数学知识点：两直线的夹角与到角
高一数学复习考点知识专题讲解37---夹角问题
高一数学复习考点知识专题讲解夹角问题学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．知识点一两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识点二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|⎝⎛⎦⎤0，π2直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝|u·n||u||n|⎣⎡⎦⎤0，π2两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|⎣⎡⎦⎤0，π21.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 D解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A 1M —→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，cos 〈A 1M —→，DN →〉＝|A 1M —→·DN →||A 1M —→||DN →|＝0. ∴〈A 1M →，DN →〉＝π2.2．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案 B解析 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32，∴θ＝60°，故选B. 3．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________． 答案 π3解析 ∵cos 〈u ，v 〉＝－12×2＝－12，∴〈u ，v 〉＝23π，∴平面α与β的夹角是π3.4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________． 答案74解析 设平面xOz 的法向量为n ＝(0,1, 0) ，AB →＝(1,3，6)， 所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝ 34 ，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝⎛⎭⎫342 ＝74. 故向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为74.一、两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解 以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B —→＝(－3，1，－3)，O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思感悟 求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB →与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB →·CD →||AB →||CD →|.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )A.3010B.3015 C.3030D.1515答案 A解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0,0,2)，N (1,0,0)， ∴B 1M —→＝(－1，－1，－2)， D 1N —→＝(1,0，－2)，∴cos 〈B 1M —→，D 1N —→〉＝－1＋41＋1＋4×1＋4＝3010. 二、直线与平面所成的角例2 如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫12，0，0，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，S ⎝⎛⎭⎫1，12，0， CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴CM →·SN →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12·⎝⎛⎭⎫－12，－12，0＝0， ∴CM →⊥SN →， 因此CM ⊥SN .(2)解 由(1)知，NC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量， ∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.则⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)． 设SN 与平面CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22. ∴SN 与平面CMN 所成角为π4.反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u . (3)求平面的法向量n . (4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |. 跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．求A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值．解 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)， 所以A 1B —→＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)． 设A 1B 与平面AEF 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B —→〉|＝|n ·A 1B —→||n ||A 1B —→|＝36，即A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36. 三、两个平面的夹角例3 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值．(1)证明 因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以O 1O ⊥平面ABCD .(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°， 所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ⊥OB 1—→，m ⊥OC 1—→，得3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2319＝25719.所以平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值为25719.延伸探究本例不变，求平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值． 解 B (3，0,0)，A 1(0，－1,2)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)， 设平面BA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， A 1C →＝(0,2，－2)，BC →＝(－3，1,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C —→＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝3， ∴m ＝(1，3，3)，同理得，平面A 1CD 的法向量n ＝(1，－3，－3)， cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－57，则平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值为57.反思感悟 求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎣⎡⎦⎤0，π2时或π－〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π时.跟踪训练3 如图所示，在几何体S －ABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD ＝DC ＝2，BC ＝1，又SD ＝2，∠SDC ＝120°，求平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值．解 如图，过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC ＝120°，∴∠SDE ＝30°，又SD ＝2，∴点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有D (0,0,0)，S (－1，3，0)，A (0,0,2)，C (2,0,0)，B (2,0,1)， 设平面SAD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AD →＝(0,0，－2)，AS →＝(－1，3，－2)，∴⎩⎨⎧－2z ＝0，－x ＋3y －2z ＝0，取x ＝3，得平面SAD 的一个法向量为m ＝(3，1,0)． 又AB →＝(2,0，－1)，设平面SAB 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎨⎧2a －c ＝0，－a ＋3b －2c ＝0，令a ＝3， 则n ＝(3，5,23)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝8210×2＝105，故平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值是105.空间向量和实际问题典例 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处．从A ，B 到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，甲乙之间拉紧的绳长为d ，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．解 由题意可知AC ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，AB ＝d ，所以d 2＝AB →2＝(AC →＋CD →＋DB →)2＝AC →2＋CD →2＋DB →2＋2(AC →·CD →＋AC →·DB →＋CD →·DB →) ＝a 2＋c 2＋b 2＋2AC →·DB →＝a 2＋c 2＋b 2－2CA →·DB →， 则2CA →·DB →＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，设向量CA →与DB →的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此2ab cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，所以cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 22ab，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为a 2＋b 2＋c 2－d 22ab .[素养提升]利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A.π6B.5π6C.π6或5π6D ．以上均不对 答案 A解析 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故选A. 2．已知向量m ，n 分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则α与β的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 B解析 设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝60°.3．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22答案 C解析 如图所示，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝1，则B (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，1，A (1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1. 故BM →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1， 所以cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝3462×52＝3010.4.如图所示，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系Oxyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,2)，平面ABC 与平面ABO 的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 23解析 cos θ＝OC →·n |OC →||n |＝42×3＝23.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为________． 答案33解析 设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)． 又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.1．知识清单：(1)两条异面直线所成的角． (2)直线和平面所成的角． (3)两个平面的夹角． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．1．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222答案 A解析 ∵AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面夹角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° 答案 A解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A.2π3B.π3C.π6D.5π6 答案 C解析 线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵〈a ，n 〉＝2π3，∴l 与法向量所在直线所成角为π3，∴l 与α所成的角为π6.4．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的余弦值为( )A ．－41133 B.41133 C ．－91333 D.91333答案 D解析 设α与l 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|(－2，－3，3)·(4，1，1)|4＋9＋9×16＋1＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4311＝41133，故直线l 与α所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫411332＝91333.5．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 B解析 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． 于是AD →＝(0,1,0)，取PD 的中点E ，则E ⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量， ∴cos 〈AD →，AE →〉＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．答案 π2解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A 1P ＝x ，则O (1,1,0)，P (2，x ，2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)， OP →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)． 所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成的角为π2.7．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为________．答案105解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0，2,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(－2,0,1)．连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1—→〉|＝|a ·BC 1—→||a ||BC 1—→|＝48×5＝105.8．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值等于 ________. 答案31111解析 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)， 平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 所以A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，13， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值为31111.9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解 以点A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)， ∴A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)， ∴cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝31010，∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.10．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小． (1)证明 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )， ∴AC →＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a ，0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，DP ，DB ⊂平面PDB ， ∴AC ⊥平面PDB ， 又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)解 当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时， P (0,0，2a )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0， 连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝⎛⎭⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成角的大小为45°.11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35答案 A解析 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB 1—→＝(－2,2,1)，C 1B —→＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1—→，C 1B —→〉＝AB 1—→·C 1B —→|AB 1—→||C 1B —→|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.所以所求角的余弦值为55. 12．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．45° D ．以上都不对 答案 B解析 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E —→＝(0,1，－1)，D 1E —→＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)． 设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1，设直线与平面A 1ED 1所成角为θ，则sin θ＝1，所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.答案 125 解析 平面xOy 的法向量n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0， 即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a >0，∴a ＝125. 14．已知正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则平面ABD 与平面BDC 夹角的余弦值为____． 答案 55解析 取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0. 由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧ 12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，OA →〉＝55.15．如图，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π3，则异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．答案 24解析 ∵AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2， ∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)，∴cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 16.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值． 解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .(1)A 1(0,0，a )，C (a ，a ，0)，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， ∴A 1C —→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0， ∴cos 〈A 1C —→，DE →〉＝A 1C —→·DE →|A 1C —→||DE →|＝1515， 故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515. (2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又四边形B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1. 由A (0,0,0)，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)， 得DA →＝(0，－a ，0)，DB 1—→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1—→|DA →||DB 1—→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值为33. (3)由已知得A (0,0,0)，A 1(0,0，a )，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， 则ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0，EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ， 平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1—→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·ED →＝0，n ·EB 1—→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66， ∴平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值为66.。
七年级数学关于角的知识点
七年级数学关于角的知识点数学中的角，是两条射线相交所形成的图形部分，通常用字母表示，常见表示法有∠ABC、∠CBA、∠1等等。
在七年级数学中，角是重要的基础知识点，其中包括以下内容。
一、角的概念1. 角的定义角是由两条相交的线段所围成的部分。
2. 角的元素相交线段称为角的两边，交点称为角的顶点。
3. 角的度量单位角的度量单位是度，常用符号“°”表示。
4. 角的分类根据角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角。
二、角的基本性质1. 角平分线角平分线是指将一个角等分成两个角的线段。
切线与圆相交于一点，则切线和所在点与圆心所在直线所夹角度数为90度。
2. 垂线从角的顶点引一条与角的底边垂直的线段，称为垂线。
3. 余角一个角的余角是指与这个角的角度和为90度的角。
三、角的度数表示1. 角度制角的度数表示方法称为角度制，即以度为单位来表示角的大小。
2. 弧度制角的度数表示方法称为弧度制，即以弧长所对应的圆心角的大小作为单位来表示角。
四、角的计算1. 角的度数计算①角的度数=圆周角度数×弧所对应的圆心角的大小÷360。
②圆周角度数为180度。
2. 锐角三角函数①正弦函数 sinA=∠BAC的对边BC÷斜边AC。
②余弦函数 cosA=∠BAC的邻边AB÷斜边AC。
③正切函数 tanA=∠BAC的对边BC÷邻边AB。
五、角的应用1. 角的测量在测量地球上两点之间的距离时，需测量两点所对应的两个角的大小，以计算出距离。
2. 角的投影在机械工程中，角的投影具有重要的应用。
3. 角的相等性相等角可以方便地解决一些几何问题。
以上是七年级数学中角的基本知识点，掌握这些知识对于数学的学习非常重要。
更高阶的数学知识，也需要角的知识作为基础，因此学好角的知识，非常有利于未来更好地学习数学。
两条直线的夹角
两条直线的夹角一、 教学目的：1． 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别与联系。
2． 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式3． 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。
三、 教学重、难点：1．当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。
2．根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。
四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。
我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。
在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。
因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。
平面上，两条相交直线1l 和2l 构成四个角，它们是两对对顶角。
为了区别这些角，通常规定：直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角，叫做1l 到2l 的角。
直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角，叫做2l 到1l 的角。
2lM 1l当1l ⊥2l 时，即1l 到2l 的角为90。
=⇔21k k 1-或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。
通过这充要条件启发我们，1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=（1k ，2k 均存在），1l 到2l 的角θ如果121-=k k ，那么θ=90。
如果121-≠k k ，设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α，则1k =1αtg ，2k =2αtg不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=，都有1212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-=-=， 即12121k k k k tg +-=θ 一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角θ（叫做两条直线的夹角），那么有12121k k k k tg +-=θ （θ 90≠） 当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。
高一数学《夹角和距离公式》
距离问题
【例 2】 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别在 DA1、AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求 EF 的长．
∵EF⊥AC，EF⊥DA1，
∴EDFA―1―→→·A·ECF――→→＝＝ab－－ba＋－1a－＝b0＝0
⇒
a＝13 b＝32.
∴E，F 坐标分别为(13，0，13)，(23，13，0)，
∴EF＝|EF―→|＝ 23－312＋13－02＋0－132＝ 33.
求线段的长度，可以利用公式|a|＝ a·a来求，也可以选择适当的空间直角坐 标系，由 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，用两点间的距离公式
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
dA，B＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12求解．
变式训练 21：如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，边长为 1，M、N 分别是 AD1， BD 上的动点，且 D1M＝DN＝a(0＜a＜ 2)，求 MN 的最小值．
解：如图所示，建立空间直角坐标系 则 M( 22a,0,1－ 22a)，N( 22a， 22a,0)， ∴NM＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
两直线的夹角公式是什么
是：在数学中，两条直线（或向量）相交所形成的最小正角称为这两条直线（或向量）的夹角，通常记作∠Θ，夹角的区间范围为{Θ|0≤Θ≤π}。
角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。
在数学中两条直线或向量相交所形成的最小正角称为这两条直线或向量的什么
设直线l1、l2的斜率存在，分别为k1、k2，且夹角不是90度，l1到l2的转向角为θ，则tanθ=(k2-k1）/(1+k1k2）。注意：两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于90°的角，但是当夹角为90°时，k不存在，故当k存在时，正切值始终为正。
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+by a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
17.典型问题.夹角问题
第五讲:典型问题.夹角问题 65第五讲:典型问题.夹角问题两直线的夹角问题是解析几何中的一个重要的问题,首先掌握:①夹角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1与l 2的夹角θ满足tan θ=|21121k k k k +-|;②到角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1到l 2的角θ满足tan θ=21121k k k k +-;利用向量可有机的解决该问题,其一般方法是:首先求出直线m 、n 的方向向量m 、n ,注意夹角与向量的长度无关,所以,可以也应当化简向量.直线m 与n 的夹角θ满足cos θ=|cos<m ,n >|.应特别关注的是:<PA ,PB >为直角⇔P B P A ⋅=0;<PA ,PB >为锐角⇔P B P A ⋅>0;<PA ,PB >为钝角⇔P B P A ⋅<0.一.直角问题例1:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1. (Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.解析:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.类题:1.(2004年全国Ⅱ高考试题)给定抛物线C:y 2=4x,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小;(Ⅱ)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 2.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.二.求角大小例2:(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知双曲线12222=-b y a x (a>b>0)的离心率e=2+6-3-2,过其右焦点F 2,且与x 轴垂直的直线l 交双曲线于A,B 两点,求∠AF 1F 2的大小.解析:|AF 2|=a b 2,|F 1F 2|=2c ⇒tan ∠AF 1F 2=ac b 22=ac a c 222-=e e 212-=)2362(2)2363)(2361(--+--+--+=)]23()32(2[2)]23()23(3)][12(321[+-++-+-+-=2-3⇒∠AF 1F 2=150.类题:1.(2002年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),直线x=4是它的一条准线. (Ⅰ)求椭圆的方程;66 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅱ)设A 1,A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P 是椭圆上满足|PA 1|-|PA 1|=2的一点,求cos ∠A 1PA 2的值.2.(2011年湖北高考试题)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2？若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由.三.范围问题例3:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知,曲线C 是以F 为焦点,直线x=-为准线的抛物线,其方程为y 2=4x;(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:x=ty+m,代入y 2=4x 得y 2-4ty-4m=0⇒y 1+y 2=4t,,y 1y 2=-4m;所以,FB FA ⋅<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0⇔m 2-6m+1<4t 2,对任意的t,恒成立⇔m 2-6m+1<0⇔m ∈(3-22,3+22).类题:1.(2007年四川高考试题)设F 1、F 2分别是椭圆224x y +=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P 是椭圆上的一个动点,求21.PF PF 的最大值和最小值; (Ⅱ)过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.2.(2005年天津高考试题)抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0),过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1、k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同),且满足k 2+λk 1=0(λ≠0,且λ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB 上一点M,满足MA BM λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.四.角的相等例4:(2005年江西高考试题)如图,设抛物线C:y=x 2的焦点为F,动点 yP 在直线l:x-y-2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物 l 线C 分别相切于A 、B 两点. A F B(Ⅰ)求△APB 的重心G 的轨迹方程; O x (Ⅱ)证明:∠PFA=∠PFB. P解析:(Ⅰ)由P 在l:x-y-2=0上,设P(t,t-2),则直线AB:y=2tx-t+2,代入y=x 2得x 2-2tx+t-2=0;设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),则x 1+x 2=2t,x 1x 2=t-2⇒x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4t 2-2t+4⇒重心G(x,y)满足:x=321t x x ++=t,y=322221-++t x x =3242+-t t ⇒重心G 的轨迹方程:3y=4x 2-x+2;(Ⅱ)cos ∠AFP=||||FA FP FA FP ⋅⋅=22121211)41(||)41)(41221(21-+---+x x FP x k kx (x 1+x 2=k,x 1x 2=21k-2)=221212121121)41(||)41)(41()(21-+--++x x FP x x x x x x =)41(||)41)(41(212121+++x FP x x x = ||4121FP x x +,同理可得:cos ∠BFP=||||FB FP FB FP ⋅⋅=||4121FP x x +⇒∠AFP=∠BFP.类题:第五讲:典型问题.夹角问题 671.(2011年北大保送生考试数学试题)点P 为双曲线上任一点,PQ 为双曲线在点P 处的切线,F 1、F 2为双曲线焦点.求证:PQ 平分∠F 1PF2.2.(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.五.角平分线例5:(2010年安徽高考试题)如图,已知椭圆E 经过点A(2,3), y对称轴为坐标轴,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心率e=21. A (Ⅰ)求椭圆E 的方程; F 1 O F 2 x (Ⅱ)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程. l (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)E:1121622=+y x ,F 1(-2,0),F 2(2,0);(Ⅱ)分析1:设角平分线l 与x 轴交于点B,由三角形内角平分线性质定理得:||||||||2121AF A F BF B F ==35⇒点B 的坐标,写出角平分线AB 的方程;分析2:设角平分线为l,由角平线的性质知,点F 1关于直线l 的对称点B 必在直线AF 2上,且|AB|=|AF 1|=5,由|AB|=5⇒点B(2,-2),由B F l k k 1⋅=-1⇒k l =2⇒角平分线l 的方程; 分析3:角平分线l 的一个方向向量||||2211AF AF AF AF e +==(58,54--)⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程; 分析4:由椭圆的光学性质知,角平分线l 与椭圆在点A 处的切线123162yx +=1垂直⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程:2x-y-1=0;(Ⅲ)(法一)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=-+-+⋅⋯-=⋅--②y y x x ①x x y y 012221221212121,又由点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)在椭圆121622y x +=1上⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112161121622222121y x y x ⇒162221x x -+122221y y -=0⇒2121x x y y --⋅2121x x y y ++=-43,由①得:2121x x y y ++=23⇒y 1+y 2= 23(x 1+x 2),代入②得:2⋅221x x +-23⋅221xx +-1=0⇒x 1+x 2=4⇒y 1+y 2=6⇒P,Q 的中点为(221x x +,221y y +)=(2,3),即P,Q 的中点为点A,矛盾;(法二)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则直线PQ 的斜率=-21,设直线PQ 的方程为y=-21x+m,代入121622y x +=1得:x 2-mx+m 2-12=0,则△=(-m)2-4(m 2-12)>0⇒m ∈(-4,4),且x 1+x 2=m ⇒y 1+y 2=23m ⇒P,Q 的中点为(21m,43m),根据P,Q 的中点在直线l:2x-y-1=0上⇒m-43m-1=0⇒m=4,矛盾. 类题:1.(2013年陕西高考试题)己知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8.68 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q.若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线l 过定点.2.(2011年全国高中数学联赛试题A)作斜率为31的直线l 与椭圆C:43622y x +=1交于A,B 两点,且P(32,2)在直线l 的左上方.(Ⅰ)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB 的面积.六.夹角应用例6:(2011年全国大纲卷高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OP =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.解析:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=- 2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:x 1x 2=-41,Q(22,1);由到角公式:tan ∠APB=PBPA PB PA k k kk +-1=3)(412x x -;同理可得:tan ∠AQB=-3)(412x x -⇒∠APB 与∠AQB 互补⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.类题:1.(2013年山东高考试题)椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为23,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明11kk +21kk 为定值,并求出这个定值. 2.①(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论. ②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理.九.夹角问题例9:(2007年北京西城区质检试题)设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a 交x 轴于点H,点B 是l 上的动点,过点B 垂直于l的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. y(I)求点M 的轨迹C 的方程; B M (II)设直线BF 与曲线C 交于P 、Q 两点,证明:向量 PHP、HQ 与HF 的夹角相等. H O F x[分析解答]:(I)由过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ⇒|MF|=|MB|,即动点M 到点F Q的距离与到直线l 的距离相等,所以,点M 的轨迹是以点F 为焦点直线l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=4ax;(II)因HF =(2a,0)∥(1,0),设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线BF 的方程为:y=k(x-a)⇒HP =(x 1+a,y 1),HQ =(x 2+a,y 2),由⎩⎨⎧=-=ax y a x k y 4)(2⇒k 2x 2-2a(k 2+2)x+a 2k 2=0⇒x 1x 2=a 2⇒cos<HP ,HF >=||||HF HP HF HP ⋅⋅=21211212116)(aax x ax y a x a x +++=+++,cos<HQ ,HF >=||||HF HQ HF HQ ⋅⋅=22222222226)(aax x a x y a x a x +++=+++==+++213214126a x a x a a x a 212116aax x a x +++⇒cos<HP ,HF >=cos<HQ ,HF>,又因<HP ,HF >,<HQ ,HF >∈(0,π),故<HP ,HF >=<HQ ,HF >.Ⅶ.角的问题[题1]: [题2]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.[解析]:(Ⅰ)如果直线l 的斜率存在,设它的方程为y=kx+b,因为点P 在直线l 上,所以-31=32k+b,故b=-31(2k+1).联立直线l 和椭圆C 的方程,消去y,得(2k 2+1)x 2+4kbx+2b 2-4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-1242+k kb ,x 1x 2=124222+-k b ⇒Y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b=1222+k b ,y 1y 2=124222+-k k b ⇒QB QA ⋅=0⇒∠AQB ＝900.如果直线l 的斜率不存在容易验证∠AQB ＝900也成立.因此,∠AQB ＝900.(Ⅱ)由(Ⅰ)知△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在,易求得△QAB 的面积为S=22<3;如果直线QA 和QB 的斜率都存在,不妨设直线QA 的方程为y=m(x-2)+1,代入椭圆C 的方程,消去y,得(2m 2+1)x 2-4m(2m-1)x+2(2m-1)2-4=0⇒|QA|=12+m 12|12|82++m m ;又QB ⊥QA,所以,同理可求得|QB|=12+m 2|2|82+-m m ,于是,△QAB的面积为S=21|QA||QB|=4(m 2+1))2)(12(|2||12|22++-+m m m m .①当m ∈[-22,2]时,f(m)=S=4(m 2+1))2)(12(22222++++-m m m m ⇒f '(m)=4②[题3]:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.[解析]:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.[题4]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)设A(2x 1,x 12),B(2x 2,x 22),由AP =λPB (λ>0)⇒-x 1=λx 2,8-x 12=λ(x 22-8)⇒x 1x 2=-8;抛物线过A 、B 两点的切线分别为x 1x=y+x 12,x 2x=y+x 22⇒y M =x 1x 2=-8;(Ⅱ)假设存在定点Q(a,b),使∠AQP=∠BQP ⇒cos ∠AQP=cos ∠BQP ⇒||||QA QP QA QP ⋅=||||QB QP QB QP ⋅⇒|QB |QA QP ⋅=|QA |QB QP ⋅⇒22222)()2(b x a x -+-[a(a-2x 1)+(8-b)(x 12-b)]=22121)()2(b x a x -+-[a(a-2x 2)+(8-b)(x 22-b)],令a=0: 22222)(4b x x -+(8-b)(x 12-b)=22121)(4b x x -+(8-b)(x 22-b)(b ≠8)⇒22222)(4b x x -+(x 12-b)=22121)(4b x x -+(x 22-b)⇒[4x 22+(x 22-b)2](x 12-b)2=[4x 12+(x 12-b)2](x 22-b)2⇒(2x 12x 2-2bx 2)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2=(2x 1x 22-2bx 1)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2⇒(-16x 1-2bx 2)2=(-16x 2-2bx 1)2⇒b=-8.[题5]:(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)|a |-|b |=2⇔22)2(y x ++=22)2(y x +-+2⇔22)2(y x +-=2x-1⇔x 2-32y =1(x ≥1); (Ⅱ)令PF ⊥AF ⇒|PF|=|AF|=3⇒λ=2;设P(x 0,y 0),∠PAF=α,则tan α=100+x y ⇒tan2α=202000)1()1(2y x y x -++=)1(3)1()1(2202000--++x x y x =002x y -,k PF =200-x y⇒∠PFA=2∠PAF ⇒λ=2. [题6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=2x+m,由e=2⇒b=3a ⇒双曲线C:3x 2-y 2=3a 2,由⎩⎨⎧=-+=22233ay x m x y ⇒2x 2-2mx-(m 2+3a 2)=0⇒x 1+x 2=m,x 1x 2=-21(m 2+3a 2);AP =3PB ⇒-x 1=3x 2⇒-2x 2=m,-3x 22=-21(m 2+3a 2)⇒3(-21m)2=21(m 2+3a 2)⇒ m 2=6a 2;OB OA ⋅=3⇒x 1x 2+y 1y 2=3⇒2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=3⇒m 2-3a 2=3⇒a=1,m=6,双曲线方程:3x 2-y 2=3;(Ⅱ)。
两个直线的夹角公式
两个直线的夹角公式好的，以下是为您生成的关于“两个直线的夹角公式”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，两个直线的夹角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
咱先来说说这夹角公式到底是啥。
简单来讲，对于两条直线，咱设它们的斜率分别是$k_1$和$k_2$，那它们夹角的正切值$\tan\theta$就可以用公式$\tan\theta = \left|\dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$来算。
那这个公式咋用呢？咱来举个例子。
比如说有两条直线，一条直线的方程是$y = 2x + 3$，另一条是$y = -3x + 5$。
先算出第一条直线的斜率$k_1 = 2$，第二条直线的斜率$k_2 = -3$，然后把这两个值带进夹角公式里，$\tan\theta = \left|\dfrac{2 - (-3)}{1 + 2\times(-3)}\right| =\left|\dfrac{5}{-5}\right| = 1$，所以夹角$\theta = 45°$。
记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子一开始对这个夹角公式那是一头雾水，怎么都搞不明白。
有一次上课，我讲完这个知识点后让大家做几道练习题巩固一下，小李坐在那儿愁眉苦脸的，笔在纸上戳来戳去，就是写不出一个字。
我走过去一看，他连斜率都还没算对呢。
我就耐心地跟他说：“小李啊，你看这直线方程，先把斜率找出来，就像找宝藏先得找到入口一样。
”我给他重新讲了一遍怎么从方程里得出斜率，然后再一步一步带着他用夹角公式计算。
小李瞪着大眼睛，听得特别认真，还不时点点头。
等我讲完，让他自己再算一遍，嘿，这次他还真算对了！从那以后，小李对这个知识点越来越熟悉，后来遇到相关的题目都能轻松搞定。
咱再回到这夹角公式。
大家可别小看它，在好多实际问题里都能派上用场呢。
比如说在建筑设计中，工程师要确定两条道路的夹角，用这个公式就能算出最合适的角度，保证交通流畅；在机器人的运动规划中，也得靠它来计算机械臂转动的角度，让机器人能准确地完成任务。
北师大版数学高二学案 2.5.1直线间的夹角_5.2平面间的夹角
§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角学习目标 1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念(重点).2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题(重点).3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤(重、难点).知识点一 直线间的夹角当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角叫作两直线的夹角.当直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉； 当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉. 【预习评价】(1)异面直线的夹角范围是什么？ 提示 异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2，－4，2)，b ＝(1，－1，0)，则异面直线l 1，l 2的夹角为________.解析 设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|2＋4＋0|26×2＝32，所以θ＝30°. 答案 30°知识点二 平面间的夹角如图，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R 在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角. 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 1〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉； 当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉. 【预习评价】两平面的夹角范围是什么？ 提示 两平面的夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型一 两条异面直线所成角的向量求法【例1】 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.规律方法 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.【训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置.解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设E (1，t ，0)(0≤t ≤2)，则A (1，0，0)，D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，C (0，2，0)，D 1A →＝(1，0，－1)，CE →＝(1，t －2，0)， ∴cos 60°＝|D 1A →·CE →||D 1A →|·|CE →|＝12.所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点. 题型二 平面间的夹角的向量求法【例2】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形.(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD .因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，且AC底面ABCD ，BD底面ABCD ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题意知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .(2)解 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直.如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设AB ＝2. 因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2). 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3).设平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值为25719. 规律方法 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：平面间的夹角就是θ.【训练2】 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值.解 如图所示，取BC 中点O ，连接AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0).设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0). 因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→， 得⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量.又因为AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)， 所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1， 又BD ∩BA 1＝B ，BD平面A 1BD ，BA 1平面A 1BD ，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值为64.【探究1】 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________.解析 设PD ＝a (a ＞0)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0，0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，因为cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22＝a2＋a 24·33，所以a ＝2，所以点E 的坐标为(1，1，1).答案 (1，1，1)【探究2】 在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析 平面xOy 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az . 取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又a ＞0，故a ＝125. 答案 125【探究3】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E.F 分别是线段AB.BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求平面CDE 与C 1DE 夹角的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1夹角的余弦值.解 (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则有D (0，3，0)，D 1(0，3，2)，E (3，0，0)，F (4，1，0), C 1(4，3，2). 于是，DE →＝(3，－3，0)，EC 1→＝(1，3，2)，FD 1→＝(－4，2，2). 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DE →，n ⊥EC 1→⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z 2，z ＝z 2(－1，－1，2)，其中z >0.取n ＝(－1，－1，2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量. ∵向量AA 1→＝(0，0，2)与平面CDE 垂直， 设平面CDE 与C 1DE 的夹角为θ. 由图知所求夹角为锐角，∴cos θ＝|cos 〈n ，AA 1→〉|＝|n ·AA 1→||n |·|AA 1→|＝|－1×0－1×0＋2×2|1＋1＋4×0＋0＋4＝63，∴tan θ＝22.(2)设EC 1与FD 1夹角为β，则cos β＝|cos 〈EC 1→，FD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC 1→·FD 1→|EC 1→|×|FD 1→| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×（－4）＋3×2＋2×212＋32＋22×（－4）2＋22＋22＝2114.规律方法 利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.课堂达标1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线的夹角等于( ) A.30° B.150° C.30°或150°D.以上均错答案 A2.已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为( ) A.45° B.135° C.45°或135°D.90°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝12＝22，∴两平面夹角的大小为45°. 答案 A3.已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)，则平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值为________.解析 AB→＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，3).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2，1，23). 平面xOy 的一个法向量为OC→＝(0，0，3).由此易求出两平面的夹角的余弦值为27. 答案 274.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________.解析 如图，建立空间直角坐标系.由已知得A 1(4，0，0)，B (4，4，3)，B 1(4，4，0)，C (0，4，3). ∴A 1B →＝(0，4，3)， B 1C →＝(－4，0，3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝925.答案 9255.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，求AB 1与C 1B 所成角的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0，0，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，1， ∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0， ∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.。
高等数学：第十一讲 空间线线夹角和线面夹角
——两直线的夹角公式
s1
L1
L2
s2
例题讲解
例1.
求两直线
L1 :
x 1 1
y5 2
z8 1
xy6 和 L2 : 2 y z 3 的夹角。
解
s1 {1,2,1}
s2 {1,1,0}{0,2,1} {1,1,2}
两直线的夹角公式:
cos(L1^, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m1 n1 p1 .
m2 n2
p2
例
直线
L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 : s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
所以
L1 L2 .
空间直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 ，
称为该直线与平面的夹角 . (0 )
L : x x0 y y0 z z0 ,
平面
: x y 2z 3,
求直线与平面的夹角.
解 s {2,1, 2}, n {1,1, 2},
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7
6 9
36
arcsin 7
36
为所求夹角.
空间直线与平面的Βιβλιοθήκη 置关系{28,14,7}n {4,2,1}
很明显 s // n
所以 L
s
n
L
谢谢
(直线与平面垂直、平行的充要条件)
(1)
L
A B C ;
mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
高中数学直线与平面的夹角知识点解析
3 达标检测
PART THREE
1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉
＝－ 12，则l与α所成的角为
√A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析 设l与α所成的角为θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝21.
∴θ＝30°.
12345
2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为
第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面的夹角θ. 3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中 的二面角的平面角. 4.掌握求二面角的基本方法、步骤.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互 余.( × ) 2.二面角的大小范围是 0，π2 .( × ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( × )
2 题型探究
PART TWO
(2)求二面角E—BC—A的余弦值.
素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入 深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台.第(1)问侧重对 立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单.求解第 (2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐 标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题.
高考数学中的空间角与直线夹角知识点整理
高考数学中的空间角与直线夹角知识点整理数学是高考中必考科目，涉及了很多知识点。
空间角与直线夹角是其中比较重要的一个知识点。
掌握好这些知识点，有助于我们在高考中取得好成绩。
下面，本文将对这个知识点进行整理。
一、空间角空间角是三维空间中两条射线所夹的角度。
在高中数学中，我们主要学习了以下三个方面的内容：1. 空间角的度量方法空间角可以用角度或者弧度表示。
一般情况下，我们使用角度来度量空间角。
空间角的度量方法和平面角是一样的，都有度、分、秒三个单位。
2. 空间角的性质空间角的性质包括：对顶角相等、余角相等、补角相等、同位角相等等。
这些性质在计算空间角时非常有用。
3. 空间角的平面角平面角是二维平面中的角度，它可以用来计算空间角。
在计算空间角时，我们一般会把空间中的角度投影到一个平面上，然后用平面角来度量。
二、直线夹角直线夹角是在平面内的两条直线相交时形成的角度。
它也是高考数学中比较重要的一个知识点。
我们主要学习了以下两个方面的内容：1. 直线夹角的度量方法直线夹角可以用角度或者弧度表示。
一般情况下，我们使用角度来度量直线夹角。
直线夹角的度量方法和空间角是一样的，都有度、分、秒三个单位。
2. 直线夹角的性质直线夹角的性质包括：对顶角相等、余角相等、补角相等、同位角相等等。
这些性质在计算直线夹角时非常有用。
三、空间角与直线夹角的联系空间角与直线夹角之间有一定的联系。
当两个直线在空间中相交时，它们之间的夹角就是一个空间角。
而当两个直线在平面内相交时，它们之间的夹角就是一个直线夹角。
这就是它们的联系。
四、应用举例下面，我们通过几个例子来应用上文所学的知识点。
例1：如图，求空间角BAC的大小。
解：因为在平面AGD内，∠BED=∠JGF，所以角BED和角JGF是同位角。
同时，在平面BCE内，∠AED=∠FGJ，所以角AED和角FGJ是同位角。
因此，∠BED=∠JGF=74°，∠AED=∠FGJ=106°。
直线的知识点总结小学
直线的知识点总结小学一、直线的定义直线是由无数个点组成的，这些点排列在一条无限延伸的线段上。
直线上的任意两个点可以确定一条直线，而且直线本身是没有宽度和厚度的，只有长度。
二、直线的表示方法1. 直线可以用字母表示，比如用小写字母l表示直线。
2. 直线可以用两点表示，比如AB表示直线。
两点确定一条直线。
三、直线的性质1. 直线上任意两点可以确定一条直线。
2. 直线没有起点和终点，是无限延伸的。
3. 直线没有厚度和宽度，只有长度。
4. 两条不同的直线要么相交于一点，要么平行。
四、直线上的角1. 对顶角：两条直线相交，形成的两对相对角叫做对顶角。
2. 同位角：两条直线相交时，同位角互为补角。
3. 相邻角：两个角共享一条边，但没共享顶点的两个角叫相邻角。
五、直线的应用1. 直线可以用来表示方向和路径，比如地图上的航线、公路等。
2. 直线可以用来表示运动轨迹，比如物体的运动路径。
3. 直线可以用来表示数学函数的图像，比如一次函数的图像就是一条直线。
六、直线的相关定理1. 归结为两条垂直的直径。
若直径AB // 直线l，则这个角相对应的两个同位角相等。
即∠AOC=∠B OC。
同理有∠DOE=∠COE2. 利用平行线、快速缩并、夹角等。
AB // CD // EF 。
则∠AOB=∠FOE，即同端内角相等。
七、直线的相关问题1. 直线的角度：直线上的角度相关问题，如对顶角、同位角、邻角等。
2. 直线的长短：直线的长度和延伸问题，如长短不同的直线。
3. 直线的位置：直线的相对位置和平行关系问题。
4. 直线的应用：直线在实际生活和数学问题中的应用，如航线、速度、运动轨迹等。
八、直线的拓展1. 直线的延伸：单条直线延伸成为无限长的直线。
2. 直线的平行：平行线的性质和判定方法。
3. 直线的垂直：垂直线的性质和判定方法。
4. 直线的夹角：夹角问题和夹角的性质。
5. 直线的角度：直角、钝角、锐角等相关概念。
以上就是有关直线的一些基本知识点的总结，希望对大家的学习有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学知识点：两直线的夹角与到角
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。
（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。
两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。
（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。
理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式ta nθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.
精心整理，仅供学习参考。