第八讲 分方程
数学：第8讲《方程法解行程》讲义(优选.)
五年级数学星队秋季班第八讲方程法解行程例1A、B两地相距2300米，甲队从A地出发2分钟后，乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20分钟后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每分钟快10米，求甲、乙的速度各是多少？【答案】50米/分，60米/分【分析】设甲的速度为每分钟x米，走了22分钟；乙的速度为每分钟x 米，走了20分钟；10根据总路程列式：()2220102300501060x x x x ++=⇒=⇒+=.例2甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知甲车每分钟行400米，乙车每分钟行300米，求丙车每分钟行多少米．【答案】 260【解析】设丙车速度为x ，骑车人速度为a ；根据“路程差”相等可列方程：6(400)12(300)200a a a -=-⇒=，则追及距离为6(400200)1200⨯-=米；则丙车追卡车：20(200)1200260x x -=⇒=练一练姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆，姐姐算了一下：如果从公园到博物馆距离超过2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足2千米，那么直接走过去省时间. 已知骑车与步行的速度比为4:1，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？【答案】 1.2【解析】设骑车速度为4，步行速度为1；设公园到家的距离为x ；当公园和博物馆的距离正好为2时，直接过去和回家取车再过去的时间相等，据此列式：22 1.2114x x x +=+⇒=.例3甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地，甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的16. 排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B 地. 那么，A 、B 两地之间的距离是 千米.【答案】 45【解析】设甲的速度为6，则乙的初始速度为5，后来的速度为8；若设全程为S ，则乙耽误的时间为： 15630S S ⨯=；根据时间相等列式：554565308S S S S -=++⇒=千米.例4一艘游艇装满油，能够航行180个小时，已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且路途没有油料补给，请问：这艘游艇最多能够开出多远？【答案】 2100【解析】最远的距离意味着回港时正好航行满180小时，设最远开出距离为S 千米；根据时间列式：180********S S S +=⇒=，即最远开出2100公里.练一练盛盛和东东站在环形跑道上的某处，准备以计划好的速度跑步，两人同时同地反向起跑. 但是在两人第一次相遇之前，东东是以原计划速度的2倍来跑步的，在第一次相遇后，东东降为原速，而盛盛以原计划速度的2倍跑步. 已知从开始到第一次相遇用时40秒，从第一次相遇到第二次相遇用时36秒. 还知道两人原计划速度每秒相差1米. 那么这个跑道一圈的长度是米.【答案】360【解析】设一圈长度是S米，仔细考虑两次相遇的速度和，会发现这两个速度和之差正是1米每秒，故有方程13640S S -=，解得360S =.例5甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几秒钟甲乙二人相遇？【答案】 2156【解析】设人的速度为“1”，车速为v ，则有方程8(1)7(1)v v -=+，解得15v =，代回原式求得车长为112.下面计算车遇到乙时，甲乙的距离：车超过甲走了5分钟，故与甲的路程差是-⨯=，但不要忘记(151)3004200开始超过甲时，车还超过了甲一个车长，故算得甲乙距离是42001124312+=. 相遇用时÷+=秒.4312(11)2156例6甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车. 甲行驶了60km后和乙车在C点相遇. 此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶. 那么当甲车到达B地时，甲乙两车最远可能相距______km.【答案】 15【解析】设相遇时乙走了x 米，那么甲乙相遇后，甲又走了x 米，乙走了26060x x x ⨯=米，故乙距离B 地22606060x x x x --=米. 260(60)6060x x x x --=，和一定 （x 与60x -的和是60），差小积大，故当60x x =-时，即30x =时，距离最大，最大距离为30(6030)1560⨯-=千米.例7甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走. 甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A、B两地相距米. 【答案】1680【解析】甲乙速度之比为60:803:4=，若设3AE a=，全程BE a=则4AB a=，7第二次相遇在E点时，甲走了+=，乙走了a a a7411+=；7310a a a根据时间相等列式：111014240716806080a a a a =+⇒=⇒=.例8甲从A 出发去B 地，速度为90米每分；乙从B 出发去A 地，速度为60米每分. 途中两人会经过C 地，已知乙经过C 地后10分钟甲才经过C 地. 第二天甲要从B 地返回A 地，乙要从A 地返回B 地，两人速度与第一天相同，但这次是甲经过C 地后30分钟乙才经过C 地. 请根据上述条件，求出A 、B 两地之间的距离.【答案】36001212231800 325400 S S S S -=⎧⎨-=⎩①②可见方程的对称性. 此时虽可以求解出具体的1S 、2S ，但别忘记要求的结果是12()S S +，故可使用一种对于两个式子都平等的操作方法直接得出12()S S +： ②式减①式直接得到：121212(32)(23)S S S S S S ---=+540018003600=-=，即AB 两地相距3600米.。
高考一轮复习第8章解析几何第8讲曲线与方程
第八讲曲线与方程知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)__．[解析] 设P(x ，y)，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|PA||PB|＝|OA||OB|＝2， 即|PA|＝2|PB|，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)． 题组三 走向高考4．(多选题)(2020·山东)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( ACD ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x21m＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选ACD ． 5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0，所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0， 解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy≤x 2＋y22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一 曲线与方程——自主练透例1 (多选题)关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是( ABCD ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．圆[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B 正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以D 正确．故选ABCD ．〔变式训练1〕(多选题)(2021·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( AD )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC ．x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 D ．x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 [解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD ．考点二 定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N(5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y24＝1B ．x 236＋y231＝1 C ．x 29－y24＝1D ．x 236－y231＝1 (3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x≥1)D ．x 2－y28＝1(x≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r 为圆的半径)且r ＞|OA|，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M|＝r ＋1，|C 2M|＝3＋r ，∴|C 2M|－|C 1M|＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y28＝1(x≤－1)．故选D ．[引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≤－2)__．[引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≥2)__．[引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y28＝1(x≥1)__．[引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕(1)动圆M 经过双曲线x 2－y23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(多选题)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( AB )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线[解析] (1)双曲线x 2－y23＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB|＝|CD|时，∵∠BPA ＝∠DPC ，∴|PA|＝|PC|， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线，②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ＞0)时， 由∠BPA ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP||CP|＝|AB||CD|＝λ， 以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 记A(－1,0)，C(1,0)，P(x ，y)， 则x ＋12＋y 2x －12＋y2＝λ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12， 轨迹为圆，故选AB ．考点三 直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A(0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4y B ．x 2＝8y C ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C(x ，y)， 由题意知x 2＋y －22＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P(x ，y)，线段MN 的中点为E ， 则|PA|2＝|PE|2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb)x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)， 设P(x 1，kx 1＋b)，Q(x 2，kx 2＋b)， 则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2， 若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝kx 1＋b x 2＋1＋kx 2＋b x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2bx 1＋1x 2＋1＝8k ＋bk2x 1＋1x 2＋1＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 〔变式训练3〕(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q(1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)， 则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ． (2)①设P(x ，y)，由|PR →|＝2|PQ →|， 得|2－x|＝2·x －12＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n)2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)， 所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1，代入得8n 29＋4n29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33或者M ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33，当n≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形． 考点四 代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M(－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P(1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D(异于点P)，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C(x ，y)，N(x 0，y 0)， 则MC →＝(x ＋2，y)，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y)2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D(t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ， 所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°， 故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2． 因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t)(y 1＋y 2)＝0， 即－4m ＋2m·(1－t)＝0，所以t ＝－1． 故存在点D(－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化；③在变化过程中P 和M 满足一定的规律．(2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y)，主动点坐标为(x 1，y 1)；②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；④检验：注意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 [解析] 设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x －22，y 0＝y 2 又x 2016＋y 2010＝1，∴x －2264＋y 240＝1，故选D ． 考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN|＋1|OQ|2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．[分析] 显然点P(x ，y)的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α，则B(2cos α，2sin α)，D(2cos α，2sin α)，所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2， 同理得x 2P ＝41＋k 2， 所以x 2P ＋2y 2P＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足．(2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22m m 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2， 所以1|MN|＝11＋m 2|y 1－y 2|＝m 2＋24m 2＋1， 又射线OQ 方程为y ＝－mx ， 代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx)2＝4， 即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ|2＝1＋2m 24m 2＋1， 所以1|MN|＋1|OQ|2＝m 2＋24m 2＋1＋1＋2m 24m 2＋1＝34， 又当直线l 的斜率为0时，也符合条件．综上，1|MN|＋1|OQ|2为定值，且为34．名师点拨(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k(x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k (x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12． 当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上． 综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP|＝|MO|，∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线，其方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．[解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论 ②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论 [解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x|≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx(k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2． 记u ＝21＋2k 2，则P(u ，uk)，Q(－u ，－uk)，E(u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k 2(x －u)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 2x －u x 24＋y 22＝1， 得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．①设G(x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u 3k 2＋22＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u 3k 2＋22＋k 2－u ＝－1k ． 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u 1＋k 2，|PG|＝2uk k 2＋12＋k 2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ||PG|＝ 8k 1＋k21＋2k 22＋k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2． 设t ＝k ＋1k，则由k ＞0得t≥2，当且仅当k ＝1时取等号， 因为S ＝8t 1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2， 即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． [解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设C(x ，y)，A(－c,0)，B(c,0)，c ＞0，则AC →＝(x ＋c ，y)，BC →＝(x －c ，y)，由AC →·BC →＝1，得(x ＋c)(x －c)＋y·y＝1，即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0，∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。
学大精品讲义五上数学(含答案)8第八讲 方程实际应用(一)
教学过程一、复习预习1、回顾以前学过的等式性质（1）和等式性质（2），并利用等式性质解决下面问题。
4x÷（）=16÷（） 12＋x－（）=36.5－（）2、什么是方程？方程与等式的关系。
3、解下面方程。
16－x=12.36 5x=25.5 x÷36=0.1x+23.1=100二、知识讲解列方程解应用题的一般步骤是：①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②依题意确定等量关系，设未知数x；③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案。
1、综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
2、分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
考点/易错点 1先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
考点/易错点 2分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
三、例题精析【例题 1】一个数的 2 倍减去 7.5 结果是 10，这个数是多少？列出方程解答．【例题 2】已知 3 个连续的整数的和是 48，求这三个连续的整数。
【例题 3】小胖去爬山,上山花了 45 分钟,按原路下山花了 30 分钟,上山每分钟比下山少走 9 米。
求下山的速度？【例题 4】四年级共有学生 200 人，课外活动时，80 名女生都去跳绳。
男生分成 5 组去踢足球，平均每组多少人？【例题 5】食堂运来 158.5 千克大米，比运来的面粉的 3 倍少 35.2 千克。
数学建模第八讲：偏微分方程数值解
2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。 者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
21
A11 I
A
I
A22 I
I AN 2 ,N 2 I
I
R( N 1)2 ( N 1)2
AN 1,N 1
其中
4 1
f ( x, t)
u
t
0
(
x
),
u t
t0
( x)
u
x0
1(t), u xl
2(t)
uin
un1 i
τn
xi
x
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i1
2uin
高等数学：第八讲 二阶常系数线性非齐次微分方程(1)
齐次方程的通解为 Y C1ex C2e3x ．
由于这里 0 不是特征根，所以设方程的特解为 y* b1x b0
把它代入方程得
3b1x (2b1 3b0 ) 3x 1
比较系数得
32bb11
3 3b0
1
b1
1, b0
1 3
所以原方程的一个特解为
y* x 1 3
因此所求通解为
y
C1e x
f (x) Pm (x)ex
此时微分方程(1)成为
Pm (x) a0 xm a1xm1
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
am1x am
分三种情形讨论此式：
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
(1)设不是特征方程的 根，即2 p q 0.
C2e3x
(x
1) 3
谢谢
y (C1 C2 x)er x y e x (C 1 cos x C2 sin x)
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
定理
设 y * (x) 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，
Y C1 y1(x) C2 y2 (x)是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，
则 y Y y* C1 y1(x) C2 y2 (x) y * (x) 是方程(1)的通解.
二阶常系数 线性非齐次 微分方程(1)
目录
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
03
例题
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
二阶常系数非齐次线性
齐次微分方程解法
微分方程的一般形式 （一）; py' qy f (x) (1)
2023年中考数学一轮复习 第8讲 分式方程 专题训练(浙江专用)(含解析)
第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（ ） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（ ） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（ ）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。
第八讲 分数的应用1
第八讲 分数的应用（1）【典型例题1】从小丽家到学校共，小丽步行的平均速度是每小时4千米，骑自行车的平均速度是每小时12千米，那小丽从家里出发到学校，骑自行车所花的时间是步行所花的时间的几分之几.解析 骑自行车所花的时间是步行所花的时间的几分之几，就用骑自行车所花的时间÷步行所花的时间.而根据路程=速度×时间，骑自行车所花的时间=家到学校的路程÷骑自行车的平均速度，步行所花的时间=家到学校的路程÷步行的平均速度. 解÷12=0.08； ÷4=0.24；÷0.24=31.【知识点】求一个数是另一个数的几分之几用除法计算 【基本习题限时训练】 1、填空题（1）甲数是4，乙数是5，那么甲数是乙数的_______，而乙数是甲数的_______，甲数比乙数少______，乙数比甲数多_______.（填几分之几） （2）如果a=3b ，那么a 是b 的_______倍，b 是a 的_______.（3）某工程队完成一项工程要一个星期，则每天完成工程的_______.【解】(1)41,51,45,54；（2）31,3；（3）712、已知甲数是乙数的752，那么乙数是甲数的（ ）。
（A ）719 (B) 517（C ）197 (D) 195【解】C3、已知312 y x ，那么x 与y 的关系正确的是（ ）。
（A ）x 与y 都是正数。
（B ）y ＞x（C ）y 是x 的312。
（D ）x 是y 的312。
【解】D5、小华看一本70页的书，已经看了19页，看了的页数占全书的几分之几？没看的页数占全书的几分之几？ 【解】7051,7019 6、在500克面粉中加入125克的水和成面团，求水的重量占面团重量的几分之几？【解】517、为了迎接世博会，学校组织了知识竞赛，小明答对了14题，答错了6题，求小明答对了全部题目的几分之几？ 【解】107 8、今年小丽的年龄是12岁，妈妈的年龄是36岁，今年小丽的年龄是妈妈的年龄的几分之几？四年以后小丽的年龄是妈妈的年龄的几分之几？【解】52,319、六年级（1）班有男生22人，女生18人，男、女生各占全班人数的几分之几？ 【解】209,2011 10、一堆煤，上午运走了它的74，下午运走的31，还剩下几分之几没有运走？ 【解】21211、某工程队原计划一月份完成一项工程，实际上半月完成计划的52，下半月完成计划的85，问实际超额完成计划的几分之几？【解】401 12、期中考试结束了，为了分析数学考试的情况，老师分别统计了数学及格的、不及格的、成绩优良的（80分以上，包括80分）的人数各占全班的几分之几？（如图）【解】4313、6月6日是全国“爱眼日”，为了让同学们保护自己的眼睛，老师统计了班中戴眼镜的人数，以让同学们引起重视.求戴眼镜的人数占全班人数的几分之几？（如图）【解】5314、25．小杰家去年上半年的用电的情况统计如下：（1）用电最少月份的用电量占第二季度的用电总量的几分之几？（2）第二季度的用电量占上半年用电总量的几分之几？【解】（1）257；（2）16755。
08第八讲分段函数
第八讲分段函数分段函数是高考取的热门，但在高中教材中并无特地的章节去学习，这直接致使了学生进入高三后，对分段函数的认识仍是很陌生，这直接影响了学生函数的复习。
为了让新高一学生更好的学习函数，在连接教材中，特地选用了分段函数的一些要点题型进行解说。
1、有些函数在它的定义域中,对于自变量x 的不一样取值范围,对应法例不一样 ,这样的函数往常称为分段函数 .2、分段函数是一个函数,不要把它误以为是几个函数.3、写分段函数的分析式,在注明定义域时,必定注意“上一段”与“下一段”的定义域不可以有重叠部分 .如第一段是x∈ (0,20], 第二段是x∈ [20,40], 这样写是错误的.(一 ).求分段函数的定义域,值域求分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域也是分别求出各段上的值域后取并集.【例 1】、求函数y 2x 4 2x 6 的值域(二 ).求分段函数的函数值【例 2】、已知f (x)x21,( x0),求f [ f (1)] 的值x1,(x0)（三）解分段函数不等式1 x1,( x0)【例 3】、设函数 f ( x)2,若 f (a)a, 则实数a的取值范围是_______.1 ,(x0)x（四）分段函数图像问题【例 4 】（2011a, a b1天津）对实数 a, b ，定义新运算+：a bb，设函数b, a1f ( x)( x22)( x x2 ), x R .若函数 y f (x) c 的图像与x轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是.练 习A 组x 1,( x 0)1、已知函数 f (x), ( x 0) , 求 f { f [ f ( 1)]} __________.0,( x 0)x 2 2 ( x 1),则 f [ f (1 )]2. 设 f ( x)1( x 1). （）1 x 221 B.4C.9 D.25A.135 4123. 已知 f ( x)sin x( x 0),11) f (11) 的值为.f (x则 f (1) 1( x 0).664、已知 f ( x)1 x 1,x 0 ， 则使 f ( x) 1建立的 x 的取值范围是.2 1)2 , x( x 05.（ 1）作函数（ 2）作函数yx 1 x 2 的图象。
08理论力学讲义第八讲第一二三四节习题部分(2004.10.12)
1-2，3 2-4、5、7（a） 3-1、4；6-1 4-3、5、7
-2 习题1-2 （d） F
A
C
B
D
A FAx A
F
FCx C
B FB
FCy
FF’Cy
D
C
F’CxB
FAy
FD
A F1
O
（e）
B F2
A FAB F1
FOx
O
FOy
A F1
O
B F1
B FBA
F2
FNB
-2 习题1-2 （f）
45。
C
W
30。
D
解：(1)研究对象：滑轮
FAC
FT1= W
45。 C
30。
D
FT2= W W
(2)受力分析：FT1、 FT2 、 FAB 、 FAC(二力杆受力假设为拉力)汇交于A点
(3)取坐标系Axy，列平衡方程
Fx 0 FAB FAC cos45 FT 2 sin 30 0 Fy 0 FAC sin 45 FT 2 cos30 FT1 0
FT 2 FT1 W 2kN
(4)解方程：FAB=2.73kN
- FAC = 5.28kN(压力，与图示方向相反)
3-1f 计算下列各图中力F对于O点之矩。
a F
O
b
α
力矩定义 mo (F ) Fd 合力矩定理 mo (R) mo (F1) mo (F2 )
力矩定义 mo (F ) Fb ?
FAx A
FAy
W1 CD
W2 B
FB
W1
W2
CD FC FD
FAx A
F’C
F’D
第八讲 分式方程及其应用
第八讲 分式方程及其应用班级 姓名一、基本知识点：1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 二、基础练习：1. 分式方程211x x=+的解是（ ） A 1 B 1- C 13 D 13-2.解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A 1=x B 1-=x C 1=x 或1-=x D 2=x3. 如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( )A 9B 7C 5D 3 4．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 1B -1C ±1D 25. 用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A 230y y +-=B 2310y y -+= C 2310y y -+= D 2310y y --=6.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 .1112x x x--=7.请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。
8.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3200元，售价每套40元，服装厂向25名家庭贫困学生免费提供。
第8讲 列方程解应用题
第八讲 列方程解应用题【知识要点】1．有两个未知量的分数应用题，我们可以根据两量和、差、倍比关系，设其中一个量为x ，另一个量用代数式表示，再根据等量关系列方程解答。
2．用方程解应用题的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；列方程求解；检验书写答案，其中第三步是关键。
【例题精讲】例题1：一个运输队包运1998套玻璃茶具．运输合同规定：每套运费以1.6元计算，每损坏一套，不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元．结果这个运输队实际得运费3059.6元，那么，在运输过程中共损坏多少套茶具？ 解：设共损坏x 套茶具1.6⨯(1998-x )-18x =3059.6x =7例题2：从家里骑摩托车到火车站赶乘火车．如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟．如果打算提前5分钟到，摩托车的速度应是多少？解：设离火车开车时刻还有x 分钟)5(6020)15(6030+⨯=-⨯x x x =5530⨯[(55-15)÷(55-5)]=24(千米/小时)例题3：一只船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头间距离． 解法一：设顺水航行x 小时，则逆水航行（12.5-x ）小时(20+4)x =(20-4)(12.5-x )x =5（20+4）⨯5=120（千米）解法二：设甲、乙两码头相距x 千米5.12420420=-++x x x =120例题4：兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里?解：设哥哥步行了x 千米,则骑马行了（51-x ）千米.而弟弟正好相反,步行了（51-x ）千米,骑马行x 千米1245112515x x x x +-=-+ x =30437476123051530=+=-+(小时)=7小时45分 答：早晨6点动身,下午1点45分到达.例题5：现有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度是40%的糖水，需加糖多少克？解：设需加糖x 克能得到浓度为40%的糖水．那么%40)300(%20300⨯+=⨯+x xx =100例题6：有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
第八讲 高次不等式和分式不等式
一．高次不等式的解法
高次不等式的解法（穿根法）： ①把不等式化为(x-x1)(x-x2)…（x-xn）
（括号中x的最高次项系数必须为正）
② 求 出 方 程 (x-x1)(x-x2)… （ x-xn ） =0 的 所 有 根 x1 、 x2、…xn ③在数轴上穿根得不等式解集。
例8： 2x 5 0。 3x 4
分式不等式的一般解法 （1）整理（左端为一个分式，右端为0） （2）求根（求出分子、分母所有的根） （3）穿根得不等式解集。
例9
1 1 x
错解：两边同乘x得：1>x，
∴不等式解集为 x x 1
解分式不等式千万不能去分母。
例10
1 2
1 x
偶次根
例5 解不等式(x2+3) (x-2)关系
(x-1)(x-2)>0与 x 1 0 同解； x2
(x-1)(x-2)<0与 x 1 0 同解。 x2
所以分式不等式的解法与高次不等式基本相 同，也可以用穿根法来解。
例7： x 3 0。 x5
特殊情况下的穿根：奇次根照穿不误；偶次根穿而不过； 无实根置之不理。
例1 解不等式（x+1）(x-1) (x-2)>0. 例2 解不等式x3-2x2-3x≤0.
特殊情况下的穿根：奇次根照穿不误，偶次 根穿而不过，无实根置之不理。
例3 解不等式(x-1)3 (x+2)>0 。 奇次根
例4 解不等式 (x+1) 2 (x-2)<0
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
常微分方程-第八讲
存在唯一性定理
解对初值的连续性和可微性
解对初值的可微性 定理
若函数f (x, y)以及 f 都在区域G内连续，则 y
微分方程的解y (x, x0, y0)作为x, x0, y0的函
数在它的存在范围内是连续可微的。
存在唯一性定理
解对初值的连续性和可微性
证
由f 在区域G内连续，那么f (x, y)在G内 y
满足L条件，那么由存在唯一性定理可得
y (x)是连续的.
存在唯一性定理
解对初值的连续性和可微性
对任取 0,存在这样的正数，当 (x x)2 (x0 x0)2 ( y0 y0)2 2
有
|(x, x0, y0) (x, x0, y0) | .
存在唯一性定理
解对初值的连续性和可微性
下证可微性
存在唯一性定理
解的延拓
问 如何将由Picard存在定理得到的解延拓到 更大的区域？
y
Q1
Q2
G
P
x0 x0 h
x
存在唯一性定理
解的延拓
假设方程的右端函数f(x,y)在某一区域G 内连续，且关于y满足局部的L条件，即对区域 G内的每一点有以其为中心完全含于G内的闭矩 形R存在，在R上f(x,y)关于y满足L条件.
则解y (x, x0, y0) (x)在[a,b]上也有定义
存在唯一性定理
解对初值的连续性和可微性
因为D是有界闭域，且f(x,y)在D上满足L条件。 由解的延拓定理知道
y (x, x0, y0) (x)必能延拓到D的
边界，也即在[a,b]上有定义
下证解的误差估计和初值之间的关系
存在唯一性定理
局部Lipschitz条件，( x0, y0 ) G, y (x, x0, y0 )
差分方程
(1) 市场供给量对价格变动的反应是滞后的，也就是说t时刻的商品供给量Qst 由t − 1时 刻（上一时刻）的商品的价格Pt−1决定。我们把这种关系简单地取为线性关系：
Qst = −α1 + β1Pt−1,
(α1 > 0, β1 > 0)
(8.11)
即线性正比例关系，或者说商品的供应量是商品价格的增函数。另外从(8.11)还可
作变换u = x + 3，原方程可以与以下的一阶差分方程
等价。
yu+1 − 4yu + 1 = 0
定义 8.4 满足差分方程的函数称为差分方程的解。 如果差分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与该差分方程的阶数相等，则
称这样的解为差分方程的通解。 差分方程的定解条件称为初始条件。 利 用 初 始 条 件 确 定 通 解 中 的 任 意 常 数 后 所 得 到 的 解 称 为 差 分 方 程 的 特 解。一
4
第八章 差分方程
定理 8.1 (齐次常系数线性差分方程解的叠加原理) 如 果 函 数yx(1), yx(2), · · · , yx(k)都 是n阶 齐次常系数线性差分方程
anyx+n + an−1yx+n−1 + · · · + a1yx+1 + a0yx = 0 的解，则这k个函数的线性组合
般，n阶差分方程通解中含有n个互相独立的任意常数，要得到相应的通解就必须有n个 初始条件：
yx|x=x0 = yx0 , ∆yx|x=x0 = ∆yx0 , · · · , ∆n−1yx|x=x0 = ∆n−1yx0
定义 8.5 如果差分方程的未知函数出现在一次式中，则称该方程为线性差分方程。一 个n阶线性差分方程可以写成
第八讲分式方程及分式不等式
例2：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得
k+3（x-2)=x-1， 解这个整式方程，得
5k x ， 2
当x=2时，原分式方程产生增根，即 解这个方程，得 k=1 ．
5k 2 2
k 1 x 3 所以当k=1时，方程 产生增根． x2 2 x
解法比较
分类讨论 转化（化归） 通过等价转换，变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等 式C
需要解两个不等式 组，再取这两个不 等式组解集的并集
繁
简
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x ) 0 g ( x) 0
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的方 程叫做分式方程．
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程． 以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程．
整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分程叫做 分式方程.
一、分式方程
1 ．什么是整式方程？ 分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程． 2 ．什么是分式方程？ 分母里含有未知数的方程叫做 分式方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，
与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江
水的流速为多少？
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
（ √）
回顾与思考 解方程
第八讲 分式的意义与分式方程
第八讲 分式方程姓名：﹍﹍﹍﹍ 分数：﹍﹍﹍﹍知识说明：本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习。
解分式方程一定要检验根。
注：下讲知识点也编在这讲。
学生要求：了解分式的概念，分式有意义的条件，会做分式的化简求值，会解分式方程。
一、知识要点 一、主要考点考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可 当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ．评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式AB在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。
当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B 无意义；当A=0且B ≠0时，分式AB的值为0考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x yx y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y-≠-（D ）2222x y x y -+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x ).分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可 解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。
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第八讲 分式方程考点综述：中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。
典型例题：例1：解方程：（1）（2007连云港）11322x x x-=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x-+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----．解这个方程，得2x =．检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解（2）两边同乘以(1)(12)x x +-，得(1)(12)2(1)0x x x x --++=；整理，得510x -=；解得 15x =． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得x(x+2)-(x 2-4)=1，化简，得2x=－3x=－3/2，经检验，x=－3/2是原方程的根．例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需45x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1解这个方程，得x ＝25经检验，x ＝25是所列方程的根当x ＝25时，45x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．实战演练：1.（2008安徽）分式方程112x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－22.（2008荆州）方程21011x x x-+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .33.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ）A ．12012045x x-=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________．6.（2008泰州）方程22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程：（1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011x x x -=+-8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？9.（2008镇江）汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？10.（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？应用探究：1.（2008佳木斯）关于x 的分式方程15m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+B ．5m >-时，方程的解是正数C ．5m <-时，方程的解为负数D ．无法确定2.（2008烟台）请选择一组,a b 的值，写出一个关于x 的形如2a b x =-的分式方程，使它的解是0x =，这样的分式方程可以是______________.3.（2008达州）符号“a bc d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a bad bc c d =-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值.2111111x x =--4.（2008江西）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？5.（2008宁德）5月12日14时28分，四川汶川发生了8.0级大地震，震后两小时，武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进．13日凌晨1时15分，车行至古尔沟，巨大的山体塌方将道路完全堵塞，部队无法继续前进，王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进，到达理县时为救援当地受灾群众而耽误了1小时，随后，先遣分队将步行速度提高91，于13日23时15分赶到汶川县城． ⑴设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为每小时x 千米，请根据题意填写下表：所走路程 （千米） 速度 （千米/小时） 时间 （小时） 古尔沟到理县30 x 理县到汶川 60⑵根据题意及表中所得的信息列方程，并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米？6.（2008枣庄）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．第八讲 分式方程参考答案实战演练：1.A2.D3.B4.－65.330340-=+x x 6.07.（1）方程两边同乘(23)(23)x x -+，得2(23)(23)(23)(23)x x x x x +--=-+化简，得412x =-解得3x =-检验：3x =-时(23)(23)0x x -+≠，3-是原分式方程的解．（2）方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)0x x --=．解这个方程，得2x =．检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠．所以2x =是原方程的解．8. 解：设 A 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，则B 型机器人每小时搬运（x -20）千克，依题意得： 100080020x x =-. 解这个方程得： 100x =.经检验90x =是方程的解，所以x -20=80.答：Ａ、Ｂ两种机器人每小时分别搬运化工原料100千克和80千克．9.解：设该厂原来每天生产x 顶帐篷，根据题意得：1200012000432x x-=． 解方程得：1000x =．经检验：1000x =是原方程的根，且符合题意．答：该厂原来每天生产1000顶帐篷．10.应用探究：1.C2. 答案不唯一，如212x -=- 3.解：∵a bad bc c d=- ∴2111111x x =--可化为 21111x x-=-- 21111x x +=--, 2+1=x-1,x=4经检验x=4是21111x x-=--的解. ∴求得x=44. 解一：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒， 根据题意，得60606501.2x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 解得 2.5x =．经检验， 2.5x =是方程的解，且符合题意．∴甲同学所用的时间为：606261.2x+=（秒）， 乙同学所用的时间为：6024x=（秒） 2624>Q ，∴乙同学获胜．解二：设甲同学所用的时间为x 秒，乙同学所用的时间为y 秒， 根据题意，得5060601.26x y x y +=⎧⎪⎨=⨯⎪-⎩， 解得2624.x y =⎧⎨=⎩， 经检验，26x =，24y =是方程组的解，且符合题意．x y >Q ，∴乙同学获胜．5. 解：⑴表中依次填入：x 30，x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+911，x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+91160． ⑵依题意，列出方程得219116030=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . 解得：4=x .经检验，4=x 是所列方程的根．9409114=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯． 答：部队徒步从古尔沟到理县平均速度是每小时4千米，理县到汶川的途中平均速度分别是每小时940千米 6. 解：设规定日期为x 天．由题意，得163=++x x x ． 解之，得 x =6．经检验，x =6是原方程的根.显然，方案（2）不符合要求；方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．因为7.2＞6.6，所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款.。