正弦定理教案全

1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。

二、讲授新课：探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. 探究三：你能用其他方法证明吗？ 1． 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==.两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC.2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin b B =2R ，sin c C ＝2R . 3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(Rc C R b B R a A ===Bb Cc C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )4(===2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:①π=++C B A ②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+③C ab S abc sin 21=∆ 三、 教学例题：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 解：0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B由CcA a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 00=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 256575sin 2030sin 105sin 10sin sin 000+==⨯==C B c b 评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aAc C C c A a0012060,1800或=∴︒<<︒C C1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b练习：P4 —— 1.2题例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a【变式】 02,135,3,ABC a A b B ∆===中，求 四、 小结：五、课后作业1在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( 2A ) A 2R B RC 4RD 2(R 为△ABC 外接圆半径)2 在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ， ，则角A 的值是 A. 15 B. 75 C.105 D.75或15 3、在△ABC 中,=︒=︒=c b a B A ::,60,30则若 2:3:14、在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。

5、在△ABC 中，︒=︒==120,30,6B A AB ,则三角形ABC 的面积为 3 5、在ABC ∆中，已知 45,2,3===B b a ，解三角形。

六、心得反思1.1.1正弦定理学案学习目标：①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

预习自测1. 正弦定理的数学表达式2. 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)问题引入：1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？2、在ABC 中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。

二 合作探究：1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）3、探究三：你能用其他方法证明吗？4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：三例题讲解例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆【变式】02,135,3,ABC a A b B ∆===中，求思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？ 四 课堂练习：必修5课本P4 T1、2 五 课后作业：1在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B RC 4RD R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2△ABC 中，sin 2A = sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形3在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或154、在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。

5、在ABC ∆中，已知 45,2,3===B b a ，解三角形。

六 心得反思1．1．2解三角形的进一步讨论教学目标掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。

教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。

教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]探究一．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b AB a=可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ ，从而ACa c sin sin =1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 3.如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）例2.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状． 解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． [随堂练习2]1.△ABC 中， C B A 222sin sin sin += ，则△ABC 为（ A ）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形2. 已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。