判断函数单调性知识点及练习题

判断函数单调性的常用方法一、定义法

设x

1，x

2

是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x

1

＜x

2

，若f(x

1

)＜f(x

2

)，则此函数为增函数；

反知，若f(x

1)＞f(x

2

)，则此函数为减函数.

【例1】证明：当1≤X时，f(x)=x2-2x是增函数。

二、性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；

⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

三、同增异减法(适用于复合函数)

这是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.

注：奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

设单调函数y=f(x)为外层函数，y=g(x)为内层函数

(1) 若y=f(x)增，y=g(x)增，则y=f﹝g(x)﹞增. (2) 若y=f(x)增，y=g(x)减，则y=f ﹝g(x)﹞减.

(3) 若y=f(x)减，y=g(x)减，则y=f﹝g(x)﹞增. (4) 若y=f(x)减，y=g(x)增，则y=f ﹝g(x)﹞减.

例1. 求函数

2

2

2

)

(-+

=x

x

x

f的单调区间.

四、图像法

五、训练题

1．函数的增区间是（）。

A． B．C． D．

2．在上是减函数，则a的取值范围是（）。

A． B． C． D．

3．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则．

4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是

__________．

5．设，是增函数，和，是减函数，则是_______函数；是________函数；是_______函数．

6．证明函数在上是增函数，并判断函数在上的单调性. 7．求函数的单调递减区间.

8．函数，，求函数的单调区间．

9．设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.