选择题的解题方法-数学

第1讲选择题的解法技巧

题型概述

选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力．解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做．

方法一直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

例1(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝26，B＝2A，则cos A的值为()

A.

6

3 B.

26

3

C.

6

6 D.

6

8

(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为()

A．96 B．432

C．480 D．528

解析(1)在△ABC中，

a

sin A＝

b

sin B，

∴

3

sin A＝

26

sin B＝

26

sin 2A＝

26

2sin A cos A，

∴cos A ＝

63

. (2)当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)． 答案 (1)A (2)D

思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．

跟踪演练1 (1)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1

a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 10等于( )

A.16 B ．－16

C ．6

D ．－6

(2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )

A ．－

3

2

B. 32

C ．－12

D.12

答案 (1)D (2)D

解析 (1)由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1⇒a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1

3，a 5＝2，a 6＝－3，…，

由此可知数列{a n }的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，则a 9＝a 1＝2，a 10＝a 2＝－3，所以数列{a n }的前10项之积为1×1×2×(－3)＝－6. (2)每次循环的结果依次为： k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，

∴S ＝sin 5π6＝1

2

.故选D.

方法二 特例法

从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．

例2 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )

A ．[－1,2]

B ．[－1,0]

C ．[1,2]

D ．[0,2]

(2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2

D ．(n －1)2

解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x －1，x >0，

易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；

若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2，x ≤0，x ＋1x ，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．

(2)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C

思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

跟踪演练2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →

，

则m 的值为( ) A.3

2

B. 2