北师大版八年级数学下册《角平分线》第一课时课件ppt (1)
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数学北师大版八年级下册角平分线(1)
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角
的平分线上. 如果是，请你证明它.
探究新知
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
探究性质定理逆定理
A
已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
O
D P
任务： E 1.独立完成证明； 2.独立完成后，小组内交流有几种证明方法； 3.展示小组成果.
求证: 相等、角相等及角
的倍分关系.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上
，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且
DE=DF，求DE的长.
A
解： ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F
且DE=DF F
E B D
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两 C 边距离相等的点在这个角的平分线上）
O
探究性质定理
A
D 1 2 E B P
C
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
疑惑解决
如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m.在图上标出它的位 置（比例尺1∶20000）.
探究新知
定理
探究性质定理逆定理
你能写出它 的逆命题吗？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 逆命题 它是真命题吗?
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.4
角平分线（1）
郑州市惠济区第六中学
杨艳霞
出谋划策
引入
如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m.在图上标出它的位 置（比例尺1∶20000）.
学习目标
1.通过小组合作，能用多种方法证明角平分线的
2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
4 角平分线 第1课时
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
8年级 数学北师大版 下册课件第1章《4 角平分线》
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
A
(2)求证:AB=AC+CD.
E
C
D
B
典例精讲
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
A
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
E
∴ BE=DE=4
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
利用以上两个性质可得线段相等
作业布置
1.必做题：课本P31随堂练习、P32 习题1-3题
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
F在AC上，BD＝DF，
A
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
F E
C
D
B
随堂练习
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
∵点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA ， PE⊥OB。
PD=PE
，
∴ PE=PD
∴OP 平分 ∠AOB 。
探究新知
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么 地方？
A
B
C
探究新知
活动1 分别作出△ABC的三条角平分线
同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
D
NN
PP
MM F
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
B B
∴点P在∠A的平分线上。
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章 4 第1课时角平分线的性质和判定
8
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
三角形三边的垂直平分线及作图课件2021—2022学年北师大版数学八年级下册
离相等的所有点的集合
导入新课
合作学习
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修
建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个
小区的距离相等？
A
·
猜想：三角形三边垂直平分
线交于一点，这一点到三角
·
·
形三个顶点的距离相等。
B
C
画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，
5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边 的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
解：∵DM是AC边的垂直平分线, ∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线, ∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC =△CMN的周长=20 cm.
1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
北师大版 八年级下
情境引入 线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
•点P在线段AB 的垂直平分线上
互为
逆定理
PA=PB
到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且 它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
例3 已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形.
已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a h
作法：
应用格式：
导入新课
合作学习
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修
建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个
小区的距离相等？
A
·
猜想：三角形三边垂直平分
线交于一点，这一点到三角
·
·
形三个顶点的距离相等。
B
C
画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，
5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边 的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
解：∵DM是AC边的垂直平分线, ∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线, ∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC =△CMN的周长=20 cm.
1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
北师大版 八年级下
情境引入 线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
•点P在线段AB 的垂直平分线上
互为
逆定理
PA=PB
到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且 它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
例3 已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形.
已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a h
作法：
应用格式：
北师大版八年级数学下册课件：1
本课件详细讲解了北师大版八年级数学下册第一章中的角平分线内容。首先，通过设定学习目标，引导学生通过探索与发现活动深入理解角平分线的性质，并发展推理能力。接着，复习回顾了角平分线上点的性质，为新知识的学习做铺垫助学生全面掌握角平分线的相关知识。定理的归纳总结部分，清晰明了地呈现了角平分线的性质定理和判定定理，便于学生记忆和理解。学以致用环节，设计了针对性的练习题目，旨在帮助学生运用所学知识解决实际问题，巩固和提升对角平分线内容的理解。最后，课堂小结部分再次强调了本课的重点知识，确保学生能够准确把握学习要点。
北师大版数学八年级下册课件：1.三角形三个内角的平分线
∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质），
∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°.
∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°，
∴∠B ＝ ∠CDF， ∴△CBE ≌△CDF （AAS），
A
DF
∴DF ＝ BE.
∵AF ＝ AD + DF，
∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE . E
C
B
课堂小结
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
∵∠C = 90°，∴∠B = 1×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 425°
A
∴BE = DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中
BD 2DE 2 4 2 cm（勾股定理)， C
∴AC = BC = CD + BD =（4+4 2 ）cm.
E B
D
（2）证明：由（1）的求解过程可知，
求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的C垂直A平分线.
O
EP
DB
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一 点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的 距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， O OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
角的内部，到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上），
北师大版八年级数学下册课件：1.3.1线段的垂直平分线(共17张PPT)
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任 意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
M P
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
A
C
B
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
N
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
讲授新课
性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段的两端点的距离相等．
比一比：你的写作过程完整吗？
巩固训练
讲授新课
3. 已知：如图AB=AC，BD=CD， P是AD上一点，
求证：PB=PC．
本题综合运用了线段垂 直平分线的性质定理和
B
判定定理，认真写出过
程哦！
A P
C D
巩固训练
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点。
求证：PB=PC
证明：
∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
B
∵P是AD上一点
∴PB=PC。
A P
C D
归纳小结
1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区别与联系
再见
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
北师大版《角平分线》ppt优秀课件1
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一
北师大版八年级数学下册1.4 角平分线的性质和判定课件
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 几何语言： ∵____P__B_=_P_C_______， _P_B_⊥__A_B__，P__C_⊥__A_C__， ∴AP平分∠BAC.
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝____5____cm.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点，∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
Байду номын сангаас
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.4《角平分线(第一课时)》课件
P
问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长 度有什么关系?
点到直线的距 离垂线段最短
相等(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
角平分线性质：角平分线上的点到这个角的 两边距离相等，这个性质是我们以前用折纸的方 法得到的。
思
结合我们前面学习的定
考
理的证明方法，你能 写出这
分 析
个性质的证明过程吗？
新北师版初中数学八年级下册
1.点P是线段AB的垂直平分线上的一点，PB=6cm，
则PA=_6___cm
P
2.已知：如图，线段AB外两点P、Q， A B 且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与
线段 AB的关系是__P_Q_垂__直__平__分__线__段__A_B__ Q
3.如图，你能找出图中哪条线段
（3）垂直距离。
不能少了任何一个.
定理的作用： 证明线段相等。
你能写出“上述定理：角平分线 思
上的点到这个角的两边距离相等”
考 分
的逆命题吗?
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
它是真命题吗？如果是，请你证明这个命题?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
到角的两边的距离相等） 1 2
E
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC-BD=8-5=3
∴DE=3
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
A
DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD＝DE(角平分线的性质)
北师大版八年级下册数学： 第一章 三角形的证明 4 角平分线 角平分线
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内
部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平
分பைடு நூலகம்上。
A D
它是真命题吗? 如果是.请你证明它。
1 O2
PC
E B
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，
PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在
∠AOB的角平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
A D
∴∠PDO=∠ PEO=90°
1
在Rt△ODP和Rt△OEP中 O 2
PC
OP=OP，PD=PE ∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
E B
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 作业
复习导入
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的?
与小组同学交流。 角平分线上的点到角两边的距离相等。
首页
合作探究
角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上
OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂 O
足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这
个角的两边距离相等).
A D
1
2
PC
E B
你能写出上面这个定理的逆命题吗? 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点 必在这个角的平分线上． 这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是 请举出反例。 不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到 角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的 平分线上．
角平分线的性质说课课件
顶角的角平分线。
目的：调动学生的积极性，增强自信心，并为活动二的进行提供思路。
活动二：探究角平分线的画法
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
如何利用尺规做角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，
交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
Ｍ
Ｃ
ＭＮ
的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何
关系？
目的：从实验中探索、发现角的平分线的性质。
你能否利用判定三角形全等的方法来进一步论证？这一结论如何用文字叙述？
A
角平分线的性质定理：
D
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言：
∵OC平分∠AOB PD⊥OA
∴PD=PE
体验获取数学知识的成就感;
3.通过合作交流，培养学生团
结协作、乐于助人的品质。
04
四、重难点分析
说教学重难点
教学
重点
角平分线的性质定理及其逆定理
掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明
教学
难点
教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线的画法，在学生脑海中加深对
角平分线的印象，从而对性质定理正确探究和使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的
我采用“启发诱导—探索发现”的教学方法。以学生为主体，引导
学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。通过“动手操
作，合作交流，自主探究”，体验知识的生成、发展与应用。鼓励
学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、
学法的最优组合。
目的：调动学生的积极性，增强自信心，并为活动二的进行提供思路。
活动二：探究角平分线的画法
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
如何利用尺规做角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，
交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
Ｍ
Ｃ
ＭＮ
的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何
关系？
目的：从实验中探索、发现角的平分线的性质。
你能否利用判定三角形全等的方法来进一步论证？这一结论如何用文字叙述？
A
角平分线的性质定理：
D
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言：
∵OC平分∠AOB PD⊥OA
∴PD=PE
体验获取数学知识的成就感;
3.通过合作交流，培养学生团
结协作、乐于助人的品质。
04
四、重难点分析
说教学重难点
教学
重点
角平分线的性质定理及其逆定理
掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明
教学
难点
教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线的画法，在学生脑海中加深对
角平分线的印象，从而对性质定理正确探究和使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的
我采用“启发诱导—探索发现”的教学方法。以学生为主体，引导
学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。通过“动手操
作，合作交流，自主探究”，体验知识的生成、发展与应用。鼓励
学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、
学法的最优组合。
八年级数学(北师大版下)课件：1.3.2 三角形中的垂直
13．(10分)如图，已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝AC＝a， 底边BC上的中线为b.
略
14．(10分)如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处发现 老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再让“你”逃掉． 若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？
如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线， 交OB于点P，则小猫在点P处抓住老鼠
解：PA>PB，连接PA交l于点C，则 CA＝CB，PA＝PC＋CA＝PC＋ CB>PB
与垂直平分线有关的作图 5．(4分)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接 AD.若△ADC的周长为10，AB的长度为7，则△ABC的周长为( C ) A．7 B．14 C．17 D．20
A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线交点处 D．∠A，∠B的角平分线交点处
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称 点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝10 cm，则△PMN的周 长是____1_0___cm.
1 ． 三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 _相__交__于__一__点__ ， 并 且 这 一 点 到 __三__个__顶__点__的__距离相等．
2．经过直线l上一点P，用尺规作经过点P的l的垂线的方法是：(1)以 ___点__P___为圆心，以__任__意__长__为半径画弧交直线l于A，B两点；(2)作线 段AB的垂直平分线即可．
Hale Waihona Puke 3．(8分)如图，有A，B，C三个村庄，为解决村民子女就近入学 问题，计划新建一所小学P，且使学校到三个村庄的距离相等，请 在图中用尺规作出点P.(不写作法，保留作图痕迹)
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这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
D、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
P CE BFra bibliotek∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角 两边距离相等的点，在这个角 的角平分线上．
用心想一想，马到功成
你能用什么办法平分一个已知角呢?
１．可以用量角器． ２．使用三角尺，也可以平分一个已知角． ３．用角尺也可以平分一个已知角． ４．用直尺和圆规平分一个已知角．
线和外角平分线，它们有什么关系？
C
E
D
21
34
B
A
F
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2= ∠CAB
∵AE平分∠CAF，∴∠3=∠4= ∠CAF 又∵∠CAB+∠CAF=180°
∴∠1+∠3= （∠CAB+∠CAF）= ×180°=90° 即AD⊥AE．
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
角平分线（一）
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质 吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的 距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗?
如果有一个点到角两边的距离相等， 那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内 部的一条射线，而角的外部也存在到角两 边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个 角的内部且到角的两边距离相等的点，在 这个角的角平分线上．
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
．
O
B E
Ｃ
D A
作法： 1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧， 两弧在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC
OC就是∠AOB的平分线．
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
D、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
P CE BFra bibliotek∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角 两边距离相等的点，在这个角 的角平分线上．
用心想一想，马到功成
你能用什么办法平分一个已知角呢?
１．可以用量角器． ２．使用三角尺，也可以平分一个已知角． ３．用角尺也可以平分一个已知角． ４．用直尺和圆规平分一个已知角．
线和外角平分线，它们有什么关系？
C
E
D
21
34
B
A
F
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2= ∠CAB
∵AE平分∠CAF，∴∠3=∠4= ∠CAF 又∵∠CAB+∠CAF=180°
∴∠1+∠3= （∠CAB+∠CAF）= ×180°=90° 即AD⊥AE．
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
角平分线（一）
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质 吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的 距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗?
如果有一个点到角两边的距离相等， 那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内 部的一条射线，而角的外部也存在到角两 边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个 角的内部且到角的两边距离相等的点，在 这个角的角平分线上．
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
．
O
B E
Ｃ
D A
作法： 1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧， 两弧在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC
OC就是∠AOB的平分线．
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分