数列求和专题解析

(2 4 6
2n) (1 1 48

1 2n1
)

n(2 2n)

1 4
1
1 2n

2
1 1
2

n(n
1)

1 2

1 2n 1
(2)
an

(xn

1 )2 xn

x2n

1 x2n
2
Sn

(x2

1 x2

2)
(x4

1 x4
a a2 an 1 2 n
当a=0时，Sn
n n 1

2
当a=1时，Sn
n n n 1 1 n2 1 n
2
22
当a 0,1时，Sn a 1 an
nn 1

1 a
2
例5、Sn =
1 1×3
+
1 3×5 +……+




1
nn 1
选作：设ak 12 22 32 k 2，则数列
3 a1
,
5 a2
,
7 a3
,



的前n项和Sn .
祝愿同学们学业有成， 前途似锦！
例3.求下列数列的前n项和
（1） 2 1 , 4 1 , 6 1 , 4 8 16
1 , 2n 2n1
2(x

1 )2 , ( x2 x

1 x2
)2,
, (xn

1 xn
)2
解（1）：该数列的通项公式为
an

2n
1 2n1
11 1
1
sn

2
4

4 8
6 16

(2n ) n1 2
x + 2x2 + … + (n-1)xn-1+nxn
∴ ① -②，得：
(1-x)
Sn
=1+x+x2+ …
=
1-xn 1-x
- nxn
+
xn-1 -
nxn
∴
Sn=
1-(1+n)xn+nxn+1 (1-x)2
3.错位相减法：设数列 {an} 是公差为d的等差数列
（d不等于零），数列 {bn} 是公比为q的等比数列(q不
4.拆项相消法（或裂项法）：若数列 {an} 的通项公
式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：
an

m( 1 bn1

1 bn
)
s 或（
an

m( 1 bn

1) bn1
）则可用如下方法求前n项和
n.
sn a1 a2 a3 an
m( 1 1 ) m( 1 1 ) m( 1 1 )
1 (2n-1)×(2n+1)
[分析]：观察数列的前几项：
1 1×3
=
1 （1 21
1 3
）
裂项相
1 1 (1 1) 35 2 3 5
消法
1 (2n-1)×(2n+1)
=
1（ 1 2 2n-1
-
1） 2n+1
这时我们就能把数列的每一项裂成 两项再求和，这种方法叫什么呢？
例5、Sn =
1 1×3
例4、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析]
这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ①
相减 xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
数列求和专题
临沂一中高二数学组
数 列 求和
介绍求一个数列的前 n 项和的几 种方法：
1运用公式法 2 通 项 分 析 法（分组求和法）
3 错位相减法 4 裂项相消法 5 奇偶并项求和法
1.公式法：即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：Sn

n(a1 2
an )

na1

1 d
(1 a1

1 a2
)

1 dwenku.baidu.com
(1 a2

1 a3
)

1 d
(1 an
它方a1n的法1拆你) 项掌
1(1 1 1 1 d a1 a2 a2 a3
1 1 ) an an1
握了吗？
1(1 1 ) n .
d a1 an1
a1an 1
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
等于1），数列 {cn} 满足：cn anbn 则 {cn} 的前n项
和为：
Sn c1 c2 c3 cn a1b1 a2b2 a3b3 anbn
练习： 求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n
答案：
Sn =3-
2n+3 2n
作业：
(1).Sn

an+1 1
an1 an
a=1 a 1
对策：
在求等比数列前n项和时，要特别 注意公比q是否为1。当q不确定时 要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求 解。
2.分组求和法：
若数列 {an}的通项可转化为 an bn cn
的形式，且数列{bn}{cn} 可求出前n项和 sb sc 则

1 ) x2
2n
(1

1 x2n
1

1 x2
)

2n
4n(x 1)
Sn


(
x
2
n
1)( x 2 n 2
1)
x2n (x2 1)

2n(x

1)
小活页 P31 例1
练习：（1）求Sn a 1 a2 2 an n
解：1 Sn a 1 a2 2 an n

n3

n(n 1) 2
2

例1：若实数a,b满足：4a2 9b2 4a 6b 2 0
求： a a2b a3b2 a100b99
分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比
数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b， 再用等比数列前n项和公式求和
11 2
41 4
71 8
[(3n

2)

1 2n
]
(2)Sn 1 (1 a) (1 a a2 ) (1 a a2 an1)
(3).Sn x 2x2 3x3 nxn x 0
4Sn

1 1 2

1 23

1 3 4
+
1 3×5 +……+
1 (2n-1)×(2n+1)
解：由通项an=
1 (2n-1)×(2n+1)
=
1（ 1 2 2n-1
-
1） 2n+1
∴Sn=
1（121
1 3
+
1 3
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ） = n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
2)
(x2n 1 2) x2n
(x2 x4

x2n
)

(
1 x2

1 x4

1 x2n ) 2n
当x 1时，Sn n n 2n 4n
当
x 1时，Sn x2(1 x2n 1 x2

(x2n 1)(x2n2 1) x2n (x2 1)

n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 2 3 n 1 n(n 1)
2
Sn

na1(q a1(1
1) qn )
1 q

a1 anq 1 q
(q
1)
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33
1/a=1即a=1时，前n 项和公式
不再成立。
例2 求和：S 1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解：当a=1时， S n 1；
当a 1时，
S

1
1

1 a
n

1



1 1
a
an1 1 an1 an
n 1，
S

5. 1 1 ( a b) a b ab
练习：求an

1
1 23
解：an

1
1 23

n
的前n项和
n

2
n(n 1)
2( 1 1 ) n n 1
Sn

2[(1
1) (1 22
1) 3
( 1 1 )] n n 1
2(1 1 ) 2n n 1 n 1
解：由已知有(4a2 4a 1) (9b2 6b 1) 0
即：（2a-1）2 (3b 1)2
0
解得a= 12，b

1. 3
a a2b a3b2 a100b99
a 1 (ab)100
1 ab
3 (1 1 ).
5
6100
1 2
(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
n项
这时等式的右边是一个等 比数列的前n项和与一个 式子的和，这样我们就可 以化简求值。
例4、求和Sn =1+2x+3x2+ ……+nxn-1 (x≠0,1)
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1
∴xSn =
1
( 1 )100 6

1 1 6
例2 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解： ∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为 1，公比为1/a的等比数列，
∴原式=
1 1
1 a n 1


an1 1
原因： 1 1
an1 an
a
上述解法错误在于，当公比
b2 b1
b3 b2
bn1 bn
1
例6、设 {an}是公差d 不为零的等差数列{b，n}
求： bn 的前n项和
满足 bn anan1
解:
bn

1 an an 1
an1 an dan an 1

11 (
d an
1) an1
Sn b1 b2 b3 bn