开口薄壁梁的扭转理论与应用_王兆强
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切变 形不产 生翘 曲变 形;
(4 ) 构 件 的变 形为 小变形 .
截面 位移场
为 了描 述 薄壁梁 的位移 场 需要 3 个坐 标 系: 整
i) 上海市科研计划资助项 目 (0720 120 28).
2) E 一 ai zq w ang 20o 7@ y ah oo # m m l: co
964
曲转角有关, 而翘 曲扭矩仅与约束剪切转角有关. 利用半逆解方法求出了约束扭转中薄壁构件的 s . V nan t e t
扭矩表达公式; 依据能量方法, 建立了约束剪切转角和翘曲扭矩之间的关系, 并提出了翘曲剪切系数概念, 给 出了一阶扭转理论的微分方程. 为了有效求解微分方程, 给出了求解微分方程的初参数法方程和相应的影响函
数矩阵; 当 S . V nan 扭矩可以忽略时, 得到与一阶弯曲理论 (T m o h nk 梁理论) 相似的一阶扭转理论简 t e t i se o
化形式. 最后利用算例证明了一阶扭转理论和简化理论的有效性. 关键词 剪切变形, 薄壁构件, 扭转, 翘曲 , t e S . V nan 扭矩 t
(上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院, 上海 2 0 40 0 2 )
摘要 以 V la o 薄壁构件理论为基础, 推导了开口薄壁构件一阶扭转理论. 该理论考虑了翘曲剪应力对截面 sv 转角的影响, 截面的转角分为 自由翘曲转角和约束剪切转角, 在约束扭转中, t e S . V nan 扭矩仅仅与 自由翘 t
(11) 根据式 (1 ), 约束剪切转角的微分方程为 4
九 八山 了
(17)
呱 = G八 弋
t e n s .v na t 扭矩在任一点产生的应力为
2呱
从 二一 刃 万
式中, 八 为 S . V nan 扭转常量, t e t
( 12)
刀为 尸点处沿
G几 ,
(18)
式 ( , 式 (1 )和式 (1 )给出了薄壁梁约束扭转 ) s 7 8
( 4)
d之
几t = E O瑟 ,又
式 中, 兄 为截面 的扇 性面积 矩.
(5)
(b ) 约束剪切转角 (b) R stra i ed sh ear ro tati e n on
图 2 开 口薄 壁 梁 中 面 的扭 转 角
F ig .2 R o ta tio n o f m id d le su rf e e o f o p e n t h in 一 a lle d b ea m a w
一阶扭转理论中的双力矩 B 和翘 曲扭矩 八 用截面 九 自由翘 曲转角代替了截面总转角. 2 薄壁梁约束扭转 中的 St. v nan 扭矩 e t
当梁发生约束扭转时, 由假设 (3) 知, 转角可以 分为自由翘曲转角 0 " 和约束扭转转角 0 ! z (:) ( ) 0( z)= 0 ":)+ 0 " ( (z)
在约束扭转中, 截面总扭矩 从 为 自由翘曲转
曲有关, 因此由 S . V n n 扭矩在截面上任一点 尸 t e a t
){0 之 口- 钾 {一-, ) { ., ! {{ 气 u ,
L a 叨又 , 之 ) s ) 气 留戈) 少 5
!d/-) ,/!一- ,,n! ,之 " ! 护 /} }
式中, 二") 为截面平均轴 向位移, ( 表示对 / 求 (z ) l 一阶导数, 标. !( 是关于极点 s 和原点 O 的扇性坐 ) s
1. 中面正应力和剪应力 2
假设薄壁梁中面 内的 S 向正应力可以忽略, 可 得截面任一点的正应力和剪应力 降] 0
- - 一 J
卜-
口 = 一 -0瑟 ! E
角产生的扭矩和约束剪切转角产生的扭矩之和, 根 据式 ( 和式 (11), 可得 6)
G 八叱 一E 几叮 = 从
当薄壁梁承受均布外扭矩时, 式 ( ) 变为 6 1
(16)
开 口薄壁梁 S . V nan 扭矩 呱 和应力可以利 t e t
用半逆解方法求 出 [ } a l
G八 鱿一E几0梦= 一 n 7
图 1 薄壁构件截面坐标系
F 19 ,1 C o o rd in a te sy ste m s o f th in 一 a lled b e a m w ero ss se c tio n
(8)
在薄壁梁中取出长度为 d: 微段, 自由翘 曲转角
选取剪心 s x " 夸) 为截面极点, 极点 S 在形心 ( , " 主轴 x 和 甘方向的位移分别为 试:) 和 :( 截面绕 :), S 点的转角为 0(:).
第 43 卷 第 5 期 20 11 年 9 月
力
学
学
报
o V
l. 43 , N o SeP . 20 1 1 ,
Hale Waihona Puke C h in ese Jo u rn al o f T h eoretieal an d A p p li ed M eeh a n i es
开口薄壁梁的扭转理论与应用 .
王兆强 /) 赵金城
力
学
2011 年 第 43 卷
体坐标系 (x, 夕:), 局部坐标系 幼,石:) 和沿横截面 , 中线的曲线坐标系 5.其中, 叮 和石分别为截面中线
任一点 尸 的法线和切线方 向, 如图 1 所示.
相应的中面正应力和剪应力为
B
八 凡 九 几
几 一兀甲 几t,
( 7)
由式 (4)!( 6)可知, 与传统的V l asov 理论相比,
0 " 和约束扭转转角 es(z 如图 2 所示. 根据假设 (:) ) (1)和 ( 以及式 ( 和式 ( , 在微段右侧截面上任 3) 3) ) s
一点 尸 的位移可表示为
根据假设 (1)!(3), 截面上任一点 尸的切向位移
0! :) 为 (s,
衫 "( 5 . 之 1 =
, 1) U (之 !d x 十 刃( 之. d u 一 口( 艺 ID " 1) Q S a s
由双 力矩 B 和 翘 曲扭矩 叽 的定 义 降3}, 可得 B = 一 几口 E 瑟
dB !
八 几
dz
= 一 几笔 E
}
第 5 期
王兆强等 :开口薄壁梁的扭转理论与应用
965
由假设 ( 可知, 3) 产生的位移可以表示为
t e S . V nan 扭矩仅与 自由翘 t
4 扭转微分方程和边界条件 4. 扭转微分方程 1
(1 1
}{0/.-{一-- { 十/!}劣 ( , 口, }工 口 :/{ 气 {{ ,
L a 叨Ls , 之 ) ) 气 山又 ) ) 5 L U )
! (, , } ,"!一-."!一/ {/ / - , } 州 ,, 州 } }
(9)
在纯扭状态下, 截面 中面上任一点 尸剪应变可
表示为
守 0二 龚= " ,
态下, 截面上任一点 尸 的轴向位移 二 , 司 为 (!
(2)
广
考虑到剪切变形 飞, 的定义, 可得到在纯扭状
{ 一一厂 ! 二 厂 岁
卜一 洲 (a 自由翘曲角 ) (a) F ee w arpi rotati r ng on
w (s,之 = w "z)一 (:)!(! ) ( 0乙 )
( 3)
曲理论具有一定的类比性, 得到了考虑剪切变形影
响的扭转微分方程.
梁 弯扭 特性 的影 响变 得 非常 显 著 [ . 剪切 变形 对梁 ] 0
1 薄壁梁的位移场和截面内力
薄壁梁一阶扭转理论采用下面几条假设: (l 横截面在 自身平面内不发生变形; )
横 向弯 曲的影响, 在一阶 (T m o h n "梁理论) !二 i se k 阶 !三 阶梁弯 曲理 论 中已经 有考 虑 ! 5 . 李 国强等 [ 7一 ] ] 0
0( o)= 0 " 0 "0) = 000, , (
场 ) a l
o ( o乙 乙 o)= "2
九八 几
二二
B( O)= B " M (0) = 风 " , z
可得初 参数方程 为
B o
七G J !
} (0 2,
几! G
其中, 九 是一 个新 的参 数, 称为扭 转剪 切系数, 为切 向极惯 性矩 , 它们 由下 式给 出
建立 了考 虑剪 切变 形 的压 杆 刚度 方程 , 通过在 一些 实际 问题 上 的应用 , 说 明 了杆件剪 切 变 形对杆 系结
构 变 形 的影 响. 考虑 剪切 变 形影 响 的约 束扭转 理论 首 先由 B enseoter 和 U m an sky 针对 闭 口薄壁杆 件提 出 [0 , 他 们假 设约束 扭转 中 的翘 曲位 移与 V a o 理 l] l sv 论 中 的翘 曲位 移具 有相 同的形式 . P ~ z a 11] 假 设 [ 剪 应 力沿 开 口薄 壁梁 长 为常 数, 建 立 了考虑剪 切变 形影 响的开 口薄壁 构件 扭转 理论. 基 于 K o lb u nn e l r r 和 H a d n 理 论, ji H u 等 [ ] 推 导 了非对 称截面 薄壁 z l 梁 的 四阶控 制微 分方程 , 考 虑 了弯 曲和 扭转 的祸合 作用 . 基 于 B e nou l 一u le 梁 和 V la o 薄壁构 件理 r i E r s v
法求解约束扭转微分方程是非常 有效的. 为了简化
初参数方程, 引入参数 产 二母 竺 拼 = 1 一户 母, 1 沼.
将式 (7) 代入式 (13), 可得
叽
口_ = 二:-, 二 I 二
!0一关t 二 弓 告 d#
f 叱 8_
) 5王 . 占
(13)
/ 一 ~ / -一,
-0 一 一
E几 . /
在 : = o 处, 薄壁梁横截面的状态参数为
空间梁单元的弯扭祸合刚度矩阵.
本文以 V a o 梁理论为基础, 假设剪切变形在 l sv
截面上均匀分布, 推导 了开口薄壁构件的约束扭转 理论, 并考虑到剪切变形对 s . V n n 扭矩 的影响, t e a t 用扭转剪切系数来修正约束扭转中约束剪切变形在
截面均匀分布的假设, 使得一阶扭转理论与一阶弯
度高. 因此, 薄壁构件理论 的建立受到人们极大的
关注 .
l sv v a o 建立了经典薄壁构件理论 降4} 但此理论 , 忽略 了剪切变形的影响. B a k 和 w i 5}指出, 传 c [ l
统薄壁梁理论和试验结果之间存在着显著的差异.
当梁 长 较短 或截 面 为开 口薄 壁 截面 时, 剪 切变 形对
的微分方程. 与 V a o 微分方程 医3}不同, 式 ( 7) l sv l 仅包含 自由翘 曲转角, 由此为基础可分别计算 自由
板件厚度 (法线) 方向 刀的坐标值. 由式 (n )可知, 与传统 的 V l o 理论相比, 一 s av 阶扭转理论中 s . V na t 扭矩利用 自由翘 曲转角扭 t e n 率代替了总转角的扭率. 3 约束剪切转角和扭转剪切系数
拼=
九E 一 一 ,几 . 二几 一
G 几,
总 变 U 一亏 !几 s /与 曲 矩 功 应 能v s j 记 翘 扭做 d
入 d: o t vw = 王几砚 相等, 考虑胡克定律 7 = G ! , 2
可得
I
f
_ _
. ,_ , _
_ .,
,
4. 初参数方法和影响函数 2 与直接求解微分方程的方法相比, 初参数方法 具有简单的形式和确定的力学意义. 利用初参数方
2 01 1一 3一 8 收到第 1 稿, 2 20 n 一 5一 收到修改稿. 14
(2)横向剪切变形 飞二 飞"不能忽略, 在整个 和
截面上 为一 常数;
(3) 横 截 面 的总转 角 0 可 以分解 为 自由翘 曲转 角 0 "和约 束剪切 转 角 0 " 自由翘 曲转 角 先 仅 产 生 . 翘 曲变 形不 产生剪应 变. 约束剪 切转 角 0, 仅 产 生剪
中图分类号: 0 342, T U 311.1
文献标识码: A
文章编号: 0459一 1879(20 11)05一 05 0963一
引
言
论,
a w ng 等 [ ] 利用虚功原理推导出了薄壁截面 s l
薄壁构件广泛应用于土木 !航空 !造船 !海洋工
程 !桥梁等领域 卜2} .其最大的优点就是重量轻而强
o 一 " 些 " " inh - + "1(1 一eosh !:)代二二,儿十 "+ 乙, : G l
翘 曲转角和约束剪切转角. 由式 ( 式 (s 和式 (15 6), ) )
可得, 总扭转角与 自由翘曲转角之间的关系为
0 -= 0乙 0二 一拼 一 江 山, 气甲
( 19)
根据假设 ( 约束剪切转角 0, 可以看作翘 曲 3),
扭矩 几 的广义应变. 在如图 2( 所示 的微段 中 九 b)
_ !., r
(4 ) 构 件 的变 形为 小变形 .
截面 位移场
为 了描 述 薄壁梁 的位移 场 需要 3 个坐 标 系: 整
i) 上海市科研计划资助项 目 (0720 120 28).
2) E 一 ai zq w ang 20o 7@ y ah oo # m m l: co
964
曲转角有关, 而翘 曲扭矩仅与约束剪切转角有关. 利用半逆解方法求出了约束扭转中薄壁构件的 s . V nan t e t
扭矩表达公式; 依据能量方法, 建立了约束剪切转角和翘曲扭矩之间的关系, 并提出了翘曲剪切系数概念, 给 出了一阶扭转理论的微分方程. 为了有效求解微分方程, 给出了求解微分方程的初参数法方程和相应的影响函
数矩阵; 当 S . V nan 扭矩可以忽略时, 得到与一阶弯曲理论 (T m o h nk 梁理论) 相似的一阶扭转理论简 t e t i se o
化形式. 最后利用算例证明了一阶扭转理论和简化理论的有效性. 关键词 剪切变形, 薄壁构件, 扭转, 翘曲 , t e S . V nan 扭矩 t
(上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院, 上海 2 0 40 0 2 )
摘要 以 V la o 薄壁构件理论为基础, 推导了开口薄壁构件一阶扭转理论. 该理论考虑了翘曲剪应力对截面 sv 转角的影响, 截面的转角分为 自由翘曲转角和约束剪切转角, 在约束扭转中, t e S . V nan 扭矩仅仅与 自由翘 t
(11) 根据式 (1 ), 约束剪切转角的微分方程为 4
九 八山 了
(17)
呱 = G八 弋
t e n s .v na t 扭矩在任一点产生的应力为
2呱
从 二一 刃 万
式中, 八 为 S . V nan 扭转常量, t e t
( 12)
刀为 尸点处沿
G几 ,
(18)
式 ( , 式 (1 )和式 (1 )给出了薄壁梁约束扭转 ) s 7 8
( 4)
d之
几t = E O瑟 ,又
式 中, 兄 为截面 的扇 性面积 矩.
(5)
(b ) 约束剪切转角 (b) R stra i ed sh ear ro tati e n on
图 2 开 口薄 壁 梁 中 面 的扭 转 角
F ig .2 R o ta tio n o f m id d le su rf e e o f o p e n t h in 一 a lle d b ea m a w
一阶扭转理论中的双力矩 B 和翘 曲扭矩 八 用截面 九 自由翘 曲转角代替了截面总转角. 2 薄壁梁约束扭转 中的 St. v nan 扭矩 e t
当梁发生约束扭转时, 由假设 (3) 知, 转角可以 分为自由翘曲转角 0 " 和约束扭转转角 0 ! z (:) ( ) 0( z)= 0 ":)+ 0 " ( (z)
在约束扭转中, 截面总扭矩 从 为 自由翘曲转
曲有关, 因此由 S . V n n 扭矩在截面上任一点 尸 t e a t
){0 之 口- 钾 {一-, ) { ., ! {{ 气 u ,
L a 叨又 , 之 ) s ) 气 留戈) 少 5
!d/-) ,/!一- ,,n! ,之 " ! 护 /} }
式中, 二") 为截面平均轴 向位移, ( 表示对 / 求 (z ) l 一阶导数, 标. !( 是关于极点 s 和原点 O 的扇性坐 ) s
1. 中面正应力和剪应力 2
假设薄壁梁中面 内的 S 向正应力可以忽略, 可 得截面任一点的正应力和剪应力 降] 0
- - 一 J
卜-
口 = 一 -0瑟 ! E
角产生的扭矩和约束剪切转角产生的扭矩之和, 根 据式 ( 和式 (11), 可得 6)
G 八叱 一E 几叮 = 从
当薄壁梁承受均布外扭矩时, 式 ( ) 变为 6 1
(16)
开 口薄壁梁 S . V nan 扭矩 呱 和应力可以利 t e t
用半逆解方法求 出 [ } a l
G八 鱿一E几0梦= 一 n 7
图 1 薄壁构件截面坐标系
F 19 ,1 C o o rd in a te sy ste m s o f th in 一 a lled b e a m w ero ss se c tio n
(8)
在薄壁梁中取出长度为 d: 微段, 自由翘 曲转角
选取剪心 s x " 夸) 为截面极点, 极点 S 在形心 ( , " 主轴 x 和 甘方向的位移分别为 试:) 和 :( 截面绕 :), S 点的转角为 0(:).
第 43 卷 第 5 期 20 11 年 9 月
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报
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Hale Waihona Puke C h in ese Jo u rn al o f T h eoretieal an d A p p li ed M eeh a n i es
开口薄壁梁的扭转理论与应用 .
王兆强 /) 赵金城
力
学
2011 年 第 43 卷
体坐标系 (x, 夕:), 局部坐标系 幼,石:) 和沿横截面 , 中线的曲线坐标系 5.其中, 叮 和石分别为截面中线
任一点 尸 的法线和切线方 向, 如图 1 所示.
相应的中面正应力和剪应力为
B
八 凡 九 几
几 一兀甲 几t,
( 7)
由式 (4)!( 6)可知, 与传统的V l asov 理论相比,
0 " 和约束扭转转角 es(z 如图 2 所示. 根据假设 (:) ) (1)和 ( 以及式 ( 和式 ( , 在微段右侧截面上任 3) 3) ) s
一点 尸 的位移可表示为
根据假设 (1)!(3), 截面上任一点 尸的切向位移
0! :) 为 (s,
衫 "( 5 . 之 1 =
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由双 力矩 B 和 翘 曲扭矩 叽 的定 义 降3}, 可得 B = 一 几口 E 瑟
dB !
八 几
dz
= 一 几笔 E
}
第 5 期
王兆强等 :开口薄壁梁的扭转理论与应用
965
由假设 ( 可知, 3) 产生的位移可以表示为
t e S . V nan 扭矩仅与 自由翘 t
4 扭转微分方程和边界条件 4. 扭转微分方程 1
(1 1
}{0/.-{一-- { 十/!}劣 ( , 口, }工 口 :/{ 气 {{ ,
L a 叨Ls , 之 ) ) 气 山又 ) ) 5 L U )
! (, , } ,"!一-."!一/ {/ / - , } 州 ,, 州 } }
(9)
在纯扭状态下, 截面 中面上任一点 尸剪应变可
表示为
守 0二 龚= " ,
态下, 截面上任一点 尸 的轴向位移 二 , 司 为 (!
(2)
广
考虑到剪切变形 飞, 的定义, 可得到在纯扭状
{ 一一厂 ! 二 厂 岁
卜一 洲 (a 自由翘曲角 ) (a) F ee w arpi rotati r ng on
w (s,之 = w "z)一 (:)!(! ) ( 0乙 )
( 3)
曲理论具有一定的类比性, 得到了考虑剪切变形影
响的扭转微分方程.
梁 弯扭 特性 的影 响变 得 非常 显 著 [ . 剪切 变形 对梁 ] 0
1 薄壁梁的位移场和截面内力
薄壁梁一阶扭转理论采用下面几条假设: (l 横截面在 自身平面内不发生变形; )
横 向弯 曲的影响, 在一阶 (T m o h n "梁理论) !二 i se k 阶 !三 阶梁弯 曲理 论 中已经 有考 虑 ! 5 . 李 国强等 [ 7一 ] ] 0
0( o)= 0 " 0 "0) = 000, , (
场 ) a l
o ( o乙 乙 o)= "2
九八 几
二二
B( O)= B " M (0) = 风 " , z
可得初 参数方程 为
B o
七G J !
} (0 2,
几! G
其中, 九 是一 个新 的参 数, 称为扭 转剪 切系数, 为切 向极惯 性矩 , 它们 由下 式给 出
建立 了考 虑剪 切变 形 的压 杆 刚度 方程 , 通过在 一些 实际 问题 上 的应用 , 说 明 了杆件剪 切 变 形对杆 系结
构 变 形 的影 响. 考虑 剪切 变 形影 响 的约 束扭转 理论 首 先由 B enseoter 和 U m an sky 针对 闭 口薄壁杆 件提 出 [0 , 他 们假 设约束 扭转 中 的翘 曲位 移与 V a o 理 l] l sv 论 中 的翘 曲位 移具 有相 同的形式 . P ~ z a 11] 假 设 [ 剪 应 力沿 开 口薄 壁梁 长 为常 数, 建 立 了考虑剪 切变 形影 响的开 口薄壁 构件 扭转 理论. 基 于 K o lb u nn e l r r 和 H a d n 理 论, ji H u 等 [ ] 推 导 了非对 称截面 薄壁 z l 梁 的 四阶控 制微 分方程 , 考 虑 了弯 曲和 扭转 的祸合 作用 . 基 于 B e nou l 一u le 梁 和 V la o 薄壁构 件理 r i E r s v
法求解约束扭转微分方程是非常 有效的. 为了简化
初参数方程, 引入参数 产 二母 竺 拼 = 1 一户 母, 1 沼.
将式 (7) 代入式 (13), 可得
叽
口_ = 二:-, 二 I 二
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(13)
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在 : = o 处, 薄壁梁横截面的状态参数为
空间梁单元的弯扭祸合刚度矩阵.
本文以 V a o 梁理论为基础, 假设剪切变形在 l sv
截面上均匀分布, 推导 了开口薄壁构件的约束扭转 理论, 并考虑到剪切变形对 s . V n n 扭矩 的影响, t e a t 用扭转剪切系数来修正约束扭转中约束剪切变形在
截面均匀分布的假设, 使得一阶扭转理论与一阶弯
度高. 因此, 薄壁构件理论 的建立受到人们极大的
关注 .
l sv v a o 建立了经典薄壁构件理论 降4} 但此理论 , 忽略 了剪切变形的影响. B a k 和 w i 5}指出, 传 c [ l
统薄壁梁理论和试验结果之间存在着显著的差异.
当梁 长 较短 或截 面 为开 口薄 壁 截面 时, 剪 切变 形对
的微分方程. 与 V a o 微分方程 医3}不同, 式 ( 7) l sv l 仅包含 自由翘 曲转角, 由此为基础可分别计算 自由
板件厚度 (法线) 方向 刀的坐标值. 由式 (n )可知, 与传统 的 V l o 理论相比, 一 s av 阶扭转理论中 s . V na t 扭矩利用 自由翘 曲转角扭 t e n 率代替了总转角的扭率. 3 约束剪切转角和扭转剪切系数
拼=
九E 一 一 ,几 . 二几 一
G 几,
总 变 U 一亏 !几 s /与 曲 矩 功 应 能v s j 记 翘 扭做 d
入 d: o t vw = 王几砚 相等, 考虑胡克定律 7 = G ! , 2
可得
I
f
_ _
. ,_ , _
_ .,
,
4. 初参数方法和影响函数 2 与直接求解微分方程的方法相比, 初参数方法 具有简单的形式和确定的力学意义. 利用初参数方
2 01 1一 3一 8 收到第 1 稿, 2 20 n 一 5一 收到修改稿. 14
(2)横向剪切变形 飞二 飞"不能忽略, 在整个 和
截面上 为一 常数;
(3) 横 截 面 的总转 角 0 可 以分解 为 自由翘 曲转 角 0 "和约 束剪切 转 角 0 " 自由翘 曲转 角 先 仅 产 生 . 翘 曲变 形不 产生剪应 变. 约束剪 切转 角 0, 仅 产 生剪
中图分类号: 0 342, T U 311.1
文献标识码: A
文章编号: 0459一 1879(20 11)05一 05 0963一
引
言
论,
a w ng 等 [ ] 利用虚功原理推导出了薄壁截面 s l
薄壁构件广泛应用于土木 !航空 !造船 !海洋工
程 !桥梁等领域 卜2} .其最大的优点就是重量轻而强
o 一 " 些 " " inh - + "1(1 一eosh !:)代二二,儿十 "+ 乙, : G l
翘 曲转角和约束剪切转角. 由式 ( 式 (s 和式 (15 6), ) )
可得, 总扭转角与 自由翘曲转角之间的关系为
0 -= 0乙 0二 一拼 一 江 山, 气甲
( 19)
根据假设 ( 约束剪切转角 0, 可以看作翘 曲 3),
扭矩 几 的广义应变. 在如图 2( 所示 的微段 中 九 b)
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