、解题。
学生合作,教师辅导20分钟2.教师进行现场点评和总结。
四、教学重点和难点1.掌握圆的一般方程的表示方法和解题方法。
2.能够应用圆的一般方程解决相关问题。
五、教学资源和学具1.教科书或教学课件。
2.圆的示例图。
3.计算器、白板、黑板、粉笔。
六、教学评价和反思1.观察学生对圆的一般方程的理解程度,解题情况和解题方法的运用能力。
2.查看学生的笔记及练习题,分析学生的掌握程度,针对性地进行补充和巩固。
3.对教学设计的有效性进行评估,总结可借鉴部分,并进行个人教学反思,寻找改进点。
教案:圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。
2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。
3.能够运用圆的一般方程解决问题。
二、教学内容1.圆的定义和性质概述。
2.圆的一般方程的推导。
3.圆的一般方程的示例题和解题方法。
三、教学步骤步骤一:引入(10分钟)1.教师引入圆的定义和性质,可示意图和实例说明。
2.提问:如何用方程表示一个圆?步骤二:讲解(20分钟)1.教师提供一个圆的示例图,解释圆的一般方程的表示方法。
2.分析圆的一般方程的推导过程,引导学生根据半径和圆心坐标的关系推导出圆的一般方程。
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《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计与反思
一、教学基本信息
课题:本课选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学(基础模块)下册》,第八章直线和圆的方程第七节圆的方程的第二课时§8.7.2圆的一般方程。
二、指导思想与理论依据
随着《普通高中数学课程标准》(实验)的实施,新课程标准中提出了许多先进的教育理念,这些理念对职业高中的数学课程改革和课堂教学具有极强的指导作用。
然而由于职业教育对象的复杂性,在具体的数学课堂教学中应考虑职业学校学生的心理特点和不同水平、不同学生的兴趣需要,体现“以人为本”教学理念,把“过程与方法”作为与“知识与技能”、“情感态度与价值观”同等重要的目标维度,倡导学生“主动参与、乐于探索、勤于思考”,培养学生“获取新知识”、“分析和解决问题”的能力。
三、教材分析:
《圆的一般方程》是解析几何的内容,是在学习了直线方程后,继圆的标准方程之后学习的,圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中,圆是唯一一种必修的曲线,也是职业学校学生认识曲线和方程的途径,在解析几何中占有重要的地位。
四、学情分析:
对于职业学校的学生来说,数学属于“难攻”的科目,基础差,学习兴趣不高,缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素,由易到难,层层递进,激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
五、教学目标:
(一)知识与技能:
1.理解并掌握圆的一般方程的形式,会将圆的标准方程化为一般方程;
2.明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系,会用这种关系求圆的圆心坐标和半径;
3.逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程.
(二)过程与方法:
1.从不同的角度得出圆的方程表示形式,培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力;
2.随着探索研究的不断推进,逐步让学生发现圆的一般方程的特点,培养学生观察、归纳能力;
3.通过一题多解,培养学生发散思维;
4.在合作交流中采用问题呈现的方式,引导学生积极探索,主动学习,培养合作精神.
(三)情感态度与价值观:借助于多媒体课件,让学生感受数与式之间的内部的和谐美,提高学习数学的兴趣.
六、教学重点:
1.圆的一般方程的形式;
2.在圆的一般方程中,求圆心坐标和半径.
七、教学难点:
用配方法求圆心坐标和半径.
八、教学流程:
知识回顾→探索研究→合作交流→知识应用→课堂小结→布置作业→课后反思
九、教学过程:
十、课后反思:
1.针对教材内容和学生学情,采用发现式教学法,由具体的圆的标准方程展开整理,让学生从感性上认识圆的一般方程的形式,再进行一般情况下的探索研究,随着研究的不断推进,引导学生逐步发现圆的一般方程的特点,教学气氛活跃,学生积极参与,培养了学生观察、归纳的能力,也激发了学习兴趣。
2.设计合作交流环节,采用问题串呈现的方式,鼓励学生讨论,自主学习,学生学习积极性高,使学生充分理解圆的一般方程,进一步体会圆的标准方程和一般方程间的转化思路,为下面例题的解答扫平了道路,使得例题迎刃而解,教学达到了预期的效果。
3.在练习的设计中,有意添加圆周长和面积的计算,紧密联系实际,体现数学的实用性,旨在激发学习兴趣。
但由于在时间安排上,后面稍微有点紧,练习(4)的处理有点仓促,本想再多联系实际,但由于时间关系只能作罢,为此深感遗憾。
4.课堂小结中强调圆的一般方程形式和圆的两种方程之间的转化思路,进行知识再现。
作业布置中体现分层教学理念,对于要进一步升学的学生附加B组相关题,强化知识点,为后续的学习做铺垫。
通过这次课的教学,我深深地体会到要上好一节课不是一件容易的事,备课的思路和理念直接引领着老师的教学活动,要能做到,首先要能想到,因此勤思考、多探究是一名老师必备的素养,今后在我的教师生涯中,我会尽最大的努力去学习,提升自己的文化素养和专业素质。
2011.6.30。