跳远运动中的数学问题

由上面的关系式可得出：
x r ( x) r0 1 xm
把上式代进指数增长模型的方程中，由于奥运会第一届跳远的规则是立定跳远， 而后面的比赛都是助跑的，所以第一届的数据不具有参考价值。利用初始条件 x(������2 ) = ������2 ，于是解得： ������������ x(t) = ������ 1 + ( ������������ − 1) ������ −������(������−������2 ) 2 4.1.2 利用阻滞增长模型进行预测 由初始条件������1 =7.185，������1 =1 可得模型公式为： ������������ x(t) = ������������ 1+( − 1) ������ −������(������−1) 7.185 利用 MATLAB（程序见附录 1）实现对历届奥运会男子跳远成绩的非线性拟 合（阻滞增长模型） ，可以得到： ������������ = 9.4407 r =0.2438 于是可以预测第 31 届夏季奥林匹克运动会男子跳远冠军成绩为： ������31 =8.7069（m） 如图 1 为利用该模型得到的跳远成绩拟合曲线：
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写成矩阵形式为:
Y Xβ ε
其中：
y1 y Y 2 y n
0 1 β p
1 x11 1 x 21 X 1 x n1 1 ε 2 n
二、模型的假设
1、 运动员的受力作用点在重心上， 而人体的重心在人身体的 1/2 高度的截面上。 2、在整个运动过程忽略空气阻力，即在腾空阶段重心只受重力的作用。 3、将助跑初速度视为身体腾空的初速度。 4、第二（腾空阶段）和第三阶段（重心从 A 到 C 的最后阶段）重心均作斜抛运 动。 5、比赛过程中成绩与外部环境原因无关。
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图1
4.2.1 多元线性回归模型： 设随机变量 y 与一般变量 x1 , x2 , , x p 的线性回归模型为：
y 0 1 x1 2 x 2 p x p
式中， 0 , 1 , , p 是 p 1 个未知参数； 0 称为回归常数； 1 , , p 称为回归 系数； y 称为被解释变量（因变量） ，而 x1 , x2 , , x p 是 p 个可以精确测量并可控 制的一般变量，称为解释变量（自变量） 。 p 2 时，就称它为多元线性回归模 型。 是随机误差项。 对于一个实际问题，如果我们获得 n 组观测数据 xi1 , xi 2 , , xip , yi
(i 1,2,, n) ，则线性回归模型可表示为： y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 yn 0 1 xn1 2 xn 2 p xnp n
关键词： SPSS 软件 logistic 模型
多元线性回归
斜抛运动
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一、问题的重述
跳远，又名急行跳远。由助跑、起跳、腾空和落地等动作组合而成。运动员 沿直线助跑， 在起跳板前沿线后用单足起跳， 经腾空阶段， 然后用双足在沙坑落， 比赛时以跳的远度决定名次 。跳远是最古老的竞技项目之一，在古希腊奥林匹 克的“五项运动”中就有跳远。据史料记载，首次正式的跳远比赛是从公元前 780 年开始的，当时作为五项比赛中的一个项目。男子跳远的第一个世界纪录由 英国人 F.G.古奇在 1864 年创造的，当时的成绩是 5.80 米。直到 1875 年才由冰 岛的劳尔以 7.04 米首次突破 7 米大关， 当时跳者多采用 “蹲踞式” 或 “走步式” 跳法。1931 年日本的南部忠平，第 1 次采用“挺身式”技术，创造了 7.98 米的 世界纪录。1935 年著名美国运动员 J.欧文斯凭借他出众的助跑速度和强有力的 起跳， 以简单的蹲踞式技术， 把世界纪录提高到了 8.13 米。 第二次世界大战后， 科学研究和实践进一步使人们认识到跳远技术的关键在于助跑和起跳的完美结 合，即提高腾空初速并按照一个合理的角度腾起。1960 年美国运动员 R.博斯顿 以 8.21 米的成绩打破了欧文斯保持了 25 年的世界纪录。 随后他与苏联的И.А. 捷尔-奥瓦涅相分别于 1965 年、1967 年先后达到 8.35 米的水平。在 1968 年第 19 届奥运会上， 美国的 R.比蒙创造了 8.90 米的世界纪录。比蒙的助跑速度在起 跳前达到 10.70 米/秒，腾起角为 26°，腾起高度约为 80 厘米，也有人认为墨 西哥城的气温、空气密度、湿度，尤其是地处高原海拔 2240 米的地势，为他创 造这一优异成绩提供了优越的自然条件。以后，以欧洲为中心对跳远的腾空技术 进行了广泛的研究，而忽略了助跑速度的研究。因此，跳远技术并无大幅度的提 高。现在随着体育技术的发展，对跳远技术的理论从生物力学，解剖学，心理学 进行了系统广泛的研究， 使跳远运动的成绩不断得到了提高。现在的世界纪录是 1991 年 8 月 30 日在东京举行的世界田径锦标赛上由美国运动员米.鲍威尔创造 的 8.95 米。 请你们的团队从附表、国际田联（http://www.iaaf.org/home ） 、国际奥委会官 方网站（http://www.olympic.org/athletics） ，及互联网搜索相关资料和数据，解决如 下问题： 1. 通过国际田联、或国际奥委会官方网站提供数据，建立数学模型，分析 男子跳远运动成绩极限状态。 2. 预测即将于2016年8月5日-21日在巴西的里约热内卢举行第31届夏季奥 林匹克运动会男子跳远冠军成绩。 3. 就附表国内优秀男子跳远运动员专项身体素质与成绩的数据，选择合适 的方法，从身体素质角度分析影响跳远运动员成绩的重要因素。 4. 由附表提供的国内优秀运动员训练素质数据， 推断其跳远成绩； 如果要提 高成绩，加强那些方面训练。
三、符号说明
r ：运动员跳远成绩增长率； x ：跳远原成绩； ������������ ：跳远极限成绩； t ：奥运会举办届数； L ：最终成绩 V0：身体腾空的初速度 a：腾空时的起跳角 H：运动员的身高
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Leabharlann Baidu
g：重力加速度之间 Vx:水平速度 H0：0 时刻重心的竖直位移 Y ： t 时刻重心的竖直位移
1 n 2 1 n xij ( xij x j ) 2 M j n i 1 n i 1
论文题目：跳远运动中数学问题
摘要
体育锻炼可以增强我们自身体质，提高运动技术水平，丰富我们的社会文化 生活。其作为国民身体素质的硬性指标，越来越受到大家的关注。奥林匹克运动 会更是作为世界性公平竞技的标杆。 这其中的跳远运动更是一场表现自身实力的 不可多得的竞技场。本文研究的是跳远运动中数学问题，根据对题目的理解，我 们可以将运动员的成绩进行量化，通过对已知数据的拟合，建立了 logistic 模 型（阻滞增长模型） 、多元线性回归模型。这些模型可以对跳远运动项目进行训 练建议以及成绩预测，从而可以帮助运动员了解自身优势劣势，完善自己，搭配 出更加适合自己的训练方法。 针对问题一和二： 由于运动员的身体素质存在极限值，故跳远成绩不可能是 无限增长的，所以我们采用了 logistic 模型（阻滞增长模型）进行预测第 31 届 夏季奥林匹克运动会男子跳远冠军成绩以及未来男子跳远运动成绩极限状态。估 计第 31 届夏季奥林匹克运动会男子跳远冠军成绩是 8.7069 米，而男子跳远的极 限成绩将会达到 9.4407 米。 针对问题三和四：根据附表内容，我们利用 SPSS 软件将表格中的 9 项数据 进行了相关性分析。 由于相关系数的绝对值越接近于 1 就说明相关性就越大，所 以首先得到其他 8 项数据与跳远成绩的相关系数；然后建立多元线性回归模型， 计算出了各项的系数值； 最后根据相关系数绝对值大小逐个去掉值较小的影响因 子， 得到了多元线性回归方程， 并且通过对结果的检验发现去掉身高体重这 2 个 影响因子后得到的跳远成绩数据最理想。 针对问题五：我们将跳远过程分为助跑，起跳，腾空，落地四个部分。运用 动力学的知识，我们可以得到跳远的最终成绩 L 与身体腾空的初速度 V0,腾空时 的起跳角 a,运动员的身高 H,重力加速度 g 之间的关系式，通过固定 V0,H，g 中的 两个变量， 剩下的那一个变量取五个不同的值，分别作出他们的 L-a 图放在同一 坐标中进行比较（可以得到三幅图，每幅图有 5 条曲线） ，最终我们得到了 H 越 大，V0 越大，g 越小，最终成绩 L 越大，而理论上的最佳起跳角约为 45 度。
四、模型建立与及求解
4.1.1 阻滞增长模型 我们假设运动员跳高成绩增长率 r 是跳高原成绩 x 的线性减函数，即随着 跳高成绩的增加，跳高成绩增长速度会慢慢下降：
r ( x) r0 sx
运动员跳高成绩最终会达到饱和，且趋于一个常数 x m ，当 x x m 时，增长 率为 0：
r0 sxm 0
x12 x1 p x 22 x 2 p x n 2 x np
矩阵 X 是一 n ( p 1) 矩阵，称 X 为回归设计矩阵或资料矩阵。在实验设 计中， X 的元素是预先设定并可以控制的，人的主观因素可作用其中，因而称
X 为设计矩阵。
4.2.2 多元线性回归模型的基本假定 为了使参数估计量具有良好的统计性质，对多元线性模型可做出若干基本 假设。 假设 1：回归模型是正确设定的。 假设 2：解释变量 x1 , x2 , , x p 是非随机的或固定的，且各 x j 之间不存在严 格线性相关性（无完全多重共线性） 。 假设 3：各解释变量 x j 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量 的无限增加，各解释变量的样本方差趋于一个非零的有限常数，即 n 时，
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5. 从运动学角度分析， 通过合理假设， 建立数学模型， 如何使男运动员跳得 最远。
表 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 跳远成 绩( m ) 7.80 7.90 7.32 8.40 7.80 8.22 8.23 7.91 7.58 7.82 7.80 身高 (m) 1.81 1.90 1.85 1.84 1.80 1.88 1.81 1.76 1.89 1.87 1.84 1.81 国内优秀男子跳远运动员各专项素质指标与成绩 体重 (kg) 69 78 78 72 65 76 68 70 76 80 73 69 3 0 m 起动 计时跑 (s) 3.70 3.30 3.45 3.32 3.49 3.35 3.43 3.40 3.45 3.25 3.46 3.80 1 0 0 m 起动 计时跑 (s) 10.50 10.66 11.15 10.01 10.50 10.00 10.11 10.40 10.40 10.60 10.63 10.60 立定跳 远(m) 3.28 3.27 3.20 3.36 3.23 3.18 3.33 3.30 3.15 3.10 3.18 3.18 立定三 级跳 (m) 10.08 10.05 9.26 10.27 9.10 10.02 10.40 10.00 10.03 9.00 9.88 9.80 助跑五 级跳 (m) 24.00 22.80 21.00 24.10 23.10 24.30 24.80 22.70 23.00 23.00 21.5 23.50 深蹲 杠铃 (kg) 180 145 160 180 155 160 180 145 120 135 155 175