第一课周期信号的傅里叶变换功率谱和能量谱调制与解调

n1

1 n1 n
第 11 页
F

1 1 1 1 1
21 1 o 1 21
X
第
12
F
页
f t
1
1
O
t
O

F n1
1
T t 1
被控制的信号叫载波 控制信号叫调制信号
载波是高频正弦波，正弦波有三个要素：幅值、相位、 频率。
控制载波的幅度叫调幅（AM)； 控制频率叫调频（FM）； 控制相位叫调相 （PM）；
分类：调幅，调频，调相
X
调幅
第
28 页
g(t)
f (t) g(t)cos0t
相乘
cos 0 t
g(t) :调制信号,被调信号，控制信号


n1
X
第
方法2 利用时域卷积定理，周期T1
14 页
利用卷积积分的重现性可表示一个周期信号
例:
fT(t)
…
…
-2T
-T τ/2 0 τ/2 T
2T
t
f0(t)
*…
δT(t)
…
τ/2 τ/2
t
-2T -T 0
T


2T
fT (t) f0 (t) T (t) f0 (t) (t mT) f0 (t mT)
X
第
一．周期信号的功率谱（离散）
17
页
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R

f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(


Fne
jn1t
)dt
n



n
Fn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
周期信号：

f t 傅里叶级数 F n 离散谱
非周期信号：
f t 傅里叶变换 F j 连续谱
周期信号的傅里叶变换存在否？如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
X
一．正弦信号的傅里叶变换
第 4
页
由欧拉公式
cos0t
第 1 页
第3-4讲 1)周期信号的傅立叶变换 2)信号的功率谱与能量谱 3)调制和解调
X
第 2 页
第四节 周期信号的傅立叶变换
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(jω)求 Fn •应用——单位冲激序列的傅氏变换 •应用——周期矩形脉冲序列的傅氏变换
X
引言
第 3
页
m
m
fT (t) f0 (t) T (t)
X
第
方法2
15
页
利用时域卷积定理，周期T1
fT (t) f0 (t) T (t)

FT ( j) F0 ( j) 1 ( n1) 利用冲激函数的抽样性质 n
因为 所以

FT ( j) 1 F0 ( jn1) ( n1) n
位置: n1 谐波频率


强度 : 2π Fn 与Fn 成正比 , 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为FT j 表示的是频谱密度。
周期信号的 FT j 只存在于 n1处,
频率范围无限小,幅度为。
X

第
三．如何由F0 j 求 Fn
8 页

即单个脉冲的 F0 j与周期信号fTt的谱系数 Fn的关系
X
第
应用： 信号的调制
23
页
一个信号在时域中与高频的正弦信号相乘，等效 于在频域中将原信号的频谱同时向频率正负方向搬移.
结论:在调制过程原信号的频谱形状不变（仍含有原 频谱的信息），只是移位，但幅值降低一半。
思考的问题：
1）通讯中信号以什么形式传输到空间？ 2）信号能直接进行远距离传输吗？即信号不调制或频谱不搬移行吗

1 2
e j0t
e j0t
sin0t

1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理

1 2
2π



0

2π

第 21 页
第六节 调制和解调
• 问题的提出 • 调制与解调 • 应用1：频分复用 •应用2：（时分复用）
X
一．问题的提出：调制原理
第 22
页
在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现 信号的传输，往往要进行调制和解调：
•高频信号容易以电磁波形式辐射出去 •多路信号的传输——频分复用 相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同： •“信号与系统”——应用傅里叶变换的性质说明搬 移信号频谱的原理； •“通信原理” ——研究不同的调制方式对系统性 能的影响； •“通信电子电路”——调制／解调电路的分析。


0


π



0
π



0

sin0t jπ 0 jπ 0
X
第
频谱图
5
页
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F

π
π
0 O 0

sin0t jπ 0 jπ 0
cf
X
第 25 页
二．调制与解调
X
预备知识：正弦信号的傅里叶变换
第 26
页
由欧拉公式
cos0t

1 2
e j0t
e j0t
sin0t

1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
jn1t
1


T
jn1t
1 n
21 1 O
1 21
X
周期单位冲激序列的频谱
Fn

1 T
T
2T 2
t
ejn1t d t Hale Waihona Puke Baidu T
FT j
FT t 2

Fn (
n1)
n

2
T1


n
(2)
t
X
第
9 页
T
F0 j 2T f0 t ejt d t
(1)
2


fT
t
F e jn1t n n


Fn

1 T1
T
2T 2
fT
t
e jn1t d t
(2)
比较式(1),(2)

f0t

n1
fT t
t
F0 ( j) Fn FT ( j)
F0
(
j
)

E
Sa

2


Fn

1 T1
F0

j



n1
FT ( j) 2π



Fn



n1

n
E Sa n1
T1 2

E1
n

Sa
n1
2


1 ej0 t 2 0
cos0t
同理

1 2
2π



0

2π



0


π



0
π



0

sin0t jπ 0 jπ 0
X
第
1．调制
27 页
调制：用一个信号去控制另一信号的某一参量的过 程，将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的。
Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。 功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛 性，能量主要集中在低频段 。
X
第
二．非周期信号的能量谱（连续谱） 19 页
时域中：
E



f
2 (t)dt



f
(t)[ 1
2


F
f0 t
fT t
T o
T
t T
o
T
2
2
设 f0t F0 j
T
F0 j 2T f0 t ejt d t
(1)


fT
t
F e
2
j n1t
n
n

Fn

1 T1
T
2T 2
fT
t
e jn1t d t
X
第
能量谱与振幅谱的关系
20 页
令：
G() 1 F 2 () 2
则：
E



G(
)d
在有效频率范围内信号的全部能量
G() 能量谱，单位频带内的信号能量。能量是
能量谱曲线下的面积
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域中的分
布情况，以便正确选择电路和系统的通频带，
充分利用信号的能量。 X
cos0t ：载波信号, 被控制信号
f (t) g(t) cos0t：已调信号

：载波角频率
0
为什么要调制？
X
频谱结构
gt
m时，G( ) 0
O
t
f (t) g(t) cos0t
0 m
cos 0 t
O
t
F( )
1 2
G(
0 ) G( 0 )
(
j)e jtd]dt

1
2


F(
j
)[


f
(t)e jtdt]d

1
2


F(
j )F (
j )d

1
2


F
2 ()d

1


0
F
2
(
)d
这是帕色瓦尔定理在傅氏变换情况下的具体体现;
能量既可在时域中计算，也可由其幅频谱在频域中
计算，且只与幅频谱有关，而与相频谱无关
T O T

T1

21 1 o 1 21
t
F

1 1 1 1 1
21 1 o 1 21
X
第
举例应用2：周期矩形脉冲序列的傅氏变换
13 页
f t
E


方法1
T1
o

22
T1
gt cos0t
O
t
G( )
第
29
A
页


O
m

sin0t 频谱图:
F



π
π
2
0
0 o
0

0
o

2
X
第
二．一般周期信号的傅里叶变换
6
页
设信号周期:T1

2π
1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fT t

F e jn1t n
n
其傅氏变换(用定义)
FT j F fT t

Fn

1 T1
F0

j



n1
T t

1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1 t

F 1 所以 T t 的傅氏级数谱系数 n
F n1
1
T 所以
T t

F e 1 e n
T n
在
T 2
T ,
2
内f0t 与fTt 相同

所以 Fn

1 T1
F0
j


n1

可由F0 j 求周期函数 fT t 的谱系数 Fn
X
第
举例应用1：求周期单位冲激序列的傅里叶变换
10 页

T t t nT1 n
因为 t 1
3）如能直接传输后果如何? 4）如何传送信号保证可靠接受？
5）传输过程信息会丢失吗？ 6）高频信号的作用是什么？ 其它应用：专用载波电话，继电保护中高频保护。 X
第
说明：辐射与波长的关系
24
页
根据电磁波理论
天线的尺寸 1 为被辐射信号的波长
10 以语音信号为例
波长约为 3 00km 天线尺寸 30km 必须尽量提高信号的频率以缩小天线尺寸。

F


Fn
n
e
j n1t



FnF
n
e jn1t

Fn 2π n1
n

2π Fn n1
X
第
说明：
7
页
FT j 2π



Fn




n1

n
1 fTt 的频谱由冲激序列组成;


Fn
Fn
n



n
Fn
2

F02


2
Fn
2
n1

A0 2

1 2

An2
n1
即：
1 T
T
0
fT 2 (t) d t



Fn
2
n

A0 2

1 2


n1
An2
X
第
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
18 页
可在时域中计算，也可在频域中计算。 这是帕色瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和；
F0
(
j
)

E
Sa


2

FT
(
j )


1 n
E
Sa
n1
2


(

n1)

E1
n

Sa
n1
2




n1
X
第 16 页
第五节 信号的功率谱与能量谱
•问题的提出 •周期信号的功率谱 •非周期信号的能量谱 •能量谱与振幅谱的关系