新人教版第二十一章一元二次方程全章导学案

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21.1 一元二次方程

一、一元二次方程

问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

思考：

方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，方程中含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____. 归纳：

1.一元二次方程定义：

2. 一元二次方程的一般形式: 二、应用举例:

例：1.将方程(82)(52)18x x --=化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

2.下列方程是一元二次方程的是有 ： （1），（2）(x+1)(x-1)=0， （3），（4）011

22=-+

x

x ，（5）， （6）05322=-+y x

3. 若2

1(3)50m m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．

4.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.

A m≠0，n=3

B m≠3，n=4

C m≠0，n=4

D m≠3，n≠0 5.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .

（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.

6.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; ⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；

⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x 。

三.一元二次方程的解

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。

例1.下面哪些数是方程x 2-x-6=0的根？

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

变式：下列各未知数的值是方程2

320x x +-=的解的是（ ）

A. 1x =

B.1x =-

C.2x =

D. 3x =

2.已知方程

2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______。 3.已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式

2

m m -=________。

21.2一元二次方程的解法（1） 直接开平方法

1你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

①2

250x -= ②29160x -= ③

231x = 2探究

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm 2

,林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？

例1用直接开平方法解下列方程：

（1）2x 2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x 2+6x+9=2

（4）4m 2-9=0 （5） 3(x-1)2-9=108

解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

（3）9x 2+6x+1=4 （4） 3(x-1)2-6=0

21.2一元二次方程的解法（2） 配方法

一.复习回顾：

填空：①x 2+6x+______=（x+______）2； ②x 2-x+_____=（x-_____）2

③4x 2+4x+_____=（2x+______）2; ④x 2-x+_____=（x-_____）2

2：探究 x 2+6x+4=0

什么叫配方法？ 配方法的目的是什么？ 配方法的关键是什么？ 例题：

用配方法解下列一元二次方程：

（1）2810x x -+= （2）x 2+10x+9=0

（3）23640x x -+= （4）2213x x +=

课堂训练

1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．

A ．（x-2）2+3

B ．（x-2）2-3

C ．（x+2）2+3

D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11 3．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9

4．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2 （3）x 2+px+_____=（x+______）2． 5.用配方法解下列关于x 的方程：

21.2一元二次方程的解法（3）

公式法 一.新知探究：

1.任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

ax 2+bx+c=0（a ≠0）， 你能否用上面的配方法得出方程的解呢？

用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）

解：移项，得 ，

二次项系数化为1，得 ， 配方 ，

方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：

（1）当b 2-4ac>0时，=1x ； =2x 。 （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。

（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。

2.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。

当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。

（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，•将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

例题：1.用公式法解下列方程．

（1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0

（3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x