1[1].1.2类比推理教案(北师大版选修2-2)

1．2类比推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；(2)掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．2．过程与方法学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．3．情感、态度与价值观(1)通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；(2)通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．●重点难点重点：能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理做出猜想．教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．●教学流程创设问题情境，引出问题：以仿生学等具体实例为背景.⇒引导学生发现立体几何与平面几何的类似特征，可让学生举例，得出类比推理的定义.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握等差、等比数列之间的相似特征，及类比规律.⇒通过例2及其互动探究，使学生通过概念的类比，掌握分析问题的角度及类比对象.⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，发现新结论.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识类比推理.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解类比推理的含义，能利用类比推理进行简单的推理．(重点、难点)2.体会合情推理在数学发现中的作用.类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积，等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】 根据三角形的特征，推出四面体的特征． 3．以上两个推理是归纳推理吗？为什么？【提示】 不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理(1)类比推理的定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．(2)类比推理的特征：类比推理是两类事物特征之间的推理． 利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 2．合情推理与演绎推理合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.等差数列与等比数列的类比等差数列 等比数列定义 a n －a n －1＝d (n ≥2)a na n －1＝q (n ≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1性质 若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a t 若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2t从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为： 和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，(1)对于等差数列{a n }，已知n ，n 1，n 2，n 3∈N *，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有an 1＋an 2＋an 3＝3a n .类比这一性质写出等比数列{b n }类似的性质；(2)你能将(1)的结论分别在等差数列{a n }和等比数列{b n }中加以推广吗？ 【思路探究】 根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．【自主解答】 (1)由题设知“和―→类比积，乘―→类比乘方”，故在等比数列{b n }中，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n .(2)由下列结论 等差数列{a n } 等比数列{b n } m ＋n ＝2t a m ＋a n ＝2a t b m ·b n ＝b 2t n 1＋n 2＋n 3＝3n an 1＋an 2＋an 3＝3a n bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n可以推广到一般情形：若n 1＋n 2＋n 3＋…＋n m ＝m ·n .则对等差数列{a n }有an 1＋an 2＋an 3＋…＋an m ＝m ·a n .对比数列{b n }有bn 1·bn 2·bn 3…bn m ＝b m n .1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键．2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_____________________________________，__________，T 16T 12成等比数列．【解析】 等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 8新、旧概念的类比 a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n 项和公式．【思路探究】【自主解答】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，所以S n＝⎩⎨⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.1．本题的关键是类比等差数列的定义写出等和数列的定义．2．这类题目一定要找准新、旧概念之间可以确切表达的相似性，进而由原有的概念去推测新的概念．把上例中的“等差数列”改为“等比数列”，“等和数列”改为“等积数列”，“公和为5”改为“公积为6”，结果如何？【解】 等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎨⎧52n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.平面几何与立体几何的类比 1111⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .图1－1－8(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【思路探究】 (1)用“线面垂直”证“线线垂直”；(2)考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面，可选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．【自主解答】 (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN . 又∵CC 1∥BB 1， ∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1·S▱ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . 由于S ▱BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ▱ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ▱ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1·S ▱ACC 1A 1·cos α.1．由“二维”平面扩展到“三维”空间，需要有“升维”的变化．因此，平面中的“点、线、面”一般类比成空间中的“线、面、体”．2．很多情形中，不仅仅是结论之间可以类比；解决问题的思路和方法也可以类比，如本题中结论的证明．平面中的三角形和空间中的四面体有很多类似的性质．例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；(4)三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆的半径，a ，b ，c 为三角形三边长)；……请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论．【解】 根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面，且等于第四个面面积的14；(4)四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体四个面的面积).类比不当而致误若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N ＋)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N ＋)也是等比数列．【错解】 注意到b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n中的分子是等差数列{a n }的前n 项和，故可类比成等比数列{c n }的前n 项的积．因此，得到d n ＝c 1·c 2·c 3·…·c n n 也是等比数列，应填c 1·c 2·c 3·…·c nn.【错因分析】 本题的解答忽视了对等差数列中“除法”运算的类比．【防范措施】 运用类比推理解决问题时，首先明确类比关系，然后分析类比的角度．如本题中应抓住“运算”这一角度恰当类比．【正解】 由等差、等比数列之间运算的相似特征知， “和―→类比积，商―→类比开方”．容易得出d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n 也是等比数列，应填nc 1·c 2·c 3·…·c n .1．归纳推理与类比推理是常见的合情推理，其推测结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础．2．类比推理的一般步骤是：第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比．1．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 D2．已知“平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”，类比这一结论可得出以下结论：①空间内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条； ②空间内，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条； ③空间内，过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一条；④空间内，过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个． 其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系．可借助长方体这一模型排除①③④，仅有②正确． 【答案】 B3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的性质，你认为下列结论中正确的是________．①各棱长相等，同一顶点上任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．【答案】 ①②③4．如图1－1－9(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，类比这一结论，请写出图1－1－9(2)中相应结论，并证明．图(1) 图(2)图1－1－9【解】V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC，证明如下：分别过B ′，B 作平面P AC 的垂线B ′D ′，BD ，垂足分别为D ′，D .易知△PB ′D ′∽△PBD ，故PB ′PB ＝B ′D ′BD ，所以V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝13S △P A ′C ′·B ′D ′13S △P AC·BD＝P A ′·PC ′·PB ′P A ·PC ·PB.一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形【解析】 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C. 【答案】 C2．关于合情推理的说法不正确的是( ) ①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A ．①④B ．②④C ．③④D ．①②③④【解析】 根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】 D3．下列几种推理过程是类比推理的是( ) A ．两直线平行，内错角相等B ．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C ．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D ．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人【解析】 四个选项中，只有B 为类比推理，故选B. 【答案】 B4．下列类比推理：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ； ②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 由类比定义知①②的结论错，③的结论正确． 【答案】 B5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D ．不可类比 【解析】 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 【答案】 C 二、填空题6．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即1∶8.【答案】 1∶87．已知{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有： (m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有________．【解析】 由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方”得a m －n p ·a n －p m ·a p －m n＝1. 【答案】 a m －n p ·a n －p m ·a p －mn＝1 8．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_______________________________________________________________________.【解析】 Rt △ABC 类比到空间为三棱锥A －BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A －BCD 的外接球．【答案】 在三棱锥A －BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A －BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.三、解答题9．在椭圆中，有一结论：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两端点A 1、A 2连线，则直线P A 1与P A 2斜率之积为－b 2a2，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．【解】 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点A 1、A 2连线，则直线P A 1与P A 2斜率之积为b 2a2.证明如下：设点P (x 0，y 0)，点A 1(a,0)，A 2(－a,0)．椭圆中：kP A 1·kP A 2＝y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝y 20x 20－a 2＝b 2(1－x 20a 2)x 20－a 2＝－b 2a 2； 双曲线中：kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－a 2＝b 2(x 20a2－1)x 20－a 2＝b 2a 2.10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①【解】 如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.图②如图②，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 11．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.(教师用书独具)已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．【思路探究】 本题的关键是等差数列与等比数列相似性质的类比．【自主解答】 由题设，若a k ＝0，那么有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：若b k ＝1，则有b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．结合本题k ＝9，得2k －1－n ＝17－n ，故本题应填：b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．【答案】 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)1．找准类比点是解答本题的关键，如等式的结构、运算符号等．2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是() A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】 C古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。