自适应作业2--模型参考自适应系统的设计

自适应控制作业二：模型参考自适应系统(MRAS)姓名： 学号：Tasksa) Under what circumstances does the model have the property of perfect following?原系统： y ay bu ∙=-+ 参考模型： y a y b u m m m m c ∙=-+ 控制信号为：12u y c θθ-u=我们总是希望原系统的输出y 能跟参考模型的输出y m 一致，即希望y 与y m 有如下关系式：y y m y y m∙∙=⎧⎪⎨=⎪⎩那么，将12u y c θθ-u=代入到y ay bu ∙=-+中，再让y y m ∙∙=可得：())1221y ay bu ay b u y a b y b u c c θθθθ∙=-+=-+-=-++（a yb u y m m mc ∙=-+=若要上式成立，只需要令 /11()/22b b b bm m a b a a a b m m θθθθ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩ 所以当选择/1()/2b bm a a b m θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩时，参考模型和原系统的输入输出关系是完全一样的。

b) Design an adaption law using MIT rule so that the error between plant output and model output goes to zero. Draw a block diagram of such MRAS design scheme.Tracking error ： e y y m =-Choose cost function : 21()()2J e θθ=Update rule : d J e e dt θδδγγδθδθ=-=- 对于此系统：)21y a y b u m m m m cy a b y b u c θθ∙∙⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩（ 可见θ仅与y 有关，与y m 无关。

而))2121y a b y b u py a b y b u c c θθθθ∙=-++⇒=-++（（ （这里p 为微分算子）()2112p a b y b u cb uc y p a b θθθθ⇒++=⇒=++因此：12b u c e y y y m m p a b θθ=-=-++ 221122bu ey c p a b e y b yp a b θθθθθθ∂∂⎧==⎪∂∂++⎪⇒⎨∂∂⎪==-⎪∂∂++⎩ 其中：()22211*2222b u b u y b bc c y p a b p a b p a b p a b θθθθθθθ∂=-=-=-∂++++++++理论上来说，在选择控制器参数的时候，我们选择了()/2a ab m θ=-，那么在这里我们可以认为2m p a b p a θ++≈+，因此我们可以将上面的式子改写为：21mm bu ec p a e b y p a θθ∂⎧=⎪∂+⎪⎨∂⎪=-⎪∂+⎩ 那么很容易就可以推算出：1221m mm m bu bu ec c re re r e t p a p a e by by re re r e tp a p a θθθθ∂⎧∂=-=-=-⎪∂∂++⎪⇒⎨∂∂⎪=-=-=-⎪∂∂++⎩这样就利用MIT-Rule 就得到了调节装置的参数，对这个系统进行模型参考自适应控制的方框图如下：c) simulate this MRAS using different adaption gain. plant output and model output Plot.此时，0.5()12()2m cY s U s Y s U s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩Matlab 仿真图如下：Case 1：相同的信号，不同的r 值●方波信号下，不同r 对应各参数的情况周期为10s ，幅值为1的方波信号 （1）误差时间t误差e（2）输出跟踪情况时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =0.2时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =1时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =5时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =7时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较（3）调节器参数趋于理想值的情况由第一问可知，当选择/1()/2b bm a a b m θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩时，参考模型和原系统的输入输出关系是完全一样的。

因此对于此系统，最好的调节器参数应该为12/2/0.54/21/0.52m m b b a a b θθ===⎧⎨=-=-=⎩（）（），下面讨论在不同r 的条件下，调节器参数趋向于理想参数的过程r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况时间t调节器参数t h e t a 1r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况时间t 调节器参数t h e t a 2当r=0.2时，1θ和2θ在t=5000时还没达到理想值。

当r=1时，1θ和2θ在t=1300附近达到理想值。

当r=5时，1θ和2θ在t=200附近达到理想值。

当r=7时，1θ和2θ在t=130附近达到理想值。

（4）控制信号U时间t控制信号ur 不同时，控制信号u 的情况比较明显的可以看出，上面四种情况下，1）当r 越大时，实际输出与模型输出下的误差能够越快的趋向于0 2）当r 越大时，实际输出可以更快更准确的更准确的跟踪模型的输出 3）当r 越大时，调节器参数能够更快更准确的趋向于理想值为了验证r 越来越来的时候，是不是也是这种情况，r 增大会不会带来副作用，我们继续增大r ，观察这些参数的状态▼依次增大r ，观察各参数的状态，以下给出，r=1000时对应的情况 （1）误差时间-t误差-e（2）输出跟踪情况时间-t实际输出y 模型输出y m方波输入下，当r =1000时实际输出跟踪模型输出的情况（3）调节器参数趋向于理想值的情况时间-t调节器参数-t h e t a 1时间-t调节器参数-t h e t a 2可见，方波输入下，当r 很大很大时，虽然系统会出现明显的波动，但是实际输出还是能够很好的跟踪模型输出的，为讨论折现的情况出现是否跟输入信号有关，下面也会给出正弦信号和阶跃信号下，r 很大时，各参数的状态的。

●正弦信号下，不同r 对应各参数的情况 （1）误差误差e时间t正弦输入时，不同r 下的模型输出与实际输出的误差（2）输出跟踪情况时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =0.2时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较-1-0.500.51时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =1时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t 模型输出y m 与实际系统输出yr =5时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较-1-0.500.51时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =7时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较（3）调节器参数趋向于理想值的情况由第一问可知，当选择/1()/2b bm a a b m θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩时，参考模型和原系统的输入输出关系是完全一样的。

因此对于此系统，最好的调节器参数应该为12/2/0.54/21/0.52m m b b a a b θθ===⎧⎨=-=-=⎩（）（），下面讨论在不同的条件下，调节器参数趋向于理想参数的过程时间t调节器参数t h e t a 1r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况时间t调节器参数t h e t a 2r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况（4）控制信号U时间t控制信号ur 不同时，控制信号u 的情况可见，在正弦输入下，有着同样四种情况，增大r 继续验证▼依次增大r ，观察各参数的状态，以下给出，r=1000时对应的情况 （1）误差时间-t误差-e（2）输出跟踪情况时间-t实际输出y 模型输出y m（3）调节器参数趋向于理想值的情况时间-t调节器参数-t h e t a 1正弦输入下，当r=1000时调节器参数t h et a1趋向于理想值的情况时间-t调节器参数-t h e t a 2正弦输入下，当r =1000时调节器参数t h et a2趋向于理想值的情况可见，正弦信号下有着与方波信号下类似的结论，虽然波动比较大，但是还能能够跟踪模型输出的，当然正弦信号下的跟踪能力明显没有方波信号下好，存在这相位差，而且调节其参数很不稳定，关于输入信号的对系统产生的影响，下一小问在讨论。

●阶跃信号下，不同r 对应各参数的情况 （1）误差误差e时间t阶跃输入时，不同r 下的模型输出与实际输出的误差（2）输出跟踪情况时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =0.2时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =1时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t 模型输出y m 与实际系统输出yr =5时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较时间t模型输出y m 与实际系统输出yr =7时，模型输出ym 与实际系统输出y 的比较（3）调节器参数趋向于理想值的情况时间t调节器参数t h e t a 1时间t调节器参数t h e t a 2r 不同时，调节器参数一趋向于理想值的情况（4）控制信号U时间t控制信号u可见，在阶跃输入下，有着于前两种输入信号同样的四种情况，增大r 继续验证▼依次增大r ，观察各参数的状态，以下给出，r=1000时对应的情况 （1）误差时间-t误差-e（2）输出跟踪情况时间-t实际输出y 模型输出y m（3）调节器参数趋向于理想值的情况时间-t调节器参数-t h e t a 1阶跃输入下，当r =1000时调节器参数th et a1趋向于理想值的情况时间-t调节器参数-t h e t a 2阶跃输入下，当r =1000时调节器参数t h et a2趋向于理想值的情况可见，阶跃信号下有着与强两种信号下类似的结论，虽然波动比较大，但是还能能够很好的跟踪模型输出的，阶跃信号下的跟踪能力明显比前两者好，误差很快就趋于0了，且之后不会再有波动，然而调节器参数总是无法达到理想值，可见不同的输入对不同的参数有影响（这点下一小题在讨论）。

总结：综合上面的各种情况来看：（1）在合理的条件下，r 越大，系统收敛得越快，跟踪能力越好，调节器参数能更快的趋向于理想值。

（2）对于一阶系统，r 很大很大时，只会引起较大的波动，但是不会出现发散即实际输出不能跟踪模型输出的情况。

（3）r 越大，理论上讲，系统收敛的越快，然而，由于r 越大，有可能引起很大的波动，所以，当r 增大到一定程度时，系统的状态会变得非常的不好，因此，个参数的稳定性和其收敛的速度之间存在着一定的矛盾，然而在r 可以取值的范围内，能够选择到一个比较理想的r ，使得两者都比较理想。