数理金融考题
数理金融 习题
1. 假设你必须将 w 投资于两只证券：一只无风险债券和一只风险证券。
投资期为1年。
无风险债券的收益率确定为 fr 。
风险证券的收益率为r ，它的均值为r,而方差为2σ。
假设你的目标就是最大化你的二次效用函数的期望值：21()2E W aW -,其中W 为未来的财富。
(a) 求解最优组合。
(b) 讨论最优组合如何依赖于债券和股票的期望收益率 fr 和r，股票收益率的方差2σ。
2. 假设有四个等概率的可能状态。
状态空间是1234{,,,}w w w w Ω=。
考虑风险资产 A 和B ，它们的收益率如下：在随机占优的意义上，你能为它们排序吗？3. 如果现在投资3000元，第二年末投资1000元，在第四年末将累积为5000元，问利率是多少，采用复利计算。
4.如果年利率在刚开始的3年里为10%，随后的2年里为8%，再随后的1年里为6%，则刚开始的1000元投资在这6年里所获得利息总和为多少元。
5. 小王于1992年5月1日出生，自出生起，他母亲每年为他在银行存1000元，每年的存款日为1月1日，直至他上大学为止，共存了18次。
小王在2010年8月1日获大学录取通知书是将存款全部取出作为学费，设每年年利率为5%，则小王可取得的存款为多少？(2010年1月1日至2010年8月1日按单利计算)6.一张面值为1000元的3年期零息债券的价格是多少？利率为7%。
7. 一张4年期的面值为1000元的债券，年付票息率为10%，到期时按面值赎回，市场利率为8%，则该债券的价格是多少？8. 5年期面值为1000元的债券的票息率和市场利率均为8%，票息每年支付一次，到期以面值赎回，计算久期和修正久期。
9. 10年期的债券，发行价与面值相同，久期为7，凸度为50，如果该债券的收益率上升0.1%，则对债券的价格影响为多少？ 10. 市场上发行甲、乙、丙三种股票，它们在0时刻的发行价分别为每股10元，11元，12元。
在1时刻可以上市交易。
数理金融练习题
数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。
数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。
它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。
在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。
1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。
随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。
在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。
随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。
此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。
2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。
请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。
解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。
根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。
《数理金融》习题参考答案
《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。
题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。
题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。
那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。
因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。
假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。
因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。
题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。
这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。
该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。
大学金融数学试题及答案
大学金融数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 金融数学中，以下哪个概念是用来描述资产未来价值的？A. 现值B. 终值C. 贴现率D. 复利答案：B2. 在连续复利情况下，如果本金为P，利率为r，时间为t，那么资产的未来价值FV的计算公式是：A. FV = P(1 + r)^tB. FV = P(1 - r)^tC. FV = P * e^(rt)D. FV = P / e^(rt)答案：C3. 以下哪个不是金融衍生品？A. 期货B. 期权C. 股票D. 掉期答案：C4. 标准普尔500指数的计算方式是：A. 算术平均B. 加权平均C. 几何平均D. 调和平均答案：B5. 以下哪个不是金融市场的基本功能？A. 资金融通B. 风险管理C. 价格发现D. 产品制造答案：D6. 以下哪个不是金融市场的参与者？A. 银行B. 保险公司C. 政府机构D. 制造业公司答案：D7. 以下哪个不是金融市场的分类？A. 货币市场B. 资本市场C. 外汇市场D. 商品市场答案：D8. 以下哪个不是金融监管机构的职能？A. 制定和执行金融政策B. 维护金融市场稳定C. 促进金融创新D. 保护消费者权益答案：C9. 以下哪个不是金融风险管理的工具？A. 套期保值B. 风险转移C. 风险分散D. 风险接受答案：D10. 以下哪个不是金融数学中常用的数学工具？A. 概率论B. 统计学C. 微分方程D. 线性代数答案：D二、计算题（每题10分，共40分）1. 假设某投资者以10%的年利率投资10000元，投资期限为5年，请计算5年后的终值。
答案：终值为16105.10元。
2. 假设某投资者希望在10年后获得50000元，年利率为5%，请问现在需要投资多少本金？答案：现在需要投资32,143.68元。
3. 假设某公司发行了一张面值为1000元的债券，年利率为6%，期限为3年，每年支付利息，到期还本。
如果投资者在第二年购买了这张债券，购买价格为950元，请计算投资者的年收益率。
数理金融
（1）证券的持有期回报 t 00p0pt t tt p p d r H PR p -+==其中，表示当前的价格，表示未来时刻的价格,d 表示股息收入（红利）（2）预期回报()()()()()()()ssE r p s r s p s r s p s r s s=∑⎰或其中，为各种情形概率，为各种情形下的总收益率，各种情形的集合为（3）证券的风险22()[()()]sp s r s E r σ-∑＝例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如下三种可能，求其期望收益和方差。
(1)(1401004)/10044%r =-+=效用函数：2()0.005U E r A σ=- 例如：对于风险资产A ，其效用为2()0.00510%0.00544002%2()2%f U E r A U E r σ=-=-⋅⋅===它等价于收益（效用）为％的无风险资产夏普比率：对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，除可以采用计算其确定性等价收益U 来比较外，还可以采用夏普比率（Shape rate ）。
()E r C V σ＝它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值。
例：假设未来两年某种证券的收益率为18%，5%和－20%，他们是等可能的，则其预期收益率和风险？夏普比率？22222()()()=(18%5%20%)/30.01()[()()]=[(0.180.07)(0.050.07)(0.20.07)]/30.02487()0.8445ssE r p s r s p s r s E r E r C V σσ=+-==--+-+--===∑∑对于包含n 个资产的组合p ，其总收益的期望值和方差分别为：1n222Ti 11,1,111112121w w...=(,,...,),=(,,...,),r n r w np i ii nnnpiii j ij i j ij i j i j i j n T Tn n nnn p i ir w r w w w w w w w w r r r σσσσσσσσ===≠===+==∑⎡⎤⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑Twrw r=＝其中，为组合的收益，组合中包含种证券，每种证券的收益为，它在组合中的权重是例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值的方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭Tw r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)pσ⎡⎤⎛⎫=∑=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 例2：假设某组合包含n 种股票。
全国股转 数理金融笔试题
全国股转数理金融笔试题1. 我国人民币的主币是：A 元B 角C 分D 厘2. 按复利计算，年利率为5%的100 元贷款，经过两年后产生的利息是：A 5 元B 10 元C 10.25 元D 20 元3. 以下关于汇率的说法中错误的是：A 汇率是两种货币之间的相对价格B 汇率的直接标价法可以表示为1 单位外币等于多少本币C 我国的汇率报价一般采用直接标价法D 我国的汇率报价一般采用间接标价法4. 香港联系汇率制度是将香港本地货币与哪种货币挂钩?A 英镑B 日元C 美元D 欧元5.我国的三家政策性银行是：A 中国人民银行国家开发银行中国农业发展银行B 中国进出口银行国家开发银行中国农业发展银行C 国家开发银行中国农业银行中国进出口银行D 中国农业发展银行国家开发银行中国邮政储蓄银行6. 下列哪一项不属于商业银行的“三性”原则?A 安全性B 流动性C 盈利性D 政策性7. 以下不属于金融衍生品的是：A 股票B 远期C 期货D 期权8. 下列哪家机构不属于我国成立的金融资产管理公司?A 东方B 信达C 华融D 光大9. 我国于2003 年初组建的银行业监管机构是：A 中国人民银行B 中国银监会C 中国证监会D 中国保监会10. 在国际银行监管史上有重要意义的1988 年《巴塞尔协议》规定，银行的总资本充足率不能低于：A 4%B 6%C 8%D 10%11. 目前世界上最大的证券交易所是：A 纽约股票交易所B 伦敦股票交易所C 东京股票交易所D 香港股票交易所12. 股票市场上常常会被提到的“IPO”的意思是：A 首次公开发行，即公司第一次公募股票B 公司第一次私募股票C 已有股票的公司再次公募股票D 已有股票的公司再次私募股票13. H 股是指：A 在我国国内发行、供国内投资者用人民币购买的普通股票B 在我国国内发行、以外币买卖的特种普通股票C 我国境内注册的公司在香港发行并在香港联合交易所上市的普通股票D 我国境内注册的公司在新加坡发行并在新加坡股票交易所上市的普通股票14. 下列属于香港股票市场价格指数的是：A 道琼斯工业指数B 标准普尔股价指数C 日经指数D 恒生指数15. 下列哪一项不属于债券的基本特点?A 偿还性B 风险性C 收益性D 流动性16. 下列关于债券的说法中错误的是：A 债券代表所有权关系B 债券代表债权债务关系C 债券持有者是债权人D 债券发行人到期须偿还本金和利息17. 按照发行人不同，债券可分为：A 政府债券、金融债券B 政府债券、公司债券C 金融债券、公司债券D 政府债券、金融债券、公司债券18. 下列哪种债券利率一般会成为整个金融市场利率体系的基准利率?A 企业债券B 公司债券C 金融债券D 国债19. 下列关于国债的说法中错误的是：A 国债是中央政府发行的债券B 国债是风险最低的债券C 国债利率一般高于相同期限的其他债券D 国债可以作为中央银行公开市场操作工具20.以标准普尔公司的债券信用评级为例，下列哪个评级的信用等级最高?A：AB：AAC：BBD：CC21. 下列关于封闭式基金的说法中错误的是：A 封闭式基金的规模和存续期是既定的B 投资者在基金存续期内不能向基金公司赎回资金C 投资者可以在二级市场上转让基金单位D 基金转让价格一定等于基金单位净值22. 下列哪一项不属于开放式基金的特点?A 没有固定规模B 无固定存续期限C 投资者可随时赎回D 全部资金用于长期投资23. 以下列哪一项为标的物的期货属于金融期货：A 玉米B 股票C 铜D 石油24. 我国证券市场的主要监管机构是：A 中国银监会B 中国证监会C 中国保监会D 中国财政部25. 可以喻为社会经济“急救箱”，能对整个社会起保障作用的金融体系是：A 银行体系B 证券市场C 保险体系D 金融衍生品市场26. 根据保险标的的不同，保险可以划分为：A 财产保险和人身保险B 原保险和再保险C 个人保险和团体保险D 自愿保险和强制保险27. 以各种财产物资和有关利益为保险标的的一种保险是：A 商业保险B 社会保险C 财产保险D 人身保险28. 下列哪一项不属于财产保险：A 团体火灾保险B 机动车辆保险C 建筑工程保险D 健康保险29. 以人的寿命和身体为保险标的的一种保险是：A 商业保险B 社会保险C 财产保险D 人身保险30. 当劳动者达到国家规定的退休年龄后，为解决他们的基本生活而建立的社会保险制度是：A 健康保险B 人寿保险C 人身意外伤害保险D 养老保险31. 社会保险不包括下列哪一项：A 养老保险B 失业保险C 医疗保险D 人寿保险32. 保险公司的资金不能投资于：A 银行存款B 买卖政府债券C 投资基金D 设立证券经营机构33. 目前，我国保险行业专门的监管机构是：A 中国人民银行B 中国银监会C 中国证监会D 中国保监会34. 理财应具备几项基本原则，以下中不正确的是：A 高收益低风险B 量入为出，量力而行C 做足功课，不盲目投资D 控制欲望，不可贪婪35. 房贷“三一定律”指的是，每月的房贷金额不超过家庭当月总收入的：A 三倍B 三分之一C 一倍D 二分之一36. 在下列人的生命周期中,证券投资应最少的是：A 单身期B 家庭成长期C 家庭成熟期D 退休期37. 下列投资渠道中，安全性最高的是：A 储蓄存款B 股票投资C 投资基金D 期货投资38. 在下列投资品种中，风险最高的是：A 国债B 企业债C 股票D 期货39. 下列投资渠道中，流动性最强的是：A 活期储蓄B 证券投资C 集合理财产品D 不动产投资40. 一般而言，蓝筹股是指：A 成交量大、买卖活跃、价格波动幅度较大但一般不会暴涨暴跌的股票B 有长期稳定盈余记录、定期分红派息、信誉良好或者发展潜力巨大、未来成长性好的公司股票C 价格频繁变动且变动幅度大的股票D 公司销售额和利润增长迅速，快于整个经济发展速度的股票。
数理金融复习题(含答案)
12.基于单因子模型，无风险证券的回报率为 4% ，一个具有单位因子 敏感度的投资组合期望回报率为 7% ．考虑具有下述特征的三种证券 的一个投资组合：
证券
因子敏感度
比例
A B C
1.5 3.0 2.0
0.10 0.20 0.70
根据套利定价理论，该组合的均衡期望回报率是多少？
解：由题意：
E ( Rw ) r f 7% 4% 3%
E ( R A ) r f b A 4% 1.5 3% 8.5% E ( R B ) r f bB 4% 3.0 3% 13% E ( Rc ) r f bc 4% 2.0 3% 10%
证券组合回报率为：
E ( R ) E ( R A ) A E ( RB ) B E ( RC ) C 0.1 8.5% 0.2 13% 0.7 10% 10.45%
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
1. 什么是一阶随机占优？一阶随机占优的充要条件是什么？
答： 如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 A 的偏好胜过对资产 B 的偏好， 我们 称资产 A 一阶随机占优于资产 B，记为 A B 。
FSD
设 FA ( x ) 、 其定义域为[a,b]， 则A B FB ( x) 分别是资产 A 的收益率 R A 和 R B 的分布函数，
1 1000, P 2 V1 (2) 1 800, P 2 ， Cov( X 1 , X M ) 0.045 ， var( X M ) 0.3.
r 0.10 ， E ( X M ) 0.20
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D %2．无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型，贝塔值为的证券X 的期望收益率为A B 0.144 C D3．无风险收益率为，市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ，贝塔值为.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e,则其绝对风险厌恶函数()Ax3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
数理金融复习题
1. ※假设组合的收益为r p ，组合中包含n 种证券，每种证券的收益为r i ，它在组合中的权重是w i ，则组合的投资收益的期望和方差为11nnp i i i i i i Er E w r w Er ===∑∑（）＝（）,n 222i 11,1,1nnnpiii j ij ijiji j i j i j w w w w w σσσσ==≠==+=∑∑∑∑＝例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭T w r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.750.01(0.18)0.024475p σ⎡⎤⎛⎫=∑⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=例：假设某组合包含n 种股票。
投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n ，每种股票的收益也是占总收益的1/n 。
设若投资一种股票，其期望收益为r ，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。
11w r (,...,)T p r r r n n r ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭22T2222221...011w w (,...,)0111(,...,)p n n n n n nσσσσσσσ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪=∑⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭++= =＝ 2. ※解马克维茨的均值-方差（Mean-variance ）模型:21min 2..1Tp wT pT s t r σ=∑==w w w r w 1解:构造拉格朗日函数1212,,1()(1)2T T T p w L r λλλλ=∑+-+-w w w r w 1 由于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件1212(1)0 (2)10 (3)T p T LLr Lλλλλ∂=∑--=∂∂=-=∂∂=-=∂w r 10w w r w 1 由(1)得到12λλ∑=+w r 11112λλ--⇒=∑+∑w r 1 (4) (4)代入(2)可得111211121112()()()T T p T T T T r λλλλλλ------==∑+∑=∑+∑=∑+∑w r r 1r r r 1rr r 1r(5)把（4）代入（3）111211121() T T TTλλλλ----==∑+∑=∑+∑w 1r 11r 111（6）为简化，定义11T T a --∑=∑r r r r 11T T b --∑=∑1r r 1 11T T c --∑=∑11112d ac b -将（5）和（6）改写为 12121p r a bb cλλλλ=+⎧⎨=+⎩ 解得12p pcr b cr bd ac bλ--==- 22p pa br a br d ac bλ--==- 可解得给定收益条件下的最优权重向量为11p p cr b a br d d----=∑+∑w r 13. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。
数理金融试题
数理金融试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、选择1. 假设债券A(0)=100元；A(1)=110元，股票S(0)=80元，100(1),60S ⎧⎨=⎩上涨和下跌概率分别为0.8和0.2。
假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，那么该资产组合收益的数学期望()V E K 为（ D ）。
A 、 0.11B 、0.14C 、0.13D 、0.122.下面关于贝塔因子(β)的描述，说法正确的是( A )A.、若某股票的β>1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C 、若某股票的0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3. 两风险资产的对应权重为12(,)ωω，风险分别为2212(,),σσ相关系数为12,ρ则其组合的风险可表示为（ D ）。
A 、22211221212122v σσωσωωωρσσ=++ B 、22211221212122v σωσωσωωρσ=++ C 、22222112212122v σωσωσωωσσ=++ D 、2222211221212122v σωσωσωωρσσ=++ 4. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的是（ A ）。
① μ ② μ0.8ρ= 1ρ=③ μ ④ μ0.8ρ=- 1ρ=-A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④ 5. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的是（B ）(1) μ (2) μσσ0.5ρ=-1ρ=(3) μ (4) μ0.5ρ=σ1ρ=- σA 、(1) (2) (3)B 、(1) (3) (4)C 、(1) (2) (4)D 、(2) (3) (4) 6. 本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足( C )A V1>V2B V1≠V2C V1=V2D V1<V2 7、给定资产组合或单个证券(收益率用 v K 表示)的贝塔因子v β，下列表达式正确的是（ B ） A(,)V M v MCov K K βσ=B 2(,)V M v M Cov K K βσ=C (,)V M v VCov K K βσ=D 2(,)V M v VCov K K βσ=8、设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，则市场风险溢价为（ ），一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率为（ D ）。
数理金融初步
（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。
如果已知两张的花色不同，则他们都是A的条件概率是多少？解：设第一次取出A的事件为A1，第二次取出不同花色A的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/1697若A,B独立，证明下列事件也独立：a)A和B^c b)A^c和B^c证明：a)因为p（B）+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,所以p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)-p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),所以A和B^c独立b)p(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^ cB^c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p(A^c),所以A^c和B^c独立。
9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。
四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。
如果从152位学生中任意选取一位，记X为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。
四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。
a)你认为E（X）和E（Y）哪一个大？b)求出E(X)和E(Y)解：a)E(X)大。
b)由题意知X可取39,33,46,34 。
Y可取39,33,46,34。
所以X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以E（X）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。
最新《数理金融学》题库(含)答案
《数理金融学》题库（含）答案第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。
考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。
其效用函数是对数形式0110111(;;)log (log log )2a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。
他的最优化问题是011011,,0110111maxlog (log log )2s.t.()0,,0a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥其一阶条件为：00110111/1(1/)21(1/)20,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c wc i a bλμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。
因此，0(0,,)i i c i a b μ==。
对于c 我们立即得到如下解：1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b bc λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：2λω=最后，我们有12c w =, 114a a w c φ=, 114b aw c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。
2013-2014第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型，贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为A 0.06B 0.144C 0.12D 0.1323．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e-=-,则其绝对风险厌恶函数()A x =3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险σp 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)TE X m ==，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险σp 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
历年金融数学试题及答案
历年金融数学试题及答案一、选择题1. 假设某项投资的年利率为5%，若按复利计算，1年后本金和利息的总和是多少？A. 5%本金B. 5%本金 + 本金C. 105%本金D. 110%本金答案：C2. 以下哪个是金融数学中常用的折现因子？A. 1 + 利率B. 1 - 利率C. 1 / (1 + 利率)D. 利率答案：C3. 某公司的股票价格在一年内从100元上涨到120元，问其年化收益率是多少？A. 20%B. 15%C. 25%D. 10%答案：A二、简答题1. 简述什么是期权的时间价值，并给出计算公式。
答：期权的时间价值是指期权价格中除去内在价值之外的部分，它反映了期权到期前标的资产价格变动的不确定性。
计算公式为：时间价值 = 期权价格 - 内在价值。
2. 描述债券的到期收益率（YTM）与票面利率（Coupon Rate）的区别。
答：到期收益率（YTM）是指投资者持有债券至到期时的平均年化收益率，它考虑了债券的购买价格、面值、利息支付和剩余期限。
而票面利率（Coupon Rate）是债券发行时确定的，表示债券每年支付的固定利息与债券面值的比率。
三、计算题1. 假设你购买了一份面值为1000元，年票面利率为5%，期限为5年的债券。
如果市场利率上升至6%，债券的当前价格是多少？解：首先计算债券的年利息收入：1000元 * 5% = 50元。
然后使用现值公式计算债券的当前价格：\[ \text{债券价格} = \frac{50}{1.06} + \frac{50}{(1.06)^2} + \frac{50}{(1.06)^3} + \frac{50}{(1.06)^4} +\frac{1000}{(1.06)^5} \]计算得出债券的当前价格。
2. 如果一项投资的现值为1000元，未来现金流分别为第1年100元，第2年200元，第3年300元，年利率为10%，请计算该投资的净现值（NPV）。
解：使用净现值公式计算：\[ \text{NPV} = \frac{100}{(1+0.10)^1} +\frac{200}{(1+0.10)^2} + \frac{300}{(1+0.10)^3} - 1000 \] 计算得出投资的净现值。
数理金融考研题目及答案
数理金融考研题目及答案在数理金融领域，考研题目通常涉及概率论、数理统计、随机过程、微分方程等基础数学工具，以及金融市场的模型和理论。
以下是一些模拟的考研题目及答案：### 题目一：概率论与数理统计问题：设随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 独立同分布，其概率密度函数为 \( f(x) = 2x \)，\( 0 \leq x \leq 1 \)。
求 \( X + Y \) 的分布函数 \( F_{X+Y}(z) \)。
答案：首先，我们知道 \( X \) 和 \( Y \) 的累积分布函数\( F_X(x) \) 和 \( F_Y(y) \) 可以通过概率密度函数 \( f(x) \) 积分得到：\[ F_X(x) = F_Y(y) = \int_0^x 2t \, dt = 2x^2, \quad 0 \leq x \leq 1 \]由于 \( X \) 和 \( Y \) 独立，\( X + Y \) 的分布函数可以通过\( X \) 和 \( Y \) 的累积分布函数的卷积得到：\[ F_{X+Y}(z) = P(X + Y \leq z) = \int_0^z P(Y \leq z - x)f(x) dx \]\[ = \int_0^z (1 - F_Y(z - x)) 2x \, dx \]\[ = \int_0^z (1 - 2(z - x)^2) 2x \, dx \]计算积分，得到 \( X + Y \) 的分布函数 \( F_{X+Y}(z) \)。
### 题目二：随机过程问题：考虑一个股票价格遵循几何布朗运动模型 \( dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \)，其中 \( \mu \) 是期望收益率，\( \sigma \) 是波动率，\( W_t \) 是标准布朗运动。
求股票价格\( S_t \) 的期望值和方差。
答案：根据伊藤引理，我们可以推导出股票价格 \( S_t \) 的微分形式。
历年金融数学试题及答案
历年金融数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）1. 假设某项投资的年收益率服从均值为5%，标准差为2%的正态分布，那么该投资年收益率超过7%的概率是多少？A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B2. 以下哪个不是金融衍生品？A. 期货B. 期权C. 债券D. 掉期答案：C3. 假设某公司股票的预期收益率为10%，无风险利率为3%，市场风险溢价为5%，那么该公司股票的贝塔系数是多少？A. 1B. 1.5C. 2D. 0.5答案：A4. 以下哪个不是金融市场的基本功能？A. 资源配置B. 风险管理C. 价格发现D. 收入分配答案：D5. 假设某投资者持有一个投资组合，其中股票A占50%，股票B占50%，股票A的预期收益率为8%，股票B的预期收益率为6%，那么该投资组合的预期收益率是多少？A. 7%B. 7.5%C. 6.5%D. 7.5%答案：A6. 以下哪个不是金融市场的参与者？A. 投资者B. 借款人C. 监管机构D. 保险公司答案：D7. 假设某债券的面值为1000元，年利率为5%，期限为5年，每年付息一次，那么该债券的年付息额是多少？A. 50元B. 100元C. 200元D. 250元答案：B8. 以下哪个不是金融风险管理的方法？A. 风险分散B. 风险转移C. 风险避免D. 风险接受答案：C9. 假设某投资者购买了一份看涨期权，行权价格为100元，期权费为5元，那么该投资者的盈亏平衡点是多少？A. 95元B. 105元C. 110元D. 115元答案：C10. 以下哪个不是金融市场的分类？A. 货币市场B. 资本市场C. 外汇市场D. 保险市场答案：D二、多项选择题（每题3分，共5题，共15分）1. 以下哪些因素会影响股票的预期收益率？A. 公司的盈利能力B. 市场风险溢价C. 公司的财务状况D. 宏观经济环境答案：A, B, C, D2. 以下哪些属于金融衍生品？A. 期货B. 期权C. 债券D. 掉期答案：A, B, D3. 以下哪些是金融市场的功能？A. 资源配置B. 风险管理C. 价格发现D. 收入分配答案：A, B, C4. 以下哪些是金融市场的参与者？A. 投资者B. 借款人C. 监管机构D. 保险公司答案：A, B, C5. 以下哪些是金融风险管理的方法？A. 风险分散B. 风险转移C. 风险避免D. 风险接受答案：A, B, D三、计算题（每题10分，共2题，共20分）1. 假设某投资者持有一个投资组合，其中股票A占60%，股票B占40%，股票A的预期收益率为12%，标准差为0.2，股票B的预期收益率为10%，标准差为0.15，股票A和股票B的相关系数为0.5，计算该投资组合的预期收益率和标准差。
数理金融试卷 B
一、填空题（每小题2分，总共10分）________(填买入或卖出）对应股票。
.2、 市场交易者大致可分为套期保值者、投机者和____________。
3、 设无风险收益率为%5，某资产的风险溢价为%5.1，则该资产的收益率为____________。
4、 看跌期权合约中的买方称为期权的___________头。
5、 同样标的、到期日、执行价格的美式期权价格___________（填大于，小于或等于）相应的欧式期权价格。
二、选择题（每小题2分，总共20分）X 优于资产Y 的是( )A 、)()(),()(Y Var X Var Y E X E >>B 、)()(),()(Y Var X Var Y E X E <>C 、)()(),()(Y Var X Var Y E X E ><D 、)()(),()(Y Var X Var YE X E <<2、 关于因素模型 ε+-=f X 5.105.0，下列说法错误的是（ ）A 、资产X 与风险因子f 正相关B 、 0)(=f EC 、05.0][=X ED 、0)(=εE3、看跌期权+-)55(S 期权费为5，则其盈亏平衡所对应的股价为（ ）A 、50B 、45C 、55D 、604、设欧式看涨期权+-)(1K S T 和+-)(2K S T 的期权费分别为1C 和2C ，则下列说法正确的是（ ）A 、2121,C C K K >>B 、2121,C C K K <> C 、 2121,C C K K <<D 、说不准5、根据有效市场假说，弱式有效市场中股价反应的信息包括（ ）A 、内幕信息B 、基本面信息C 、历史信息D 、任何信息6 ）A 、、7、设股票初始价格为10，一个月后可能为15也可能为8，现有执行价格为11一个月后到期的看涨期权，对于该期权的空头， 为了对冲一份期权需要买入的股票数量为（ ）A 、1B 、7/4C 、3/7D 、0.58、设两个标的s S =0、执行价K 和到期日T 均相同的欧式看涨看跌期权的价格分别为P C ,，市场无风险利率为r ，如果看涨看 跌平价公式不成立且rT Ke s C P ->+-，则下列正确的套利策略是（ ）A 、买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，剩余资金存入银行B 、从银行借款，卖空看涨期权，买入出看跌期权和股票C 、买入看涨期权和看跌期权，卖空股票和债券D 、买入股票和债券，卖空看涨和看跌期权9、关于资本市场线的说法错误的是（ ）A 、两者均反映了收益和风险的关系B 、两者均为直线且从坐标截距均为无风险利率C 、资本市场线比证券市场线的适用范围大D 、资本市场线体现的是资产组合、证券市场线体现的是资产定价10、股票初始价格150=S ，执行价格为18的看涨期权的期权费为c ，则下列估计合理的是（ ）A 、15<cB 、15>cC 、1815<<cD 、18>c三、名词解释（每题5分，共10分）1、什么是有效市场假说，按照该假说不同的投资技术有什么不同的表现？2、什么是卖空和套利，试举例说明套利交易产生过程。
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1.设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。
如果 给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。
解：由于 2
0.05
1.25(0.20)
β=
=， 所以 0.06 1.25(0.100.06)0.11i r =+-=。
即股票的期望回报率为11%。
2．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：
10.15r =，0.20i v =；20.18r =，20.25v =。
若两个回报率的相关系数0.4ρ=-，
投资者的效用函数为：0.005()1x U x e -=- 求这两个证券的最优组合。
解：设1w y =，2100w y =-，由式 1
[]n
i i i E W w w r ==+
∑ 得：
[]1000.150.18(100)1180.03E W y y y =++-=-。
又由于12(1,2)0.02c v v ρ==-，由式 22
1
1()(,)n n
i i i j i i j i
Var W w v w w c i j ====
+∑∑∑ 得：
22()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0.02)Var W y y y y =+---
20.142516.5625y y =-+。
所以我们应该选择y ，使下式的值达到最大：
21180.030.005(0.142516.5625)/2y y y ---+
或等价的，最大化
2
0.011250.0007125/2y y -。
简单计算后得知y 取下值时，上式达到最大：
0.01125
15.7890.0007125
y =
=。
即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。
将15.789y =代入前面等式，得[]117.526E W =，()400.006Var W =，最大期望效用等于：
1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416--+=。
这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。
3．（股票定价）企业1在时期1t =将发行100股股票，该种股票在时期2t =的价值为随机变量1(2)V 。
企业
的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。
最后给出的有关数据是
111000,2
(2)1800,2
P V P ⎧
=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，12(,)0.045Cov X X =
0.3.= 0.10r =，()0.20M E X =
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
解： 应用证券市场线性方程 112()()cov(,)()
M M M E X r
E X r X X X σ-=+
0.200.10
0.100.0450.15$0.09
-=+
⨯=。
即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现1[(2)]E V ，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有 111
[(2)]1000800900$22
E V =
⨯+⨯=。
以15%贴现，(1)900/1.15$V I =，因有100股，故每股价值为7.83$。
4．假设一个证券现在的售价是30，名义利率是8%（单位时间为1年），这种证券的波动率是0.20。
求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。
解：本题中的参数是：
0.25t =， 0.08r =， 0.20σ=， 34K =， (0)
30S =， 所以我们就有 0.020.005log(34/30)
1.0016(0.2)(0.5)
ω+-=
≈-。
由此得到 0.0230( 1.0016)34( 1.1016)C e -=Φ--Φ-
30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)=-
0.2383≈。
这个期权合适的价格就应该是24美分。