研究生概率论复习题

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[考研数学]概率论考试复习题

概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（）成立。

A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。

A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。

A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。

A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。

概率论考研题

布的概率密度函数，因此函数值是1/3。
(100104)
(100104)
立即想到这是泊松分布当l=1时的分布率函数，记忆起泊松分布的均值和方差都是l，
因此X2的均值等于方差加上均值的平方，因此是2, 填2。
(100111)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 f (x, y) Ae2x2 2xy y2 , x , y
8. 设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正
态分布N(0,1),
Y的概率分布为P{Y
0}
P{Y
1}
1 2
.
记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数, 则函数 FZ(z)的间断点个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解 FZ(z)=P{Zz}=P{XYz}= P{Y=0}P{XYz|Y=0}+P{Y=1}P{XYz|Y=1} =[F1(z)+F2(z)]/2, 因为F1(z)是在0处单点分布的分布函数,而F2(z)是标准正态分布函数,因此 F1(z)造成一个间断点, 应填(B)
解 (2) P{Y1}=1e1, 再求P{X1,Y1}:
P{X 1,Y 1} 1 x ex d y d x 00
y 1
1 x ex d x x ex 1 1ex d x
0
00
e1 ex
1
O e1 e1 1 1 2 e1
1
x
0
0.735
22.(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概
(1)求P{X=1|Z=0};
(2)求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
解: (1) Z=0表示两次取到的球都不是白球, 此条件相当于将样本空间压缩为袋中只有一个红球两个黑球, 因此有

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计考研复习资料概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则交换律结合律分配律德?摩根律三.概率的定义与性质1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A i A j=φ, i≠j, i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…2.性质(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n ,P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n个事件A1,A2,…,A n…+(-1)n-1P(A1A2…A n)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) /P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0)3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(B i B j=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)=当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (B i|A)= .六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立 P(B)= P (B|A) .(2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1<k≤n),任意1≤i1<i2<…</k≤n),任意1≤i1<i2<…有,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1<="" bdsfid="118" p="">(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x1< bdsfid="120" p=""><>二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性0≤P k≤1 ; (2)归一性 .2.离散型随机变量的分布函数F(x)=为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=P{X=x k} .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<="" bdsfid="127" p=""></p(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)< bdsfid="129" p=""></p<1)<>(3))X~()参数为的泊松分布P{X=k}= (k=0,1,2,…) (>0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞<=""2.概率密度的性质(1)非负性f(x)≥0 ; (2)归一性 =1 ;(3) P{x 1<="" 2}=";" bdsfid="137" p="">注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 .(2)X服从参数为的指数分布.(>0).(3)X~N (,2 )参数为,的正态分布 -<x0.</x特别, =0, 2 =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度, 标准正态分布函数 , (-x)=1-Φ(x) .若X～N ((,2), 则Z=~N (0,1), P{x1< bdsfid="147" p=""><> 若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：(z )=1- , z 1- = -z .四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数X x 1 x2 … x k …p k p 1 p2 … p k …Y=g(X)g(x1) g(x2) … g(x k) …若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为f X(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y的分布函数F Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f Y(y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g/ (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则= min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x 1<x 2="" ,="" y="" 1<y="" 2<="" p="" bdsfid="172">。

概率论考研真题

概率论考研真题概率论是数学的一个分支，研究的是事件发生的可能性。

概率论在现实生活和科学研究中具有广泛应用。

考研概率论真题是考生备战考研的重要资料，通过研究和解答真题，可以提高对概率论知识的理解和应用能力。

下面将简要介绍几道考研概率论真题，并给出相应的解答。

【真题一】设 X 和 Y 为两个相互独立的随机变量，它们的数学期望和方差均为 1，则随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为多少？【解答一】由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以使用方差的性质进行计算。

首先计算 Z = 2X + 3Y 的数学期望：E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 1 + 3 × 1 = 5接下来计算 Z 的方差：Var(Z) = Var(2X + 3Y) = Var(2X) + Var(3Y) （由于 X 和 Y 相互独立，所以协方差为 0）= 4Var(X) + 9Var(Y) = 4 × 1 + 9 × 1 = 13因此，随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为 13。

【真题二】设 X 与 Y 为两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 N(0, 1)，试求随机变量 Z = X + Y 的概率密度函数。

【解答二】首先，由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以考虑它们的特征函数。

对于正态分布N(μ, σ^2)，其特征函数为exp(ιtx - (σ^2t^2)/2)。

所以，X 和 Y 的特征函数分别为 exp(-t^2/2)。

设随机变量 Z = X + Y，则其特征函数为 exp(-t^2)。

由特征函数和概率密度函数的关系，可知 Z 的概率密度函数为标准正态分布的密度函数，即f(z) = (1/√(2π)) × exp(-z^2/2)。

【真题三】某电视节目的收视率符合泊松分布，已知每分钟收视人数的平均值为 10。

山西省考研数学复习资料概率论与数理统计必备习题

山西省考研数学复习资料概率论与数理统计必备习题概率论与数理统计是数学中的一门重要分支，被广泛应用于各个领域。

对于考研学生来说，掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，解决相关习题是提高数学能力的重要途径。

本篇文章将为山西省考研数学复习提供概率论与数理统计的必备习题，帮助学生更好地备战考试。

一、概论部分1. 概率的定义和性质习题- 题目一：已知事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.5，求事件A与事件B的交集的概率。

- 题目二：设A、B为两个独立事件，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A并B)的概率。

2. 随机变量和概率分布习题- 题目一：设随机变量X服从正态分布N(5, 4)，求P(X < 3)的概率。

- 题目二：设随机变量X服从泊松分布P(2)，求P(X ≥ 3)的概率。

二、概率习题1. 条件概率和独立性习题- 题目一：已知甲、乙两袋各装有12只红球和8只白球，从甲袋中任取一球放入乙袋，然后从乙袋中任取一球，为红球的概率是多少？- 题目二：一批产品共有100个，其中10个次品。

每次从中随机取一件，若不放回，则取到2个次品的概率是多少？2. 事件的独立性和完备性习题- 题目一：记A、B、C三个事件的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5，其中P(A并B)是事件C的充要条件，求P(A并C)。

- 题目二：设A、B为两个独立事件，已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，求P(A或B)。

三、数理统计习题1. 统计量的分布习题- 题目一：设X1、X2、X3为来自总体N(0, 1)的一组样本，求样本平均值X的分布。

- 题目二：设样本容量为n的样本均值Xn服从正态分布N(μ, σ^2/n)，求样本方差S^2的分布。

2. 参数估计习题- 题目一：设X1、X2、...、Xn为来自总体N(μ, σ^2)的样本，求样本均值X的无偏估计。

- 题目二：设X1、X2、...、Xn为来自总体泊松分布P(λ)的样本，求样本方差S^2的极大似然估计。

考研概率论试题（数一,数三）（2）

考研概率论试题（数一,数三）（2）考研概率论试题（数一，数三）题目：(87,2分)设在一次试验中A 发生的概率为p ,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为1(1);n p --而事件A 至多发生一次的概率为。

知识点：伯努利概型解答：根据伯努利概型的概率计算公式，A 至少发生一次的概率1-P{A 发生0次}=11111553353238120+?+?= 而P{A 至多发生1次}= P{A 发生0次}+P{A 恰发生1次}= 000111(1)(1)n n n n C p p C p p ---+-= 1(1)(1)n n p np p --+-题目：(87,2) 三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白000111(1)(1)n n n n C p p C p p ---+-球的概率等于53120，已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为2053.知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答：记i A ={取的是第i 个箱子)(i=1，2，3)，B={从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3P A P A P A ===112233()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++,22()()()P A B P A B P B =,35()8P B A =第一问由全概率公式，得112233()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ =11111553353238120+?+?=第二问由贝叶斯公式，得22()()()P A B P A B P B ==22112233()()()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A ++=1120325353120?= 1120325353120=题目：(87,6分)设随机变量X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01()0,X x f x ≤≤?=?其他 ,0()0,y Y e y f y y -?>=?≤?求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数.知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布答案：2001()(1)0221(1)22z Z ZZ f Z e Z e e Z --??∞-∞-∞+?=11202(2)()yz x xdx h x y e dy dx h z e e dz +∞+∞--+==2122202(())(())z zx z x h z ee dx dz h z e e dx dz +∞--+??=2202(()(1)()(1)22z z ze e h z e dz h z e dz --+∞--+-?? 所以2001()(1)0221(1)22z Z Z Z f Z e Z e e Z --??<-≥??题目：(87,2分) 已知连续型随机变量X的概率密度为221()xx f x -+-=,则EX =1,DX =12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答：因2(1)1221()()1x f x e x R --=∈ , 可见1(1,)2X N ,故1()1,()2E X D X == .题目：(88,2分)设三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于1927,则事件A 在一次试验中出现的概率为1 3.知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A 出现的概率为户．则1927= 1927=P{A 至少出现1次)= 1一P{A 出现0次}=0030331(1)1(1)C p p p ---=--，解答：得13p =。

考研概率论与数理统计章节训练题

第一章随机事件与概率一、选择题。

1、设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（）（A ）()()P A B P A > （B ）()()P A B P B > （C ）()()P AB P A = （D ）()()P A B P B =2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件有（）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立 3、对于任意二事件A 和B ，则（）（A ）若AB ≠Φ，则,A B 一定独立（B ）若AB ≠Φ，则,A B 有可能独立（C ）若AB =Φ，则,A B 一定独立（D ）若AB =Φ，则,A B 一定不独立 4、A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（）A ）、)()(C P AB P ≥ B ）、)()()(AB PC P AB C P -=- C ）、)()(C P B A P ≤⋃D ）、)()(C P B A P ≥⋃5、A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0<<C P B P A P ，且已知)|()|()|(C B P C A P C B A P +=⋃，则以下正确的是（）A ）、)|()|()|(CB PC A P C B A P +=⋃ B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=⋃ C ）、)()()(B P A P B A P +=⋃D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 6、A ，B ，C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（）A ）、)|(1)|(C A P C A P -=B ）、1)|()|(=+C A P C A P C ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P +=7、A ，B 是两个随机事件，其中0)(,0)(≠≠B P A P ，则以下正确的是（）A ）、φ≠AB ，A ，B 一定独立 B ）、φ≠AB ，A ，B 不一定独立C ）、φ=AB ，A ，B 一定独立D ）、φ=AB ，A ，B 不一定独立8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A 15 ()B 25()C35()D459、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A 310()B28 ()C 210()D3810、若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()P AB P A P B ≤ (B) ()()()PAB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D) ()()()2P A P B P AB +≥11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)(B)(C)(D)12、设是两个随机事件,且则必有（）(A)(B) (C) (D)二、填空题1、A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则 ≤≤)(AB P 。

考研-概率数理统计复习题

。
6. 在总体 X ~ N (5,16) 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值 X 落在 4 与 6 之间的
概率 = 。
7. 设 X 1 , X 2 X 25 是从均匀分布 U (0,5) 总体中抽取的样本，则 X 的渐进分布为。
8. 设随机变量 n ( n 1,2, ) 服从参数为 n, p
1 ，则 Y ~ X2
。
17. 设 X 1 , X 2 , , X 9 是正态总体 X 的样本，记 1 1 Y1 ( X 1 X 2 X 6 ), Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) ， 6 3 9 1 S 2 ( X i Y2 ) 2 , Z 2(Y1 Y2 ) / S , 2 i 7
0 p 1 的二项分布，则 n
np 时，有 n ~ np ( 1 p )
。
2 4；令 Yi 3 X i 2 ， 9. 设 X 1 , X 2 , X n 是来自总体 X 的一组样本，样本方差 S X 2 (i 1,2, n) ，则其样本方差 S Y
服从 F 分
布。
X
A．
Y
4 , 自由度(4,3) 3 , 自由度(16,9)
B．
9X , 自由度(16,9) 16Y
C．
3 X 4 Y
D．
9X , 自由度(15,8) 16Y
。
8．设 E ( X ) ， D( X ) 2 ，则由契比雪夫不等式可知 P ( X 3 )
且 P{ X 1 1} P{ Y 2 1} ，则必有（）
A 1 2 C 1 2

概率论与数理统计试题

概率论-考研题
第一章随机事件与概率
一．选择题：
1．（95）假设事件 A 和 B 满足 P(B⎪A) = 1，则（
）
（A）A 是必然事件．（B） P(B | A) = 0 ．（C）A ⊃ B．
（D）A ⊂ B．
2．（96）设 A, B 为任意两个事件且 A ⊂ B，P (B ) > 0，则下列选项必然成立的是（
．
4．（05）从数 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为 X，再从 1, …, X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y = 2} = ．
三．解答题：
1．（98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7
份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．
（D） 1 ． 10
8．（01）对于任意二事件 A 和 B，与 A∪B = B 不．等．价．的是（
）
（A）A ⊂ B．
（B） B ⊂ A ．
9．（03）对于任意二事件 A 和 B，（
）
（C） AB = ∅．
（D） AB = ∅．
（A）若 AB ≠ ∅，则 A, B 一定独立．
（B）若 AB ≠ ∅，则 A, B 有可能独立．
2
2
则下列各式中成立的是（
）
（A） P{X = Y} = 1 ．（B）P{X = Y } = 1．（C） P{X + Y = 0} = 1 ．（D） P{XY = 1} = 1 ．
2
4
4
2．
（99）设随机变量 X i
~
⎜⎛ ⎜⎝
−1 1 4
0 1 2
1 1 4

概率论考研题目及答案解析

概率论考研题目及答案解析题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( X \) 的期望值和方差，并证明 \( X \) 的分布律。

答案解析：首先，我们知道泊松分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为：\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]其中 \( k = 0, 1, 2, \ldots \)。

求期望值：期望值 \( E(X) \) 定义为：\[ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k) \]将泊松分布的 PMF 代入上式，得到：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j}{j!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \]\[ = \lambda \]求方差：方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E(X^2) \) 减去 \( (E(X))^2 \)：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]计算 \( E(X^2) \)：\[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot P(X = k) \]\[ = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2} k^2}{(k-2)!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j j^2}{j!} \]\[ = \lambda^2 \left( 1 + \lambda \right) \]代入 \( E(X) \) 的结果，得到方差：\[ Var(X) = \lambda^2 (1 + \lambda) - \lambda^2 \]\[ = \lambda \]证明泊松分布律：我们已经知道 \( E(X) = \lambda \) 和 \( Var(X) = \lambda \)。

概率论历年考研真题(牛人总结)

考研概率论部分历年真题（总结）数学一：1（87，2分）设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而事件A 至多发生一次的概率为。

2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。

3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。

4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。

5（89，2分）已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。

6（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。

7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。

8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。

则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为。

9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为。

10（93，3分）一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。

概率考研真题

概率考研真题一、简答题1. 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。

它用来表示某个事件发生的可能性大小，通常以0到1之间的数值表示，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

2. 什么是条件概率？条件概率是指在一定条件下，某个事件发生的概率。

如果事件B已经发生，那么在B发生的前提下，事件A发生的概率就是条件概率。

3. 什么是独立事件？独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，一个事件的发生与否不会对其他事件的发生概率产生影响。

4. 什么是贝叶斯公式？贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，用于计算在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

二、计算题1. 有一个标准52张扑克牌的扑克牌组合，请计算从中随机抽取5张牌，得到一个顺子（即五张牌的大小连续）的概率。

解：首先计算顺子可能的情况数。

顺子包含10种可能的组合，即A2345、23456、34567、45678、56789、678910、78910J、8910JQ、910JQK、10JQKA。

然后计算从52张扑克牌中随机抽取5张的组合数。

由于每张扑克牌只能抽取一次，故组合数为C(52, 5)。

所以，顺子的概率为10 / C(52, 5) ≈ 0.0039。

2. 甲、乙两个商店在同一天同时举行促销活动，吸引了大量顾客。

调查显示，70%的顾客参加了甲店的促销活动，60%的顾客参加了乙店的促销活动，50%的顾客同时参加了两家店的促销活动。

请计算一个顾客是通过甲店购物的概率。

解：设事件A表示顾客通过甲店购物，事件B表示顾客通过乙店购物。

根据题意，已知P(A∩B) = 0.5，P(A∪B) = 0.7，P(B) = 0.6，我们的目标是计算P(A)。

硕士研究生《概率论与数理统计》复习题

2021级硕士研究生?概率论与数理统计?复习题一、填空题1、随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，求)(B A P 。

2、设两事件A ，B 满足条件)()(B A P AB P =，且)10()(<<=p p A P ，那么)(B P = 。

3、设B A ,为两事件，4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P ⋃ 。

4、在区间)1,0(中随机的取两个数，那么这两个数之差的绝对值小于21的概率为。

5、设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 6、设Y X ,为随机变量，0)()(==Y E X E ，2)()(22==Y E X E ，X 与Y 的相关系数21=XY ρ ，那么=+2)(Y X E _________。

7、设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，假设12-=X Z ，那么Y 与Z 的相关系数为_________。

8、设随机变量Y X ,相互独立，其中X 在[-2，4]上服从均匀分布，Y 服从参数为3的泊松分布，那么)2(Y X D -= 。

9、 621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=假设使随机变量CY 服从2χ分布，那么常数=C 。

10、设总体)9.0,(~2μN X ，样本容量为9，样本均值5=x ，那么未知参数μ的95%的置信区间是_________。

11、设总体),(~2σμN X ，2σ，要使μ的置信度为α-1)10(<<α且置信区间的长度不大于l ，那么样本容量≥n 。

12、设总体),(~2σμN X ，2σ未知，2,S X 分别为样本均值和样本方差，样本容量为n ，检验00:μμ=H ，01:μμ≠H (0μ)的双侧拒绝域=W ___________。

上海市考研数学概率论习题集精选

上海市考研数学概率论习题集精选数学概率论作为考研数学的重要内容之一，对于考生来说是一项必刷的重要题型。

为了帮助考生更好地掌握概率论相关知识，我们为您精选了一些上海市考研数学概率论习题，希望对您的复习备考有所帮助。

1. 某城市有A、B、C三个交通枢纽，每天分别发出1000辆、2000辆和3000辆公交车。

假设A、B两个交通枢纽的发车时间无关，而B、C两个交通枢纽的发车时间也无关，且各公交车独立运行，求下列概率：(1) 一辆公交车从A到C要经过B时，先从A发出的概率；(2) 一辆公交车从A到C要经过B时，先从B发出的概率。

2. 设事件A,B,C相互独立，已知P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(C)=0.4,则下列事件概率为：(1) P(A∪B|A∩B)=_____(2) P(A∩B∣C)=_____3. 已知随机变量X和Y相互独立，且满足E(X)=4，E(Y)=3，Var(X)=6，Var(Y)=8，则下列结论正确的是：(1) E(X+Y)=7(2) Var(X-2Y)=6(3) Cov(X,Y)=04. 某银行发行金融产品，第一年利润率为3%，第二年为4%，第三年为5%。

如果按连续复利计息，计算三年期内总利润率的期望和方差。

5. 设A、B是两个随机事件，已知P(A∩B)=0.3，P(A|B)=0.6,求P(A|B)与P(B|A)之积。

6. 某快递公司共有10辆货车，其中5辆是新车，5辆是旧车。

每次运输，公司从中随机挑选一辆车，假设挑选的是旧车的概率为p, 则：(1) 若挑选的车是新车，挑选的下一辆车仍然是新车的概率是多少？(2) 两次挑选的下一辆车都是新车的概率是多少？7. 某公司对一个关键项目进行了评估，其中有5个评估师。

设评估师的评估结果相互独立，并且预测成功的概率为0.6。

为了提高准确性，公司决定采用少数服从多数的方式做最终决策。

即如果至少有3位评估师预测成功，公司就会采纳这个决策。

求公司采纳某个决策的概率。

考研概率论试题及答案

考研概率论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)的值是：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.3446D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=1)=0.2，则λ的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 5答案：A3. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，则E(X)的值是：A. 3B. 2.1C. 2.7D. 3.3答案：B4. 设随机变量X服从均匀分布U(0,θ)，若P(X > θ/2)=1/4，则θ的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，若P(X >μ+2σ)=0.0228，则P(X < μ-2σ)=_________。

答案：0.02282. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，若n=20，p=0.4，则P(X ≥ 10)=_________。

答案：0.95123. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x;λ)=λe^(-λx)，x≥0，则E(X)=_________。

答案：1/λ4. 设随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=p(1-p)^(k-1)，k=1,2,...，若p=0.3，则P(X=3)=_________。

答案：0.0243三、计算题（每题10分，共20分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P(X=2)=0.3456，求λ的值。

答案：λ=32. 设随机变量X服从参数为θ的均匀分布U(0,θ)，已知P(X >θ/3)=1/6，求θ的值。

答案：θ=3四、解答题（每题15分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，已知n=30，p=0.2，求P(X ≥ 5)。

答案：P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - (C(30,0)*0.2^0*0.8^30 + C(30,1)*0.2^1*0.8^29 + C(30,2)*0.2^2*0.8^28 +C(30,3)*0.2^3*0.8^27 + C(30,4)*0.2^4*0.8^26) ≈ 0.84682. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知μ=50，σ=10，求P(40 < X < 60)。

概率论考研题目及答案

概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。

求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。

2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。

答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。

2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。

两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。

因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。

题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。

在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。

现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。

答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。

使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。

求：1. X的期望值和方差。

2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。

答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。

概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理

第3章数字特征1．（1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2．（1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案填：4]3．（1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。

解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4．（1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（）。

[答案填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5．（1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （）.[答案填：34]6．（1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（）。

概率论与数理统计考研复习题1

概率论与数理统计考研复习题（1）古典概率1．某城市发行三种报纸A ，B ，C ，订A 报的有45%，订B 报的有35%，订C 报的有30%，同时订A 及B 报的有10%，同时订A 其C 报的有8%，同时订B 及C 报的有5%，同时订A ，B ，C 的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订A 报；（2）只订A 及B 报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订一种报；（6）不定任何报；（7）最多订一种报.2．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随意取出一种，结果不是三等品，则取到的是第一等品的概率为多少？3．0<P （A ）<1，0<P （B ）<1，P （A|B ）+P )|(B A =1，讨论A 与B 的相互独立性.4．设一个口袋中有6个球，令321,,A A A 依次表示这6个球分别为4红，2白；3红，3白；2红，4白。

设验前概率为21)(1=A P ，61)(2=A P ，31)(3=A P ，现从这口袋里任取一球，得到白球，求相应的验后概率.1．两个盒子，第一个盒子装了2个红球，1个黑球，第二个盒子装有2个红球，2个黑球，先从两个盒子里各取1个球放在一起，再从中取出1球，问：（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问的一盒中取出的球是红球的概率.6．甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连投两次，已知甲乙每次投篮的命中率分别为p 与 0.5。

求p 为何值时，甲、乙的胜负概率相等.1． k 个坛子各装n 个球，编号为1，2，3 …，n ，从没个坛子中各取一个球，计算所取到的k 个球中最大编号是m ()1n m ≤≤的概率.8．设工厂A 和B 的次品率分别为1%和2%，现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 厂生产的概率是多少？9．500页的书，共有100个错字，每个错字等可能的出现在每一页上，试求给定的一页上至少有两个错字的概率.10．编号为I ，II ，III 的三个口袋，其中I 号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；II 号袋内装有两个1号球，一个3号球；III 号袋内装有三个1号球，两个2号球。