4.3 内生解释变量问题

X 2为 与 μ相 关的 内生 变量
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) E ( ) 0 Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 Yi X 1i ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Z E ( Z ) 0 Yi Zi ( 0 1 1i 2i 2i k ki i i i Y X ( ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 0 1 1i 2 2i k ki ki i ki i ki
Z作为 X2的工 具变量
• 几个概念问题
–能否说“用工具变量代替了模型中的内生解释变量”？ 不能。模型的解释变量仍然是X2。
–能否说“其它解释变量用自己作为工具变量”？可以。
–能否说“用Z作为X1的工具变量，用X1作为X2的工具变 量”？可以。只改变方程组中方程的次序，不影响方程 组的解。
• 这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法 (instrumental variable method)，相应的估计量称 为工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimator）。
2、截面数据模型的内生解释变量问题
• 对于截面数据模型，上述第1种情况几乎不存在。
• 截面数据模型中的内生解释变量问题主要表现在 内生解释变量与随机干扰项的同期相关性上，这 时称内生变量为同期内生变量。
二、实际经济问题的内生解释变量问题
• 三种情形：
– 被解释变量与解释变量具有联立因果关系 （simultaneous causality）； – 模型设定时遗漏了重要的解释变量，而所遗漏的变量 与模型中的一个或多个解释变量具有同期相关性 （omitting relevant variables）； – 解释变量存在测量误差（errors-in-variables）。
多元 线性 模型 的正 规方 程组
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) E ( ) 0 Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 Yi X 1i ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 Yi X 2i ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i Y X ( ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 0 1 1i 2 2i k ki ki i ki i ki
P lim
n
非一致
x 1 i i 2 x i
P lim(1 n xi i ) 1 2 1 P lim( x n i ) 1 Cov( X i , i ) Var ( X i ) 1
四、工具变量法 Instrument variables，IV
1、工具变量的选取
• 工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机干扰项相关的内生解释变 量。 • 选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
– 与所替代的内生解释变量高度相关； – 与随机干扰项不相关； – 与模型中其它解释变量不高度相关，以避免出现严 重的多重共线性。
2、工具变量的应用
Cov( X 2i, i ) E( x2i i ) 0
Cov( X 2i, i s ) E( x2i i s ) 0
s0
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期相关 (contemporaneously correlated)。
Cov( X 2i, i ) E( x2i i ) 0
• 联立因果关系一例
– 为考察企业引进外资是否真正提高了企业的效益，以 企业资金利润率LR为被解释变量，以企业资产中外资 所占比例WR和其它外生变量X为解释变量，建立模型。 – 通过对企业引进外资情况的实际考察发现，凡是效益 好的企业，比较容易引进外资，凡是效益差的企业， 引进外资就很困难。 – 模型中，解释变量WR既影响被解释变量LR，同时它 也受被解释变量LR的影响，而LR与μ具有同期相关性， 从而导致WR与μ具有同期相关性。
• 对于一元模型：X为内生变量，Z为工具变量
Yi 0 1 X i i
ˆ ˆ0 ˆ1 Z i X i ˆ ˆX ˆ Yi 0 1 i
第2阶段OLS
第1阶段OLS
• 对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1为X的工具变量。
Yi 0 1 X i 2 Zi i
ˆ ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2 Zi X i ˆ ˆX ˆZ ˆ ˆ Yi 0 1 i 2 i
第2阶段OLS
第1阶段OLS
• 对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释 变量，Z1和Z2都是X的工具变量。
Yi 0 1 X i 2 Zi i
拟合的样本回归 线可能低估截距项， 而高估斜率项。
拟合的样本回归线 高估截距项，而低 估斜率项。
2、OLS参数估计量是有偏、非一致性估计量。
Yi 0 1 X i i
ˆ 1
有偏
x y x
i 2 i
i
1
x x
i 2 i
i
OLS估计
xi ˆ E(1 ) 1 E( i ) 1 E ( k i i ) 1 2 xi
Y Xβ μ
1 X 11 Z Z1 X k1
Z Y Z Xβ
1 X 12 Z2 X k2 1 X 1n Zn X kn
~ 1 β (Z X) ZY
工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) E ( ) 0 Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 Yi X 1i ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 Yi X 2i ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i Y X ( ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X E ( X ) 0 0 1 1i 2 2i k ki ki i ki i ki
1 P lim z i xi cov( Z i , X i ) 0 n
P lim(1 ) 1
~
4、在小样本下，IV估计量仍是有偏的
1 E( z i xi 1 z i i ) E ( z x ) E ( z i i ) 0 ii
5、工具变量法与两阶段最小二乘法
§4.3 内生解释变量问题 Endogenous Independent Variable
一、内生解释变量问题 二、实际经济问题中的内生解释变量问题 三、内生解释变量的后果 四、工具变量法 五、内生性检验与过渡识别约束检验 六、案例
一、内生解释变量问题
1、内生解释变量
Yi 0 1Yi1 2 X i 2 L k X ik i
LRi 0 1WRi βXi i
i 1, 2,L , n
• 遗漏解释变量一例
– 劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、 工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定。 – 由于劳动者个人能力的大小很难测度，该解释变量无 法引入到工资模型中，于是它对工资的影响进入到随 机干扰项之中。 – 而个人能力与其所受教育程度有着较为密切的联系， 这就导致了实际用于模型中的劳动者个人受教育程度 变量与随机干扰项间出现同期相关性。 – 个人能力abil 为同期内生解释变量。
一元回归中，工具变量法估计量为
z z x P lim 1 ~ n zi i P lim(1 ) 1 P lim 1 n z i xi ~
i 1 i i i 1 1 i i i
z ( x ) z x
i
i
1 P lim z i i cov( Z i , i ) 0 n
• 经典模型的基本假设之一是解释变量是严格外生 变量。
• 如果存在一个或多个变量是内生解释变量，则称 原模型存在内生解释变量问题。
• 对于内生解释变量问题，假设X2为内生解释变量， 又分两种不同情况：
• 内生随机解释变量与随机干扰项同期无关 (contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
• 工具变量法估计过程可等价地分解成两个阶段 的OLS回归：
– 第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归， 并记录X的拟合值；
– 第二阶段，以得到的X的拟合值代替X 作为解释变 量，进行OLS回归。
– 被称为两阶段最小二乘法（two stageBiblioteka Baiduleast squares, 2SLS）。 – 可以严格证明： 2SLS与直接采用IV是等价的。
• 实际上，上述需求方程只是联立方程模型系统中的 一个结构方程。
三、内生解释变量的后果
• 计量经济学模型一旦出现内生解释变量，且与 随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模 型参数，会产生严重的后果。 • 下面以一元线性回归模型为例进行说明。
1、内生解释变量与随机干扰项相关图
（a）正相关
（b）负相关
第1阶段OLS
ˆ ˆ0 ˆ1Zi1 ˆ2 Zi 2 ˆ3Zi X i ˆ ˆX ˆZ ˆ ˆ Yi 0 1 i 2 i
第2阶段OLS
6、工具变量法与广义矩方法
• 如果1个内生解释变量可以找到多个互相独立的工 具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息， 就形成了广义矩方法（Generalized Method of Moments, GMM）。
– 在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求 解成为它的核心问题。
– 2SLS是GMM的一种特殊的估计方法，而当一个内生 变量只有一个工具变量时所采用的IV，则是2SLS的一 个特例。 – 如果所有解释变量都是外生变量，则OLS法也可看成 是IV和GMM的特例。
– 例如：以地区数据为样本，建立某种消费品的需求函 数模型，Qi、Pi、Yi表示各个地区的需求量、价格和居 民收入。
Qi 0 1P i 2Y i i
i 1, 2,L n
• 经济学理论指出，商品价格是由供给与需求的均衡 关系决定的，因此商品的需求量Qi又是影响价格Pi的 重要因素。即价格和需求量一样，也是该经济系统的 内生变量。
wagei 0 1educi 2 experi i
• 联立因果关系：联立方程模型中的每个结构方程
– 在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果， 而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描 述清楚 。称为联立方程模型。
– 联立方程模型的每个方程称为结构方程。 – 每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量， 而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其它 内生变量，由经济行为关系决定。 – 联立方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变 量问题。