等差数列与等比数列的证明

3.2.3 证明数列是等差、等比数列

证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的

高频考点。证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法：

1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。

证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n n

a q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。

例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.

（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；

（2）求{}n a 的通项公式.

解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-=

1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-

（2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+

例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数

（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由

解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=

0n a ≠Q 2n n a a λ+∴-=

（2）112121,1,1a a a S a λλ==-∴=-Q 31a λ=+Q ，令2132a a a =+，4λ∴= 由（1）可知：2n n a a λ+∴-=，}{21n a -∴是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-

}{2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-，121,2n n n a n a a +∴=--=

∴存在4λ=，使得数列}{n a 为等差数列

例3设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知121,2,a a ==且2133n n n a S S ++=-+，n N +∈

（1）证明：23n n a a +=；

解：2133,(1)n n n a S S ++=-+Q 当2n ≥时，2133,(2)n n n a S S +-=-+

(1)(2)-得：2113n n n n a a a a +++-=-，2(2)n n a a n +∴=≥ 123121121,2,333()3a a a S S a a a ===-+=-++Q ，23n n a a +∴=（n N +∈） 设等差数列}{n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，

（1）证明：数列}{n b 为等比数列

解：(,)n n a b Q 在函数()2x f x =的图象上，2n a n b ∴=，112n a n b ++=，1122n n a a d n n

b b +-+== ∴数列}{n b 为等比数列