浙江省名校协作体(G12)2020届高三3月联考数学试题

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浙江省杭州高级中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷(附答案解析)

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（共7小题）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于；外接球表面积等于．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝；a5＝．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）解：A＝{x|x≤﹣1，或x≥1}；∴A∩B＝[1，4）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i解：∵＝，∴z的虚部为﹣2．故选：B．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有＝，即a＝2b，由双曲线的几何性质分析可得c＝＝a，由离心率的计算公式可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其渐近线方程为y＝±x，则有＝，即b＝2a，c＝＝a，则其离心率e＝＝；故选：B．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．解：当x＞0时，f（x）＝x﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小【分析】ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，故Eξ＝1﹣x，Dξ＝（1﹣x）x＝x﹣x2，进而，得到Eξ和Dξ在x∈（0，），上的单调性．解：根据题意，ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，所以Eξ＝1﹣x，当x∈（0，）时，Eξ单调递减，即E（ξ）随着x的增大而减小，Dξ＝（1﹣x）x＝﹣x2+x，因为Dξ的对称轴为x＝，开口向下，故当x∈（0，）时，Dξ随着x的增大而增大．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为2，三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体是体积，所求体积为：＝．故选：C．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．解：如图所示，由•＝（﹣）•＝•﹣•＝||×||cos∠BCO﹣||×||cosθ＝﹣||•||•cosθ＝﹣||•cosθ，且﹣||•cosθ≥﹣||＝（||﹣）2﹣，由||∈[0，2]，当||＝时，•有最小值为﹣，又当||＝2，且cosθ＝﹣1时，﹣||•cosθ，此时•＝3，为最大值．所以•的取值范围是[﹣，3]．故选：A．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC【分析】解题的关键是通过构造垂面得出∠PMC＝α，然后转化到平面中解决即可．解：如图，取PC中点D，连接AD，BD，由PB＝BC＝a，PA＝AC易知BD⊥PC，AD⊥PC，故可得PC⊥平面ABFD，作PM⊥AB于M，由△ABP≌△ABC，可得CM⊥AB，∴∠PMC＝α，又PM＝CM＝h＜a＜b，∴，∴2α＞∠PAC+∠PBC，，故选：C．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于3；外接球表面积等于9π．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．解：如图，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PA＝AB＝2，AD＝1，∴最长棱PC＝＝；其外接球的半径为．则其外接球的表面积为．故答案为：3；9π．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为11；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点C时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z＝2×1+3×3＝11，可行域的面积为：＝故答案为：11；．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝﹣160；a5＝15．【分析】在所给的等式中，令x等于0，求得a0的值；再利用通项公式求得a5即x5的系数．解：∵（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝﹣160．a5即x5的系数为﹣5+•2•2＝15，14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．【分析】，，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2）sin cos B，tan B＝2+，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：，，∴sin B＝（4+2）sin cos B，∴tan B＝2+，∵tan（）＝＝＝2+，B∈（0，π）．∴B＝．∴C＝＝＝B．∴c＝b＝1．∴S＝bc sin A＝＝．故答案为：，．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有21．【分析】由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c＝5时，当c＝4时，根据分类计数原理可得．解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下3个数（包含0）取两个，放在右边，有C42C32＝18个，当c取4时，则从剩下3个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下2个数（包含0）取两个，放在右边，有C32C22＝3个，故满足条件的五位数的个数有18+3＝21个，故答案为：21．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是[0，1]．【分析】利用三角形的面积的表达式，结合椭圆方程，求通过二次函数，转化即可得到|x0|的取值范围．解：设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，当P是短轴端点时，三角形的面积取得最大值，所以|y0|＝，，可得：x02＝4﹣，0＜m＜2，可得4m2﹣m4∈（0，4]，所以﹣3，可得x02≤1所以|x0|的取值范围是：[0，1]．故答案为：[0，1]．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得函数解析式为f（x）＝，由已知可求T，利用周期公式可求ω的值，令，可求函数的增区间．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求，由范围，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）因为：（ω＞0），所以：＝，…………………由条件T＝8，所以：，…………………所以：，令，得：．所以增区间为：．…………………（Ⅱ）因为：，由（1）知：，即：，…………………因为：，所以：，所以：，…………………所以：＝＝．…………………19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明EC⊥CA，EC⊥CB，推出EC⊥面CAB．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出面ABE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ABE所成角的正弦函数值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得，在△EBC中，由余弦定理得由CE2+CA2＝EA2，CE2+CB2＝EB2得，EC⊥CA，EC⊥CB，所以EC⊥面CAB……………………（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则所以，所以，……………………所以是面ABE的一个法向量，则取……………………记直线AD与平面ABE所成角为α，则……………………20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；可令n＝1，求得b1，再将n换为n﹣1，相减可得b n；（Ⅱ）原不等式转化为++…+＞n+1﹣，应用数学归纳法证明，注意检验n＝1不等式成立，再假设n＝k时不等式成立，证明n＝k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a3＝3，可得a1+2d＝3，a l，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解方程可得a1＝d＝1，则a n＝n；数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n，可得b1＝2a1＝2，将n换为n﹣1可得b1+2b2+……+（n﹣1）b n﹣1＝2a n﹣1，联立b1+2b2+……+nb n＝2a n，相减可得nb n＝2a n﹣2a n﹣1＝2，则b n＝，对n＝1也成立，则b n＝，n∈N*；（Ⅱ）证明：不等式++……+＞a n+1﹣（n∈N*）即为++…+＞n+1﹣，下面应用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，不等式的左边为＝，右边为2﹣，左边＞右边，不等式成立；（2）假设n＝k时不等式++…+＞k+1﹣，当n＝k+1时，++…++＞k+1﹣+，要证++…++＞k+2﹣，只要证k+1﹣+＞k+2﹣，即证﹣＞1﹣，即证（﹣）（1﹣）＞0，由k∈N*，可得上式成立，可得n＝k+1时，不等式也成立．综上可得，对一切n∈N*，++…+＞n+1﹣，故++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．解：（1）Q（1，2）代入y2＝2px解得p＝1，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）证法1：（巧设直线）证明：设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得，则有，可设AP：，即，同理BP：，解得P（﹣3，3t），即动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．证法2：（利用向量以及同构式）证明：设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则有，，，又O为△PAB的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，y1，y2是方程的两根，所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，∴x2+3x+1＜0，∴，又x＞﹣2，∴；当f′（x）＜0时，解得，∴f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．。

浙江省名校协作体(g12)2020届高三上学期期初考试数学试题(word版)

浙江省名校协作体2020届高三上学期期初考试数学试题选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝｛x ｜x ＞0｝，N ＝｛x ｜－1＜x ≤2｝，则()M N R ð等于A 、（-1, ∞）B 、（0,1）C 、（-1,0]D 、（-1,1） 2.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1i z =+，则z zzz ⋅=- A 、i - B 、2i C 、1- D 、1 3.若函数2()22f x x ax b =--的图象总在x 轴上方，则A 、2a b +>B 、12a b -<-C 、124a b +>D 、124a b +<4.已知x ，y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围是A 、3m ≥B 、3m ≤C 、72m ≤D 、73m ≤ 5.已知函数()2f x x x x =-，则有A 、()f x 是偶函数，递增区间为(0,)+∞B 、()f x 是偶函数，递减区间为(,1)-∞C 、()f x 是奇函数，递减区间为(1,1)-D 、()f x 是奇函数，递增区间为(,0)-∞6.已知平面α与平面β交于直线l ，且直线a α⊂，直线b β⊂，且直线a ，b ，l 不重合，则下列命题错．误．的是 A 、若αβ⊥，a b ⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥ B 、若αβ⊥，b l ⊥，则a b ⊥ C 、若a b ⊥，b l ⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥ D 、若a l ⊥，b l ⊥，则αβ⊥ 7.已知等比数列{}n a 中51a =，若246811115a a a a +++=，则2468a a a a +++= A 、4 B 、5 C 、16 D 、258.已知a ，b 为实数，则“不等式1ax b +≤对所有满足1a ≤且1b ≤”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C.充分必要条件D 、既不充分也不必要条件俯视图9.已知正数a ，b 满足2()4ab a b +=，则2a b +的最小值为 A 、12 B 、8 C、 D10. 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为 AB 、12C、2 D非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020届浙江省宁波市十校高三下学期 3月联考数学试题(解析版)

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径，由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=；当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-，令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <）【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减，故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈，存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2020年浙江省名校协作体高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)

2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x <1}B. {x|x <3}C. {x|−3<x <1}D. {x|−3<x <3}2. 已知i 为虚数单位，则|3+2i|=( )A. √5B. √7C. √13D. 33. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=8，a 8=9，则a 5=( )A. 4√2B. 5C. 7D. 3√24. 设x ，y 满足约束条件{y +2≥0,x −2≤0,2x −y +1≥0,则z =x +y 的最大值与最小值的比值为( )A. −1B. −32C. −2D. −525. “算经十书”是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》，其中《九章算术》是最重要的一部．现从这10部算经中任取两部，取到《九章算术》的概率为( )A. 110B. 15C. 19D. 2156. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB ，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AF//平面BDE ，则λ的值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 47. 函数y =cos3x+13x −3−x的图象大致为( )A. B. C. D.8.在(x+3y)(x−2y)5的展开式中，x2y4的系数为()A. −320B. −160C. 160D. 3209.函数的部分图象如图所示，则()A. f(x)=2cos(2x−π3)B. f(x)=2cos(2x+π3)C. f(x)=2cos(2x−π6)D. f(x)=2cos(2x+π6)10.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=6，∠APC=∠BPC=π4，若球O的表面积为64π，则棱锥A−PBC的体积为()A. 8√7B. 24√7C. 4√33D. 2√21511.已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B.若AB的中点为M(1,8)，则此双曲线C的离心率为() A. √3 B. 2 C. √5 D. √612.设函数f(x)={log2(−x),x<0,2x,x≥0,若关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,2)，且p⃗⊥q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为______ ．14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3x−1，则f(9)=_____________．15.在数列{a n}中，a1=3，(a n+1−2)(a n−2)=2(n∈N∗)，则该数列的前2014项的和是______ ．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，2O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．19.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ,σ2)，令Y=X−μ，σ).则Y～N(0,1)，且P(X≤a)=P(Y≤a−μσ利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．,0.773419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)=0.7734．参考数据：√178≈40320.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，上、下顶点分别为B1、B2，且△B1F1F2为等边三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设点M(4,0)，直线B1M与椭圆E相交于另一点A，证明：A，F2，B2三点共线．21.设函数f(x)=e x−1−x，求f(x)的单调区间．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了复数的模长概念，根据模长计算公式，即可得到结果．解：|3+2i|=2+22=√13．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查等比数列的性质及通项公式，属于基础题．利用等比数列的性质及通项公式即可求解．解：依题，等比数列{a n}各项均为正数，则q>0，∵a1a2a3=a23=8，∴a2=2，∵a8=9，∴a8a2=q6=92，∴q3=3√22，∴a5=a2·q3=2×3√22=3√2．故选D．4.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A(2,5)，B(−32,−2)由z=−x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+ z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时取得最小值：−72则z=x+y的最大值与最小值的比值为：7−72=−2．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．5.答案：B解析：本题考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，由此能求出选择到《九章算术》的概率．解：从十部书中随机选择两部书，基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，则选择到《九章算术》的概率是p=mn =945=15．故选B．6.答案：C解析：解：∵AF//平面BDE ，∴过点A 作AH//平面BDE ，交PC 于H ，连结FH ，则得到平面AFH//平面BDE ，平面AFH ∩平面PBC =FH ，平面BDE ∩平面PBC =BE ，由面面平行的性质得FH//BE ， ∵E ∈PC ，F ∈PB ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OCOA =ECHE =1，∴EC =EH ，又PE =3EC ，∴PH =2HE ，又∵PFFB =PHHE =2，∴λ=2．故选：C ．通过证明面面平行，及面面平行的性质能求出λ的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意面面平行的性质的灵活运用．7.答案：A解析：【试题解析】考查函数奇偶性，利用特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．解：函数y =cos3x+13x −3−x，由y =cos3x +1是偶函数，y =3x −3−x 是奇函数．那么原函数就是奇函数，排除B 选项；当时，y 的函数值是正，且变小，当x =π3时，函数值为0．故选：A ．8.答案：B解析：解：(x −2y)5的展开式中第r +1项为T r+1=C 5r⋅(−2)r ⋅x 5−r ⋅y r ，令5−r =1，得r =4；令5−r =2，得r =3．∴在(x+3y)(x−2y)5展开式中x2y4的系数为C54⋅(−2)4+3×C53×(−2)3=−160．故选：B．利用展开式的通项公式求得x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查由函数y=Acos(ωx+φ)的图象求解析式，属于基础题．由f(x)的图象得周期，求得ω，代入特殊值求φ．解：由函数f(x)的图象可知：周期为4×(5π12−π6)=π，ω>0,所以，可得ω=2；代入(5π12,0)，可得，则，|φ|<π2，解得，所以，故选A．10.答案：A解析：本题考查三棱锥的体积的求法，线面垂直的判定，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，∠PAC=∠PBC=π2，由此求出棱锥A−PBC的体积．解：如图，因PC为直径，则∠PAC=∠PBC=π2，则∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，又O为PC中点，则AO⊥PC，BO⊥PC，又AO∩BO=O，AO⊂平面AOB，BO⊂平面AOB，∴PC⊥平面AOB，因球O的表面积为64π，则，可得球的半径为R=4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，BP=BC=4√2，∴S△OAB=12×AB×ℎ=12×6×√42−32=3√7，∴棱锥A−PBC的体积V=13×PC×S△OAB=13×3√7×8=8√7．故选：A．11.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线的离心率，考查运算化简的能力，属于中档题．由题意，不妨设F1A的方程为y=ab(x+c)，与双曲线的渐近线方程联立求得点A，B的坐标，再由AB的中点为M(1,8)可解得离心率．解：由题意，不妨设A在渐近线y=−bax上，则F1A的方程为y=ab(x+c)，与y=−ba x联立解得A(−a2c,abc)，与y=ba x联立解得B(−a2ca2−b2,−abca2−b2)，∵AB的中点为M(1,8)，∴{−a2c−a2ca2−b2=2①abc−abca2−b2=16②,结合a2+b2=c2，由①×8=②化简得b=2a，∴b2=4a2，则c2−a2=4a2，解得e=ca=√5．故选C．12.答案：D解析：本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．由题意作函数f(x)的图象，由f2(x)−af(x)=0得f(x)=0或f(x)=a；从而解得．解：由题意作函数f(x)的图象如下，，∵f2(x)−af(x)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有且只有一个解，∴f(x)=a有且只有两个解，故a∈[1,+∞)；故选：D．13.答案：√26解析：解：∵p⃗⊥q⃗，∴p⃗⋅q⃗=0，即2x−3×2=0，解得x=3，∴q ⃗ =(3,2)，∴p ⃗ +q ⃗ =(5,−1)，∴|p ⃗ +q ⃗ |=√52+(−1)2=√26．由p⃗ ⊥q ⃗ ，得出p ⃗ ⋅q ⃗ =0，求出q ⃗ ，再求出p ⃗ +q ⃗ 和|p ⃗ +q ⃗ |即可．本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用两向量垂直，它们的数量积为0，利用坐标求向量的模长，是基础题．14.答案：23解析：本题考查函数性质的应用，根据已知条件得到周期性，结合奇函数的性质即可求解，属于基础题.由题意可得函数f(x)的周期是4，结合f (x )为定义在R 上的奇函数，即可求得f(9).解：由f(x −2)=f(x +2)可得f[(x −2)+2]=f(x −2−2)，即f(x)=f(x −4)，所以函数f(x)的周期是4，因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=3x −1，所以f(9)=f(1)=−f(−1)=−(3−1−1)=23．故答案为23． 15.答案：7049解析：解：在数列{a n }中，∵a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，∴(a n −2)(a n−1−2)=2，n ∈N ∗，n ≥2，以上两式相除，得a n+1−2a n−1−2=1，∴a n+1−2=a n−1−2，n ∈N ∗，n ≥2，∴数列{a n }是一个周期为2的周期数列，∵a 2−2=2a 1−2，a 1=3，∴a 2=4，∴S 2014=1007×(a 1+a 2)=1007×(3+4)=7049．故答案为：7049．由已知条件推导出a n+1−2a n−1−2=1，从而得到数列{a n }是一个周期为2的周期数列，由此能求出S 2014．本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要关键是判断出数列{a n}是一个周期为2的周期数列．16.答案：323解析：解：如图，由抛物线C：y2=8x，得p=4，∵F为AM的中点，∴AE=2FG=2p=8，则x A=8−p2=6．由x A x B=p24=4，得x B=46=23，∴BF=x B+p2=23+2=83．∴|AB|=|AF|+|BF|=8+83=323．故答案为：323．由题意画出图形，结合已知求得AF，得到A的横坐标，进一步得到B的横坐标，得到BF，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．17.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，所以：2cosBsinC−sinC=0，由于：0<C<π，cosB=12，解得：B=π3．(II)∵b =√3，B =π3，A +C =π−B =2π3，则0<C <2π3， ∴由正弦定理可得：a =2sinA ，c =2sinC =2sin(2π3−A)，∴2a +c =4sinA +2sin(2π3−A)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ)≤2√7，其中tanφ=√35，则2a +c 的最大值为2√7．解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B 的值；(Ⅱ)由已知可得2a +c =2√7sin(A +φ)，其中tanφ=√35，由正弦函数的性质即可求得2a +c 的最大值．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ，即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22， ∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2，∴A 1O ⊥OC ，OC ∩BE =O,OC,BE ⊂平面BCDE ，∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)，设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)，易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量，设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√223⋅√22=√33． ∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥BE ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x −=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9，s 2=(6−9)2×0.03+(7−9)2×0.1+(8−9)2×0.2+(9−9)2×0.35+(10−9)2×0.19+(11−9)2×0.09+(12−9)2×0.04=1.78；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，∴X ～N(9,1.78)，σ=√1.78=√17810≈43． ∴P(X ≤10)=P(Y ≤10−943)=P(Y ≤0.75)=0.7734；(ⅱ)由(i)知P(X >10)=1−P(X ≤10)=0.2266，可得Z ～B(20,0.2266)，P(Z ≥2)=1−P(Z =0)−P(Z =1)=1−0.773420−C 201×0.2266×0.773419=1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076≈0.9597．∴Z 的数学期望E(Z)=20×0.2266=4.532．解析：(1)直接由平均数公式及方差公式求解；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，则X ～N(9,1.78)，求出σ，结合已知公式求解P(X ≤10)．(ⅱ)由(i)知P(X>10)=1−P(X≤10)=0.2266，可得Z～B(20,0.2266)，由P(Z≥2)=1−P(Z= 0)−P(Z=1)求解P(Z≥2)，再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E(Z)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．20.答案：解：(1)由题设知c=1，因为△B1F1F2为等边三角形，则a=2c=2，又a2=b2+c2，所以b=√3，则E的方程为x24+y23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：由f(x)=e x−1−x，可得f′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)的单调减区间是(−∞,0)，单调增区间是(0,+∞)．解析：求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数)，转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54，转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． (2)由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2−4y 2=1得到：t 2−2√15t −1=0，所以t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2=−1，则1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．解析：【试题解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x−a2|+|x+2|≥|x−a2−x−2|=a2+2，当且仅当−2≤x≤a2时，等号成立，可得a2+2>3a，解得a>2或a<1．即实数a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x≥1时，当x≤−2时，当−2<x<1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min>3a，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

浙江省名校协作体(G12)2020届高三3月联考数学试题

高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{}0,1,2,3,4,5,6,7U=，集合{}3,4,5,6A=，集合{}1,3,4B=，则集合()()U UA B=I痧A．{}0,1,2,5,6,7B．{}1C．{}0,2,7D．{}5,62．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为3y x=±，则双曲线的离心率是A B C D．3．若直线2y ax a=+与不等式组60330x yxx y-+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是A．90,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．[]0,9C．[)0,+∞D．(],9-∞4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：3cm）是A．162B．126C．144D．108+5．已知平面α⊥平面β，且l=Iαβ，aα⊂，b，则“a b⊥”是“a l⊥或b l⊥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数sin2(1)||1e xy x=-+的图象可能是正视图侧视图BC ．D ．7．已知01a <<，随机变量,X Y 的分布列如下：A ．()2E Y a =B ．()()E X E Y =C ．()12D Y >D ．()()D X D Y = 8．已知C 为Rt ABD ∆斜边BD 上一点，且ACD ∆为等边三角形，现将ABC ∆沿AC 翻折至AB C '∆．若在三棱锥B ACD '-中，直线CB '和直线AB '与平面ACD 所成角分别为,αβ，则 A ．0αβ<< B ．2βαβ<≤ C ．23βαβ≤< D ．3αβ>9．已知10ea b <<<，则下列正确的是 A >>> B >>>C >>> D ．以上均不正确10．已知数列{}n a 满足：()110,ln e 1n an n a a a +==+-（*N n ∈），前n 项和为n S ( 参考数据：ln 20.693,ln3 1.099≈≈)，则下列选项中错误．．的是 A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列 B ．1ln3n n a a ++≤ C ．2020666S < D ．212n n a a -<注意：受阅卷系统限制，本学科卷面题号与手机端提交区域题号做如下调整：答题卷11—17题提交在手机端11题，答题卷18题提交在手机端12题，答题卷19题提交在手机端13题，答题卷20题提交在手机端14题答题卷21题提交在手机端15题答题卷22题提交在手机端16题非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若复数2i1iz +=-(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里．”则他第六天走 ▲ 里路，前三天共走了 ▲ 里路．13．在二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是 ▲ ，所有二项式系数之和是 ▲ ．14．设椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，直线:20l x y -+=．动点P 在椭圆C 上，记点P 到直线l 的距离为d ，则||PF d -的最大值是 ▲ ．15．在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2C B =，43b c =，1a =，则sin A =▲ ，ΔABC 的面积是 ▲ ．16．已知,R x y ∈，且满足4210x y xy +++=，则224x y x y +++的最小值是 ▲ ．17．已知平面向量3,,,2,3,4,2a b c a b c a b ===⋅=r r r r r r r r ，则a c b c ⋅+⋅r r r r 的最大值是 ▲ ，最小值是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数()21sin cos 2+326f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求24π⎛⎫⎪⎝⎭f 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小正周期及其单调递增区间．19．（本小题满分15分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面A B C D 是菱形，3ABC π∠=，16B BD π∠=，11B BA B BC ∠=∠，1122AB A B ==，13B B =．（Ⅰ）求证：直线AC ⊥平面1BDB ；（Ⅱ）求直线11A B 与平面1ACC 所成角的正弦值．20．（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4212a a -=，42323S S S +=，数列{}n b 满足10b =，且()()()()11111n n n b n b n n +-+=+++（*N n ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列n ⎪⎪⎩⎭前n 项和为n T ，证明：2n T <（*N n ∈）．21．（本小题满分15分）已知抛物线22x py =（0p >）上一点R (,2)m 到它的准线的距离为3．若点,,A B C 分别在抛物线上，且点A 、C 在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC ∆的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点M 且满足32AM BM <，直线BC 交y 轴于点N ．记,,ABC AMG CNG ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求123S S S +的取值范围．22．（本小题满分15分）已知函数()()e eln f x k x kx =-+，其中0k >．()e xg x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当2e 2e e k <<+时，存在唯一的整数0x ，使得()()00f x g x >．（注： e 2.71828=L 为自然对数的底数，且ln 20.693≈，ln3 1.099≈．）第19题图第21题图。

【数学】2020年3月宁波十校联考试题(公众号：三位一体升学指导)

浙江省宁波市宁波十校2020届高三3月联考数学试题一、选择题:本大题共10小题，每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∩Q=A.(1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-1,2)2.双曲线22194x y -=离心率是 13.3A 5.3B 2.3C 5.9D 3.若x,y 满足约束条件026,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则z=x+3y 的最小值是A.-4B.-2C.2D.44.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是34.3A cm 3.2B cm 38.3C cm 3.4D cm5.函数2()()2x b a f x -=的图像如图所示，则A.a>0,0<b<1B.a>0,-1<b<0C.a<0,-1<b<0D.a<0,0<b<16.设a ∈R ，则"a=-2"是"关于x 的方程210x ax ++= 20x x a ++=有公共实数根"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.正方体1111,ABCD A B C D -P 是线段1BD (不含端点)上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β,二面角P-BC-A 的平面角为γ,则A.β<γ<αB.a<β<γC.γ<β<αD.γ<α<β8.已知随机变量的分布列如下1(0):2a <<则A.E(ξ)有最小值12B.E (ξ)有最大值32C.D(ξ)有最小值0D.D(ξ)有最大值12 9.从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数,这样的四位数一共有()个A.576B.1296C.1632D.202010.数列{}n a 满足a 212,1,n n n a a a n N ++==-+∈，则 A.存在k ∈N +,使2122k k k a --<<B.存在,,m k N +∈m k a ka =C.存在,,m k N +∈m k a ma = 12111.1nD a a a +++<L 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分.11.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知，2020i e π=____412.(2)(1)x x ++的展开式中项3x 的系数为____13.在四边形ABCD 中，AB=1,BC=2,CD=3,AD=4，且∠ABC=120°,则AC=_____,cos ∠BCD=____14.已知直线l:y=k(x+1)(k≠0),椭圆C 22:1,43x y +=点F(1,0),若直线和椭圆有两个不同交点A,B,则△ABF 的周长是_____,△ABF 的重心纵坐标的最大值是_____15.函数f(x)=|1-x|-2|x+1|的值域为______;若函数g(x)=f(x)-a 的两个不同零点12,,x x 满足122||10,x x ≤-≤则实数a 的取值范围是____16.已知双曲线221:1,C x y -=曲线222:,x y C x y y x+=-则曲线12,C C 的交点个数是_____个,原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是____.17.设向量1122(,),(,),a x y b x y ==r r 记1212*a b x x y y =-r r .若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三个点123,,,A A A 且1223A A A A ⊥，则1223|**|OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 的最大值是_____三、解答题18.(本题满分14分)设函数f(x)=sinx+cosx,x∈R.(I)已知θ∈[0,2π],函数f(x+θ)是奇函数，则θ的值;(II)若2 (),2fα=求().3fπα+19.（本题满分15分）如图，三棱锥P-ABC中，ΔPAC是正三角形，ΔABC是直角三角形，点D是PB 的中点，且∠APB=∠CPB,PA=2PB.（I）求证：PB⊥AC；（II）求AD与平面PAC所成角的正弦值.20.(本题满分15分)设等差数列{}n a的前n项和为432,4,nS a a S==.数列{}nb的前n项和为*,1,n n nT T b n N+=∈(I)求数列{},{}n na b的通项公式;(II)记,nnnnacb n=⎩为奇数为偶数，数列{}nc的前n项和为,nW证明:1.3nW n<21.(本题满分15分)已知点A(0,a),a>0,抛物线22(0)x py p=>上点B处的切线交x轴于点P，且直线AB交抛物线于另一点C,过点C作AP的平行线交x轴于点Q.(I)证明:AQ//BP;(II)记直线BP,CQ 与x 轴围成的三角形面积为1,S △BOC 的面积为2,S 是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值,若不存在，请说明理由.22.(本题满分15分)已知函数21()(1),2x f x x e x -=+-其中e≈2.71828为自然对数的底. (I)试求函数f(x)的单调区间; (II)若函数21()2x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b. ①求实数a 的取值范围;②证明:13.25b e << (参考数据:1.64 1.65)e <<。

【数学原稿】2020年3月浙江高三名校协作体数学试题卷(含答案)

选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U = 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 ，集合 A = 3, 4,5, 6 ，集合 B = 1,3, 4 ，则集合 ( U A) ( U B) =
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若复数 z = 2 + i ( i 为虚数单位)，则 z = ▲ ． 1−i
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，
= π ，则 6
BG
=
3
3 , PG = 3 ,所以 PO =
21 ,
…………12 分
c= os ∠BPO
3= 6 + 21− 3 2× 6× 21
2
9 21
, sin ∠BPO
= 7 ， 14
B1H
=
37 14
，
…………14 分
故 sin ∠B1A1H
=B1H B1 A1
=3 7 14
．
法二：延长 AA1, BB1, CC1, DD1 交于点 P ，
19．（Ｉ）连接 AC, BD 交于 O ，
因为 BC = BA , ∠B1BA = ∠B1BC ， B1B = BB1 ,
所以 ∆B1BC ≅ ∆B1BA ,故 B1A = B1C …………………2 分
第 19 题图
又因为 O 为菱形对角线交点，即是线段 AC 的中点，所以 B1O ⊥ AC ……4 分又四边形 ABCD 为菱形，故 AC ⊥ BD 而 B1O I BD = O ,所以 AC ⊥ 平面 BDB1 …………………………………………6 分

浙江省宁波市十校2020届高三下学期3月联考数学试题 Word版含解析

浙江省宁波市十校2020届高三3月联考数学试题参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n np k C p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V h S S S S =其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =（）A. (1,2)-B. (0,1)C. (1,0)-D. (1,2)【答案】B 【解析】【分析】直接根据交集的定义计算PQ 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}PQ x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2.双曲线22194x y -=离心率是（）A.3B.3C.23 D.59【答案】A 【解析】【分析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以c =. 由29a = 可知3a =.c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3.若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（）A. 4-B. 2-C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =- 分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A.343cm B. 32cmC. 383cmD. 34cm【答案】C 【解析】【分析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2. 所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积求解，考查了三视图. 5.函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（）A. 0,01a b ><<B. 0,10.4a b >-<≤C. 0,10a b <-<<D.0,01a b <<≤【答案】D【解析】【分析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <. 【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则. 6.设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7.正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（）A. βγα<<B. αβγ<<C. γβα<<D.γαβ<<【答案】A 【解析】【分析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 3232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8.已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪：ξ1 2则（） A. ()E ξ有最小值12B. ()E ξ有最大值32 C. ()D ξ有最小值0 D. ()D ξ有最大值12【答案】D 【解析】【分析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12.故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（）个. A. 576 B. 1296C. 1632D. 2020【答案】B 【解析】【分析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10.数列{}n a 满足21121,n nn a a a a n N ++==-+∈，，则（） A. 存在k N +∈，使1122k k k a --<< B. 存在m ，k N +∈，m k a ka = C. 存在m ，,m k k N a ma +∈= D.121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D 【解析】【分析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n nn a a a +=-+，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-， ()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111......11111111n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-.即121111na a a ++⋅⋅⋅+< 故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，多空题每小题6分，共36分11.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________ 【答案】1 【解析】【分析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=. 故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12.()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________ 【答案】14 【解析】【分析】由二项式定理写出()()421x x ++通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k kx C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=. 故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式. 13.在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________【答案】(2). 14- 【解析】【分析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 即21422cos1207AC =+-⨯⨯=，AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 14ACB ∠==. ()cos cos 90sin 14BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=-故答案为;14-. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.14.已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】 (1). 8【解析】【分析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y Bx y设ABF 的重心纵坐标为0y .则1212033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k = 时，等号成立，此时0y ≤=当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭34k k -=-，即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-. 综上所述：00,66y ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF 的重心纵坐标的最大值是6.故答案为: 8;3. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等. 15.()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________ 【答案】 (1). (],2-∞ (2). 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--.综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.16.已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________ 【答案】 (1). 0 (2). 2 【解析】【分析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C上的点之间的距离为r =设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.17.设向量()()1122,,,a x y b x y ==，记1212*a b x x y y =-，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +的最大值是___________ 【答案】16 【解析】【分析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径r =设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223A A A A ⊥得13A A 为直径，由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题. 三、解答题18.设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）3f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角恒等变换求得()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值. （2）由()22f α=可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，则所求26sin cos 344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19.如图，三棱锥P ABC -中，PAC 是正三角形，ABC 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，， ∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC 为等腰直角三角形取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角.设2PB =，则PAC 的边长为4，BA BC ==PBO中，122PB OB OP DT ====，APB △中，42PA AB BP ===，，D 为PB的中点，∴AD =在Rt ADT △中，sin 22DT DAT AD ∠==，故AD 与平面PAC所成角的正弦值22【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n nn c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W，证明：13n W <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形2114kmmn mk k W W ==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑，∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥=<=∴21mmk k ==<+=∑1133n W <<+.②当21n m =-时，21213n m m W W W -=<<+.综上①②得：13n W <【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21.已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q . （1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC 的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理. 【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】【分析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ 的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-，令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形 ∴1101122PQTAQPQ P S SSOA x x ap t t ===-=-， ∵21011222OBCB C S S OA x x a p t t ==-=⋅-，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22.已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：12b <.（参考数据：1.64 1.65）【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x xx a+--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求12b <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a > 又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e xa e x g x xx a xx ae ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减，故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈，存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即12b <<12b <. 【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2021年3月浙江省名校协作体(G12)高三下学期联考数学试及答案题

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1．设全集U = {1, 2,3, 4,5, 6} ，集合 A = {2,3,5} ， B = {1,3, 4, 6} ，则集合 A U B = （ ▲ ）
A． {3}
B． {2, 5}
4
2020 学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案
命题：学军中学
高三年级数学学科
嘉兴一中（审校）审核：衢州二中
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 B C D D B A A C D D
【解析】由点 P 的唯一性知 OP OA ，所以 OP OA OA OB OA OA OB 0 ，
2
又 OP
OA OB
2
得2
2 OA OB
2
4
.两式联合得 2
4
2
，所以
2
2 4
4 ，等号当且仅当
2 时等号成立.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(a2015 −1)3 + 2019 (a2015 −1) =−1，则下列结论正确的是
（▲）
A． S2020 = 2020 ， a2015 < a6
B． S2020 = 2020 ， a2015 > a6
C． S2020 = −2020 ， a2015 ≤ a6
D． S2020 = −2020 ， a2015 ≥ a6

2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题(wd无答案)

2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，则( )A．B．C．D．(★) 2. 椭圆的离心率是( )A．B．C．D．(★★) 3. 若实数 x， y满足约束条件，则的最大值是( )A．2B．C．D．(★★) 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．35B．40C．D．48(★★★) 5. 若 a，b∈ R.则“关于 x的方程有两个不等实数根”是“ a >| b|+1”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6. 函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．(★★★) 7. 随机变量的分布列如下表所示，若，则 ( )-11A ．4B ．5C ．6D ．7(★★★) 8. 已知函数的图象与的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．(★★★★★) 9. 已知矩形为中点，沿直线将翻折成，直线与平面所成角最大时，线段长是( )A．B．C．D．(★★★★★) 10. 数列满足表示数列前 n项和，则下列选项中错误的是( )A．若，则B．若，则递减C．若，则D．若，则二、双空题(★★) 11. 已知复数 z满足为虚数单位)，则复数 z=________；| z|=________. (★★) 12. 二项式的展开式中，各项系数之和为64，则 n=________；展开式中的常展开式中的常数项是________. (用数字作答)(★★★) 13. 已知椭圆.点 E为椭圆在第一象限内一点，点 F在椭圆上且与点 E关于原点对称，直线与椭圆交于 A， B两点，则点 E， F到直线 x+ y-1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形 AEBF的面积是________.(★★★) 14. 在锐角中，已知内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，，则的取值范围是________.若这个三角形中的 A， B同时满足 tanA=2 tanB，则________.三、填空题(★★★★) 15. 设正数 a， b满足，，则的最大值是________.(★★★★) 16. 已知平面向量，，若对于任意的向量均有的最小值为，则的取值范围是________.(★★★★) 17. 已知函数，当时，的最小值为，且对任意的，不等式恒成立，则实数 m的最大值是________.四、解答题(★★★) 18. 已知关于 x的函数，其图象过点. （1）求实数 m的值；（2）设，，求的值.(★★★) 19. 如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， BC// A ，为正三角形， M为 PD中点.（1）证明: CM//平面 PAB；（2）若二面角 P- AB- C的余弦值为，求直线 AD与平面 PBD所成角的正弦值.(★★★) 20. 已知数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记为的前项和，证明: .(★★★) 21. 如图，已知椭圆 C: 过原点的直线与椭圆交于 A， B两点(点 A在第一象限)，过点 A作 x轴的垂线，垂足为点，设直线 BE与椭圆的另一交点为 P，连接 AP得到直线 l，交 x轴于点 M，交 y轴于点 N.（1）若，求直线 AP的斜率；（2）记的面积分别为 S 1， S 2， S 3，求的的最大值.(★★★★) 22. 已知函数，(其中 e为自然对数的底数).（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.。

2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题(解析版)

2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{(){}|,|ln 1A x y B x y x ====-，则A B =I ( )A ．{|2}x x ≥B ．{|12}x x ≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x >【答案】A 【解析】根据二次根式的被开方数大于等于0，即可求出集合A ，根据对数函数的真数大于0，即可求出集合B ，再根据交集的运算即可求出A B I . 【详解】解：由题意得，{{}|2A x y x x ===≥，(){}{}|ln 11B x y x x x ==-=>，则{}2A B x x ⋂=≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算和函数的定义域，运用到二次根式的被开方数大于等于0和对数函数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题.2．椭圆22124x y +=的离心率是( )A ． BC ．2D 【答案】C【解析】根据椭圆的方程求得a 、c 的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆22124x y +=中，2a =，b =c ==因此，椭圆22124x y +=的离心率为2c e a ==. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.3．若实数x，y满足约束条件203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是( )A．2 B．9 4C．134D．154【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值. 【详解】不等式组203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如下图阴影部分所示：目标函数2z x y=+，可整理为1122y x z=-+，与直线12y x=-平行.数形结合可知，目标函数当且仅当过点17,44A⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值.故17152444maxz=+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划问题的最值求解，注意数形结合即可，属基础题.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．35B ．40C ．402D ．48【答案】B【解析】由三视图还原出几何体的直观图，可知几何体为四棱柱，再利用棱柱的体积公式，结合题给数据，即可求出几何体的体积. 【详解】解：由题给的三视图可得，该几何体为如下图：即为直四棱柱ABFE DCGH -，4,1AB EF ==，4BF BC ==，则底面ABFE 的面积为：()144102S +⨯==，棱柱的高：4h BC ==，该几何体的体积为：10440V Sh ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，涉及棱柱的体积公式，画出几何体的直观图是解题的关键.5．若a ，b ∈R .则“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“a >|b |+1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根，由根的判别式得出24a b >，由于a ，b R ∈，可取0,1a b ==-，进行验算即可判断不能推出1a b >+，反之已知1a b >+，则444a b ->，利用()220a -≥，可得出24a b >，则>0∆，可知能推出方程20x ax b -+=有两个不等实数根，最后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得出答案. 【详解】解：由题可知，a ，b R ∈，若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根，则240a b ∆=->，即24a b >，取0,1a b ==-时满足24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根，但此时1a b <+，故充分条件不成立；反之，若已知1a b >+，即1a b ->，则444a b ->，由于()220a -≥，即244a a ≥-，所以24a b >，则有24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根，故必要条件成立；所以“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“1a b >+”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程根和判别式的关系是解题的关键. 6．函数()2x x xx e y eππ--+≤=…的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用定义法判断函数的奇偶性，得出()f x 为奇函数，排除C 和D ，由于()()()()222x x x x xx e e x e e f x ee---+--'=+，当3x =，求得()30f '<，得出原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确.【详解】解：由于函数()()2x x xf x ex e y ππ-=-≤=≤+，则()()2xx x f xee f x -+--==-，所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，排除C 和D ，由于()()()()222x x x x x x e e x e e f x e e ---+--'=+，当3x =时，()()333333268222640xxx x e ex e e e e e e e e--+--=+-+=-+<，即()30f '<，即原函数图象逼近π时，切线的斜率小于0，所以原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，利用定义法判断奇偶性和利用导数法判断单调性进行排除.7．随机变量ζ的分布列如下表所示，若()13E ζ=-，则()31D ζ-=( ) ζ-1 0 1p12abA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由于()13E ζ=-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D ζ，再由()()319D D ζζ-=，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E ζ=-Q ，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()5319959D D ζζ-==⨯=，所以()315D ζ-=. 故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，考查运算求解能力.8．已知函数()||f x x x a =-的图象与()31g x ax =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A ．1, 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．⎫∞⎪⎪⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．1(2 【答案】A【解析】当0a <时，根据函数的图象知()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，根据()f x 和()g x 相切时的图象即可得到a 的取值范围. 【详解】当0a <时，如图所示：()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，()f x 和()g x 相切时，如图所示：()31x x a ax -=-，即2410x ax -+=. 21640a ∆=-=，解得：12a =. 所以当12a >时，()f x 和()g x 的图象有三个不同的交点. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数，同时考查了分类讨论的思想，根据题意画出图象为解题的关键，属于中档题.9．已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，沿直线DE 将ADE V 翻折成PDE △，直线PB 与平面BCDE 所成角最大时，线段PB 长是( )A ．743 B ．543C ．742D ．542【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ，AF DE ⊥，进而有DE ⊥平面POF ，过点P 作PQ AF ⊥于点Q ，可证PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ，设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，根据条件可知,AO DE PO DE ⊥⊥，PQ ⊥平面BCDE ，,PBQ POQ αβ∠=∠=，通过边长关系求出OQ β=，PQ β=，AQ AO OQ β=+=，以及利用余弦定理求出)228BQ β=+，从而得出)()22222tan 8PQ BQ βαβ==+，根据同角三角函数关系和换元法令[]2cos 64,8t β+=∈，得出24tan 1328t tα=-++-，再根据基本不等式时得出当cos 3t β=⇒=时，2tan α取得最大值，从而可求出线段PB 长【详解】解：取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为AB 中点，所以四边形AEFD 为正方形，AF DE ⊥，所以,,PO DE OF DE PO OF O ⊥⊥=I ，故DE ⊥平面POF ，在平面POF 内过点P 作PQ AF ⊥于点Q ，则,DE PQ DE AF O ⊥=I ，所以PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ，设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，即PBQ α∠= 设平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，,OF DE PO DE ⊥⊥，所以POQ β∠=，所以DE PO AO ===所以在Rt POQ △中，,PQ OQ ββ==，则AQ AO OQ β=+=，在ABQ △中，4,4AB BAQ π=∠=，则由余弦定理得出：()22822cos BQ β=++，则有()()222222sin tan 822cos PQBQ βαβ==++222sin 822cos 4cos βββ=+++22sin cos 2cos 5βββ=++ 221cos cos 2cos 5βββ-=++22cos 61cos 2cos 5βββ+=-+++，令[]2cos 64,8t β+=∈，则6cos 2t β-=，即：24tan 1328t tα=-++-，当直线PB 与平面BCDE 所成角α最大时，2tan α最大，即24tan 1328t tα=-++-取得最大值时，当且仅当32t t=，此时42cos 223t β=⇒=-，所以，()()2222sin 822cos PB ββ=+++72124cos 822β=+==，即742PB =.故选：C.【点睛】本题考查线面角和二面角的定义，还运用余弦定理和利用基本不等式求最值，还涉及同角三角函数关系和换元法，考查转化思想和化简运算能力.10．数列{}n a 满足*31101,N ,n n n n a a a a n S +>=-∈+，表示数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，则下列选项中错误．．的是( ) A ．若1203a <<，则1n a < B ．若1213a <<，则{}n a 递减 C ．若112a =，则1142n n S a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭D ．若12a =，则200023S >【答案】D【解析】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈，利用导数求出()()0,1f x ∈即可；对于选项B，首先得到当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭，然后结合1213a <<和21a a <可得出{}n a 递减；对于选项C ，证明11114n n n a a a +⎛⎫>-⎪⎝⎭即可；对于选项D ，证明117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可. 【详解】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈则()231f x x '=-，所以()f x在0,3骣琪琪桫上单调递减，在3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增因为()()01,10,1139f f f ⎛⎫==->= ⎪⎪⎝⎭，所以()()0,1f x ∈ 所以当()120,0,13a ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭时1n a <，故A 正确对于选项B ，()()3212111n n n n n n n a a a a a a a +=-+=-+--因为1213a <<，所以21110a a +->，所以21a a < 因为()31f x x x =-+在3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭所以1231n a a a a >>>>>->L ，所以{}n a 递减，故B 正确对于选项C ，令()391,05g x x x x =-+> 则()2935g x x '=-，易得()min 10525g x g ⎛==-> ⎝⎭所以39105n n a a -+>，所以3415n n n a a a -+>，即145n n a a +> 所以11114n n n a a a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭所以122132111111111111144++1114244n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++>-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L故C 正确对于选项D ，因为12a =，所以()32121210n n n n n n a a a a a a +=-=-+-+>所以()22114n nn n a a a a +>-≥≥令()381,4h x x x x =-+>，则()238h x x '=-易得()()40h x h >>，所以3810n n a a -+>，所以317n n n a a a -+>，即17n n a a +>所以117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭所以2233411111711711711++22666n n n n a a a a a a a a S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 2111711171111226267263n n a a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+-<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故D 错误故选：D 【点睛】本题考查的是数列的综合问题，解答的关键是结合导数的知识，构建合适的不等式，属于难题.二、双空题11．已知复数z 满足()1234(i z i i -=+为虚数单位)，则复数z =________；|z |=________.【答案】12i -+【解析】根据复数的运算法则即可化简求得复数z ，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为()1234i z i -=+，故可得()()()()341234510121212125i i i iz i i i i +++-+====-+--+.又z ==故答案为：12i -+【点睛】本题考查复数的运算法则，以及复数模长的求解，属综合基础题.12．二项式3(n x-的展开式中，各项系数之和为64，则n =________；展开式中的常展开式中的常数项是________. (用数字作答) 【答案】6 135【解析】令1x =，求出展开式各项的系数和，建立关于n 的方程，进而求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出项数，即可得出结论. 【详解】对于二项式3(n x，令1x =，得各项的系数和为264,6nn =∴=，二项式63(x的展开式中，通项为366621663()((1)3k k k k k k k k T C C x x---+==-⋅⋅，0,1,2,6k =L ，令360,42k k -==，所以展开式中常数项为2463135C ⋅=.故答案为：6，135. 【点睛】本题考查二项展开式定理以及性质，利用赋值法是解题的关键，熟记展开式的通项，属于基础题.13．已知椭圆2214x y +=.点E 为椭圆在第一象限内一点，点F 在椭圆上且与点E 关于原点对称，直线10x y +-=与椭圆交于A ，B 两点，则点E ，F 到直线x +y -1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形AEBF 的面积是________. 【答案】10855【解析】根据题意，设出,E F 两点坐标，利用点到直线的距离公式，求得距离之和的表达式，结合E 点在椭圆上坐标满足椭圆方程，利用柯西不等式即可求得距离之和的最大值；联立椭圆方程和10x y +-=，求得,A B 两点坐标，即可求得AB ，则四边形的面积可得. 【详解】根据题意，作图如下：不妨设()00,E x y ，则()00,F x y --，故,E F 到直线10x y +-=的距离之和0000112x y x y d +-+++=因为点E 是椭圆上位于第一象限的点，根据直线划分平面，以及点E 位于直线AB 的右上侧，故可得：0010x y +->，且0010x y ++>，则)0000001122x y x y d x y +-+++==+.又因为点E 在椭圆上，故220044x y +=，由柯西不等式可得：()()222220001412x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()2005x y +≤，解得00x y +≤，当且仅当00x y ==时取得等号.故)00d x y =+≤=；联立椭圆方程2214x y +=与直线方程10x y +-=，可得2580x x -=，解得()830,1,,55A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得5AB ==.故四边形AEBF 的面积125S AB d =⨯=.. 【点睛】本题考查椭圆中四边形面积的求解，涉及椭圆中范围问题的求解，涉及柯西不等式的利用，属综合中档题.14．在锐角ABC ∆中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 56A B π+=，则b a的取值范围是________.若这个三角形中的A ，B 同时满足tanA =2tanB ，则()sin A B -=________.【答案】⎝⎭ 16 【解析】（1）利用正弦定理将b a转化为sin sin BA ，然后将B 转化为A ，利用A 的取值范围，求得ba的取值范围. （2）利用tan 2tan A B =以及56A B π+=，结合两角差的正切公式，求得tan A 的值，将()sin A B -转化为含tan A 的表达式的形式，由此求得()sin A B -的值. 【详解】（1）由正弦定理得51sin cossin1622sin sin sin2tanA A Ab Ba A A A Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+由于三角形ABC是锐角三角形，所以0,232 50,62AAB Aπππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⇒<<⎨⎛⎫⎪=-∈⎪⎪⎝⎭⎩，所以)1tan,0,2tan6AA⎛∈+∞∈⎝⎭，所以1223tan2A⎛+⎝⎭.（2）由于5tan tan56tan2tan2tan2561tan tan6AA B AAπππ-⎛⎫==-=⨯⎪⎝⎭+⋅，化简得2tan20A A--=①，由于A为锐角，所以tan0A>，所以①解得tan A=由tan2tanA B=可得sin2sinsin cos2cos sincos cosA BA B A BA B=⇒=，所以()sin sin cos cos sinA B A B A B-=-5cos sin cos sin6A B A Aπ⎛⎫==-⎪⎝⎭211cos cos cos cos22A A A A A A⎛⎫==⎪⎪⎝⎭222211cos sin cos tan2222cos sin1tanA A A AA A A++==++，将tan A=得211221tan6AA+=+，即()1sin6A B-=.故答案为：（1）23⎛⎝⎭；（2）16.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变形，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.三、填空题15．设正数a ，b 满足， 11316a b a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a bb a +的最大值是________.【答案】18【解析】变形已知13(3)()16a b a b+++=，利用基本不等式构造a b b a+，由1316(3)()a b a b =+++≥化简可得解. 【详解】113()16a b a b +++=Q ，13(3)()16a b a b∴+++=1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.16．已知平面向量,,a b c r r r ，1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r ，若对于任意的向量d r均有||d c -r r|d a -r r ，则||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是________.【答案】⎡⎣【解析】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D，取1(1,0),(2a b ==r r，则点C 在直线2x =上，设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r ||CD d =≥，所以||22AD d =，设(,)D x y ，可得点D 的轨迹方程为2212x y +=，再根据椭圆的定义可得结果. 【详解】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D ，因为1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r，取13(1,0),(,)22a b ==rr，则由2a c ⋅=r r 可知点C 在直线2x =上，设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r||CD d =≥，根据题意得2||2||d a AD d -==rr，即||22AD d =，设(,)D x y ，则22(1)22x y -+=，化简得2212x y +=，所以动点D 的轨迹是以A (1,0)为焦点，直线2x =为准线的椭圆，设另一个焦点为1A ，则1(1,0)A -，易知点13(,)2B 在椭圆内，如图所示：所以||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+11|||||DA DB A B =+≤+==D 为1BA 的延长线与椭圆的交点时取得等号，||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+1||||DA DB =+1||A B ≥=当D 为1A B 的延长线与椭圆的交点时取得等号，所以||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣【点睛】本题是平面向量和椭圆的综合题，根据平面向量的几何意义得到动点D 的轨迹为椭圆是解题关键，考查了根据椭圆的定义求动点到定点的距离之和的最值，属于难题. 17．已知函数()||1ln x a f x xex -=--，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0，且对任意的1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式22cos ax m x ≥-恒成立，则实数m 的最大值是________. 【答案】2【解析】根据题意，由()f x 的最小值为0分析可得1a =，再对不等式变形可得22cos x x m +≥，构造函数()22cos g x x x =+，求得最小值为()02g =，即可得到结论.【详解】由题意，()1ln ,1ln 1ln ,x a x aa x xe x x af x xex xe x x a ---⎧--≥=--=⎨--≤⎩，当1a ≤时，()1ln x af x xex -=--，此时()()11x a f x x e x-'=+-，当[)1,x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递增，所以，()f x 的最小值为()1110af e-=-=，解得1a =.当1a >时，()1ln ,1ln ,x a a x xe x x af x xe x x a--⎧--≥=⎨--≤⎩，当x a ≥时，此时()1ln x af x xex -=--，()()110x a f x x e x-'=+-≥恒成立，所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a ae a -=--=，解得1a =（舍），当x a ≤时，此时()1ln a xf x xex -=--，()()110a x f x x e x-'=--≤恒成立，所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a aea -=--=，解得1a =（舍）.综上，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0时，此时1a =，所以，不等式22cos x m x ≥-对1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，即22cos x x m +≥，令()22cos g x x x =+，则()()22sin 2sin g x x x x x '=-=-，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥恒成立，即()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以，当102x -≤<时，()0h x ≤，即()0g x '≤；当01x ≤≤时，()0h x ≥，即()0g x '≥.即()g x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]0,1上单调递增，所以，()g x 在0x =处取得最小值，此时最小值为()02g =，所以，2m ≤，即实数m 的最大值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，构造函数，考查不等式恒成立，属于中档题.四、解答题18．已知关于x 的函数()22sin cos ,f x x x x m m R =-++∈，其图象过点(,2)12π. （1）求实数m 的值；（2）设()0,απ∈，212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求cos α的值.【答案】（1（2.【解析】（1）根据题意化简函数()f x ，再由函数图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到m . （2）根据212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，可得1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由()0,απ∈可得cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再将cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得到结论. 【详解】由题意，())22sin cos 1cos2sin 2f x x x x m x x m =-++=-++，即()2sin 23f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）因函数()f x 其图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即2sin 21263f m πππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m . （2）由12sin 232f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,απ∈，则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以，cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即11cos 24α=+=【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形90ADC ︒∠=，BC //A D ，1,2,CD BC AD PAB ===∆为正三角形，M 为PD 中点.（1）证明:CM //平面PAB ；（2）若二面角P -AB -C 的余弦值为33，求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）根据题意，取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，利用中点可得平面//PAB 平面MEC ，进而可得结论；（2）根据题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，计算可得PE EF ⊥，进而可得PE ⊥平面ABCD ，建立坐标系，利用空间向量计算即可. 【详解】（1）证明：取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，如图：由题意，ABCD 为直角梯形，1BC CD ==，2AD =，M 为PD 中点， ∴ME PA //，//EC AB ，又PA AB A =I ，ME EC E =I ，∴平面//PAB 平面MEC ，而CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面PAB ，故//CM 平面PAB .（2）由题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，如图：因ABE ∆为等腰直角三角形，PAB ∆为正三角形，则EF AB ⊥，PF AB ⊥，即AB ⊥平面PEF ，即PE AB ⊥即二面角P AB C --的平面角为PFE ∠，则3cos 3PFE ∠=，又2AB =，则62PF =，2EF ，由余弦定理可得1PE =，则222EF PE PF +=，即PE EF ⊥，而EF AB F =I ，所以，PE ⊥平面ABCD ，由ABCD 为直角梯形，所以，以,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，则()0,2,0AD =u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()1,0,1PB =-u u u r设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由00n PD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即00y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1z =，所以1x y ==，所以，平面PBD 的一个法向量为()1,1,1n =r，所以3sin cos ,323n AD θ===⨯r u u u r，即直线AD 与平面PBD 所成的正弦值为33. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．20．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足()11*N 1,2,n n n a a S S n n -=-∈=….（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n T 为{}1n n a S +的前n 项和n *∈N ，证明: ()31421n T n n ≥-++.【答案】（1）()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）可得()1211n n a S n n +=-+，即21321n n n T a S a S a S +=+++L ，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）当2n ≥时，由11n n n n n a S S S S --=-=-⋅，即1111n n n n n n S S S S S S ----=-⋅⋅，所以，1111n n S S --=，又11111S a ==，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列，所以，1n n S =，即1n S n=，故()111n n n a S S n n -=-=--，而11a =，故数列{}n a 的通项公式：()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩. （2）由（1）可得()1211n n a S n n +=-+，所以，()2132122211112231n n n T a S a S a S n n +=+++=---⨯⨯+L L 要证明()31421n T n n ≥-++，即证明()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L . 数学归纳法证明：当1n =时，左边211122=-=-⨯，右边31142122=-+=-⨯⨯，不等式成立；假设当n k =时，()()2221111221233411k kk k -+---≥⨯⨯++L 成立，那么当1n k =+时，左边()()()2222111112231111k k k k =----⨯⨯++++L ()()()()()22231132421412212k k k k k k k k k ++-+-=-++≥++++()()()()()22213344212212k k k k k k k k k k ++-+=-++≥+++()()3142111k k =-+=+++右边.即当1n k =+时，不等式也成立；综上，当n *∈N 时，不等式()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L 成立，故()31421n T n n ≥-++. 【点睛】本题考查了递推关系的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21．如图，已知椭圆C :2212x y +=过原点的直线与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点()0,0E x ，设直线BE 与椭圆的另一交点为P ，连接AP 得到直线l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N .（1）若01x =，求直线AP 的斜率；（2）记,,ABP OEP OMN ∆∆∆的面积分别为S 1，S 2，S 3，求1232S S S -的的最大值.【答案】（1）2-；（2）12. 【解析】（1）根据01x =，求出,,E A B 的坐标，再求出直线BE的方程，并与椭圆方程联立解得P 的坐标，最后用斜率公式可得直线AP 的斜率；（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，利用三角形的面积公式求出12002S S x y -=，根据斜率公式和椭圆方程可得PA 的斜率和直线PA 的方程，进而求出,M N 的坐标和3S ，最后用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为01x =，所以022y =，所以(1,0)E ，2(1,)A ，2(1,)B --，所以直线BE 的方程为：220(1)11y x ---=---，即221x y =+，联立2222112x y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得2104210y y +-=，所以122y =-，2210y =，所以72(,)510P ，所以222102715APk -==--.（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，则1ABE APE S S S =+V V 000101()2x y y x x =+-，因为11(,)P x y 在直线BE ：0002x x y x y =+上，所以011002x x y x y =+，所以0100010212x S x y y y y =+⨯0001x y x y =+，因为20112S x y =，所以12000101002S S x y x y x y x y -=+-=，因为221101022101010o PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-2210221011111222x x x x -+-==--，所以0011222PA PB x k y k y x =-=-=-⨯，所以直线PA ：0000()x y y x x y -=--，所以2000(,0)y M x x +，2000(0,)x N y y +，所以2200300001()()2y x S x y x y =++2220000()2x y x y +=，所以0012222003002()2x y S S x y S x y -=+2200222002()x y x y =+2200220024x y x y ≤12=，当且仅当00x y=3=时，等号成立. 所以1232S S S -的的最大值为12. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点问题，考查了直线方程的点斜式和直线的斜率公式，考查了基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()ln xa f x a xe a e x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，a R ∈(其中e 为自然对数的底数).（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若不等式()ln f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）1e a e -≥.【解析】（1）将1a =代入解析式，并求得()f x '，令()1xx g x e =-+并求得()g x '；由()g x '的符号可判断()g x 的单调性，进而求得()min 0g x >，即可由()f x '符号判断函数()f x 的单调性；（2）根据不等式及函数()f x 的解析式，代入后化简变形，并令xt a=，转化为关于t 的不等式，分离常数后构造函数()ln tt t e h t te--+=，求得()h t '后，再构造函数()1ln g t t t e =+--，求得()g t '；由()g t '的符号可判断()g t 的单调性，进而可知存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =，从而判断出()h t 的单调性与极值点，结合函数解析式求得()()10e h e h t e -==，即可由恒成立问题求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，函数()xf x xe e x -=-+，则()()211x xx xx e xe e f x x e e --++'==，令()1x x g x e =-+，则()1xg x e '=-，令()0g x '=，解得0x =，所以当0x <时，()10xg x e =-<'，()1xx g x e =-+在0x <时单调递减，当0x >时，()10xg x e =-'>，()1xx g x e =-+在0x >时单调递增，即()()min 1200xg x g e x -+==>=，所以()10x xx e f x e '=+>-，即函数()f x 在R 上单调递增.（2）当0a >时，不等式()ln f x a x ≥恒成立，代入可得ln ln xa a xe a e x a x -⎛≥⎫+-+ ⎪⎝⎭，因为0a >，化简可得ln ln xax xe a e x a -+-≥+，即ln 0x a x xxe a ae ---≥+，令,0xt t a=>，所以,x at =则不等式可化为ln 0t ate e t t --+≥-，变形可得ln tt t e a te--+≥，令()ln tt t e h t te--+=，则()()()()()()2211ln 11ln t t t t t te t t e e te t t t e t h t t e te-----⎛⎫---+- ⎪-+--⎝⎭'==，令()1ln g t t t e =+--，则()111t g t t t-'=-=，令()0g t '=，解得1t =，当01t <<时，()0g t '<，则()g t 在01t <<内单调递减，当1t <时，()0g t '>，则()g t 在1t <内单调递增，而()111ln120g e e =+--=-<，221130g e e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，()0g e =，所以存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =，从而当()00,t t ∈时()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()00,t t ∈时单调递增；当()0,1t t ∈时，()0h t '<，则()ln t t t e h t te--+=在()0,1t t ∈时单调递减；当()1,t e ∈时，()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t e ∈时单调递增；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t ∈+∞时单调递减.则()ln tt t e h t te --+=在0x t =或x e =处取得最大值，而()11e e h e e e e--==⋅，()00000ln t t t e h t t e --+=⋅，因为()00g t =，即001ln 0t t e +--= 则()ln 11001000000000ln t t e e e t t t e t e e e h t e t t t t e -+-+---+⋅=====，综上可知，a 的取值范围为1e a e -≥. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性的关系，函数单调性、极值、最值的综合应用，由导函数研究不等式恒成立问题，分离参数与构造函数法的综合应用，是高考的常考点，属于难题.。

2020年3月浙江省学考选考高2020届高2017级高三宁波十校联考数学试题参考答案

k =1 2k − 1
k =2
Wn
1 3
+
2m −1 1 + 3
n 成立。……13 分
②当
n
=
2m
− 1 时，Wn
= W2m−1
W2m
1 3
+
n 成立。
综上①②得：Wn
n + 1 .……15 分 3
21．解：
（1）证明：设
B(2 pt0 , 2 pt02 ),C(2 pt1, 2 pt12 ) ，则直线 BC 的方程为 y = (t0 + t1)x − 2 pt0t1 ……2 分
即 a 1.……7 分
②又 g(x) = ex (x2 + 2x + a) − 2(x + 1)(ex + 1) = (x2 + a − 2)ex − 2(x + 1) ，……9 分
(x2 + 2x + a)2
(x2 + 2x + a)2
则 g(x) = 0 等价于 a − 2 = 2(x + 1)e−x − x2 = 2 f (x) ，由(Ⅰ)知， y = 2 f (x) 在 (−,0) 上递增，在 (0, +) 上递减, 故函数 g(x) 存在极小值，必有 a − 2 2 f (0) = 2 ，即1 a 4 .……11 分
（1） a4 = 4, a3 = S2 a1 = 1, d = 1,an = n ……2 分 Tn + bn = 1 ，Tn-1 + bn−1 = 1 ……4 分
得 b1
=
1 2
， bn
=
1 2
bn−1
，

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