数理金融考题

1.设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。如果 给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。

解：由于 2

0.05

1.25(0.20)

β=

=， 所以 0.06 1.25(0.100.06)0.11i r =+-=。 即股票的期望回报率为11%。 2．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：

10.15r =，0.20i v =；20.18r =，20.25v =。若两个回报率的相关系数0.4ρ=-，

投资者的效用函数为：0.005()1x U x e -=- 求这两个证券的最优组合。

解：设1w y =，2100w y =-，由式 1

[]n

i i i E W w w r ==+

∑ 得：

[]1000.150.18(100)1180.03E W y y y =++-=-。 又由于12(1,2)0.02c v v ρ==-，由式 22

1

1()(,)n n

i i i j i i j i

Var W w v w w c i j ====

+∑∑∑ 得：

22()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0.02)Var W y y y y =+---

20.142516.5625y y =-+。

所以我们应该选择y ，使下式的值达到最大：

21180.030.005(0.142516.5625)/2y y y ---+

或等价的，最大化

2

0.011250.0007125/2y y -。 简单计算后得知y 取下值时，上式达到最大：

0.01125

15.7890.0007125

y =

=。

即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。 将15.789y =代入前面等式，得[]117.526E W =，()400.006Var W =，最大期望效用等于：

1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416--+=。

这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。

3．（股票定价）企业1在时期1t =将发行100股股票，该种股票在时期2t =的价值为随机变量1(2)V 。企业

的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是

111000,2

(2)1800,2

P V P ⎧

=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，12(,)0.045Cov X X =

0.3.= 0.10r =，()0.20M E X =

试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。

解： 应用证券市场线性方程 112()()cov(,)()

M M M E X r

E X r X X X σ-=+

0.200.10

0.100.0450.15$0.09

-=+

⨯=。

即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现1[(2)]E V ，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有 111

[(2)]1000800900$22

E V =

⨯+⨯=。 以15%贴现，(1)900/1.15$V I =，因有100股，故每股价值为7.83$。

4．假设一个证券现在的售价是30，名义利率是8%（单位时间为1年），这种证券的波动率是0.20。求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。

解：本题中的参数是：

0.25t =， 0.08r =， 0.20σ=， 34K =， (0)

30S =， 所以我们就有 0.020.005log(34/30)

1.0016(0.2)(0.5)

ω+-=

≈-。

由此得到 0.0230( 1.0016)34( 1.1016)C e -=Φ--Φ-

30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)=-

0.2383≈。

这个期权合适的价格就应该是24美分。