第二章 常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题及其解法
常微分方程的初值问题及其解法常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。
初值问题是其中最基本的问题之一。
本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。
1. 初值问题的意义首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。
上面这条式子就是一个二阶常微分方程。
我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。
这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。
这就是初值问题的意义。
通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。
对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。
但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。
然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。
2. 数值解法下面将介绍几种常见的数值解法。
2.1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。
具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。
于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：$$y_2=y_1+f(y_1,t_1)\Delta t$$依此类推，直到我们得到一个目标时间$t_m$的值$y_m$。
常微分方程初值问题的解法及应用
常微分方程初值问题的解法及应用常微分方程是数学中非常重要的一部分，它涉及了许多领域的模型建立和问题求解。
本文将介绍常微分方程初值问题的解法及其应用。
一、常微分方程初值问题的定义常微分方程初值问题是指给定一个常微分方程，以及它在某一点上的初始条件，求解该方程的解曲线。
通常，一个常微分方程初值问题可以表示为:y'(x) = f(x,y), y(x0) = y0,其中，y(x)是未知函数，f(x,y)是已知函数，y(x0) = y0是初始条件。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法有多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的方法。
该方法基于初始条件，通过不断迭代计算得到近似解曲线。
具体步骤如下：步骤1：设定步长h，确定求解区间[x0, xn]，计算步数n。
步骤2：初始化，即确定初始点(x0, y0)。
步骤3：根据方程dy/dx = f(x,y)和初始点(x0, y0)，计算斜率k = f(x0, y0)。
步骤4：根据已知的斜率和步长h，计算下一个点的坐标(xi+1,yi+1)。
步骤5：重复步骤3和步骤4，直到达到步数n。
步骤6：得到近似解曲线。
2.改进的欧拉法（改进欧拉法）改进的欧拉法是对欧拉法的改进，其求解精度比欧拉法更高。
具体步骤如下：步骤1：设定步长h，确定求解区间[x0, xn]，计算步数n。
步骤2：初始化，即确定初始点(x0, y0)。
步骤3：根据方程dy/dx = f(x,y)和初始点(x0, y0)，计算斜率k1 =f(x0, y0)。
步骤4：根据已知的斜率k1和步长h/2，计算中间点的坐标(x0+h/2, y0+k1*h/2)。
步骤5：根据方程dy/dx = f(x,y)和中间点的坐标(x0+h/2, y0+k1*h/2)，计算斜率k2= f(x0+h/2, y0+k1*h/2)。
步骤6：根据已知的斜率k2和步长h，计算下一个点的坐标(xi+1,yi+1)。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量（通常是时间）及其导数之间关系的数学分支。
它在物理、化学、生物学等学科中都有广泛应用，因此被视为数学的基础学科之一。
其中的求解方法之一便是初值问题。
初值问题是指对于一个已知的微分方程，给定初始条件的问题。
初始条件通常包括一个或多个自变量和导数值，根据这些条件可以求解出微分方程的解析解或近似解。
此外，初始条件还可以帮助我们理解微分方程的性质和行为。
举个例子，我们考虑一个简单的问题：假设一个物体在空气中运动，其速度随时间的变化可以用常微分方程来描述。
则其方程可以写作：m * dv/dt = mg - kv^2其中m为物体质量，g为重力加速度，k是空气阻力系数，v表示速度。
将初始条件加入其中，例如初始速度v0为0，则此时可以解出运动中物体的速度v(t)对时间的表达式。
对于初值问题的求解方法，数值和解析方法皆有。
解析方法主要是利用微积分和代数技巧，将微分方程推导为一般的解析表达式。
然而，这种方法需要一定的条件和技巧，因而在实际问题中应用范围较为有限。
数值方法则是更为通用和普遍的求解方法。
在此方法中，将微分方程转化为差分方程，即将导数近似为差分式，再结合初始条件用数值计算方法进行求解，得到问题的数值解。
这种方法的优点在于求解过程简单明了，且由于近似误差可以任意小，因此可得出足够精确的解。
常用的数值方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
其中欧拉法是最简单的一种数值方法，其核心思想是用线性近似代替导数，即将微分方程中的导数写成差商形式，于是可以得到如下迭代公式：y(i+1)=y(i)+hf(y(i), t(i))其中y(i)表示函数解在i时刻的估计值，t(i)表示时间，h为时间步长，f(y,t)为微分方程右端函数。
通过这种迭代方法即可用简单的计算机程序得到一个数值解。
在使用数值方法求解初值问题时，需注意初始条件的选取。
例如，在上述物体的运动例子中，我们可以选取物体在某一位置的速度为初始速度，而这个位置则可以是重心位置、发射点等。
常微分方程初值问题数值解法
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
第二章 常微分方程的初值问题讲解
改进的欧拉法 用 xn xn+1 两点斜率的平均值来近似 [xn, xn+1] 平均斜率
K1、K2 分别是 xn xn+1 点处的斜率 但是由于 yn+1 待定，因此需要做“预报”
Runge-Kutta 法 思想：为了提高精度，多取几点的斜率值作为加权平均当作平 均斜率
其中 αi (i = 1,2,...,m) 和 νij (i = 2,3,...,m 且 j < i) 是待定参数
假设强迫外 力为 , 阻力为 那么 Newton 运动方程就可以写成如下形式
其中 并且取 (l/g)1/2 为时间单位。
设 该运动方程就可以化为一阶方程组
杆和垂线的夹角、角速 度随时间演化过程
角速度与夹角的轨迹
q=0.5,b=0.9, ω0 =2/3, t=100。 在这 种情况下,钟 摆运动是一个有序的周期运动
将上式展开到 O(hm)，得到 m 个方程，而有 m+m(m?1)/2 个待定参数 αi , νij. 所以还有灵活选择的空间 以 m=2 为例 , Runge-Kutta 法公式为
其中
将 K2 做泰勒展开到 O(h2) 项，得 利用 将 yn+1在 xn 点附近做泰勒展开至 O(h2) 项，得
Henon-Heiles 位势所确定的 Hamilton 方程为 该问题不能精确求解，所以必须用数值方法研究.
二维粒子的运动轨迹
(x, px ) 平面和 (y, py ) 平面的轨迹图
两式相比，有
可选解为 或
若取 得二阶Runge-Kutta法
二阶Runge-Kutta 法与二阶泰勒级数法比较
可以看出，相比二阶泰勒级数法而言，二阶Runge-Kutta法 适用性更广，使用也更为方便
常微分方程初值问题的解法
常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量，而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑，常微分方程作为数学分支的重要组成部分，对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。
在实际工程中，解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。
本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。
一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式，常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下，确定函数u(x)的解的问题。
在初值问题中，自变量是独立变量，取值范围可以是任意实数，因变量是函数值，是依赖自变量而实现的数值，常数是影响函数变化的一些固定参数。
常微分方程模型经常出现在工程技术模型中，一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种，一种是解析解法，即直接利用微积分学知识对方程进行求解；另一种是数值解法，即采用数值方法对方程进行数值计算求解。
下面将分别介绍这两种方法的解法原理。
1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究，以求出常微分方程的解。
该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式，只有在特殊情况下才能找到一些特解。
这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度，解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。
往往只有在一些特殊情况下，解析解法才能一般性的解决问题，因此该方法的适用场景相对较少。
2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法，通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。
数值解法的优点是具有广泛的适用性，可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题，使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。
数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况，前者是指方法不会出现不稳定结果的情况，而后者则保证了方法收敛性的同时，存在一定的条件限制。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题，听起来可能有点复杂，实际上就像是在玩拼图，拼出一幅完整的画面。
咱们常常会遇到一些问题，比如说，如何预测一辆车在某个时间点的速度，或者水从一个水池流出的速度。
你看，这些看似遥不可及的数学概念，其实就在我们身边，随处可见。
咱们得了解什么是常微分方程。
简单来说，就是一种包含未知函数及其导数的方程。
听上去可能有点高深，其实就像是在寻找一个秘密，解开这个方程，就能找到那个未知的函数。
这个过程就像解密，越是仔细，就越能找到线索。
初值问题就是在这个过程中给我们提供了一个起点，告诉我们从哪儿开始探索。
想象一下，你在一个山坡上滑下来，山的高度、坡度都不一样，你需要知道从哪个点开始滑，才能顺利到达山下。
如果你开始的地方不对，滑下来的路径可能会完全偏离目标。
这就是初值的重要性。
它像是一个导航系统，指引我们在数学的世界中找到正确的方向。
我们来聊聊这些常微分方程背后的故事。
方程其实就像是一部小说，里面有角色、冲突、情节发展。
比如，物体的运动方程就像是一个小故事，讲述了物体是如何在时间中不断变化的。
只要掌握了这些方程，就能预测物体的未来发展。
是不是觉得很神奇？就像你预见到邻居家那个总是爱搞事情的小孩，今天又会做出什么让人哭笑不得的事情。
解决初值问题的时候，咱们常常用到一些方法。
比如分离变量法、积分法等等。
这些方法就像是工具箱里的工具，各种各样，适用于不同的情况。
就像你要做一道菜，可能需要刀、锅、调料，缺一不可。
掌握了这些工具，做出美味的菜肴就变得轻而易举。
很多时候我们需要借助图形来理解这些方程。
画个图，就能直观地看到变量之间的关系。
想象一下，一个坐标系里，X轴和Y轴就像是两个老朋友，在那里欢快地互动。
通过曲线的变化，我们可以预测未来的状态，就像是看见了未来的样子，心里顿时就有了底。
解决初值问题也会遇到一些“意外”。
比如说，某个方程的解可能是个奇怪的函数，或者根本找不到解。
这时候，咱们就得耐心点，像耐心的园丁一样，等待花朵的绽放。
常微分方程初值问题解法
详细描述
幂级数解法是通过幂级数展开方法，将一阶 常微分方程转化为可求解的幂级数形式。这 种方法适用于一些具有特定形式的常微分方 程，通过幂级数展开方法，将原方程转化为 可求解的幂级数形式，然后找到方程的解。
03 初值问题的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种简单而基础的数 值方法。
详细描述
欧拉方法基于微积分中的中点公式，通过在区间上取几个点 并近似求解微分方程，得到近似解。该方法简单易行，但精 度较低，且对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满 意的结果。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题的一种高精度数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法采用线性插值的思想，通过构造一系列的插值多项式来逼近微分方程的 解。这种方法精度较高，且适用于各种类型的微分方程，因此在科学计算和工程领域应
数值方法
随着计算机技术的发展，数值解法成为解决初值问题的主要手段，如欧拉法、龙格-库 塔法等，能够给出近似解并适用于各种复杂情况。
稳定性分析
对于解的存在性和稳定性，需要分析初值问题的解是否随时间演化而发散或收敛，这涉 及到解的稳定性分析。
未来研究方向与展望
高维问题
目前对高维初值问题的研究 还不够深入，未来可以探索 更有效的数值方法和理论分 析方法。
应用广泛
在各个领域中都有广泛的应用，如航天、航空、交通、经济等。
发展前景
随着科学技术的发展，常微分方程初值问题的求解方法和应用范围 将不断拓展，具有广阔的发展前景。
02 初值问题的解法
分离变量法
总结词
适用于具有特定形式的一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离，转化为可求解的方程。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题初值问题是常微分方程中非常重要的概念，它描述了一个方程的初始条件。
在这篇文章中，我们将介绍什么是初值问题，以及如何解决它。
初值问题是什么？一个初值问题包含了一个常微分方程和一个初始条件。
形式化来说，对于一个一阶微分方程y' = f(x,y)，以及一个初始条件y(x0) = y0，我们就有了一个初值问题。
其中，y0是定义在x0处的y的值，f(x,y)表示方程中的函数。
解决初值问题需要找到满足方程和初始条件的函数y(x)。
这个函数描述了解决方案在整个定义域上的行为，并且是针对给定方程和初始条件的解。
如何解决初值问题？为了解决初值问题，我们需要使用数值方法，在数学上实现求解。
这些方法可以为我们提供非常接近实际解的近似解。
首先，我们需要将函数y(x)进行离散化，并选取一些点来近似表达这个函数。
通常，这些点被称为网格点。
我们可以使用各种算法来计算这些点上的近似值，例如欧拉法、泰勒展开法和龙格库塔法等等。
其中，欧拉法是解决初值问题的最简单的数值方法之一。
它将函数y(x)在给定点x分解成以下表达式：y(x + h) ≈ y(x) + h*y'(x)，其中，h是步长。
通过此方法可以计算每一个网格点上的函数值y(x)，并且用它们来建立近似解。
然后，我们可以用计算机进行数值仿真，以可视化输出结果。
总结在初值问题中，给定了一个常微分方程以及一个初始条件，我们需要找到满足这两个条件的函数解。
这里，我们介绍了初值问题的基本概念和解决方法，以及数值方法的使用。
初值问题在科学和工程应用中非常常见，了解这个问题的基本概念，能够更好地理解实际应用中的问题。
常微分方程初值问题解法
为了克服欧拉方法精度不足的问题，可以对方法进行改进。一种常见的方法是使用更高阶的离散近似，例如使用 二阶或更高阶的离散化公式。这些改进可以减小数值误差，提高解的精度。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题 的一种高精度和高稳定性的数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造 一系列近似解来逼近微分方程的精确解。该 方法采用多步策略，每一步使用微分方程的 离散近似来更新未知数的值，同时考虑了更 多的信息，从而提高了数值解的精度和稳定 性。龙格-库塔方法在许多领域都有广泛的 应用，如物理、工程和科学计算等。
初值问题的定义
定义
常微分方程的初值问题由一个微分方程 和一个初始条件组成。给定一个初始状 态，我们需要找出该状态随时间变化的 规律。
VS
形式
dy/dt = f(t, y) with y(t0) = y0，其中f是 关于时间t和状态y的函数，t0是初始时间， y0是初始状态。
02
初值问题的解法
欧拉方法
05
结论与展望
研究成果总结
数值解法
常微分方程初值问题数值解法是当前研究的热点，包括欧拉法 、龙格-库塔法等多种方法，这些方法在精度和稳定性方面取
得了显著进展。
稳定性分析
对于数值解法的稳定性分析，研究者们通过分析数值解法 的收敛性和误差估计，为算法的改进提供了理论支持。
实际应用
常微分方程初值问题在物理、工程、生物等领域有广泛的应用 ，研究成果在实际问题中得到了验证，为解决实际问题提供了
04
实际应用与案例分析
物理问题中的应用
1 2 3
自由落体运动
描述物体在重力作用下的运动轨迹，可以通过常 微分方程求解物体在不同时刻的速度和位置。
常微分方程的初值问题
龙格-库塔方法是数值解 常微分方程初值问题的 一种常用方法，其精度
高于欧拉方法。
它基于线性插值和泰勒 级数展开，通过迭代的 方式逐步逼近方程的精
确解。
龙格-库塔方法对于复杂 的问题能够提供更高的 精度，但计算量相对较
大。
步长和精度的选择
1
选择合适的步长是数值解常微分方程初值问题的 关键之一。
2
步长太小会导致计算量过大，步长太大则会导致 精度不足。
波动传播
在物理中，波动传播问题也可以通过设置初值条件，利用常微分方 程进行描述，例如弦振动、波动传播等。
在化学中的应用
化学反应动力学
化学反应的动力学模型可以通过 设置适当的初值条件，利用常微 分方程进行描述。
化学反应过程模拟
在化学反应过程中，通过设置初 值条件，可以利用常微分方程模 拟反应过程的变化规律。
初值问题在数学、物理、工程等 领域有广泛应用，用于描述各种 动态系统的行为。
描述初值问题的解法
初值问题的解法通常包括 数值方法和解析方法。
解析方法则是通过求解微 分方程来得到解析解，适 用于某些特殊类型的微分 方程。
ABCD
数值方法包括欧拉法、龙 格-库塔法等，通过迭代 逼近方程的解。
解法选择取决于具体问题、 精度要求和计算资源等因 素。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态行为可以通过设置适当的初值条件，利用常微分方程进行描 述。
航空航天工程
航空航天工程中的飞行器运动规律可以通过设置初值条件，利用常微分方程进行描述。
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感谢您的观看
描述初值问题的存在性和唯一性
01 02 03 04
存在性是指对于给定的初始条件，是否存在一个解满足微分方程。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题什么是常微分方程？常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述一个未知函数关于自变量微分关系的方程，被广泛用于描述自然现象。
常微分方程与偏微分方程不同的是，常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
举个例子，我们都知道牛顿第二定律F=ma，如果我们设F为常数，令a=dv/dt，那么牛顿第二定律可以转化为md2x/dt2=F，这就是一个常微分方程。
常微分方程的形式十分多样，有些可以直接求解，有些则需要通过变换后求解。
常见的常微分方程包括一阶常微分方程、二阶常微分方程、线性常微分方程、非线性常微分方程等。
当然，还有更加复杂的常微分方程，如偏微分方程。
什么是初值问题？初值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是一类常微分方程问题中的基本问题。
初值问题指的是给定一个常微分方程及其初值，求解出该常微分方程的通解，即求出在该初值下使方程成立的特定解，亦称特解。
举个例子，假设掷出一个物体，求出它的高度随时间的变化规律，那么初始高度ℎ0和初速度v0就是初值，可以通过方程y″=−g来描述。
其中y表示高度，g为重力加速度。
初值问题的求解方法通常分为数值方法和解析方法两种。
数值方法求解初值问题数值方法通过把求解域分成很多小段，逐一计算每个小段上函数的近似值，并且通过迭代来逼近精确解。
数值方法的优点是可以处理较为复杂的问题，并且求解过程相对简单。
常见的数值方法求解初值问题的算法包括：•欧拉法：一种最简单的迭代方法，从初始条件开始，逐一迭代得到每个时刻的函数近似值。
•改进的欧拉法：欧拉法精度不高，改进的欧拉法通过一阶和二阶泰勒展开来提高迭代精度。
•龙格-库塔法：一种更加精确的迭代方法，通过逼近微分方程精确解来提高近似解的精度。
解析方法求解初值问题解析方法是指通过解析求出一个函数的精确表达式。
如求一阶齐次线性常微分方程y′+p(x)y=0的通解，可以通过分离变量法求解：dy/y=−p(x)dx$$ln |y| = -\\int p(x)dx + C$$$$y=Ce^{-\\int p(x)dx}$$对于非线性常微分方程，解析求解通常较为困难，因此数值方法得到了广泛的应用。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是数学中的一种重要工具，它能够描述许多自然界和社会现象的变化规律。
而常微分方程的初值问题则是常微分方程研究中的常见问题之一，它需要确定未知函数及其导数在某个特定点的值。
本文将介绍常微分方程的初值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、初值问题的定义在常微分方程中，初值问题是指在已知微分方程的解的条件下，需要确定一个特定点上未知函数及其导数的值。
具体而言，考虑一个形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程，其中x是自变量，y是因变量，f是已知的函数。
若已知y(x0)=y0，则求解这个微分方程的过程即为解决初值问题。
二、求解方法对于常微分方程的初值问题，可以使用多种方法进行求解，下面将介绍两种常见的方法：欧拉方法和四阶龙格-库塔方法。
1. 欧拉方法欧拉方法是一种简单而直观的求解常微分方程的数值方法。
它的基本思想是将求解区间等分为多个小区间，然后通过逐步逼近的方式计算未知函数的近似值。
具体步骤如下：- 将求解区间[a, b]等分为n个小区间，步长h=(b-a)/n。
- 定义网格节点xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n。
- 初始条件为y(x0)=y0，通过递推公式y(xi+1) = y(xi) + h*f(xi, y(xi))，计算出近似值y(xi+1)。
- 重复上述步骤，直到计算到需要的点。
欧拉方法的优点是简单易懂，但对于某些特定的微分方程，其数值解可能不够精确。
2. 四阶龙格-库塔方法四阶龙格-库塔方法是一种更为精确的求解常微分方程的数值方法，它通过计算多个逼近值的组合来提高计算精度。
具体步骤如下：- 将求解区间[a, b]等分为n个小区间，步长h=(b-a)/n。
- 定义网格节点xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n。
- 初始条件为y(x0)=y0，通过递推公式计算逼近值k1、k2、k3和k4。
- k1 = h*f(xi, y(xi))- k2 = h*f(xi + h/2, y(xi) + k1/2)- k3 = h*f(xi + h/2, y(xi) + k2/2)- k4 = h*f(xi + h, y(xi) + k3)- 计算近似值y(xi+1) = y(xi) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6。
常微分方程中的初值问题
常微分方程中的初值问题一、介绍初值问题是在微积分学中一个非常基础的概念，在常微分方程（ODEs）中也有很重要的应用。
我们从初值问题开始，逐步深入探讨ODEs的相关知识。
二、什么是初值问题？在ODEs的求解中，我们通常需要给出一个初值条件，也就是某个时刻的初始条件。
通常我们把这个条件称之为初值问题（Initial Value Problem, IVP）。
例如，我们可以假设现在有一个物体在运动。
如果我们想要得到它在任意时间点上的位置和速度，就需要知道它在某个时刻的位置和速度，这个时刻就称为初值。
三、ODEs的解与初值问题ODEs的求解通常与初值问题密切相关。
在求解ODEs时，我们通常需要设定初值条件，从而得到方程的一组解。
举个例子来说，如果一个物体在力的作用下做匀加速运动，那么我们可以得到ODEs如下：$\frac{d^2x}{dt^2}=a$这里，x表示物体的位移，t代表时间，a代表加速度。
我们可以通过对此方程积分，得到如下解：$x(t)=\frac{1}{2}at^2+C_1t+C_2$其中，C1和C2都是常数，需要通过初值条件来确定。
假设我们知道在t=0时，这个物体的位移为 $x_0$ ，速度为$v_0$ 。
那么我们就可以得到初始条件：$x(0)=x_0,C_2=x_0$$\frac{dx}{dt}(0)=v_0,C_1=v_0$通过这两个初始条件，我们就可以得到这个物体在任意时刻的位移和速度。
四、初值问题的数值求解除了解析求解以外，初值问题在实际工程中还有很多数值求解的方法。
在给出数值解之前，首先需要对微分方程进行离散化。
一种简单的离散化方式是欧拉法。
对于ODEs：$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$我们可以将它离散化为：$\frac{y_{i+1}-y_i}{h}=f(t_i,y_i)$其中，h是离散化的步长，i表示当前离散点的下标。
这个式子可以帮助我们递推地求出 $y_{i+1}$ 的值。
常微分方程与初值问题
常微分方程与初值问题一、引言常微分方程是数学中的重要分支之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
初值问题是常微分方程研究中的基本形式之一，它要求在给定的初始条件下求解微分方程的解。
本文将介绍常微分方程与初值问题的基本概念、常见类型以及求解方法。
二、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数与自变量之间的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中dy/dx表示未知函数y关于自变量x的导数，f(x, y)是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的导数阶数最高为一次，例如dy/dx = f(x, y)；高阶常微分方程的导数阶数大于一次，例如d²y/dx² + dy/dx = g(x)。
三、初值问题的定义初值问题是指在常微分方程中给定一个初始条件，即确定未知函数在某一点上的函数值及导数值。
一般形式为y(x0) = y0，其中x0和y0分别表示初始点的横纵坐标。
初值问题的求解就是要找到满足常微分方程的解，并满足给定的初始条件。
这个解是通过求解微分方程得到的。
四、常见类型的常微分方程及其求解方法1. 分离变量法：对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为两边分别只含有自变量和因变量的方程，然后进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于齐次方程（即f(x, y)中只含有y/x的比值），可以通过换元的方式将其转化为一个新的方程，使得新方程中只含有一个变量，然后进行变量分离和积分求解。
3. 线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过乘法因子法将其转化为一个可积分的方程，然后进行积分求解。
4. 变量代换法：对于某些复杂的常微分方程，可以通过适当的变量代换将其转化为更简单的形式，然后再用其他的求解方法求解。
五、初值问题的求解初值问题的求解可以使用数值方法或解析方法。
1. 数值方法：数值方法是通过在离散的自变量点上计算出近似解的方法。
常微分方程的初值问题与解析解
常微分方程的初值问题与解析解常微分方程是数学中的重要分支之一，涉及到自然科学中的众多问题，因此在科研中有着广泛的应用。
而其中的初值问题是解决这些方程的关键所在。
所谓常微分方程，是指只涉及单个变量及其导数的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
其中初值问题是指在t=0 时刻，给定某一时刻的函数值及导数值，解出该函数在全局上的解析解。
初值问题的解法通常可以分为两种方法：解析解和数值解。
解析解是指通过数学方法求解出的解析式，可以直接得到函数在全局的解析表达式，这种方法求解出的解具有较高的精度和快速性。
而数值解则是通过计算机等工具，通过迭代一定次数获得数值近似解。
数值解的方法可以分为 Euler 方法、Runge-Kutta 方法、Adams 方法等。
解析解的求解方法通常可以分为四类：分离变量法、齐次化法、常数变易法和特殊函数法。
分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一，在求解 t 偏微分方程时，一般是将其写成一个 t 项的函数+一个不含t 的项，再分离变量，通过积分解出函数表达式。
齐次化法是指当微分方程中含未知函数的导数时，进行变量替换，使其不含未知函数的导数，变成一个齐次方程，从而解出解析式。
常数变易法是指当方程中含有δ (初值条件t=0时的函数值) 时，通过变量替换，将该常数变为未知函数的形式，达到求解解析解的目的。
特殊函数法则是指通过特殊函数如Bessel 函数、拉格朗日函数、伽玛函数等求解，这种方法主要是针对一些特殊的常微分方程，对于一般的常微分方程无法使用。
常微分方程求解中的初始值条件是影响解析解精度的重要因素之一。
正确的初始值条件可以保证解析解的准确性，否则可能会造成解析解数值偏差。
因此，在求解常微分方程时，清晰的问题理解、合适的解法选择以及准确的初始条件选择可以保证解析解的精确性，并且进一步应用到实际问题研究中。
总之，常微分方程的初值问题求解是数学中的重要分支之一，解析解具有精度高、求解速度快等优点，是科学研究中解决问题的有力工具之一。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量只有一个的函数关系的微分方程，是数学中的重要基础理论之一。
在实际问题中，很多现象都可以用常微分方程来描述和解释。
而初值问题则是求解常微分方程的一种常用方法。
初值问题是指在给定一个常微分方程及其初始条件的情况下，求解该方程在给定初始条件下的解。
初始条件通常是给定自变量和因变量的值，以及一阶导数的值。
解决初值问题的关键在于找到满足给定初始条件的特解。
通过求解常微分方程的初值问题，可以得到函数关系的具体解析表达式或者数值解。
这对于实际问题的建模和分析具有重要意义。
常微分方程的初值问题在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
以常微分方程dy/dx = f(x)为例，其中f(x)表示自变量x的函数，y 表示因变量，我们可以通过以下步骤解决初值问题：1. 根据给定的初始条件，得到初始值点(x0, y0)；2. 将初始值点代入常微分方程，得到关于未知函数y的微分方程；3. 求解微分方程得到通解；4. 将初始值点代入通解中，得到满足初始条件的特解。
需要注意的是，常微分方程的解可能不是唯一的，解的存在性和唯一性需要通过数学理论进行证明。
在求解过程中，也可能面临无解、解不唯一或者无法用解析表达式表示的情况，此时可以采用数值方法进行近似求解。
常微分方程的初值问题具有广泛的应用。
例如，在物理学中，质点在外力作用下的运动可以通过牛顿第二定律建立常微分方程，并通过给定的初始条件求解得到质点的运动轨迹。
在经济学中，经济增长模型可以描述经济的增长速度，并通过初始条件求解得到经济的发展趋势。
总之，常微分方程的初值问题是数学中一种常用的求解方法，能够描述和解释实际问题中的许多现象。
通过求解初值问题，可以得到常微分方程的具体解析解或者数值解，为实际问题的建模和分析提供了有效的工具。
第2章常微分方程初值问题的解法
yn 1 yn hf ( xn , yn ) h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
y i 1 h yi f ( xi , yi ) f xi 1 , yi h f ( xi , yi ) 2 ( i 0, ... , n 1)
显然，这个误差在 逐步计算过程中会 传播，积累。因此 还要估计这种积累
yn1 yn hf ( xn , yn )
8
定义: 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差。 定义: 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 收敛性： 考察局部误差的传播和积累
隐式欧拉 稳定性最好 精度低, 计算量大 method */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step 梯形公式 精度提高 method */。 计算量大 中点公式 精度提高, 显式
多一个初值, 可能影响精度 14
• 改进欧拉法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y n 1 Step 2: 再将 y n 1代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
h2 y( xi+1 ) y( xi + h) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) 2!
h2 y( xi-1 ) y( xi - h) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) 2!
h2 y( xi+1 ) y( xi h) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) 2! h2 y( xi-1 ) y( xi - h) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) 2!
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可分离变量的系统
在可分离变量的系统中,位势 V 具有 (x,y) 的可分离形式, 即 V(x,y)=Vx(x)+Vy(y)，此时 Hamilton 方程可写为
和
由此可见, x 方向和 y 方向的运动是相互不耦合的，每 一个 Hamilton 量单独都是一个运动常数，其中
作为一个例子,考虑两个坐标方向的运动都是简谐运动的
欧拉法
在 xn 点，将微分方程左边的微分用向前差分公式替代
得到递推关系
局部误差为 O(h2) 全局误差为 NO(h2)≈O(h)
精度太低！
例子：牛顿动力学方程
一维运动的粒子方程为
用欧拉法写出具体的递推关系
欧拉法的Matlab实现
标量形式
for n = 1:N
x(n+1) = x(n) + h * p(n) /m p(n+1) = p(n) + h * g(x(n), t(n)) end
隐式法很少直接使用，它通常用在预报校正算法中
先通过显式法“预报”一个 yn+1的值，然后利用隐式法来校正 得到一个更精确的值。这样的算法有个优点，它可以持续监控 积分的精度。 一个常常使用的具有局域误差 O(h5)的预报校正算法：
显式的 Adams-Bashforth
四步法 Adams-Moulton三步法
设在 t 时刻,粒子的平面坐标为(x, y), 它的共轭动量为 (px , py), 则 Hamilton 量的形式为
粒子的轨迹就由坐标和动量随时间的演化由如下 Hamilton
方程规定
它是四个耦合的一阶微分方程组.这些方程使能量 E 守 恒,即满足约束条件
该约束条件把粒子运动的轨道限制在四维相空间
一个特别简单的情况是，如果 f 对于 y 是线性的，即
f(x,y)=g(x) y，则上面的方程可以为
得到其显式解
Adams-Moulton方法——多步隐式法
利用 fn-1, fn, fn+1 三个值在区间 [xn , xn+1] 对 f 进行二次多
项式插值，得到隐式递推关系
带入积分公式 得
用三次多项式插值，得到相应的三步法为
情况,即位势
对应的 Hamilton 方程为
和
该问题是精确可解的。 我们可以通过直接积分,求得满足初
始条件 (x0, y0 , px0 , py0 ) 的解为
(x, y) 平面的运动轨迹
(x, px)平面和 (y, py)
平面的轨迹图
Henon-Heiles 系统
在 Henon-Heiles 位势系统中，位势的形式为
这个位势原来是由 Henon 和 Heiles 在研究恒星穿过星系的 轨道时引入的。它具有三重对称性，并且在原点处位势为零, 当坐标值大时位势无限增大。对于小于 1/6 的能量，轨道被 限制在一个等边三角形之 内
Henon-Heiles 位势所确定的 Hamilton 方程为
该问题不能精确求解，所以必须用数值方法研究.
其中
将 K2 做泰勒展开到 O(h2) 项，得
利用
将 yn+1在 xn 点附近做泰勒展开至 O(h2) 项，得
两式相比，有
可选解为
或
若取 得二阶Runge-Kutta法
二阶Runge-Kutta法与二阶泰勒级数法比较
可以看出，相比二阶泰勒级数法而言，二阶Runge-Kutta法 适用性更广，使用也更为方便
练习：二阶Runge-Kutta法处理二阶常微分方程
2.4 算法的稳定性
对微分方程进行积分时，一个首要的考虑是所用算
法的数值稳定性，也就是说，舍入误差或数值计算
中的其它误差能被放大的程度。
以欧拉法的一个简单扩展为例
当把这一方法应用到下述问题
这个问题的解析解是 y=e-x 为了启动上面的递推关系，还需要 y1 的值，这可以由泰
练习：简谐振子方程
2.3 Runge-Kutta 法
思想：从欧拉法说起
在子区间 [xn, xn+1] 将微分方程写成积分形式
平均斜率 中值定理 欧拉法就是用 xn 点的斜率近似 [xn, xn+1] 区间的平均斜率 Kave
改进的欧拉法 用 xn xn+1 两点斜率的平均值来近似 [xn, xn+1] 平均斜率
练习：推导三阶泰勒级数法
2.2 多步法和隐式法
在子区间 [xn, xn+1] 将微分方程写成积分形式
关键在于对积分号下的 f(x, y) 取合理的近似
欧拉法实际上将 f(x, y) 近似为 f(xn, yn)
多步法
为了获得更高的精度，可以将 yn+1 不仅仅是同 yn，而且 还同更早的点，如 yn-1, yn-2 等点相联系 例如: 利用 f 在 xn-1 和 xn 处的值通过线型插值得到 f 在积分区 域的值
VDP方程不能准确的表示心脏振荡图形的细节，为了更 准确的表示心脏的波动，FitzHugh对VDP方程进行了修 改，提出了所谓的BVP方程，形式为
例 3. 化学振荡——BZ反应
CA, CB， CC， CD 分别为四种化合物浓度。
例 4. 二维粒子的运动
考虑一个单位质量的粒子,它在一个位势 V 中作二维运动。
三阶Runge-Kutta法
最为常用的是四阶Runge-Kutta法
通常认为四阶Runge-Kutta法在效率和精度间达到了最好 的平衡
练习：四阶Runge-Kutta法处理一阶常微分方程
f = @(x, y)(-x*y); y(1) = 1; for i=1:n K1 =f(x(i), y(i)); K2 =f(x(i) + h/2, y(i) + h*K1/2 ); K3 =f(x(i) + h/2, y(i) + h*K2/2 ); K4(i)=f(x(i) + h, y(i) + h*K3 ); y(i+1)=y(i) + 1/6*h*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4 ); end
矢量形式 f=@(x, t)[x(2)/m, g(x(1), t)]
for n = 1:N z(n+1,:) = z(n,:) + h*f(z(n,:), t(n)) end
泰勒级数法
将 yn+1 在 yn 附近做泰勒展开
而又已知
从而有
这个公式在已知 f 的解析形式时很好用。阶数增大时，变 px ) 平面和 (y, py ) 平面的轨迹图
一个好的经验规则是，每当积分一个随着迭代过程急剧
衰减的解时，就应当小心不稳定性和舍入误差。
2.5 动力学中的有序和混沌
例 1. 强迫钟摆
一根长度为 l 钟摆被限制在一个垂直的平 面内，在强迫外力 fd 和阻力 fr 的作用下 振荡运动。钟摆的运动可以通过 Newton 方程来描述
其中 fg = -mg sinθ 是重力在运动方向
摆运动是一个有序的周期运动
杆和垂线的夹
角、角速度随 时间演化过程
角速度与夹角
的轨迹
q=0.5, b=1.15, ω 0 =2/3, t=1000，在这 种情况下钟摆运动是
一个无序运动,呈现出分形的特征
例 2. 自激振动——范德波尔方程
范德波尔描述非线性有阻尼的自激动振动系统
其中 μ 是一个正的小量 自激系统能将非振动的能源通过系统本身的反馈调节 吸收进来，以补充被损耗的能量。自激系统的例子包 括心脏等。
代入积分公式得Adams-Bashforth 二步积分法
类似的，Adams-Bashforth 四步积分法为
多步法有个小麻烦：最初几个格点的启动值需要通过其它的
积分法如欧拉法、泰勒级数法来获得
隐式法
在区间 [xn , xn+1] 上过 fn， fn+1 两点对 f 插值，得
带入积分公式 得
隐式法意味着在每一个积分步都必须解一个方程，会非常耗时。
K1、K2 分别是 xn xn+1 点处的斜率
但是由于 yn+1 待定，因此需要做“预报”
Runge-Kutta 法
思想：为了提高精度，多取几点的斜率值作为加权平均当作平 均斜率
其中 α i (i = 1,2,...,m) 和 ν ij (i = 2,3,...,m 且 j < i) 是待定参数
将上式展开到 O(hm)，得到 m 个方程，而有 m+m(m−1)/2 个待定参数 α i , ν ij. 所以还有灵活选择的空间 以 m=2 为例 , Runge-Kutta 法公式为
的分力，a=l d2 θ /dt2 是沿切线方向的 加速度， θ 是杆和垂线的夹角。
假设强迫外 力为
,
阻力为
那么 Newton 运动方程就可以写成如下形式
其中 并且取 (l/g)1/2 为时间单位。
设
该运动方程就可以化为一阶方程组
杆和垂线的夹角、角速 度随时间演化过程
角速度与夹角的轨迹
q=0.5,b=0.9, ω 0 =2/3, t=100。 在这 种情况下,钟
第二章 常微分方程的初值问题
本章要研究的物理问题：经典动力学中的有序和混沌
本章内容
1 2 3 4 5 4 简单方法 多步法和隐式法
龙格库塔法
稳定性问题 动力学中的有序和混沌
2.0 引子
常微分方程是物理学中经常碰到，以一维运动粒子为例
一般形式为M个藕合的一阶方程
常微分方程定解问题的分类
初值问题
给定待求函数在某
边界值问题
在自变量的两个端点
本征值问题
含有待定参数，只有 在参数取特定值时，
个初始点上的值
上对待求函数施加约