质点的动量定理

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理论力学--动量定理

质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力和F′，使圆盘由静止开始运动，，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快．盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快．盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同． (D)．无法判断．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析未固定偏心转子电机的分析偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析未固定偏心转子电机的分析偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度，轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v

3-7质点系的动量定理

t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时，当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的时动量的增量为零，动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式应用时写成分量式是矢量式,应用时写成是矢量式应用时写成分量式
三种情况（1）不受外力）不受外力; （2）受外力外力矢量和为零）受外力,外力矢量和为零（3）内力远远大于外力） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力车厢的反作用力和重力共同作用的分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内，结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内，车厢反作用力为一冲力，车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系系统所受的力分为外力和内力系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力系统内的所有内力总是由一对对的作用力和反作用力组成对于系统: 对于系统
v v0

质点系动量定理

h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。解：取锤为研究对象。作用在锤上的力有重力Q锤与锻件接触后锻件的反力。但锻件的反力是变力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M

质点的动量定理

质点的动量定理质点的动量定理是指在不受外力作用时质点的动量守恒，在受到外力作用时质点的动量会随时间发生改变。

例如在弹性碰撞中，两个质点碰撞前后的总动量相等，但是各自的动量会发生改变，其中一个质点的动量增加，另一个质点的动量减小。

质点的动量定义为质点的质量与速度的乘积。

在物理学中，质点的动量具有很重要的物理量度作用，通过动量可以描述质点的运动状态，其中动量的变化量与质点所受到的外力大小成正比，变化量的方向与外力方向相同，可以用公式表示为：F = Δp / Δt其中F表示所受到的外力，Δp 表示质点的动量变化，Δt 表示时间变化量。

从上述公式中可以看出，外力可以改变一个物体的动量，对于无穷小的时间变化量，可以简化为：其中dp表示时间Δt内质点动量的变化量。

根据牛顿第二定理，可以得到外力大小等于动量变化率，因此，如果一个物体所受到的外力是恒定的，那么物体的动量就会均匀地改变。

在质点的动量定理中，只有在不受外力作用时，动量才守恒。

当一个物体在不受外力作用的情况下运动，它的动量将保持不变，可以用下面的公式来表示：p = mv其中p为动量，m为质量，v为速度。

在物理学中，这种守恒定律被称为动量守恒定律，它是描述宏观物理现象的关键定律之一。

除了动量守恒定律之外，质点的动量定理还包括完整的动量定理，它描述了在受到外力作用时动量如何改变，可以表示为：其中Δp表示质点的动量变化，I表示所受到的冲量。

冲量是力随时间的积分，可以用下面的公式表示：I = ∫Fdt其中∫表示积分操作，F表示力。

这个公式告诉我们，如果一个质点所受到的力是时间的函数，那么运用积分，我们就可以计算出它的冲量。

总之，质点的动量定理在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述不同物体在不同情况下的运动状态，为研究物理现象提供了重要的工具和方法。

质点系动量守恒定律

6. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯性系。
3
动量定律的说明

8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg

3.2质点系的动量定理

v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比要增大v：需要提高火箭的质量比或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利当质点之间有相对运动时略速度变换建立相对于同一惯性系的动量定理。定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理质点系的动量守恒定律是过程的基本定律，最普遍、过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律之一．在宏观和微观领域均适用。之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以：所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零：因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2

质点系的动量定理动量守恒定律

m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R，故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但自然界中不受外力的物体是没有的，自然界中不受外力的物体是没有的如果系统的内力外力，内力>>外力如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。守恒。如打夯、如打夯、火箭发射过程可认为内力内力>> 射过程可认为内力外力，外力，系统的动量守恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒由质点系的动量定理：由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件：动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节质点系的动量定理
一、质点系的动量定理两个质点组成的质点系，两个质点组成的质点系，对两个质点分别应用质点的动量定理：质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0

质点系动量定理

§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2

n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1

由于质心位置不变
任意时刻质心坐标：

3.2质点系的动量定理动量守恒定律

t2
内力冲量之和
fidt
同样，由于每个质点的
i t1
受力时间dt 相同,
t2
t2
fidt ( fi )dt
因为内力之和为零：
i t1
t1 i
fi 0
fi
mi
质点系
Fi
i
所以有结论：
t2
fidt 0
i t1
内力的冲量之和为零
质点系的重要结论之二
则，质点系的动量定理
t2
F外dt P P0 （积分形式）
第2步，对所有质点求和：
i
(
t2 t1
Fidt
t2 t1
fidt)
i
(Pi Pi0 )
第3步，化简上式：外力冲量之和内力冲量之和
先看外力冲量之和
由于每个质点的受力
时间dt 相同,所以：
i
t2 t1
Fidt
( t2
t1
i
Fi )dt
t2 t1
F外dt
2
第三章动量与角动量
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时,
Lm
求链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，
地面所受链条的作用力。
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
h
dm dl dt
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
f'
地面受力
F
f
' ml g
m (3l L
2h)g
10
第三章动量与角动量

质点的动量定理

例2.z重力dr对b沿曲线G运动物m体g作k功
r
பைடு நூலகம்
r dr
b
a O
y
A G dr
a
x
b
mgk (dxi dyj dzk )
a
z dr b
r
r dr
aO y x
b
mgdz
a zb
mgdz
za
mg (zb za )
在重力场中，重力所作的功只与质点移动的高度差有关，与路径无关
例：如图，一个质量m=2kg的物体，
从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑 B。已知圆弧的半径R＝4m,设物体在B 处的速度6m/s,求下滑过程中，摩擦力的功？
m VM v
R
M
§2-6 角动量和角动量守恒定律
一、质点的角动量（动量矩）一质点质量为 m，以速度 v
在某空点间O运的动位，置若矢某量时为刻相r 对，空则间定
3、万有引力势能的零势能点选在两物体相距无穷远处。
mgz ------重力势能
EP
1 kx 2 ------弹性势能 2 G mM ------万有引力
r 势能
§2-5.3 功能原理
一、质点系的动能定理
S1 S2
F1
m1f12
f21
m2
F1 dr1 f12 dr1
Ek1 F2
va
dr
F
vb
dA
Fdr cos
b
b A a F cos dr
b
a
matdr
a
b a
m
dv vdt dt
vb
mvdv
va
1 2
mv

简述质点系的动量定理及动量守恒定律

动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。

质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。

本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。

1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。

根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。

这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。

2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。

对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。

动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。

3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。

在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。

这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。

质点的动量定理

F
*
2018年9月1日6时50分
10
变力的功 dW F dr B B W F dr F cos dr
A A
dri
dr
B
i
*
W Fi dr Fi dr Wi 1 F i dr1 *A F1 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
EP1 EP f dr
1
④势能是属于具有保守力内力相互作用的质点系统的（例）。是一种相互作用能。
2018年9月1日6时50分
23
势能和保守力的关系：
积分关系： EP＝ F d r W
a b 保
微分关系： dEP dW保 F dl F cos dl Fl dl
2018年9月1日6时50分
I 6 10 m v 300
1
2 10 ( kg )
3
8
思考
圆锥摆：绳长L，质量m，绳子与铅垂线夹角为。
求：质点在旋转一周的过程中，质点所受合外力的冲量？质点所受张力的冲量？（2-35）
l

r
o
2018年9月1日6时50分
9
§3-4 动能定理(theorem of kinetic energy)
3
9 4 1
结论: 该力作功与路径有关
y x2 4 y
2.25
4y x 6
2
2018年9月1日6时50分
1
O
3
x
15
3.5
万有引力、重力、弹性力作功的特点
A m m 的位置矢量为 r 。 d r 以m ' 为参考系， r (t) m' 对 m 的万有引力为 m' r (t dt )

3-2 质点系动量定理和质心运动定理

解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内，质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布面分布线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意：注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。

动量定理质心运动定理

动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。

式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。

上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。

质点系的动量定理

t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z

质点的动量定理表达式

质点的动量定理表达式质点的动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了质点在外力作用下动量的变化规律。

动量定理的表达式为：一个质点的动量等于作用在它上面的外力的时间积分。

动量定理表达式为：p = F * t。

在这个表达式中，p表示质点的动量，F表示作用在质点上的外力，t表示外力作用的时间。

这个定理可以帮助我们理解质点在外力作用下的运动规律。

质点的动量是描述质点运动状态的物理量，它的大小和方向都可以发生变化。

当外力作用在质点上时，质点的动量会发生变化。

外力的大小和方向决定了动量的变化率。

如果外力是恒定的，那么质点的动量也会随时间线性变化。

如果外力是变化的，那么质点的动量变化会更加复杂。

动量定理的表达式可以帮助我们计算质点的动量变化。

通过测量外力的大小和方向以及作用时间的长短，我们可以计算质点的动量变化量。

这对于研究物体的运动以及物体之间的相互作用非常重要。

动量定理还可以用来解释一些实际问题。

比如，当一个汽车突然刹车时，乘坐在车内的人会向前倾斜。

这是因为突然的刹车会给乘坐者带来一个向前的冲击力，使得他们的动量突然改变。

根据动量定理，他们的身体会向前倾斜，以保持动量守恒。

动量定理还可以用来解释碰撞过程中的动量转移。

当两个物体发生碰撞时，它们之间会有一个相互作用力。

根据动量定理，这个相互作用力会改变物体的动量。

在碰撞过程中，动量的总和不变，只是发生了转移。

动量定理是牛顿力学中的一个基本原理，它可以帮助我们理解物体的运动和相互作用。

通过计算质点的动量变化，我们可以了解外力对质点的作用效果。

动量定理的表达式为p = F * t，它简洁地描述了动量和外力之间的关系。

这个定理在物理学研究和实际应用中都有着重要的作用。

质点动力学-动量及动量定理

当力连续变化时
t I t F d t
2 1
分量式：
Fx
Ix Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt F y dt Fz dt
t I t F d t
2 1
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
物体状态的改变不仅与所受到的力 F 有关，还与力作用的延续时间 t有关冲量
（例：推车）
有关，还与物体状态的改变不仅与速度 v
物体的质量ｍ有关动量
（例：木、铁锤敲钉子）显然，我们必须把注意力从力和运动的瞬时关系转向力和运动的过程关系
冲量
质点动量定理方向：速度的方向
1、动量（描述质点运动状态，矢量）
解：车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) ( m0 t )v 2 dt v1 P ( t d t ) ( m0 t d t ) v 2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 )dt
P＝ m v 大小：mv
2、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）
I
方向：速度变化的方向
（1）常力的冲量
I Ft
（2）变力的冲量 F2 t 2 F1 t 1
Fi t i Fn t n
I
I F1t1 F2t2 Fntn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!

质点系的动量定理

i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt

P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下

h

v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy

0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间

质点的动量定理

理论力学--动量定理

3-7质点系的动量定理

质点系动量定理

质点的动量定理

质点系动量守恒定律

3.2质点系的动量定理

质点系的动量定理 动量守恒定律

质点系动量定理

3.2质点系的动量定理动量守恒定律

质点的动量定理

简述质点系的动量定理及动量守恒定律

质点的动量定理

3-2 质点系动量定理和质心运动定理

动量定理 质心运动定理

质点系的动量定理

质点的动量定理表达式

质点动力学-动量及动量定理

质点系的动量定理

质点系的动量定理动量守恒定律

动量定理质心运动定理