高数下册期末考试题

一、选择题（每题3分，共15分）.

1.()=

→→x

xy a

y x sin lim 0. A. 1 B. 0 C.a D. 1-

2. 已知2=a ，2=

b ，2=⋅b a ，则=⨯b a ____. A. 22 B. 1 C.

22 D. 2 3.级数()

∑∞=--1111n p n n ____.

A.当1>p 时，绝对收敛

B.当1>p 时，条件收敛

C.当10<

D.当10<

4.0lim ≠∞→n n u 是级数∑∞

=1

n n u 发散的____.

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

5.方程032=-'-''y y y 的通解是____. A.321

x C x C + B.321x

C x C + C.x x e C e C 321-+ D. x x e C e C 321+- 二、填空题（每题3分，共15分）.

6.交换()⎰⎰y

a dx y x f dy 00,（0>a 为常数）的积分次序后得到______________________.

7.函数22y xy x u +-=在点()1,1处沿着与x 轴正向成

角的方向导数最大. 8.平面72=+-z y x 和112=++z y x 的夹角是______. 9.⎰⎰=

D d σ,其中0,0,0,:222>≥≥≤+a y x a y x D .

10.已知1=y ，1+=x y ，12+=x y 是某二阶非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解为______________.

三、计算题（共70分，11、12题每题8分，13-18题每题9分）.

11.求过点()3,4,2-且通过z 轴的平面的方程。

12.设()[]y xy y x f z ,sin ,22+=，其中f 的偏导数连续，求

y z x z ∂∂∂∂，. 13.计算⎰⎰⎰

Ω++dv z y x 222，其中Ω是由上半球面222y x a z --=和圆锥面22y x z +=所围成的空间区域。

14.计算()⎰+L ds y x 22，其中L 是圆周ax y x

=+22. 15.计算dxdy y x e z ⎰⎰∑+22，其中∑是上半圆锥面22y x z +=被平面1=z ，2=z 所截部分的下侧。

16.利用格林公式计算()()dy my y e dx my y e I x L x -+-=

⎰cos sin ，其中L 是ax y x =+22从点()0,a A 到点()

0,0O 的上半圆弧，m 是常数.

17.判断级数()∑

∞=---11ln 1n n n n 是否收敛；若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.

18.求解初值问题⎪⎩

⎪⎨⎧==++=-4π0d sin )e 1(d cos 0x x y y y x y

1. 二元函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy y x f 在()0,0点处____.

A.连续，偏导数存在

B.不连续，偏导数存在

C.连续，偏导数不存在

D.不连续，偏导数不存在

2. 向量()2,1,1-=a 、()1,0,2=b 的夹角是____.

A.0

B.

6π C. 4π D. 2

π 3.级数()∑∞=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛--11cos

11n n n α____. A.绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.敛散性与α有关

4.方程x y y y 3e 96=+'-''的特解形式是____.

A.x Ax 32e

B.()x B Ax 3e +

C. x Ax 3e

D.x 3Ae

5.设L 为0x x =，2

30≤≤y ，则=⎰L ds 4____. A. 04x B.4 C. 06x D. 6

二、填空题（每题3分，共15分）. 6.⎰

⎰=x

y y x f x I ln 0e 1d ),(d 交换积分次序后为________________________. 7.曲面22

2y

x z +=在()111,,-处上侧的单位法向量为____________.

8.设L 为圆周222a y x =+()0>a ，则()=

+⎰L ds y x 22. 9.=

⎰⎰⎰Ωdv ，其中1:222≤++Ωz y x .

10.已知x y e =，x x y e +=，x x y e 2+=是某二阶非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解为__________________.

三、计算题（共70分，11、12题每题8分，13-18题每题9分）.

11.求过点()4,2,1且与两平面12=+z x ，23=-z y 都平行的直线方程.

12.求曲面3e =+-xy z z 在点()0,1,2处的切平面及法线方程.

13.计算⎰⎰

+D

d y x σ22，其中x y x x y D 2,0:22≤+≤≤. 14.计算⎰-L ydx x xdy y 22，其中L 是圆周222a y x =+沿顺时针方向.

15.计算⎰⎰∑

ds ，其中∑是抛物面()222y x z +-=在xOy 面以上的部分。

16.验证dy x xydx 22+在整个xOy 面内是某一函数()y x u ,的全微分，并求这样一个()y x u ,.

17.求幂级数∑

∞

=-⋅11242n n n n x 的收敛域.

18.求微分方程()0cos 1sin =--dy x dx x y 的通解.