16..整式除法和负指数幂
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
(完整版)幂的运算总结及方法归纳
幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用n m n m a a a +=•（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n aa 1=-（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。
换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算20052004425.0⨯，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004⨯，再逆用积的乘方法则计算11)425.0(425.02004200420042004==⨯=⨯，由此不难得到结果为1。
◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。
如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅- 简单练习： 一、选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
第一章 整式的乘除(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
【要点指导】幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数 幂的运算, 计算时, 要熟练掌握各自的运算法则, 并能灵活 运用这些运算法则进行计算. 幂的运算法则还可以逆用.
考2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3. 解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y
=(2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.
谢谢~
新课标 北师大版 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元小结
本章知识架构
整式的乘法
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 （平方差公式，完全平方公式）
整式的除法
同底数幂的除法（零指数，负指数次幂，科学计数法） 单项式除以单项式 多项式除以单项式
知识专题
知识专题
1.零指数幂. 任何不等于0的数的零次幂都等于1.
a0＝1 （a≠0）
2.负指数幂.
a≠0，p是正整数
知识专题
3.科学记数法 一般地，一个绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为：
a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整数） 注意: (1) 1≤|a|＜10 ，
(2) n从左起第一个非零数前零的个数.
（三）积的乘方. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘，即， (ab)n＝anbn(n是正整数).
知识专题
(四）同底数幂的除法. 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n都是正整数，m＞n). 注：(1)底数必须相同. (2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除. (3)逆运用常考am-n= am÷an
人教版八年级(上)期末数学试卷+答案解析
2016-2017学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算中正确的是（）A．x2÷x8=x﹣4B．a•a2=a2C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a33．石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（）A．1×10﹣6 B．10×10﹣7C．0.1×10﹣5D．1×1064．在分式中x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠0 D．x≠﹣25．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy6．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（）A．AD=AE B．DB=AE C．DF=EF D．DB=EC7．下列各式中，计算正确的是（）A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y B．98×102==9996C． D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣28．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE 的度数是（）A．62 B．31 C．28 D．259．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处 B．AD的中点处C．A点处D．D点处10．定义运算=，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（）A．×=1 B． +=C．（）2=D．=1二．填空题（本大题共24分，每小题3分）11．如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．12．分解因式：x2y﹣4xy+4y=．13．写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标．14．如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是．15．计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=．16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=°．17．教材中有如下一段文字：思考如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法．（填“正确”或“不正确”）18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．（1）判定△ABD与△AED全等的依据是；（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：．三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）19．分解因式：（a﹣4b）（a+b）+3ab．20．如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．21．解下列方程：（1）=；（2）﹣1=．四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）22．已知a+b=2，求（+）•的值．23．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．24．列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约千米．然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）25．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．26．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=°，∠BEA=°；②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．附加题：（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有条对称轴；（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：．2016-2017学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．2．下列运算中正确的是（）A．x2÷x8=x﹣4B．a•a2=a2C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a3【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、底数不变指数相减，故A错误；B、底数不变指数相加，故B错误；C、底数不变指数相乘，故C正确；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；故选：C．3．石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（）A．1×10﹣6 B．10×10﹣7C．0.1×10﹣5D．1×106【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 001=1×10﹣6，故选A．4．在分式中x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x≠0 D．x≠﹣2【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故选：D．5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【解答】解：A、2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．6．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（）A．AD=AE B．DB=AE C．DF=EF D．DB=EC【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质可得到AD=AE、AB=AC，则可得到BD=CE，∠B=∠C，则可证明△BDF≌△CEF，可得DF=EF，可求得答案．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC，故D正确；在△BDF和△CEF中∴△BDF≌△CEF（ASA），∴DF=EF，故C正确；故选B．7．下列各式中，计算正确的是（）A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y B．98×102==9996C． D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2【考点】分式的加减法；多项式乘多项式；平方差公式；整式的除法．【分析】根据分式的加减法，整式的除法，多项式乘多项式的运算方法和平方差公式，逐项判断即可．【解答】解：∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣y，∴选项A不正确；∵98×102==9996，∴选项B正确；∵﹣1=﹣，∴选项C不正确；∵（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣5x﹣2，∴选项D不正确．故选：B．8．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE 的度数是（）A．62 B．31 C．28 D．25【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．故选：C．9．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处 B．AD的中点处C．A点处D．D点处【考点】三角形的重心；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，故选：A．10．定义运算=，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（）A．×=1 B． +=C．（）2=D．=1【考点】分式的混合运算．【分析】根据定义：=，一一计算即可判断．【解答】解：A、正确．∵=，=．∴×=×=1．B、错误． +=+=．C、正确．∵（）2=（）2==．D、正确．==1．故选B．二．填空题（本大题共24分，每小题3分）11．如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．【考点】作图—基本作图．【分析】过点C作BA的延长线于点D即可．【解答】解：如图所示，CD即为所求．12．分解因式：x2y﹣4xy+4y=y（x﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x2y﹣4xy+4y，=y（x2﹣4x+4），=y（x﹣2）2．13．写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接写出答案．【解答】解：∵M（﹣2，3），∴关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）14．如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是20．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，∴此题有两种情况：①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．∴该等腰三角形的周长为20，故答案为：2015．计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=﹣．【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣4a4b﹣2÷8ab2=﹣2a3b﹣4=﹣，故答案为：﹣16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=36°．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=2∠A=∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x=180°，解得：x=36°，故答案为：3617．教材中有如下一段文字：思考如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法正确．（填“正确”或“不正确”）【考点】全等三角形的判定．【分析】小明的说法正确．如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．首先证明△ACG≌△DFH，推出AG=DH，再证明△ABG≌△DEH，推出∠B=∠E，由此即可证明△ABC≌△DEF．【解答】解：小明的说法正确．理由：如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．∵∠ACB=∠DFE，∴∠ACG=∠DFH，在△ACG和△DFH中，，∴△ACG≌△DFH，∴AG=DH，在Rt△ABG和Rt△DEH中，，∴△ABG≌△DEH，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．故答案为正确．18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．（1）判定△ABD与△AED全等的依据是SAS；（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：∠ACB=2∠ABC．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）SAS；（2）∵△ABD≌△AED，∴∠B=∠E，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∴∠ACB=2∠ABC．故答案为：SAS，∠ACB=2∠ABC．三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）19．分解因式：（a﹣4b）（a+b）+3ab．【考点】因式分解﹣运用公式法．【分析】原式整理后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a2﹣3ab﹣4b2+3ab=a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b）．20．如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】欲证明DE=CB，只要证明△ADE≌△ACB即可．【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠D=∠C，∠E=∠B．∵点A为DC的中点，∴DA=CA．在△ADE和△ACB中，，∴△ADE≌△ACB．∴DE=CB．21．解下列方程：（1）=；（2）﹣1=．【考点】解分式方程．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：5x+2=3x，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是增根，原方程无解；（2）去分母得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=x+2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）22．已知a+b=2，求（+）•的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先化简题目中的式子，然后将a+b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：===，当a+b=2时，原式=．23．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ADF≌△BED，得AD=BE，同理可证：BE=CF，由此即可证明．【解答】解：在等边三角形ABC中，∠A=∠B=60°．∴∠AFD+∠ADF=120°．∵△DEF为等边三角形，∴∠FDE=60°，DF=ED．∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180°，∴∠BDE+∠ADF=120°．∴∠BDE=∠AFD．在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED．∴AD=BE，同理可证：BE=CF．∴AD=BE=CF．24．列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约3千米．然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．【考点】分式方程的应用．【分析】根据题意列出分式方程进行解答即可．【解答】解：这段路长约60×=3千米；由题意可得：．解方程得：a=15．经检验：a=15满足题意．答：a的值是15．故答案为：3五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）25．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．【考点】四边形综合题；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；轴对称图形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【解答】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为：1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．26．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=60°，∠BEA= 30°；②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN ⊥AE于N．只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．（2）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出=，推出=，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．【解答】解：（1）①补全图1，如图所示．∵AB=AC，BD=DC，∴AE⊥BC，∴EB=EC，∠ADB=90°，∵∠ABC=30°，∴∠BAE=60°∵BC=BE，∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，∴∠BEC=60°，∠BEA=30°故答案为60，30．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=α，∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，∴∠BAM=∠BAN，∴BM=BN，在Rt△BMF和Rt△BNE中，，∴Rt△BMF≌Rt△BNE．∴∠BEA=∠F，∵BF=BC，∴∠F=∠C=α，∴∠BEA=α．（2）结论：∠BAE=α+β．理由如下，如图3中，连接EC，∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴=，∴=，∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．附加题：（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴；（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：对称轴的条数是多边形边数的约数．【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】（1）根据凸六边形进行画图，然后猜想即可；（2）根据题意画出图形，再结合轴对称图形的定义进行分析即可；（3）根据（1）中所得的数据可得答案．【解答】解：（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，故答案为：1，2，3或6；（2）不可以．理由如下：根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．2017年3月17日。
幂的运算
第一节 指数运算（一）【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即 ，可以记作na ．“na ”读作a 的n 次方，乘方的结果叫做幂.“na ”可读作a 的n 次幂．其中，a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法：=⋅n ma a _______ 同底数幂的乘法及推广： _________________;=⋅=⋅⋅p n m pnma a a aa a3．幂的乘方：__________)(=nm a 多重乘方：[]pnm a )(=__________4. 积的乘方:________)(_;__________)(==nnabc ab 学习时对于法则的理解应注意如下的问题：（1）底数不同的幂相乘，不能应用法则，如3232323+≠•；(2) 不要忽视指数为1的因数，如5065+≠=•cc c c ；(3) 底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体，勿犯))(()()(332232y x y x y x y x ++=++这种错误； (4) 2a -和2)(a -不一样，它们互为相反数； (5) 互为相反数的相同偶次方相等，即n na a 22)(=-（n 为正整数）；互为相反数的相同奇次方仍互为相反数，即1212)(++-=-n n a a （n 为正整数）【典型例题】例1 计算 （1）（101）4·（101）3 （2）（2x -y ）3·（2x -y ）·（2x -y ）4（3）32)2(- （4）67])[(x -（5）932])([a a a ⋅- （6）nn n a ab b a )()(2+例2 计算 （1）31222)()(+-⋅n n a a（2）4332])[(])[(y x y x ++（3）25(2)(2)x y y x -- （4）53)2()2(x y y x --（5）mm m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2632435465（6）2222)2()2(n mn mn ⋅--例4 已知105,106a b==，求2310a b+的值.例5 已知n 是正整数，且9)(2=n x ，求nn x x 2223)(3)31(-的值.【初试锋芒】一 选择题1．下列4个式子中结果为1210的是（ ）A 、661010+ B 、21010)52(⨯ C 、6510)1052(⨯⨯⨯ D 、33)10(2．下列计算中，不正确的是（ ）A 、44423a a a =-B 、655222=+C 、655222=⋅D 、632x x x x =⋅⋅ 3．33+n y可以写成（ ）A 、13+n y B 、33y yn+ C 、13+⋅n y y D 、33y y n ⋅4．若2,3==n mx x，则n m x +的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、9 5．若y x ≠，则下列不能成立的等式是（ ）A 、()()22x y y x -=- B 、()()33x y y x --=-C 、()()22y x y x --=+ D 、()()22y x y x +-=+6. 7a 等于（ ）A 、52)()(a a --B 、))((52a a --C 、)()(52a a --D 、6))((a a -- 7．在(1⋅-n x )=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x二．计算 （1）n n nb a a b a b )()()(122-⋅-⋅--（2）n m n m m m p p p p-+-+⋅+⋅11【大展身手】一. 计算： （1）()4232a bc - （2）()()223a aa ⋅-⋅-二. 解答题若327,232x y==，求23x y +值.三.随堂小测（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）24(22)⨯（3）2232)2()2(n mn mn ⋅-- （4）32)(a a -⋅-（5）22101010000⋅+ （6）762)5.0(⨯-（7）64×（22）3（8）9)3()2()3(322234⨯⨯+第二节 指数运算（二）【知识要点】三大指数法则： nm nma a a +=⋅,()m n mna a=,()mmmab a b =⋅（n m ,都是正整数）三大指数法则逆用: n m nm a a a⋅=+, ()()mn m n n m a a a ==, ()m m m a b ab ⋅=1. 同底数幂的除法法则：mnm na a a -÷=（0a ≠，,m n 都是正整数，且m n >）2. 负整数指数幂1p pa a -=（0a ≠，p 为正整数） 任何不等于0的数的p -次幂（p 是正整数），等于这个数的p 次幂的倒数.而10-、30-都是无意义的，当0>a 时，pa -的值一定是正的；当0<a 时，pa-的值可能是正的也可能是负的；如：41)2(2=--，81)2(3-=--3. 零指数幂01a =（0a ≠）. 00没有意义.【典型例题】例1. 计算(1）56x x ÷ (3）15++÷n n a a(2）35)(a a ÷- (4）)1()1(3+÷+a a（5）)()(734x x -÷- （6）67)()(x y y x -÷-例2. 计算（1）24- （2）32-- (3）2)1(-- (4）0)14.3(-π例3. 计算： 451301222222----⎛⎫++⨯⨯+ ⎪⎝⎭例4．求值：（1）若的值求n mn m 231010,0223÷=+-.（2）已知的值求n m n m-==210,210,310.【初试锋芒】1. ÷a 2=a 3. 2. 若53-k =1，则k= .3．31-+（91）0= . 4．用小数表示-3.021×103-= .5．（-a 2）5÷（-a ）3= ，920÷2710÷37= .6．计算 （-a ）6÷（-a ）3的结果是（ ）A ．a 3B.-a 2C.-a 3D. a 27.下列计算正确的是（ ） A.（-0.2）0=0 B.（0.1）3-=10001 C.30÷31-=3 D.a 4÷a 4=a(a ≠0) 8.如果a m÷a x=am3，那么x 等于（ ）A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9.设a ≠0，以下的运算结果：①（a 3）2· a 2=a 7；②a 3÷a 2-=a 5；③（-a ）3÷a 0=-a 3；④（-a ）2-÷a=a1-，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③ 10.计算下列各题：（1）（m-1）5÷（m-1）3； （2）（x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ）；（3）（a m ）n ×（-a m3）n2÷(amn)5; (4) 21--（-32）2-+（23）0.【大展身手】1. 计算52()()x x -÷-=_______, 2. 10234x x x x ÷÷÷ =______.3. 若0(2)x -有意义,则x_________.4. 02(3)(0.2)π--+-=________.5. 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷- =_________. 6. 若5x-3y-2=0,则531010xy ÷=_________.7. 如果3,9mna a ==,则32m na -=________.8. 如果3147927381m m m +++⨯÷=,那么m=_________.9．若2,3==n mx x，则n m x -的值为（ ）A 、5B 、6C 、23D 、9 10．在(1⋅-n x)=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x11. 已知9999909911,99Q =, 证明：P=Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘的法则： 2．单项式与多项式相乘的法则： 3．多项式与多项式相乘的法则：注意：(1).法则中的“每一项”的含义是不重不漏.在运算时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，还要特别注意多项式中的常数项.(2). 在运算过程中，要根据去括号法则和多项式中每一项前面的性质符号来确定乘积中每一项的符号.(3). 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在未合并同类项之前，其积的项数与多项式中的项数相同，若乘积中有同类项时，一定要注意合并同类项！【典型例题】例1．计算．（1）)5(2232xy a ax -⋅ （2）2223)31(32mn n m -⋅例2．计算 )2()1103(32xy y x y x -⋅--例3．计算（1） )3)(32(-+a a （2）)32)(2(2---x x x例4．计算：()()()222322----+a a a a a例5．解方程：()()0536232=----x x x x例6. 已知ax 2+1与2x 2-3x+1的积中不含x 2项,那么a=•_____【初试锋芒】1.填空.(1)=⋅-)2()3(22n m mn _____ _ _ (2)=-⋅-23)52(54a a __________ 2.已知2,2-==+ab b a ，则()()b a 2121--= ． 3.若12412)4()(x x mx k=⋅，适合的m 与k 的值应是（ ）A.3,3==k mB.8,3==k mC.3,8==k mD.8,8-==k m 4.下列运算正确的是（ ）A ．x x x x x x 4128)132)(4(232---=-+- B ．()()3322y xyx y x +=++C ．2161)14)(14(a a a -=--- D ．()()224222y xy x y x y x +-=--5．计算下列各题. （1）2223)23(32xy y x -⋅（2）32432)()(y x z xy -⋅-（3）322)(6)()3(c ab c a ab ⋅-⋅- （4）235)109()1031(⨯⋅⨯6．先化简再求值．（1）()),158(9622-----x x x x x x 其中1-=x（2）2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x ．【大展身手】1．))((c b a n m ++-展开后是（ ）A ．五项式B ．六项式C ．七项式D ．八项式 2．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2D ．23. 自我检测（1）22214.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅xy y x （2）()()()22273xy z x xy -⋅-⋅-（3）()()33222xy x xy y x ⋅--⋅ （4）()()()xy xy y y x -⋅-+-⋅223635（5）232(3)(21)x x x -+- （6）243(142)2x x x x --+-（7）()()b a y x 352-- （8）()()22yxy x y x ++-第四节 平方差公式【知识要点】平方差公式: ()()22b a b a b a -=-+两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1.计算系数变化:（1）)23)(23(b a b a -+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213位置变化:（1）()()ab x x ab -+ （2）（21x+31y ）（31y －21x ）符号变化: （1）()()11--+-x x (2) ()()434322---x x指数变化:（1）)22)(22(22--+-x x （2）()()22225252b ab a --+-增项变化:（1）))((z y x z y x -+++ （2）)93)(93(22+++-x x x x增因式变化:（1）()()()1112+-+x x x （2）))()((2141221++-x x x例4.用平方差公式进行简便运算（1）397403⨯ （2） 2221000252248-例5.综合运用(1)()()()()111142+-++-x x x x ． (2)已知3,2722=-=-y x y x ，求x y +;【初试锋芒】1．在①()22242a a=；②2911311131x x x -=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；③532)1()1()1(-=--m m m ；④322842++=⨯⨯b a b a 中，运算正确的是（ ）A.②①B.②③C.②④D.③④2．计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++3．解方程：()()()x x x x x 4393232-=+---．4．（2005·茂州市）已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B.5．观察下列算式：,483279,382457,281635,188132222222⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来.【大展身手】1．下列计算正确的是（ ）A ．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x 2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ． 2222()()c d d c -+ D ．()()m n m n ---3．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．224b a -B ．224a b -C ．222b a -D ．222a b -4．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．()()a b a b -+-B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+5．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A 、()()x y x y --+-66B 、()()x y x y -+-66C 、()()y x y x 94-+D 、()()x y x y ---666．在①()22293a a=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ；④626442++=⨯⨯n m n m中，运算正确的是（ ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④ 7.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值第五节 完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+.2．完全平方公式相关变形及推广：① ()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ② ab b a b a 4)()(22=--+;③()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ④()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；○5()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++【典型例题】例1．计算：（1）()23a b + （2）()23x y -+（3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd（5） ()22x y z +- （6）)2)(2(4)2(2y x y x y x +---例2.简便计算（1）2199 （2）2102（3）899×901+1 （4）1232-124×122例3．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．例4．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．例5.已知13a a +=，求221a a +和441a a+的值．【初试锋芒】1．（35x + ）2=22962525x xy y ++ 2．22()()a b a b -=+ 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +-4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= 5．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+ B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-6．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b - B 、()2a b -- C 、()2a b -+ D 、()2a b + 7．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 8．根据已知条件，求值：（1）已知x-y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.（2）已知a （a-1）＋（b-a 2）＝-７，求222b a +-ab 的值.【大展身手】1．下列运算中正确的是（ ）A 、22(2)(2)2a b a b a b +-=- B 、22(2)(2)4a b a b a b -+-=-- C 、22(2)(2)4a b a b a b ---=-- D 、224)2)(2(b a b a b a -=--+-2．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b +B 、2214a b -C 、2214a ab b ++D 、221124a ab b ++ 3．运算结果是24221m n mn -+的是（ ） A 、22(1)mn - B 、22(1)m n - C 、22(1)mn -- D 、22(1)mn +4．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ） A 、0 B 、2m nC 、22m n -D 、24m n5．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ） A 、6，-6 B 、12C 、6D 、12，-126. (1)()234x y -- (2) 2)1(+-b a (3)210027. 已知110a a +=，求221a a +和21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．第六节 整式的除法【知识要点】1．单项式除以单项式： 2．多项式除以单项式： 3．多项式除以多项式：点拨：1、单项式除以单项式的实质:转化为同底数幂的除法运算.单项式相除的结果仍然是单项式,其中字母少于或等于被除式的字母而结果为被除式、除式的次数之差.2、多项式除以单项式的实质：利用相应法则,转化为单项式除以单项式的运算.其结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项;结果的次数小于或等于被除式的次数.注意：当多项式的某一项全部除掉后,该项的商为1,而不是0. 被除式=除式⨯商式+余式【典型例题】例1 计算(1)）（2336m m -÷ (2))3()69(22ab ab b a ÷-(3)-a 11÷(-a)6·(-a)5(4)[12(x+y)3(y-x)]3÷[4(x+y)2(x-y)]2(5)236274)31()9132(ab b a b a ÷- (6))1()1()1()1(335+÷+-+÷+a a a a例2.先化简再求值(1)已知52=-b a ,求代数式[])4()()(2)(222b b a b a b b a ÷---++的值.(2)化简求值:[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷14xy,其中x=-2, y=15例3.已知多项式14223--a a 除以一个多项式A,得到的商式为a 2,余式为1-a ,求这个多项式.例4.解方程2)32)(32()524(23=-+-÷+-a a a a a a【初试锋芒】一.选择题1.下列计算正确的是( )A.x 8÷x 4=x 2B.a 5÷a=a 5; C.y 3÷y=y 2; D.(-c)4÷(-c)2=-c 22.计算(-a 4)3÷[(-a)3]4的结果是( )A.-1B.1C.0D.-a 3.下列计算正确的是( ) A.2x 3b 2÷3xb=23x 2b; B.m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12m C.12xy·a 3b÷(0.5a 2y)=14xa 2;D.(ax 2+x)÷x=ax4.计算(14a 2b 2-21ab 2)÷7ab 2等于( )A.2a 2-3 B.2a-3 C.2a 2-3b D.2a 2b-3 5.计算(-8m 4n+12m 3n 2-4m 2n 3)÷(-4m 2n)的结果等于( )A.2m 2n-3mn+n 2; B.2m 2-3mn 2+n 2; C.2m 2-3mn+n 2; D.2m 2-3mn+n6．（-２a ）3b 4÷（１２a 3b 2）的结果是（ ） Ａ.-32b 2 Ｂ.61b 2 Ｃ.-61b 2 Ｄ.-32ab 2二.填空题1.(-x)8÷(-x)5=________; (ab)7÷(-ab)2=________. 2.(-a)6·a 3÷a 2=_________; (x-y)7÷(y -x)3·(y -x)3=______. 3．（ ）÷（-４a 2）＝１２a 4-１６a 3＋４a 2. 4．（６a 2＋４a-１０ab ）÷（２a ）＝ . 5. 与单项式-3a 2b 的积是6a 3b 2-2a 2b 2+9a 2b 的多项式是_______.6. 一个矩形的面积是3(x 2-y 2) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 三.计算题 1．a 3÷a ·1a2.(16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2【大展身手】一.选择题1．下列计算错误的是（ ）Ａ.-６x 2y 3÷（２xy 2）＝-３xy Ｂ.（-xy 2）2÷（－x 2y ）＝-y 3Ｃ.（-２x 2y 2）3÷（-xy ）3＝-２x 3y 3Ｄ.-（-a 3b ）2÷（－a 2b 2）＝a 42．下列计算正确的是（ ）Ａ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a ＋b Ｂ.（a 2-b 2）÷（a-b ）＝a ＋b Ｃ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a-b Ｄ.（a 2-b 2）÷（-a 2b 2）＝a 43．一个多项式除以２x 2y ，其商为（４x 3y 2－６x 3y ＋２x 4y 2），则次多项式为（ ） Ａ.２xy-３x ＋x 2y Ｂ.８x 6y 2-１２x 6y ＋４x 8y 2Ｃ.２x-３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3-１２x 5y 2＋４x 6y 34．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ）Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 5．已知８a 3b m÷２８a nb 2＝72b 2，那么m ，n 为（ ） Ａ.m ＝４，n ＝３ Ｂ.m ＝４，n ＝１ Ｃ.m ＝１，n ＝３ Ｄ.m ＝２，n ＝３第七节 整式综合检测一．填空题 (每空1分，共20分)1. 写出一个系数为-3，且只含有字母,a b 的四次单项式 2．=⨯⨯n 221010100 =⨯-3255 =-32)4(3．32)2(xy -= ._________2432=÷⋅a a a4．=-÷-24)2()2(b a b a .__________)31(92=-⋅y x xy 5．=-+)4)(4(x x =+--2)2(x6．232)(xy y x ÷=7．（2m-n ）2=(2m)2___________+n 2=___________________8．一个边长为a 的正方形边长增加2后，面积增加了9．写出右图所示的阴影部分面积：10．已知161)(22++=-nx x m x ，则n= 11.若2x =164，则3x = 12.若22(4)(3)0,x y x y +-+--=那么22x y -=13.代数式16-2()a b +的最大值是 ，当取最大值时，a 与b 的关系是二．选择题 （每题2分，共24分）1．下列各式中计算过程正确的是( )．A 、63332x xx x ==++ B 、3332x x x =⋅ C 、853053x xx x x ==⋅⋅++ D 、53232)(x x x x -=-=-⋅+ 2．计算)3(232x x -⋅的结果是( )．A 、56x -B 、56xC 、62x -D 、62x3．下列运算正确的是( )．A 、2222)2(4a a a =-B 、632)(a a a =⋅-C 、6328)2(x x -=-D 、x x x -=÷-2)(4．下列计算一定正确的是（ ）A 、6662a a a =⋅B 、10=bC 、36326)2(b a b a =D 、239)3()3(a a a -=÷-5.下面计算错误的是( )A.66a a a =⋅B.224c c c =÷C.2222x x x =+D.6328)2(y y = 6.下面计算正确的是 （ ）A 、a 4- a 4=a 0 B. a 2÷a -2=a 4 C. a 2÷a -2=a 0 D.a 4×a 6=a 247．下列运算正确的是（ ）A 、41)21(22+-=-x x x B 、2229)3(b a b a +=+ C 、22293)3(b ab a b a ++=+ D 、222)2)(2(y x y x y x -=-+8.计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y - 9.计算20231-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的结果是（ ） A 、34 B 、4- C 、34- D 、4110．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则m 、n 的值分别为（ ）A 、5,3-B 、15,2-C 、15,2--D 、15,211．计算()3345)(a a a ---⋅的结果等于（ ） A 、0 B 、92a - C 、92a D 、18a12．多项式5322+-x x 与5342++-x x 的差是（ ） A 、1022+-x B 、x x 662- C 、1062+x D 、x x 622-- 三．计算下列各题（每题3分，共24分）（1）)3(2)32(y x y x +--（2）)36()32(2222xy y x y x y x --+（3）322)()(b b b -⋅ （4）045)3()21(2-++--π（5）)23(2222z y z xy y x -- （6）x x y x y x 2)645(2332÷+-（7）)3)(3()23(2y x y x y x +--- （8）)2)(2(2-+-x x x四.化简求值(每题6分,共12分)1. )2)(12()1()1)(1(2-++---+x x x x x ，其中x=32-2. []5.1,3,2))(()(2-==÷-++-y x x y x y x y x 其中．五．解答题 （20分）1．已知实数a,b 满足25)(,1)(22=-=+b a b a ，求ab b a ++22的值．(7分)2. 已知：a + a 1= 3 , 求221a a + 的值. (5分)a b a b有最小值?最小值是多少? (8分) 3．当a,b为何值时,多项式222610。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a m n n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．A ．2x 2·3x 3=6x 3B ．2x 2+3x 3=5x 5C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5D ．54x n ·25x m =12x m+n2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 3=a 5B ．（a 2）3=a 5C ．a 6÷a 2=a 3D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空（每题2分，共28分）6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2（a－b）2+______=（a+b）211．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算（每题3分，共24分）13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－32ax4y3）÷（－65ax2y2）·8a2y17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）20．（998）221．197×203五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题（每题4分，共12分）24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
北师大版七年级数学下册知识点梳理
北师大版七年级数学下册知识点梳理七年级数学（下）重要知识点总结第一章：整式的运算一、概念1.代数式是由数字、字母及其乘积、和、差、积、商等符号组成的式子。
2.单项式是由数字与字母的乘积组成的代数式，不含加减运算，分母中不含字母。
3.多项式是由几个单项式相加（减）组成的代数式，含加减运算。
4.整式是单项式和多项式的统称。
二、公式、法则：1.同底数幂的乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
逆用：a的m+n次方等于a的m次方乘以a的n次方。
2.同底数幂的除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方（a≠0）。
逆用：a的m-n次方等于a的m次方除以a的n次方（a≠0）。
3.幂的乘方法则：a的m次方的n次方等于a的mn次方。
逆用：a的mn次方等于a的m次方的n次方。
4.积的乘方法则：ab的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
逆用：a的n次方乘以b的n次方等于ab的n次方（当ab=1或-1时常逆用）。
5.零指数幂：任何数的0次方等于1（注意考虑底数范围，底数a≠0）。
6.负指数幂：任何数的负整数次幂等于该数的倒数的正整数次幂（底数a≠0）。
7.单项式与多项式相乘：单项式m乘以多项式(a+b+c)等于ma+mb+mc。
8.多项式与多项式相乘：多项式(m+n)乘以多项式(a+b)等于ma+mb+na+nb。
9.平方差公式：(a+b)乘以(a-b)等于a的平方减去b的平方。
推广：有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果等于相同。
连用变化。
10.完全平方公式：a+b)的平方等于a的平方加上2ab加上b的平方。
a-b)的平方等于a的平方减去2ab加上b的平方。
逆用：a的平方加上2ab加上b的平方等于(a+b)的平方。
a的平方减去2ab加上b的平方等于(a-b)的平方。
完全平方公式变形：a的平方加上b的平方等于(a-b)的平方加上2ab。
2a的平方加上b的平方等于(a+b)的平方减去2ab等于(a-b)的平方加上2ab等于1.完全平方和公式中间项等于完全平方差公式中间项的相反数，等于完全平方公式中间项的一半。
整式的乘除
整式的乘除一、同底数幂的乘法1.幂:求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫作幂。
2. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n，都有a m・a n=a m+n 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意：（1）同底数幂的乘法性质只有在底数相同时才能使用（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。
（3）底数可以是单项式或多项式。
3.推广：a m・a n・a p=a m+n+p (m,n,p都是正整数）4.逆用：a m+n =a m・a n5.当互为相反数的底数幂相乘时，要化为相同底数再乘（-a）n =a n（n为偶数）（-a）n =-a n（n为奇数）二、幂的乘方1.意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（a m）n 读作a的m次幂的n次方，表示n个a m相乘。
2.性质：一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n,都有（a m）n =a mn 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘3.推广：[(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数）4.逆用：a mn=（a m）n (m,n,都是正整数）三、积的乘方1.意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ab）3,（ab）n2.性质：一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n,都有（ab）n =a n b n语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
3.推广：（abc）n =a n b n c n(n都是正整数）4.逆用：a n b n=（ab）n (n都是正整数）四、同底数幂的除法1.性质：一般地，对于不为0的底数 a与任意正整数m,n(m>n），都有a m÷a n=a m-n语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减注意：（1）同底数幂的除法性质只有在底数相同时才能使用（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。
（3）底数a可以是不为0的单项式或多项式。
2.推广：a m÷a n÷a p=a m-n-p (a≠0,m,n,p都是正整数且m>n+p）3.逆用：a m-n =a m÷a n(a≠0,m,n都是正整数且m>n）五、零指数幂和负指数幂1.规定：a0=1（a≠0）语言叙述：任何不等于0的0次幂都等于1。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅- 7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)( a - b)= a2 －b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法]一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28×22=210+26=27+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425 B.25 254.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( )D.不能确定5.(a +b)(a -2b)= .6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= .9.分解因式. (1)1-4m+4m 2；(2)7x 3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2)B.(a -b)2(a +b)C.(a -b)3(a -b)32.下列计算正确的是( ) ÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0)D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )=(-x+4)(-x-4) +x 3n =x n (2+x 3)41=41(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x xx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
整式的运算
整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、单项式：数字与字母的乘积的代数式叫做单项式；2、单项式的数字因数叫单项式的系数；（如：2xy的系数是2）3、单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数（如：3xyz的次数是3）注：（1）单独一个数或字母也是单项式；（2）单项式只含乘法或乘方运算，不含加、减等其他运算；（3）单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫多项式；2、多项式中不含字母的项叫常数项；3、一个多项式有几项，就叫几项式；4、多项式中次数最高项的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a 为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m﹒a n=a m+n。
4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
七年级下册整式的乘除
【练习1】计算：
① （a+b-c）4·（a+b-c）5 ② (a-b)2·(b-a)3
【练习2】判断（正确的 错误的打“×”）
打“√”，
(1) x3·x5=x15 (×) (2) x·x3=x3 (×)
(3) x3+x5=x8 (×) (3)x2·x2=2x4 (×)
1.计算：
(1)s7 s3
(3)(t)11 (t)2
(5)(3)6 (3)2
(2)x10 x8
(4)(ab)5 (ab)
(6)a100 a100
2.填空：
x x （1） 7 （ ）= 8
a a （2）（
）
3
=
8
c c b （3）b4 b3 （ ） = 21 （4） 8 （ ）= 5
3. 与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。
【法则推导】 ３３·３２＝？（－３）３·（－３）２=?
am ·an等于什么（m,n都是正整数)? 为什么？
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
=a·a·… ·a
m+n个a
=am+n
n个a
同底数幂相乘 底数 不变 ， 指数 相加 .
(3) (an)3 = an×3 =a3n ;
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
【练习1】计算
⑴（ [ a）3 ]2 ⑵（ [ x 2 y）3 ]2n
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。
下面将对这些知识点进行详细讲解。
一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。
其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。
二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。
根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。
例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。
三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。
例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。
五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。
对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。
1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
整式全部知识点总结
整式全部知识点总结一、整式的定义整式是指由字母和数字及它们的正、负指数(幂)以及加、减、乘、除等四则运算符号组成的代数表达式。
在整式中，字母和数字的乘积称为单项式，多个单项式相加减而得出的代数式称为多项式。
整式是代数式的一种特殊形式，它由单项式经过加、减、乘、除等运算而得到。
二、整式的基本结构整式由字母和数字以及加减乘除等运算符号组成。
它们的基本结构如下：1. 单项式：由字母的幂和常数相乘得到的代数式称为单项式，表达式形式为ax^n或a。
其中，a为常数，n为自然数。
2. 多项式：由多个单项式相加减得到的代数式称为多项式，表达式形式为a1x^n+a2x^m+...+an。
3. 加减运算：整式中可以进行加减运算，即将单项式或多项式进行相加减。
三、整式的分类整式根据其各项字母的幂指数和字母的个数分为不同的类型。
常见的整式类型有以下几种：1. 单项式：整式中只含有一个单项式的代数式称为单项式，它是整式的基本形式。
2. 多项式：整式中含有多个单项式相加减的代数式称为多项式，它是整式的一种常见形式。
3. 同类项：整式中具有相同字母的幂指数和字母的个数的单项式称为同类项，可以进行合并和化简。
4. 无理式：整式中含有根号的式子称为无理式，它是整式的一种特殊形式。
四、整式的性质整式具有多种性质，主要包括以下几方面：1. 交换律和结合律：整式中的加法和乘法满足交换律和结合律，即可以改变加法和乘法的顺序和方式。
2. 合并同类项：整式中的同类项可以进行合并，即将具有相同字母的幂指数和字母的个数的单项式进行合并和化简。
3. 分配律：整式中的乘法对加法的分配律成立，即乘法可以分配到每一个加数上。
4. 乘法的规律：整式中的乘法具有各种规律，包括乘方、乘积、乘方差等。
5. 除法的规律：整式中的除法具有各种规律，包括同底数幂相除、同底数幂相除等。
五、整式的运算整式的运算是代数学中的重要内容，包括加减乘除和化简等。
整式的运算需要掌握各种运算法则和技巧，主要包括以下几点：1. 加减运算：整式中的加减运算是指将多个单项式或多项式进行相加减的运算，需要合并同类项和化简得到最简形式。
北师大版七年级数学下全部知识点归纳
北师大版七年级数学下册全部知识点归纳第一章：整式的运算 单项式： 。
整 式 多项式： 。
同底数幂的乘法：幂的乘方：积的乘方：幂的运算 同底数幂的除法： 零指数幂： 负指数幂： 整式的加减单项式与单项式相乘整式运算单项式与多项式相乘： 整式的乘法 多项式与多项式相乘：平方差公式： 完全平方公式：单项式除以单项式整式的除法 多项式除以单项式：完全平方公式的变形公式：（1）22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-（2）22()()4a b a b ab +=-+ （3）2214[()()]ab a b a b =+-- 第二章 平行线与相交线平行线： 。
对顶角的性质：垂线的性质：性质1：过一点有 。
性质2：连接直线外一点 。
平行线的性质：1、平行公里:过 性质2：平行于 平行。
整 式 的 运算余角：余角和补角 补角：邻补角：两线相交 对顶角：同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的判定：平行线平行线的性质：尺规作图：第三章 变量之间的关系自变量变量的概念 因变量变量之间的关系 表格法关系式法变量的表达方法 图象法第四章 三角形三角形概念： 称为三角形。
三角形按内角的大小可分为三类：直角三角形的性质： ；直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h,则h= 。
任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
这个点叫三角形的 任意三角形都有三条中线，它们相交于三角形内一点。
这个点叫三角形的 任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
这个点叫三角形的平行线与相交线三角形都有三条高线：区 别相 同中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角三条角平分线交于三角形内部高 线 垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线交于直角三角形：三条高线交于钝角三角形：三条高线交于三角形三边关系：三角形 三角形内角和定理：角平分线三条重要线段 中线高线三角形 全等图形的概念： 全等三角形的性质：SSSSAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用 利用全等三角形测距离作三角形第五章 生活中的轴对称： 轴对称图形于轴对称： 轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
七年级数学下册全部知识点归纳
3、尺规作图中直尺的功能是：
（1）在两点间连接一条线段；
（2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；
（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5、熟练掌握以下作图语言：
（1）作射线××；
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；
（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；
（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；
6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
七、积的乘方
七年级数学下册 第11章 整式的乘除 11.6 零指数幂与负整数指数幂教学课件
2021/12/10
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归纳 : (guīnà)
a m • a n a mn
a m a n a mn (a 0)
(ab ) n a n b n
(m,n都为整数)
(a m ) n a mn
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3
（4） (2)5
解 1 ） 1 ： 8 0 1 8 0 1 （ 8 8 0 1 0 0 1
(2 )a m n a m n a (m n ) (m n ) a 0 1
(3)103
1103
1 1000
(4)(2)5
1 (2)5
1 32
(5)(1)01 01111
3
1010
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若m=n， 同底数(dǐshù)幂除法法则 根据除法的意义 发现
525252250
52 52 1
50 1
130 130 13 0 3100 103 103 1
100 1
a 5 a 5a 5 5a 0(a0 )a5a5 1(a0) a0 1
规定： a0 1(a0)
任何不等于(děngyú)零的数的零次幂都等于(děngyú)1. 零的零次幂无意义。
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例4 计算：
（1）(110)0(110)2(110)3 （2） (120 )2(14 0)3(130 )2
解： 1） (1（ )0(1)2(1)3 (2)1(2)0 2(14 0 )3(13)0 2
10 10 10
1(10 1)2(10 1)3
1401102160
11201 03
bn
第1讲-整式的概念和幂的运算
第一讲 整式的相关概念和幂的运算(一) 单项式：1.单项式的系数： 2.单项式的次数： (二) 多项式: 1.多项式的项数: 2.多项式的次数: (三) 整式: 单项式和多项式统称为整式. (四)幂的运算:1．同底数幂相乘：底数不变，指数相加. n m n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．2. 幂的乘方： 底数不变，指数相乘. mn n m a )a (=(m ，n 都是正整数)． 3．积的乘方： 等于各因数乘方的积. n n n b a )ab (⋅=(n 为正整数). 4．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即nm nmaa a -=÷ (m ，n 都是正整数)．5．零指数、负指数： （1）10=a （a ≠0） （2）p paa 1=- （a ≠0） 【注意】：以上性质可以逆用6. 说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：⎪⎩⎪⎨⎧-=-);(),()(为奇数为偶数n a n a a n n n ⎪⎩⎪⎨⎧---=-).()(),()()(为奇数为偶数n b a n b a a b nnn专题一、整式的相关概念▲课前练习（1）下列说法正确的是（ ）A.单项式522yx -的系数是2-B.单项式a 的系数是0C.多项式7522-+--xy xy y x 的次数是4D.单项式762b a -的系数是76-，次数是3（2）下列说法正确的是（ ）A.单项式732xy 的系数是3，次数是2B.单项式m 的次数是1，没有系数C.单项式z xy 2-的系数是1-，次数是4 D.多项式3222++xy x 是二次三项式例题1：已知12)2(+-a y x a 是关于x 、y 的五次单项式，试求出a 的值.【仿练1】当m 取什么值时，2123(2)3m m x y xy -+-是五次二项式？【仿练2】如果多项式322314n x x y y --+为五次多项式，则n 的值是多少？【仿练3】如果多项式322314n x x y y --+为六次多项式，求方程212nx n +=的解【仿练4】若单项式56-m xy 的次数是3，多项式425-+b a n 的次数是8，求n m 的值.【仿练5】若关于x 的多项式257)12(35-+--+n x x m x 不含有三次项和常数项，求n m 1542-的值.【仿练6】若()21511022+--y m y x m是关于y x ,的三次二项式，试求m 的值.【仿练7】若多项式y xy x nxy mx +-++232323不含三次项，则=+n m 32 .专题二、整体代换法例题2：已知b a 3=，a c 5=，求cb a cb a -+++的值.【变式1】已知2=+y x xy ，求代数式yxy x yy x -+-+-3353的值.【变式2】已知x+y=6，xy=-4，求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值.【变式3】若0322=++-+）（xy y x ，求]3)(2[3)]([2)(2xy y x y x xy y x -+-++-+的值.例题3：若x:y:z=3:4:7，且2x -y+z=18，那么x+2y -z 的值是多少？例题4：已知：2,322-=+=+y xy xy x ，求下列各式的值：（１）22y x -； （２）2234y xy x ++； （３）2232y xy x --.专题三、幂的运算及其公式运用 例题5：计算（1） ()()()33633232234x xx x x ---+-(2) ()()123233129.19797-----÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛（3） ()m m m m 848162112⨯-+⨯⨯--（m 为正整数）例题6：幂的运算公式的应用（1）如果2221682=⨯⨯n n ，求n 的值； （2）已知3,2==n m a a ，求n m a 23+的值；（3）已知23=n x ，求n n n x x x 1026⋅+的值；（4）已知6483921=-+m m ，求m 的值；（5）若8=m x ，2=n x ，则)(2n m x -= ；（6）若1)5(93=-+m ，则m= .1. 已知0=++c b a ，求代数式()()()abc a c c b b a ++++的值. （江西中考题）2. 已知：4925,27,25a b c ===，求a 、b 、c 的关系. (河北省竞赛题)3. 若0132=-+x x ，求185523+++x x x 的值. （2010·培优）4. 已知211=-b a ，求代数式bab a bab a 232343--++-的值. （山东选拔赛试题）5. 已知：210,510,x y == 求yx 11+的值. (“希望杯”邀请赛试题)1. 填空题：（1）100994(0.25)1⨯--= . （福州市中考题） （2）若32,n a = 则621n a -= . （广州市竞赛题） （3）已知554433222,3,5,6,a b c d ==== 那么a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是 . （北京市竞赛题） （4）已知1232--=-x x B A ，224x C B -=-，则=-A C .（5）已知,51=+a a 则代数式a a a a 1312+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值为 .（6）已知635-++=cx bx ax y ，当5-=x 时，9=y ，则当5=x 时，=y .2.选择题：（1）若Ｍ，Ｎ都是４次多项式，则多项式Ｍ＋Ｎ的次数为（ ） Ａ.一定是４ Ｂ.不超过4 Ｃ.不低于4 Ｄ.一定是8 （2）()()()22241332xyz yx xy xyz xyz xy -++-+--+的值（ ）A. 与x,y,z 的大小无关B. 与x,y,z 的大小有关C. 与z 的大小无关D. 与y,z 的大小无关 （2010·培优） (3) 下列四个式子的结果为1210的有（ ）① 661010+ ② ()2101025+ ③ ()56251010⨯⨯⨯ ④ ()4310A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④ (4)若()31915·,n m a b a b +=那么m,n 的值是（ ）A. m=9,n=-4B. m=3,n=4C. m=4,n=3D. m=9,n=6 3.计算：（1）()33131223(0.125)1835⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()103112 3.141222π-⎛⎫⎛⎫-+---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 已知32232,x += 且y=-2, 求()()()34··x y x y x y +++的值. （云南中考题）5. 已知117·n m a a a ++=，且m-2n=1, 求n m 的值. （2010·培优）6.已知2032=++c b a ，3153=++c b a ，求代数式c b a ++的值.7. 已知 ()621211212112101x x a x a x a x a x a ++=+++++，求:（1） 1211210a a a a a +++++； （2） 121086420a a a a a a a ++++++；（3）1197531a a a a a a +++++ 的值.。
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整式除法
知识点1：同底数幂的除法
法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m,n 都是正整数，且m>n)
规定：a 0=1(a ≠0)
学习运算法则时注意：
A ：因为零不能作除数，所以底数不能为0；
B ：底数可以是单项式，也可以是多项式；
C ：多个同底数幂相除，应按顺序求解
配套练习
1.计算：a 7÷a=__________; (ab)12÷(ab)4=______; (a+b)10÷(a+b)5=_________
X 7÷x 2=___________; (a-b)12÷(a-b)4=_______________
2.计算：（a-b ）11÷(b-a)10+(-a-b)5÷(a+b)4 （a-b ）15÷(a-b)5÷(b-a)8
(-a 11)3÷(-a)17÷(-a 3)2÷a 8 (-a 16)2÷(-a 15) ÷(-a 3)2÷a 8
3.变式练习： 已知2m =7,2n =5,求4m-n 的值。
4.计算()()354105319.02121230
2-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯----÷; (x-y)12÷(y-x)11+(-x-y)3÷(x+y)2
知识点2：单项式，多项式除以单项式
用单项式或多项式除双被除数的单项式，再把所得的结果相加
5. a 3x 4÷4
3a 2x________; 45a 5b 3÷(-9a 2b)________; (-2x 4y 2)3÷(-2x 3y 3)2_________; 6. x m+n ×(-2x m y n ) ÷(3x m y n ) 27x 5y 3z ÷(-9x 2y) (-2a 2y 2)3÷(-3ay 2)3
7. (9a 3b 2-12a 2b+3ab) ÷(-3ab) (-0.25a 3b 2-
21a 4b 3+31a 3b) ÷(-0.5a 3b)
[(a+b)5-(a+b)3] ÷(a+b)3 [(a+b)(a-b)-(a-b)2] ÷(a-b)
8 先化简再求值[(2b-a)(3a+2b)-(a+2b)2] ÷(-
21a),其中a=2, b=9713
9. 综合应用：已知8a=32, 8b=0.5,求3a÷3b
10.解不等式：(-3)7(2x-1)<(-3)8(1-x) 11. 解关于X的方程(x-5)x-2=1
12.计算：[2x(y-1)5-3x2(y-1)4+6x3(y-1)3] ÷[-2x(y-1)3]
例1、计算：
(1)(xy)m＋n＋1÷(x m y n·x n y)；(2)(－2a3b2c)2·(－4a2b3)3÷(－4a5b4c)2．
例2、计算：
(2)(a2m＋1b3－3a m＋2b4－5a m b5)÷(－a m b3)；
(3)[2(a＋b)5－3(a＋b)4＋(－a－b)3]÷[2(a＋b)3].
例3、完成下列各题：
(1)已知x m=8，x n=5，求x m－n的值；(2)已知x m=a，x n=b，求x2m－3n的值；
(3)已知3m=6，9n=2，求32m－4n＋1的值.
例4、化简求值：
零指数和负指数练习
1、用小数表示2.61×10－5=__________， =-0)14.3(π .
2、(3x －2)0=1成立的条件是_________.
3、用科学记数法表示0.000695并保留两个有效数字为_______.
4、计算(－3－2)3的结果是_________.
5、若x 2+x －2=5,则x 4+x －4的值为_________.
6、若x=2－1,则x+x －1=__________.
7、计算(－2a －5)2的结果是_________.
8、若,152=-k 则k 的值是 .
9、用正整数指数幂表示215a bc --= .
10、若0235=--y x ，则y x 351010÷ = .
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、化简11)(--+y x 为（ ）
A 、y x +1
B 、y x 1
+ C.、1+xy y D 、1+xy x
12、下列计算正确的是（ ）
A 、1221-=÷-
B 、x x x 21
4243=÷-- C 、6
326)2(x x =--- D 、222743x x x =+--
13、已知21=+-a a ，则22-+a a 等于（ ）
A 、4
B 、
C 、 6
D 、8
14、化简111))((---++y x y x 的结果是（ ）
A 、xy
B 、xy 1
C 、221y x
D 、221y
x + 15、国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准, 从2003年1月1 日起正式实施.该标准规定:针织
内衣. 床上用品等直接接触皮肤的制品,甲醛含量应在百万分之七十五以下. 百万分之七十五用科学记数法表示应写成………( )
A 、75×10－7；
B 、75×10－6；
C 、7.5×10－6；
D 、7.5×10－5
16、在:①()110=-，②()111-=-，③22313a
a =-， ④()()235x x x -=-÷-中，其中正确的式子有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、 4个
17、002=-x 成立的条件是（ ）
A 、x 为大于2的整数
B 、x 为小于2的整数
C 、x 为不等于2的整数
D 、x 这不大于2的整数 18、n 正整数，且n n ---=-2)2(则n 是（ ）
A 、偶数
B 、奇数
C 、正偶数
D 、负奇数
19、1642m n ÷÷等于（ ）
A 、12--n m
B 、122--n m
C 、1232--n m
D 、1242--n m
20、若23.0-=a ，23--=b ，21()3c -=-，0
)31(-=d ，则（ ）
A 、a ＜b ＜c ＜d
B 、b ＜a ＜d ＜c
C 、a ＜d ＜c ＜b
D 、c ＜a ＜d ＜b
三、解答题:（共40分）
21、计算，并使结果只含正整数指数幂：（每题3分，共24分）
（1）1
203122006-⎪⎭⎫ ⎝⎛+- （2）2313(2)a b a b - （3）2313()()a bc ---
（4）)()2(2422222b a b a b a ----÷-⋅ （5）a
a a a a -+÷++--)()2(122
（6）322224)2(3----⋅b a ab b a （7）2322212)()2(-----÷-m n m mn。