中国科学技术大学828量子力学历年考研试题
中国科学技术大学量子力学考研真题2011年
专业课资料研发中心《跨考考研专业课通关宝典·历年真题》中国科学技术大学量子力学考研真题2011年共两页中国科学技术大学2011年硕士学位研究生入学考试试题——跨考教育量子力学所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效☐需要使用计算器☑不使用计算器1、（20分）电子在稀有气体中散射时，会发现有完全穿透的现象，它可以用下面的模型描写。
质量为μ的粒子在势阱()⎩⎨⎧-=a 0a 000＜＜＞，＜χχχχV V 中散射，完全穿透。
试求此时入射粒子的能量E。
2、（20分）一量子系统，其哈密顿量可写为++++=a ˆa ˆa ˆa ˆˆβαH其中βα，为数，而算符aˆ及其厄米共轭+a ˆ满足下面的对易关系[]1a ˆa ˆ=+，试求此系统的能量本征值。
3、（30分）质量为μ粒子在势()χV 中作一维运动，()χμV H +=2p ˆˆ2，定态波函数为...321n n n ˆn n，，，，，==E H （a）证明：m ˆn a m pˆn nm χ=，并求系数nm a ；（b）推导求和公式()m pˆm m ˆn 22222n m n μχ =∑-E E 。
4、（20分）现有一个电子限制在平面上一半径为R 的圆环上运动，θ为其角位置。
已知开始时刻该电子的的波函数为()θθψ2sin 0=，。
试求（a）粒子在任意t≥0时刻的波函数；（b）试求任意t≥0时刻的电子能量期望值。
5、（30分）已知氢原子初始时刻（t=0）处于由如下波函数描述的状态()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕθϕθχψ,,2011311021Y r R Y r R ， ,其中3121R R 、分别为归一化的径向波函数（量子数分别为n=2， =1和n=3， =1）。
试求t 时刻（a ）电子自旋朝上的概率；（b ）总角动量z 分量的期望值。
6、（30分）某双态体系的哈氏量可表示为H H H '+=0，而0H 的两个归一化本征态分别为a 、b 。
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
中国科学院811量子力学1997年(回忆版)考研专业课真题试卷
x >a (V > 0) 中运动： x <a 0
eB ˆy（ s ˆy 为自旋算符的 y s mc
分量） ，如果 t = 0 时粒子的自旋指向正 x 轴方向，求粒子自旋平均值随时间的 演化。 （1999 年（理论型）第四题）
为在 6a 长的平坦势（即： V = 0, x < 3a; V → ∞, x > 3a ）上的微扰，用一级微扰 方法求基态能量。
-中国科技大学 中国科学院 中国科学院1998 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（理论型）
一、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( x) = ⎪ ⎨ （1）求基态能量 E0 满足的方程； （2）求存在且仅存在一个束缚态的条件。 （1999 年（理论型）第三题） 二、自旋为 的带电粒子（电荷为 q ，质量为 m ）受到均匀磁场 B = Be y 的作
† † † † † ai a † j − a j ai = δ ij , ai a j − a j ai = 0, ai a j − a j a i = 0
ˆ = ℏω (a †a + a †a ) + i ℏω (a †a − a †a ) 的能谱。 试求哈密顿量 (ω0 > ω1 > 0) H 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1
† ˆ 化为两个不耦合的谐 （提示：仅利用 a1 和 a2 , a1† 和 a2 之间的线性变换，可将 H
振子的哈密顿量之和）
ˆ 中与有 ω 关的部分当作微扰，请用定态微扰论求出第 五、将上题哈密顿量 H 1
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
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2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
2016年中科大量子力学考研真题(完整版)凯程首发
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第 1 页 共 1 页 2016年中科大量子力学考研真题（完整
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一共只有七道大题
一、在平面转动体系下，给定一个初态波函数，（1）求能量可能值及其概率，（2）求角度在t 时刻的平均值（3）在t=0时，突然改变势函数，求t>0时的能量平均值
二、在&势阱下，反射系数为透射系数两倍时，能量应满足什么条件？
三、给定三个矩阵，问哪几个能组成一组完备本征集，并求出本征态，以及三个矩阵在该表象下的表示
四、自旋，之前真题原题，2004年第五题。
今年科大卷子变化挺大，一般不会出现原题，所以下一届学弟学妹们不要抱有侥幸心理，踏实学习是王道
五、V （x ）=k/z,粒子不能到z<0的空间，求边界条件以及能级
六、微扰一道，表示不太记得了。
2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题
2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题在2024年的考研高等数学二科目中，量子力学中的数学理论是必考内容之一。
本文将围绕该主题，以历年真题的形式展开，对相关的数学理论进行探讨。
希望通过对历年真题的分析和解答，能够帮助考生更好地理解和应对这一考点。
一、波函数和可观测量1. 2010年真题题目描述：一个粒子，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-|x|/a)，其中A和a为实常数，x为位置坐标。
求该粒子在区间[-∞, ∞]上的归一化常数A。
解答：根据波函数的归一化条件，可得到以下结果：∫(Ψ(x))^2 dx = 1∫(Ae^(-|x|/a))^2 dx = 1∫(A^2)e^(-2|x|/a) dx = 1根据波函数的性质，可知|X| = x，当x > 0；|X| = -x，当x < 0。
因此，上式可化简为：∫(A^2)e^(-2x/a) dx + ∫(A^2)e^(2x/a) dx = 12∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1/2对上式进行积分运算，得出：∫(A^2)e^(-2x/a) dx = (-aA^2/2)e^(-2x/a) + C其中C为常数。
将上式代入原式，得到：(-aA^2/2)e^(-2x/a) + C = 1/2(-aA^2/2)e^(-∞/a) + C - (-aA^2/2)e^(∞/a) + C = 1/2 (-aA^2/2) + 2C = 1/2根据边界条件，可得到：C = 1/(4aA^2)将C带入上式，可得：(-aA^2/2) + 2(1/(4aA^2)) = 1/2-aA^2 + 1/(2A^2) = 1/2进一步整理，可得：aA^4 - A^2 + 1/2 = 0解该方程，即可求得A的值。
二、矩阵表达和算符1. 2012年真题题目描述：已知一个算符A，其矩阵表示为A = [3 1 2; 1 2 -3; 2 -3 2]，求其特征值和特征向量。