1[1].1.2类比推理教案(北师大版选修2-2)

1．2类比推理

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；

(2)掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．

2．过程与方法

学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．3．情感、态度与价值观

(1)通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；

(2)通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．

●重点难点

重点：能利用类比进行简单的推理．

难点：用类比进行推理做出猜想．

教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．

通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．

(教师用书独具)

●教学建议

本节内容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：以仿生学等具体实例为背景.⇒引导学生发现立体几何与平面几何的类似特征，可让学生举例，得出类比推理的定义.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握等差、等比数列之间的相似特征，及类比规律.⇒通过例2及其互动探究，使学生通过概念的类比，掌握分析问题的角度及类比对象.⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，

发现新结论.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识类比推理.⇒

完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课标解读

1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简单的推理．(重点、难点)

2.体会合情推理在数学发现中的作用.

类比推理

【问题导思】

已知三角形的如下性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的1

2

.

1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

(2)四面体的体积，等于底面积与高乘积的1

3

.

2．以上两个推理有什么共同特点？

【提示】 根据三角形的特征，推出四面体的特征． 3．以上两个推理是归纳推理吗？为什么？

【提示】 不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的

推理．

1．类比推理

(1)类比推理的定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．

(2)类比推理的特征：类比推理是两类事物特征之间的推理． 利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 2．合情推理与演绎推理

合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．

演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.

等差数列与等比数列的类比

等差数列 等比数列

定义 a n －a n －1＝d (n ≥2)

a n

a n －1

＝q (n ≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －

1

性质 若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a t 若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝

a 2t

从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为： 和―→类比

积，差―→类比

商，乘―→类比

乘方，

(1)对于等差数列{a n }，已知n ，n 1，n 2，n 3∈N *，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有an 1＋an 2＋an 3

＝3a n .类比这一性质写出等比数列{b n }类似的性质；

(2)你能将(1)的结论分别在等差数列{a n }和等比数列{b n }中加以推广吗？ 【思路探究】 根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．

【自主解答】 (1)由题设知“和―→类比

积，乘―→类比

乘方”，故在等比数列{b n }中，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n .

(2)由下列结论 等差数列{a n } 等比数列{b n } m ＋n ＝2t a m ＋a n ＝2a t b m ·b n ＝b 2t n 1＋n 2＋n 3＝3n an 1＋an 2＋an 3＝3a n bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n

可以推广到一般情形：若n 1＋n 2＋n 3＋…＋n m ＝m ·n .则对等差数列{a n }有an 1＋an 2＋an 3

＋…＋an m ＝m ·a n .

对比数列{b n }有bn 1·bn 2·bn 3…bn m ＝b m n .

1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键．

2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比

积，差―→类比

商，乘―→类比

乘方，除―→类比

开方．

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：

设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_____________________________________，

__________，T 16

T 12

成等比数列．

【解析】 等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：

设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16

T 12

成等比数列．

【答案】 T 8T 4 T 12

T 8

新、旧概念的类比 a n }是等和数

列，且a 1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n 项和公式．

【思路探究】

【自主解答】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．

由上述定义，得a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n 为奇数，

3，n 为偶数，