研究生概率论复习题

P(B)
1 2
1 2
1 2
1 2
C21
(
1 2
)1
(
1 2
)1
1 2
P(B)
26 52
26 51
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
26 52
26 51
C216C216
/
C522
26 51
4
例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 解：设A={甲出差}，B={乙出差}
亦可： 0.60＋0.40.8 0.40.20.9 0.992
P( A) 1 P( A) 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
1 0.40.20.1 0.992
3
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放
回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
P(B) P(AB) P(AB) 34 17
5
例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%
的假阳性及5%的假阴性：若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症}
则有：P( A | C) 5%, P( A | C) 5%, 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？
0.30.2 0.70 6%
另解：A B, A AB,
P(A) P(AB) P(B)P(A B) 0.3 0.2 6% 2
例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。
6
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。
解： 设 A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中}
则：C A B，P(C) P(A) P(B) P(AB)
∵ 甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴ A，B相互独立
P(C) 0.7 0.8 0.56 0.94
7
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运
行的
解：概设率Ai 。 第i个元件运行正常,i 1, 2,3, 4 A 系统运行正常
则：A A1 A2 A3 A4
由题意知，A1, A2 , A3, A4相互独立
P( A) P( A1) P( A2 A3 A 4 ) p( p2 p p3)
一单位有5个员工，一星期共七天， 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。 解：将5为员工看成5个不同的球，
7天看成7个不同的盒子， 记A={ 无2人在同一天休息 }，
则由上例知：
P
A
C75 5! 75
3.7%
1
例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下
的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%
解：考察P(C|A)的值
P(C | A) P(AC) P( A)
若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987
说明这种试验方法可在医院用
P(C) P( A | C)
0.087
P(C)P( A | C) P(C)P( A | C)
若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。
解：
设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
A1 A2 与 A1 A2
不相容
P(B) P( A1A2 A1A2 ) P( A1A2 ) P( A1A2 )
P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)
利用乘 法公式
（1）若为放回抽样： （2）若为不放回抽样：
另解，P( A) P( A1A2 A3 U A1A4 ) p3 p2 p5，对吗？
2
3
1
4
注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同 8
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,
p
1 2
,
对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？
设各局胜负相互独立。
解：设Ai 第i局甲胜 P Ai p, i 1,2,L ,5
解：
P( A2 | A1)
设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3
1 P( A2 | A1) 1 0.8 0.2
A={ 这人通过考核 }， A A1 A1A2 A1A2 A3
P( A) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3)
P( A1) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
再设A 甲胜
1 三局二胜制：
P A P A1A2 A1A2 A3 A1A2 A3 p2 2 p2 1 p &p1
2 五局三胜制：
P A P A1A2 A3 前三次有一次输 A4 前四次有两次输 A5
p3 C31 1 p p3 C42 1 p2 p3 &p2
P2 P1 3P2 P 12 2P 1
p2
p1,
当p
1 2
p2
p1,
当p
1 2
9
下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
(1)
1 0.5
3 0.3
AB与AB不相容 已知 P( A) 0.80, P(B | A) 0.20, P(B | A) 0.90
1 P(B) P(AB U AB) P(AB) P(AB)
P( A ) P( B | A ) P(A)P( B | A )
0.80.2 0.20.9 34 %
2 P(A | B) P(AB) P(AB) 16 8
的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产
品的报废率。 解：设 A={生产的产品要报废}
∵AB与 AB 不相容
B={生产的产品要调试}
已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， P( A | B) 0
P( A) P( AB AB) P(AB) P(AB)
利用乘 法公式
P(B) P(A | B) P(B) P(A | B)