河海大学《材料力学》期作业题解作业版

∑ M C (Fi ) = 0 ：
FN 2 × 2.2 − FA × 4 + 4q × 2 = 0
FN 2
=
(40 × 4 − 40 × 2) 2.2
=
36.36kN
q C
σ2
=
FN 2
A2
=
36.36 ×103 1150 ×10−6
=
31.62MPa
ห้องสมุดไป่ตู้
Fcy
3.分析铰 E，示力图见（c）
∑ Fix = 0 ：
⊕
A
C
Mx
解： 1．作扭矩图
M x = 100Nm
2．杆件 A、C 截面相对扭转角分两段计算
6
∆ϕ AC = ∆ϕ BC + ∆ϕ BA
( ) = M xa + M x (0.9 − a)
GI 1 − α 4
GI
GI∆ϕ AC Mx
=a 1−α 4
+ 0.9 − a,
其中α＝35 50＝0。7
0.31596a = GI∆ϕ AC − 0.9 Mx
4
2.由约束条件 ∆A = 0 得：
FNAl − Fl = 0 EA EA FNA = F
3.见图(b),求 BC 段轴力
由平衡条件可知： FN = 0
所以 B,C 截面相对位移为
∆ BC
=
FN l 3 EA
=
0
FNA
F FN (b)
5
第三章 扭 转
3-4 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。
泊松比：υ = ε , ε = 0.326
2-11 图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。
解： AB 段内轴力 FN1 = −F − ρgAx
BC 段内轴力 FN 2 = −2F − ρgAx
B 点位移为杆 BC 的伸长量：
∫ ∆B
=
2l − (2F + ρgAx)dx = − 2Fl +1.5ρgAl 2
解除 A 截面处约束，代之约束力 FNA ,见图（a）
A 截面的位移为杆件的总变形量
∆A = ∆l AB + ∆lBC + ∆lCD
= FNA l 3 + (FNA − F ) l 3 + (FNA − 2F ) l 3
EA
EA
EA
= FNAl − Fl EA EA
FNA
A
B F
C F
D (a)
方形杆，在 B、C
2
σ＝FN A = 58.4 ×103 π 4 ×1.52 ×10−4 = 330.48MPa
线应变： ε = ∆l l = 0.9 ×10−3 200 ×103 = 4.5 ×10−3
弹性模量： E
=σ
ε
=
330.48MPa 4.5 ×10−3
=
73.4 ×103 MPa
侧向线应变： ε ，＝0.02215 = 1.467 ×10−3
FN 2 − FN1 sin β = 0
FN1 = FN 2 ×
22 + 12 2
= 40.65kN
FA FN2
(b)
σ1
=
FN1
A1
=
37.96 ×103 1150 ×10−6
=
35.3MPa
解毕。 FN3
B FB
Fcx
FN1
β E
FN2 (c)
2-7 一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地 增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比µ。 解： 加载至 58.4kN 时，杆件横截面中心正应力为
∆l2
=
FN 2lCG E2 A2
=
100
60 × ×109
103 × 0.5 ×1500 ×10
−6
= 2 ×10−4 m（伸长）
3
∆l3
=
F N 3lBE E3 A3
=
10
×
20 109
×103 × × 3000
1 ×
10
−6
= 6.67 ×10−6 m（缩短）
3.由几何关系：
∆G
=
∆l2＋
2 3
2.由强度条件求 [F ]
σ = FN A ≤ [σ ] 2.5F ≤ A[σ ]
π × 9 ×10−4 ×160 ×106
[F ] = 4
2.5 = 45.2kN
2-21 两端固定，长度为 l，横截面面积为 A，弹性模量为 E 的正
截面处各受一 F 力作用。求 B、C 截面间的相对位移。
解：
1． 本题为超静定问题
1.求①、②杆轴力
由平衡方程可以求出:
FN1 = 2F 3 = 40kN (压） FN3 = F 3 = 20kN (压） FN 2 = F = 60kN (拉）
2.求杆的变形
∆ l1
=
FN1l AD E1 A1
=
40 ×103 ×1 200 ×109 × 500 ×10−6
= 4 ×10−4 m（缩短）
材料力学作业题
解题指导
1
第二章 轴向拉伸和压缩
2-3 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2； 解：
1.分析整体，作示力图
∑ M B (Fi ) = 0 ：
C A
FA × 8 − 8 ×10 × 4 = 0 FA = 40kN
FA
E
D
2.取部分分析，示力图见（b）

80
×
10
9

× 0.12 × π 180 ×
π 32
× 54
× 10 −8
−
0.9

100

a =
0.31596
a = 0.405m
3-19 工字形薄壁截面杆，长 2m，两端受 0.2kN·m 的力偶矩作用。设 G=80GPa，求此杆的最大切应 力及杆单位长度的扭转角。
l
EA
EA
2-14 图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜 杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。 当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。 解：
∆l1
+
1 3
∆l3＝6.89
× 10 −4
m
2-18 图示结构中的 CD 杆为刚性杆，AB 杆为钢杆，直径 d=30mm，容许应力［ σ］=160MPa，弹 性模量 E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载 F。
解： 1.求A杆的轴力FN
∑MC (F i ) = 0：
FN sin 30 × 2 − F × 2.5 = 0 FN = 2.5F
解： 作扭矩图，
A
500
300
100
D
E
B
C
300
可见最大切应力发生在 AB 段
τ max
=
Mx WP
=
500
1
π
× 2.53 ×10−6
= 162.97MPa
16
3-7 一圆轴 AC 如图所示。AB 段为实心，直径为 50mm；BC 段为空心，外径为 50mm，内径为 35mm。
要使杆的总扭转角为 0.12°，试确定 BC 段的长度 a。设 G=80GPa。 100Nm