(完整)暨南大学09-10高等数学试卷__A_5附答案

1．对 lim n n a A →∞

= 的表述错误的是 ( C )

A. 0ε∀>, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有

||n a A -<; B. 01ε∀<<, ∃N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有 2||n a A ε-<; C. 0ε∀>, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有

||n a A -<; D. N k +∀∈, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有 1||n a A k

-<

. 2. 设函数 2

1sin ,0;

()0,0x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则 ()f x 在 0x = 处 ( C ) A. 不连续; B. 连续但不可导;

C. 连续且可导;

D. 导函数连续.

3. 设22

1

(),43

x f x x x -=-+ 则（ B ） A. 1x = 是 ()f x 的跳跃间断点； B. 1x = 是 ()f x 的可去间断点； C. 3x = 是 ()f x 的跳跃间断点； D. 3x = 是 ()f x 的可去间断点.

4．下列命题中正确的是 ( D )

A. 若在 (a, b) 内 '()0f x >, 则 ()f x 在 [a, b] 上单调递增；

B ．若 ()f x 在 (a, b) 内单调增加且可导, 则在 (a, b) 内必有 '()0f x >. C. 若 '()0f x >, 则必有 ()0f x >.

D. 若函数 ()f x 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内 '()0f x ≥, 且'()f x 至多有有限多个零点, 则 ()f x 在 [a, b] 上单调增加.

5. 下列关于极值叙述正确的是 ( C ).

A. 若 0'()0f x =, 则 0x 为 ()f x 的极值点. B ．若 0x 为()f x 的极值点, 则 0'()0f x =. C. ()f x 在 (a, b) 内的极小值可能大于极大值.

D. 若 ()f x 在 0x 取得极大值, 则存在 0x 的某邻域, 使得在该邻域内,

()f x 在 0x 左侧单调增加, 右侧单调减少.

6. 下列各式中正确的是 ( B ).

A.

'(3)(3)f x dx f x C =+⎰; B.1

'(3)(3)3

f x dx f x C =

+⎰; C. '(3)3(3)f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰; D. '1(3)(3)3

f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. lim

n →∞

= 0 .

2. 设xy xe y +=12，则

=x dx

dy =

12

. 3. 11lim sin sin x x x x x →∞⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

= 1 .

4. 设()x f x xe =, 写出它带 Peano 型余项的三阶麦克劳林公式

2331

()()2f x x x x o x =+++.

5. 100

d sin ()d d x x t t x -⎰=100sin x 6.

2

sin sin cos x dx x x π

=+⎰

4

π

.

三、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 2

221

11

lim 2n n n n n n πππ

→∞⎛⎫+++

⎪+++⎝

⎭

解：由于

22

2

222

2

1

11

2n n n n n n n n n n πππ

π

π

⎛⎫<+++< ⎪+++++⎝⎭ ( 2 分)

且

221

lim lim 11n n n n n n ππ→∞→∞==++, 2

22

1lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++, 由夹逼定理可知

2

221

11lim 12n n n n n n ππ

π

→∞

⎛⎫

+++= ⎪+++⎝⎭

( 3 分)

2. ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11

lim 20

3020tan lim tan 11lim x x x x x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-→→解 ( 2 分) 22031sec lim x x x -=→ 31

3tan lim 220==→x

x x

( 3 分) 3.

20

lim(1sin x x e x →+

解：由于

2

11

2

x - (0x →) 22

lim(1sin →+x x

x e x

22sin 1202

lim 2

→→===x x e x

x x x e

e

e

( 5 分)

4. 1lim 1x x x e x →∞

⎡⎤

⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

解：令 1

t x

=

, 则 11200ln(1)1(1)1lim 1lim lim(1)x

t

t

x t t t

t t e t x e t x t t →∞→→-+⎡⎤+-⎛⎫++-==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

( 2 分)