2021年高中数学《1.分层抽样与系统抽样》教学案新人教版必修3

2021年高中数学《1.2分层抽样与系统抽样》教学案新人教版必修3
【教学目标】
1.理解分层抽样和系统抽样的概念，掌握两种抽样的实施方法.
2.通过具体的实例，区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样.
3.感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系.
【重点难点】
重点：掌握两种抽样的实施方法.
难点：区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样.
【教材助读】课前认真通读课本P12-P15；
1.问题提出
问题一：一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁—49岁的有280
人，50岁以上的有95人. 为了了解这个单位职工与身体状况有关
．．．．．．的某项指标，如何从中抽取一个容量为100的样本?
问题二：某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书检验其质量状况，请你设计一个调查方案.
对于以上两个问题，若用简单随机抽样的方法抽取样本进行研究合理吗？应该怎样抽取样本？
2.分层抽样
（1）定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每一个类型中按照所占的比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样 .
（2）分层抽样的步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分；
②按比例确定每层抽取个体的个数；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取；
④综合每层抽样，组成样本.
分层抽样是在充分利用了已知信息的基础上，为了使样本具有更好的代表性而进行的，这样能使每一层都有个体被抽到,且第个个体被抽到的可能性相等. 当总体是由差异明显的几部分组成时，常选用分层抽样方法.
3.系统抽样
（1）定义：将总体中的个体进行编号，将整个编号进行分组，在第一组中按照简单随机抽样法抽取第一个样本，然后按分组的相同间隔
(称为抽样距 )
抽取其他样本，这种抽样方法叫作系统抽样.又称等距抽样或
机械抽样.当总体数目较大时，常选用系统抽样.
（2）系统抽样的步骤：
①先将总体的N个个体编号，有时可直接利用已有的学号等；
②确定分段的间隔，对编号进行分段.
当是整数时，k= ；
当不是整数时，通过从总体中剔除
．．一些个体（即余数）使剩下的个体数N´能被整除，这时；
③在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号（）.
④按照一定的规则（常将加上间隔）抽取样本：依次进行下去，直到获取整个样本.【预习自测】
（1）某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( D )
A.15, 5, 25
B.15, 15, 15
C.10, 5, 30
D.15, 10, 20
（2）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是( D )
A．1, 2, 3, 4, 5 B．5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D．4，14，24，34，44
【我的疑惑】
二、课堂互动探究
例1.（1）在问题一中应采取什么样的抽样方法？写出详细的抽样过程.
（2）在问题二中应采取什么样的抽样方法？写出详细的抽样过程.
例2.某校共有师生1600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取的学生数为．
答案：75 抽样比为80/1 600＝1/20，该校有学生1600－100＝1 500人，则抽取的学生数为1 500×1/20＝75.
例3.某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
分析：人数多，差异大→分层抽样→确定每层抽取比例→在各层中分别抽取→合在一起得样本
解：采用分层抽样的方法，抽样比为60/12 000.
“很喜爱”的有2435人，应抽取2 435×60/12 000≈12(人)；
“喜爱”的有4567人，应抽取4 567×60/12 000≈23(人)；
“一般”的有3926人，应抽取3 926×60/12 000≈20(人)；
“不喜爱”的有1072人，应抽取1 072×60/12 000≈5(人)．
因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”、“不喜爱”的人中分别
抽取12人、23人、20人和5人．
例4.为了了解某地区今年高一学生期末考试的数学成绩，打算从参加考试的15 000名学生的数学成绩中用系统抽样的方法抽取容量为150的样本，请写出抽取过程．
分析：N,n为整数的系统抽样问题。

分段间隔；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号s＋k，再加k得到第3个个体编号s＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
解：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1，2，3，…，15 000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包括100个个体．
(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，再顺次抽取156，256，356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本．
例5.从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
分析：总体特点，采用系统抽样 :剔除2个个体→系统抽样→样本
要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.解：由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：
第一步先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；
第二步将余下的800辆轿车编号为1，2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝800/80＝10个个体；
第三步从第1段即1，2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；
第四步从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．
【我的收获】
三、课后知能检测
1.校围棋队有男队员 36 人，女队员 24 人，现用分层抽样的方法选出女队员8人，则代表团共选取围棋队员 20 人，男队员应选 12 .
2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是（ C ）
A. 简单随机抽样
B. 系统抽样
C. 分层抽样
D. 先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
3.从xx个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（ C ）
A.99
B.99.5
C.
D.
4.为调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家连锁店中抽取了30家了解情况，若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别是（ A ）
A. 3, 2
B. 2, 3
C. 2, 30
D. 30, 2
5．全班有50位同学，需要从中选取7人，若采用系统抽样的方法来选取，则每位同学能被选取的可能性是( )
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2,．．．，99,依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3, ．．．,10．现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同．若，则在第7组中抽取的号码是 72 .
7.要从某学校的10 013名学生中抽取100名进行健康检查，采用何种抽样方法较好，并写出过程．写出以下错解原因并写出正解。

错解：由于总体个数为10 013，数量较大，而且都是学生，差别不大，因而应该采用系统抽样，具体过程如下：由系统抽样的步骤先分为100段，其中前87段每段100人，后13段每段101人，再在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l；最后将l＋100，l＋200，…，l＋9 913分别抽出得第2,3，…，100组中的编号，从而获得整个样本．错因分析：上面的解法违背了系统抽样的等距均分原理，抽出的个体不都是处在每段的同一位置上，前87段与后13段各自处的位置不一样，导致抽样的不公平性，所以解法是错误的，必须先要随机地剔除13人．
正解：由于总体个数为10 013，数量较大，而且都是学生，差别不大，因而应采用系统抽样法，具体过程如下：由系统抽样的步骤可知编号分段时，10 013÷100不为整数，先从总体中随机剔除13人，再按如下步骤操作：
①采用随机的方式将总体中的个体编号为1,2，3，…，10 000；
②把总体分成100段，每段10 000100＝100人；
③在第一段中用简单随机抽样确定起始个体的编号l；
④将l＋100，l＋200，…，l＋9 900分别抽出得到第2,3，…，100组中的各个编号，
从而获得整个样本．。