2012年概率论与数理统计试题及答案

、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y)
由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0
当y=x2>0时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(- ≤X≤ )
=
将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为
∴
六、（12分）随机变量 和 均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立．
1．写出二维随机变量（ ）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求 ．
4.由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以
P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
故应选（C）。
5.因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A) ，P(B)>0，
（D）选出的学生是三年级篮球运动员；
2.在随机事件 中， 和 两事件至少有一个发生而 事件不发生的随机事件可表示为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设 为甲胜， 为乙胜，则甲胜乙输的概率为（）.
（A） （B） （C） （D）0.6
4．下列正确的是（）.
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若10次试验中 发生了2次，则
5．设 、 互为对立事件，且 ，则下列各式中错误的是（）.
（A） （B） （C） （D）
解：1.由交集的定义可知，应选（B）
2.由事件间的关系及运算知，可选（A）
3.基本事件总数为 ，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为 =5，故P(A)= ，故应选（D）。
P( A2|H1)= ，P( A|H2)= ，P( A2|H3)=
P(A2)=
P( A2)=
因此，
十、（8分）设 ，试证事件 与 相互独立．
证明：∵0<P(A)<1，0<P(B)<1
∴P(A|B)=
又∵P(A|B)+P =1
∴
化简，得：P(AB)=P(A)P(B)
∴事件A、B相互独立
自测题（第二章）
解：1.P(B )=P(B)–P(AB)因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=
∴P(B )=P(B)=
2.∵P(A)= ，由A B知：P(AB)=P(A)=
∴P(B )=P(B)–P(AB)= – =
3. P(AB)= ∴P(B )=P(B)–P(AB)= – =
九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．
5.设 ，且 为任一事件，则 与 互不相容，且相互独立．[ ]
解：1.正确2.不正确3.正确4.不正确5.不正确
四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率．
解：设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有 种，则 =0.000054。
解：设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品
依题意有
七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率．
P( )
=P(A) =0.36
5.甲产品滞销或乙产品畅销。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“”，毎小题2分,共10分）:
1.设 、 为任意两个互不相容事件，则对任何事件 和 也互不相容．[ ]
2．概率为零的事件是不可能事件．[ ]
3.设 、 为任意两个事件，则 ．[ ]
4.设A表示事件“男足球运动员”，则对立事件 表示“女足球运动员”．[ ]
设Ai={第i个元件出故障)i=1, 2, 3
∴
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
=
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P(X=2)=P( =0.22
=0.03
∴X的分布律：
X
0
1
2
3
P
0.28
0.47
0.22
0.03
(2)由(1)及分布函数的定义知
所以 =A，因而P( |A)=P(A|A)=1，故选（A）
二、填空题（毎小题3分,共15分）：
1． 、 、 代表三件事，事件“ 、 、 至少有二个发生”可表示为．
2．已知 ，则 =．
3． 、 二个事件互不相容， ，则 ．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 ，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．
2．若 ，则（）.
（A） 与 独立（B）
（C） （D） 与 不相关
1.选（D）；由题意知：X～B(3,p)，而D(X)=3 ·p· (1–p)=0.72
∴p=0.4。
2.选（B）；∵E(X)= ，而被积函数为对称区间上的奇函数，∴E(X)=0。
二、判断题（每小题3分,共12分）:
1．设随机变量 的概率密度为 ，则 =0．（）
5．设 、 、 两两相互独立，满足 ，且已知 ，则 ．
解：1.AB+BC+AC
2.∵A、B相互独立，∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
3.A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8
4.设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为 ，即有
当x<0时，F(x)=0
当0≤x<1时，F(x)=P(X=0)=0.28
当1≤x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75
当2≤x<3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97
当x≥3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3)=1
∴ 其图为
五、（10分）随机变量 的概率密度为 ；求 的概率密度．
一、选择题（每小题3分,共15分）:
1．设随机变量 的分布律为 ，则（）.
（A） ，且 （B） ，且
（C） ，且 （D） ，且
2．设随机变量 的密度函数为 ，则（）.
（A） （B） （C） （D）
3．设随机变量 的概率密度和分布函数分别是 和 ，且 ，则对任意实数 ，有 （）.
（A） （B） （C） （D）
4．设相互独立的随机变量 具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（）.
（A）（ ）（B） （C） （D）
5．设 与 分别为随机变量 与 的分布函数,为使 是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）.
（A） （B）
（C） （D）
1解∵
∴ 故选(C)
五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为 若让他们共同破译的概率是多少？
解：设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1, 2, 3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则
∴P(A)=1–P(
六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率．
a)当z<0时，f (t)=0，∴f (z)=0
b)当0≤z<1时，z-1<0，z≥0
c)当z≥1时，z-1≥0
综述：
自测题（第三章）
一、选择题（毎小题3分,共6分）:
1.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）.
（A）0.1( B ) 0.2( C ) 0.3( D ) 0.4
2．设 ，则对任何实数 均有： ．（）
3．设 ， 从参数为 的指数分布，则 ．（）
4．设 ，则 与 独立．（）
1. [×]；∵E(X)=
不一定等于零。
2. [×]；∵E(X+a)=E(X)+a=a，D(X)=D(X+a)=D(X)=
∴X+a～N(0, )
3. [√]；∵D(X)=E(X2)–[E(X)]2，D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2，
解：(1)由题意得：
又∵X,Y相互独立
∴f(x,y)=fX(x)fY(y)=
(2)
= =
七、（12分）已知随机变量 的分布律为:
-1
0
1
1/4
1/2
1/4
0
1
1/2
1/2
且已知 ．
（1）求（ ）的联合分布律；（2） 是否相互独立？为什么？
解：(1)由P(XY=0)=1，可见
P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0
而E(X)= ，D(X)= ，E(Y)= ，D(Y)= (其中 )。
∴E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+D(Y)+[E(Y)]2
= 。
4. [×]；参见教材例3.14。
三、填空题（每空2分,共22分）:
1．设二维随机变量（ , ）的联合分布律为：
解：设 表示报名表是第i个地区考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1, 2)，则
P(H1)=P(H2)=P(H3)=
P(A | )= ；P(A |H )= ；P(A1|H3)=
(1) =P( )=
(2)由全概率公式得P(A2|H1)= ，P(A2|H2)= ，P(A2|H3)=
易见
=0
于是，得X和Y的联合分布：
X
Y
-1
0
1
0
0
1
0
0
(2)∵P(X=0,Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)=
∴P(X=0)P(Y=0)≠P(X=0,Y≠0)
∴X,Y不独立
八、（12分）设 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:
求随机变量 的概率密度函数．
设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得
当X，Y相互独立∴P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)
∴ =( +0.2)( + )∴ =0.2
2解∵ (x)=
=
3解∵ ∴ =1
∴k=3
4解∵X～N(10, 0.022)
∴P{9.95≤X<10.05}=P
=2
5解∵X,Y相到独立∴f(x,y)=fX(x)fY(y)
三、（12分）随机变量 的概率密度为 ，试求（1）系数 ；（2） 的分布函数；（3） 落在 内的概率．
2解∵ 即： =1
∴b=-a
又∵f(x)=aebx≥0∴a>0故选(D)
3解∵X～N
∴f(x)=
由4个结论验得(B)为正确答案
4解∵
= 故选(D)
5解因为F(x)必须满足条件0≤F(x)≤1，而只有取 时，才会使0≤F(x)≤1满足,故选(A)
二、填空题（每小题3分,共15分）:
1．二维随机变量（ ）的联合分布律为:
1
2
1
0.2
2
0.3
则 与 应满足的条件是，当 相互独立时， =．
2．二维随机变量（ ）的联合密度为： ，则 的边缘概率密度为．
3．连续型随机变量 的概率密度为 ，则常数 ．
4．设 ，已知 (2.5)=0.9938，则 ．
5．设 是相互独立的随机变量， ，且 ，则 =．
1解∵ =1∴ =1即有 =0.5
解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P(A1)=P(B1)P( |B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)
= =0.467
P( )= =0.220
八、（10分）设 ．
1.若 ，求 ；2.若 ，求 ；3.若 ，求 ．
自测题（第一章）
一、选择题（毎小题3分,共15分）：
1.在某学校学生中任选一名学生，设事件 表示“选出的学生是男生”， 表示“选出的学生是三年级学生”， 表示“选出的学生是篮球运动员”，则 的含义是（B）.
（A）选出的学生是三年ຫໍສະໝຸດ Baidu男生；
（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；
（C）选出的学生是男子篮球运动员；
解(1)∵ =1,即 =1
∴
(2)当x<- 时,F(x)=0
当|x|≤ 时，
当x≥ 时， =1
∴
(3)
四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间 服从参数为 的指数分布．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间 的分布函数．
解：(1)∵X可能的取值为0, 1, 2, 3