自适应作业2--模型参考自适应系统的设计

自适应控制

作业二：模型参考自适应系统(MRAS)

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Tasks

a) Under what circumstances does the model have the property of perfect following?

原系统： y ay bu ∙

=-+ 参考模型： y a y b u m m m m c ∙

=-+ 控制信号为：12

u y c θθ-u=

我们总是希望原系统的输出y 能跟参考模型的输出y m 一致，即希望y 与y m 有如下关系式：

y y m y y m

∙∙

=⎧⎪⎨=

⎪⎩

那么，将12

u y c θθ-u=代入到y ay bu ∙

=-+中，再让y y m ∙

∙

=可得：

()

)1221

y ay bu ay b u y a b y b u c c θθθθ∙

=-+=-+-=-++（

a y

b u y m m m

c ∙

=-+=

若要上式成立，只需要令 /11()/2

2b b b b

m m a b a a a b m m θθθθ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨

+==-⎪⎪⎩⎩ 所以当选择/1()/2

b b

m a a b m θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩时，参考模型和原系统的输入输出关系是完全一样的。

b) Design an adaption law using MIT rule so that the error between plant output and model output goes to zero. Draw a block diagram of such MRAS design scheme.

Tracking error ： e y y m =-

Choose cost function : 2

1()()2J e θθ=

Update rule : d J e e dt θδδγγδθδθ

=-=- 对于此系统：)21

y a y b u m m m m c

y a b y b u c θθ∙

∙⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩（ 可见θ仅与y 有关，与y m 无关。

而))21

21

y a b y b u py a b y b u c c θθθθ∙

=-++⇒=-++（（ （这里p 为微分算子）

()2112

p a b y b u c

b u

c y p a b θθθθ

⇒++=⇒=

++

因此：12b u c e y y y m m p a b θθ=-=

-++ 221122

bu e

y c p a b e y b y

p a b θθθθθθ∂∂⎧==⎪∂∂++⎪⇒⎨∂∂⎪==-⎪∂∂++⎩ 其中：(

)

22

2

11*222

2

b u b u y b b

c c y p a b p a b p a b p a b θθθθθθθ

∂=-

=-=-∂++++++++

理论上来说，在选择控制器参数的时候，我们选择了()/2

a a

b m θ=-，那么在这里我们可以认为

2

m p a b p a θ++≈+，因此我们可以将上面的式子改写为：21m

m bu e

c p a e b y p a θθ∂⎧=⎪∂+⎪⎨

∂⎪=-⎪∂+⎩ 那么很容易就可以推算出：1221m m

m m bu bu e

c c re re r e t p a p a e by by re re r e t

p a p a θθθθ∂⎧∂=-=-=-⎪∂∂++⎪⇒⎨∂∂⎪=-=-=-⎪∂∂++⎩

这样就利用MIT-Rule 就得到了调节装置的参数，对这个系统进行模型参考自适应控制的方框图如下：

c) simulate this MRAS using different adaption gain. plant output and model output Plot.

此时，0.5()1

2()2m c

Y s U s Y s U s ⎧

=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

Matlab 仿真图如下：

Case 1：相同的信号，不同的r 值

●方波信号下，不同r 对应各参数的情况

周期为10s ，幅值为1的方波信号 （1）误差

时间t

误差e

（2）输出跟踪情况

时间t

模型输出y m 与实际系统输出y

r =0.2时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较

时间t

模型输出y m 与实际系统输出y

r =1时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较

时间t

模型输出y m 与实际系统输出y

r =5时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较

时间t

模型输出y m 与实际系统输出y

r =7时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较

（3）调节器参数趋于理想值的情况

由第一问可知，当选择/1()/2

b b

m a a b m θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩时，参考模型和原系统的输入输出关系是完全一样的。因此

对于此系统，最好的调节器参数应该为12/2/0.54

/21/0.52m m b b a a b θθ===⎧⎨

=

-=-=⎩（）（），下面讨论在不同r 的

条件下，调节器参数趋向于理想参数的过程

r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况

时间t

调节器参数t h e t a 1

r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况

时间t 调节器参数t h e t a 2